LA RESOLUTION DES EQUATIONS DU PREMIER DEGRE A UNE ...

Cahiers du Service de Pédagogie expérimentale - Université de Liège - 3-4/2000 35LA RESOLUTION DES EQUATIONS DU PREMIER DEGRE AUNE INCONNUEJoëlle Vlassis, Isabelle DemontyLa résolution des équationsconstitue un chapitre importantdans le cursus scolaire des élèves dupremier degré de l’enseignementsecondaire. Or, pour un grandnombre de débutants, plusieursdifficultés apparaissent dans lacompréhension des concepts de baseet des techniques de résolution.Certains en arrivent à appliqueraveuglément des procédures dont ilsne maîtrisent en aucune manière lesfondements.L’enseignement des équationsimplique deux types de contenus :1. la modélisation à travers la miseen équation de problèmes quipermet d’envisager la facetteutilitaire des équations;2. les méthodes de résolution.Plusieurs auteurs (Colomb,1995; Kieran et Herscovics, 1980;...)défendent l’idée que ces deux pointsde vue doivent faire dans un premiertemps l’objet d’un apprentissagedistinct afin de ne pas cumuler lesdifficultés inhérentes à chacun. Nousnous rallions à cette idée. En effet,l’importance et la fréquence deserreurs relevées dans des épreuvesde fin de cycle (Vlassis & Demonty,2000) tant dans la résolution quedans la mise en équation témoignentdes difficultés des élèves.Dans cet article, nous traitonsplus particulièrement de l'apprentissagede la résolution des équations.Celui-ci implique l'intégration deplusieurs concepts nouveaux,comme celui d’inconnue, de solution,d’équation, ... mais aussi unebonne maîtrise de la notion d’égalitéet du sens da la lettre.Nous nous proposons depasser tout d’abord en revue les différentsconcepts et les difficultésimpliqués dans la résolution d’équation.Une réflexion sur les méthodeshabituelles d’apprentissage seraensuite proposée. Le point suivantreprendra les différentes méthodespermettant de résoudre deséquations. Enfin, la dernière partiesera consacrée à la présentationd'une séquence d'apprentissage ainsiqu'aux choix didactiques qui l'ontmotivée. Une synthèse desdémarches observées sera égalementprésentée.La résolution des équations du premier degré a une inconnue

36 Cahiers du Service de Pédagogie expérimentale - Université de Liège - 3-4/2000A. DES CONCEPTS À APPRENDRE,DES OBSTACLES À SURMONTERRésoudre une équation nécessitenon seulement la maîtrise detechniques mais aussi une compréhensionapprofondie des différentsconcepts et processus en jeu. Denombreuses erreurs commises parles élèves sont souvent dues à uneinterprétation erronée des notionsenseignées.Quels obstacles conceptuelsles élèves doivent-ils surmonter pourrésoudre des équations ? Nous enprésentons trois parmi ceux qui noussemblent les plus fondamentaux.A.1. Comprendre l’objectif de larésolution d’une équation.Résoudre une équation nécessitede la part des élèves qu’ils aientconstruit une signification de lafonction d’une équation c’est-à-direqu’ils aient compris à quoi sert larésolution et ce que représente lasolution. Or, selon Colomb (1995),on ne peut comprendre la notion desolution d’équation sans s’êtrerendu compte qu’en substituant unevaleur à l’inconnue, on obtient uneégalité qui est, ou bien vraie, ou bienfausse.Les résultats d’environ 1000élèves en fin de 2e année dusecondaire (Vlassis & Demonty,2000) témoignent de leur difficultéà saisir les concepts impliqués àce niveau.♦ Tout d’abord, pour vérifier que3 est bien solution de l’équation17 + 2x = 9x + 4, la moitié desélèves résout à nouveau l’équationet compare la solution qu’ilsobtiennent à la valeur 3. Seuls35 % des élèves pensent àsubstituer la valeur 3 à x. Cettedernière démarche est cependantplus efficace puisqu’elle n’entraîneaucune opération avecl’inconnue, mais seulement ducalcul de valeurs numériques.Elle constitue donc une solutionplus simple et moins coûteuse entermes d’erreurs. Cependant, elledemande une compréhensionapprofondie du concept desolution qui ne semble pas évidentechez tous les élèves.♦ Ensuite, pour résoudre 5b + 15 =17 + 2b, certains élèves cherchentà effectuer du calcullittéral et obtiennent la réponse39b, par exemple, transformantainsi l’équation en termes de5b + 15b + 17b + 2b = . Cetteinterprétation de l’équation entraîne5% des erreurs.♦ Enfin, Vlassis & Demonty (2000)ont relevé des taux importantsd’omission dans la résolutiond’équations. Confrontés à cetype de question, environ 20%des élèves omettent de répondre.Ces omissions concernent nonseulement les équations algébriquesmais aussi les équationsarithmétiques lorsqu’il s’agitd’équation fractionnaire ou quel’inconnue apparaît plusieurs foisLa résolution des équations du premier degré a une inconnue

Cahiers du Service de Pédagogie expérimentale - Université de Liège - 3-4/2000 37dans un membre. Ce taux élevéd’omission semble témoigner quecertains élèves se trouventparticulièrement perplexes face àla résolution de certaines équationset ne savent plus par oùcommencer, ou ce qu’il fauttrouver.A.2. Donner du sens à la lettreKuchemann (1978) a menéune étude sur la façon dont les élèvesde 11 à 17 ans se représentaient lalettre dans différentes situationsalgébriques. Ses résultats montrentque du point de vue des élèves, lalettre sera envisagée différemmentselon qu’ils se trouvent confrontés àune équation arithmétique (x dans unseul membre) ou une équationalgébrique (x dans les 2 membres).Afin d'expliquer les différencesétablies par l'auteur, analysons lesrésolutions possibles des équations.♦ Les méthodes arithmétiquesL'équation « 2x + 3 = 17 » peut serésoudre par une méthodearithmétique comme celle paropérations réciproques.Par exemple :2x + 3 = 15Résoudre cette équation paropérations réciproques impliquede réaliser les opérationssuivantes : (15 − 3) : 2 = 6Dans ce cas, les opérations sonteffectuées sur des nombres et nonsur des expressions algébriques.Ces méthodes peuvent être utiliséespour résoudre des équationsavec l’inconnue dans un seulmembre.♦ Les méthodes algébriques(formelles)L'équation « 3x + 5 = 9x –17 »pourra se résoudre par la méthodeformelle :3x + 5 = 9x –173x – 3x + 5 = 9x – 3x – 175 + 17 = 6x – 17 + 1722 = 6xx = 226Cette méthode de résolutionnécessite de réaliser des calculsalgébriques pour résoudre l'équation(3x – 3x + 5; 9x – 3x – 17;...).La résolution de l'équationimplique donc d’effectuer desopérations sur des expressionslittérales. Les méthodes algébriquessont nécessaires pourrésoudre des équations avecl’inconnue dans les deuxmembres.D'après Kuchemann (1978),dans ces équations (où la lettreapparaît dans les deux membres), lalettre a un statut d'inconnuespécifique. Ce niveau de la lettreimplique la capacité d’effectuer desopérations avec l’inconnue.Ce niveau de conception de lalettre n’est pas simple à atteindre.Une étude réalisée par Demonty(1998) révèle qu’à la fin dedeuxième année du secondaire, untiers des élèves n’a pas encore acquiscette notion alors que l’apprentissageLa résolution des équations du premier degré a une inconnue

38 Cahiers du Service de Pédagogie expérimentale - Université de Liège - 3-4/2000de la résolution des équations a déjàété largement abordé.Une autre expérience menéepar Wagner, Rachlin et Jensen(1984) témoigne également de ladifficulté des élèves à se construireune conception correcte de la lettre.Des élèves de 13-14 ans devaientrépondre à la question suivante :Dans les expressions suivantes, quel estle plus grand nombre, w ou n?7 + w + 22 = 1097 + n + 22 = 109Seuls 38 % des élèves ontrépondu correctement. Pour beaucoupd’autres, w était plus grand quen, car la lettre qui le représente setrouve plus loin dans l’alphabet.A.3. Donner du sens au signed’égalitéL'égalité occupe un rôlecrucial dans la résolution d'équationsdu premier degré à une inconnue :les deux membres de l'égalitécorrespondent à deux écrituresdifférentes d'un même nombre. Cettecompréhension de l'égalité est loind'être naturelle chez les élèves dudébut de l'enseignement secondaire.En effet, à l'école primaire, ils ontété habitués à effectuer des opérationsoù seul un nombre apparaîtdans le deuxième membre del'égalité: le résultat de l'opération.Les élèves construisent ainsi uneconception erronée du signe d'égalitédue à la position qu'il occupe dansles calculs. Celui-ci est donc interprétécomme l'amorce du résultat del'opération décrite dans le premiermembre de l'égalité.Une conception "arithmétique"du signe d'égalité peut suffirepour les équations où l'inconnueapparaît dans un seul membre. Parexemple, les élèves peuventcomprendre l'équation "2x + 5 = 17"en ces termes : "Si on multiple unnombre par 2 et qu'on ajoute 5 auproduit, on obtient 17 commeréponse".Par contre, dès que l'inconnueapparaît dans les deux membres,comme c'est le cas dans l'équation"3x + 5 = 4 x – 3", le deuxièmemembre ne correspond pas aurésultat du premier et le signe "="indique que les deux membres sontdes écritures différentes d'un mêmenombre. Une conception algébriquede l'égalité s'avère donc indispensablepour donner du sens à de telleséquations.B. DES MÉTHODES D’APPRENTIS-SAGE : QUELQUES RÉFLEXIONSB.1. Introduire les équations par lesproblèmesUne méthodologie assezrépandue pour l’apprentissage deséquations consiste à enseignercelles-ci sur base de problèmes.Dans cette perspective, deux typesde compétences sont développéessimultanément : d’une part, la miseLa résolution des équations du premier degré a une inconnue

Cahiers du Service de Pédagogie expérimentale - Université de Liège - 3-4/2000 39en équation au cours de laquellel’énoncé doit être traduit enrespectant les règles d’écriturealgébrique et, d’autre part, larésolution d’équations qui impliquel’application de règles formelles.Nous pensons que cettemanière de procéder amène àconfronter les élèves, dès le début del’apprentissage, à plusieurs nouvellesnotions complexes. Les élèvesdoivent à la fois développer descompétences dans le domaine de lamodélisation et dans celui de larésolution. Les résultats d'uneépreuve d'algèbre menée dans lecadre d’une recherche au premierdegré du secondaire (Demonty,Detheux & Vlassis, 1997) a montréque de nombreux élèves de fin decycle maîtrisaient mal ces objectifs :→ En ce qui concerne la résolutiond’équationUne équation comme « 48 =3x + 12 » est résolue correctementpar 54% des élèves.Une équation comme « 4z − 5 =2z + 1 » est résolue correctementpar 46 % des élèves.L’analyse d’une épreuve plusrécente (Vlassis & Demonty,2000) soumise à des élèves demême niveau scolaire présentedes résultats fort proches pour lemême genre de questions.→ En ce qui concerne la mise enéquationL’exercice suivant a été présentédans le cadre de l’épreuve deDemonty, Detheux & Vlassis,(1997) :Un magasin de location de cassettesvidéo propose deux modes de paiement.Le premier consiste à payer 200 francspar cassette vidéo louée.Le deuxième suggère de payer150 francs par cassette vidéo louée àcondition de posséder une carte demembre qui coûte 1000 francs.Pour quel nombre de cassettes vidéolouées les deux modes de paiementreviennent-ils au même prix ?Pour résoudre ce problème, ilétait demandé aux élèves d’écrirel’inconnue, la mise en équation,la résolution de l’équation et lasolution du problème. Lors de lacorrection, seule la réponsefinale a été prise en compte. Lepourcentage de réussite nedépasse pas 18 % en fin dedeuxième année. Ces résultatsparlent d’eux-mêmes et illustrentbien la difficulté que représententces exercices pour unemajorité d’élèves. On peut doncpenser qu’une approche développantsimultanément les deuxcontenus risque d’être difficilementaccessible pour certainsdébutants.Kieran et Herscovics (1980)considèrent également que cettedémarche revient pour certainsélèves à traduire un problème en unlangage inconnu. Même une modélisationtrès simple peut dépasser lescapacités des étudiants.La résolution des équations du premier degré a une inconnue

40 Cahiers du Service de Pédagogie expérimentale - Université de Liège - 3-4/2000B.2. Enseigner une seule méthode derésolutionTraditionnellement dans lesclasses, l’enseignement de la résolutiondes équations est rapidementfocalisé sur la méthode formelle derésolution. Les deux règles « toutterme qui change de membre changede signe » et « tout facteur quichange de membre est remplacé parson inverse » sont présentées etdes exercices d’application sontproposés.Ces deux règles représententun raccourci de l’application despropriétés de l’égalité mais n’apparaissentpas toujours de cettemanière aux yeux des élèves. Eneffet, il arrive parfois que lespropriétés de l’égalité dont sontissues ces deux règles, ne soient pasprésentées du tout aux élèves dans lecontexte des équations. Ceux-ci sontalors confrontés à ces méthodes sansen comprendre l’origine. Plus généralement,ces propriétés sont(ré)exposées aux élèves dans lecontexte des équations mais demanière beaucoup trop rapide sansque les élèves puissent véritablementse les approprier. En conséquence,ceux-ci appliquent ces principes sansbien comprendre leur intérêt et leursignification. Cette lacune entraînechez beaucoup des erreurs dues àune application erronée des règlesenseignées.Voici, par exemple, une erreurrencontrée fréquemment :−2x = 7x = 7 + 2 puisque "tout termequi change de membre change designe".C. NOS OPTIONS DIDACTIQUESLa méthode formelle présentel’avantage de pouvoir résoudre tousles types d’équations du premierdegré à une inconnue. Cependant,l’enseignement suppose ainsi qu’iln’existe aucune autre méthode derésolution. Or, d’autres procéduressont possibles même si ellesn’offrent pas le même caractère degénéralité.C.1. Quelles méthodes pour résoudredes équations?a) La méthode par substitutionLa méthode par substitutionconsiste à poser une valeur àl'inconnue et à calculer les valeursnumériques des deux membresjusqu'à obtenir une égalité vraie.♦ Cela peut se faire parreconnaissance numérique.Ainsi, pour l'équation "16n = 64",la réponse 4 est donnée sans autreexplication que 16 × 4 = 64.♦ L'élève peut également procéderpar essais-erreurs.D'après Bernard et Cohen(1988), cette démarche présente leLa résolution des équations du premier degré a une inconnue

Cahiers du Service de Pédagogie expérimentale - Université de Liège - 3-4/2000 41double intérêt de permettre à l'élèvede se familiariser avec les conceptsde solution d'une équation etd'égalités vraies ou fausses.b) La méthode par recouvrementLa méthode par recouvrementest un procédé récurrent qui consisteà considérer, comme inconnue,l’expression algébrique contenantl’inconnue.Ainsi, l'équation 15 . (12 − x) = 150peut être résolue de la façonsuivante :15 (12 − x) = 15015 . 10 = 150 donc 12 − x = 1012 − x = 10 donc x = 2Intérêts de la méthode par recouvrement♦ D'un point de vue développemental,cette méthode sesitue dans le prolongementdirect de la substitutionpuisqu'il s'agit d'étendre la notiond'inconnue-lettre à l'inconnueexpressionalgébrique (Bernard etCohen, 1988). Dans l’exempleprécédent, l’entité inconnue est(12 − x).♦ La méthode de recouvrement,plus complexe que celle de lasubstitution, même si elle part dela même question, peut amenerchez les élèves une réflexion approfondiesur certaines notionsmathématiques :Considérons de nouveau l'équation15 . (12 − x) = 150.Il s'agit de faire découvrir àl'apprenant qu'une méthode efficaceconsiste à considérer l'expression(12 − x) comme inconnuedans un premier temps, puis dedécomposer cette expression pourisoler la valeur de x proprementdite. D'un point de vuemathématique, nous voyons aumoins deux avantages à cettedémarche.- Tout d'abord en incitant les élèvesà considérer l'expression (12 − x)comme un tout, le professeurasseoit les premières bases d'uneconception structurale 1 , telle quedéfinie par Sfard (1991). Selon cetauteur, la conception structuraleconsiste à considérer l'expressioncomme un objet et non commeune procédure à appliquer(conception procédurale). La premièreperspective est nécessaire àla compréhension des méthodesformelles, tandis que la secondeest liée aux démarches intuitives.Sfard & Linchevski (1994)soulignent que la capacité desélèves à passer d'un modeprocédural de pensée à un modestructural augmente notablementla capacité de l'étudiant à résoudreles tâches mathématiques. Laméthode de recouvrement quivient d'être décrite présentel'avantage d'envisager les deuxperspectives à la fois.1Voir fascicule 1, «Comment les élèvesapprennent-ils l’algèbre ? »La résolution des équations du premier degré a une inconnue

42 Cahiers du Service de Pédagogie expérimentale - Université de Liège - 3-4/2000- Ensuite, apprendre à décoder uneexpression telle que 15 . (12 − x) =150 en termes de a . b = c, ouencore 7 (2x − 5) − 10 = 18 entermes de ab − c = d permet àl'élève de comprendre et de dégagerune structure desexpressions. Cette compétence neva pas de soi, elle nécessite unapprentissage explicite et approfondi.Selon Skemp (1982),l'habilité algébrique requiert nonseulement une focalisation sur lessymboles, mais aussi sur lesrelations et la façon dont cessymboles sont combinés. Lespremiers éléments concernent lesstructures syntaxiques de surface,les seconds, les structuressémantiques profondes. Unétudiant, attentif à certainescaractéristiques de structure,analysera, par exemple, lesexpressions fg = c et j(n + x) = sde la même manière, en notantque dans les deux cas on a unevariable (c ou s) comme produitdes deux autres (fc . g et j . (n+x)).L'utilisation de symboles et designes différents sera jugée nonpertinente.c) La méthode par opérations réciproquesLa méthode par opérationsréciproques consiste à dégager lesopérations qui ont été appliquées àl'inconnue pour obtenir le résultat età effectuer les opérations réciproquessur le résultat pour trouver auterme du processus la valeur del'inconnue.Par exemple :Résoudre 3x − 6 = 48 reviendra àeffectuer (48 + 6) : 3 = 18d) La méthode par équations équivalentesLa méthode par équationséquivalentes, basée sur les propriétésdes opérations, permet de résoudretoutes les équations du premier degréà une inconnue. Ainsi, cette méthodeconsiste à appliquer un opérateur auxdeux membres de l'équation pour latransformer en une autre équationayant le même ensemble de solutionque celle de départ. Elle nécessiteune autre conception de l'égalitéainsi que des manipulations simultanéessur les deux membres del'équation. Elle correspond donc àune vision structurale de l'équation,puisque celle-ci n'est plus considéréecomme un enchaînement d'opérationseffectuées pour obtenir unnombre donné mais plutôt commedeux expressions d'un mêmenombre, comprenant une inconnue.Cette méthode implique deuxniveaux de résolution :1. L’application des propriétésfondamentales de l’égalité, parexemple :La résolution des équations du premier degré a une inconnue

Cahiers du Service de Pédagogie expérimentale - Université de Liège - 3-4/2000 433x + 5 = 6 − 5x3x + 5x + 5 = 6 − 5x + 5x8x + 5 = 68x + 5 − 5 = 6 − 58x = 18x8 = 1 8x = 1 82. L’application des règles d'actions(« tout terme qui... ») issues despropriétés de l’égalité, parexemple :3x + 5 = 6 − 5x3x + 5x = 6 − 58x = 1x = 1 8méthode formelle. Elle suit desétapes définies d'un point de vuemathématique, et est soumise à desrègles strictes. Celle-ci demandeune extension de la compréhensiondu signe d'égalité ainsi qu'un passageaux équations équivalentes. Nousqualifions cette méthode de« formelle », dans la mesure, où,celle-ci traite essentiellement laforme des expressions, leurs propriétéset les transformations (Not,1988). Ce type de méthode constitueune forme de traitement à part oùl’objectif de son utilisation se perd.Cela amène d’ailleurs de nombreuxélèves à perdre le sens de ce qu’ilscherchent lorsqu’ils résolvent desproblèmes.C.2. Méthodes intuitives et formellesNous qualifierons les troispremières méthodes de résolutiond’intuitives dans le sens où celles-cinécessitent des changements locauxsur une même équation, et nedemandent donc pas d'utiliser leconcept d'équations équivalentes. Leplus souvent, celles-ci sont issuesdes apprentissages arithmétiques del’école primaire et ne sont pascodifiées par des règles précises,elles traduisent plutôt l'évolution duraisonnement de chaque élève. Cesméthodes nécessitent une compréhensiondu signe d'égalité en termed'amorce d'un résultat.Nous considérons la quatrièmedémarche de résolution comme uneC.3. Quel type de méthode choisir?Différentes études semblentmontrer que l’utilisation adéquate etraisonnée des modes de raisonnementintuitif et formel permetd’atteindre une plus grande performanceen mathématique. Or,l'enseignement des équations, telqu'il est donné dans la plupart desclasses, reste principalement focalisésur la méthode formelle. Certainsenseignants abordent les équationspar les méthodes intuitives (lasubstitution ou les opérations réciproques)mais cette démarche n'a paspour but l'enseignement des méthodesintuitives pour elles-mêmes,mais sert plutôt d'introduction auvocabulaire et aux notions utilisésdans les équations (conceptsd’équation, de solution de l'équation,La résolution des équations du premier degré a une inconnue

44 Cahiers du Service de Pédagogie expérimentale - Université de Liège - 3-4/2000d’égalité vraie ou fausse, etc.). Dèsqu'il s'agit de résolution, il n'estquestion que de la méthode formelleavec les fameuses règles "tout termequi change de membre, change designe" et "tout facteur qui change demembre est remplacé par soninverse". Il s’agit donc d’attribueraux démarches intuitives une placebeaucoup plus large dans l’enseignement,même si celles-ci nepeuvent, comme la méthode formelle,prétendre à résoudre tous lestypes d’équations du premier degré àune inconnue.Pourquoi enseigner les méthodesintuitives (arithmétiques)?♦♦Tout d’abord, celles-ci font partiedes connaissances antérieures desélèves. Il est fondamental dans laperspective d’un enseignementconstructiviste, de laisser dans unpremier temps les élèves utiliserleurs connaissances antérieuresafin qu’ils puissent se rendrecompte eux-mêmes des limites decelles-ci. A ce moment ils sontprêts pour l’apprentissage denouvelles procédures (ici, laméthode formelle) qui serontefficaces là où les autres aurontéchoué.Ensuite, Petitto (1979) soulignequ’il faut montrer aux élèves que♦leurs propres connaissances debase concordent avec les structuresde l’algèbre élémentaire. SelonFurths et Wachs (1974), unenseignement faisant fi de cesintuitions conduit les élèves àperdre confiance en leurs moyensintellectuels. Les étudiantsapprennent ainsi à se méfierdes conclusions auxquelles lesconduisent leurs raisonnements etfinissent par se persuader qu’ilvaut mieux pour eux de s’abstenird’avoir des idées personnelles.Enfin, cela induit une plus granderéflexion chez les élèves puisqu’ils’agit d’abord d’examiner l’équationqui leur est soumise. Il nes’agit plus de foncer tête baisséedans la résolution en appliquantaveuglément les règles apprises.D. DES SITUATIONSD'APPRENTISSAGEPuisqu'il semble admis qu'intuitifet formel font partie del'expertise mathématique, il s'agitd'envisager une méthodologie del'enseignement des équations faisantune part beaucoup plus large à laréflexion au départ des méthodesintuitives, ces dernières étant peudéveloppées dans les classes.La résolution des équations du premier degré a une inconnue

Cahiers du Service de Pédagogie expérimentale - Université de Liège - 3-4/2000 45La séquence expérimentée dans lesclasses est structurée de la manièresuivante :Phase 1 : L’inconnue figure dans unseul membre - utilisation deméthodes intuitivesA. Activités impliquant l’utilisation desméthodes de substitution etd’opérations inversesPar exemple :- Retrouver un nombre manquantdans une opération dutype :23 − ? + 9 = 18- Retrouver la largeur d’unrectangle dont on connaîtl’aire et la longueur.- Retrouver une dimensionmanquante dans des situationsgéométriques plus complexes.B. Activités impliquant l’utilisation dela méthode de recouvrement- Activités similaires au point Amais dans des situations pluscomplexes, par exemple,aboutissant à des équationscomme (17 + ?) . 3 − 7 = 65- Recherche de fractionséquivalentes, par exemple,5=(9 + ?)217Ces activités ont pour objectifde permettre aux élèves d’utiliserleurs connaissances pour résoudredes équations (inconnue dans un seulmembre) et d’installer les premièresnotions liées aux concepts d’équation,de solution et d’inconnue.Phase 2 : L’inconnue figure dans lesdeux membresA. Résolution d’un problème impliquantl’utilisation de la substitution.B. Activités centrées sur le support dela balance.C. Résolution formelle des équations.L’activité A est destinée àélargir la conception du signed’égalité et de l’équation tout enconservant un mode de résolutionintuitif.L’activité B sert à faire comprendrele principe des équations équivalentessur base du modèle de labalance à plateaux.L’activité C sert à approfondir lesprincipes de la méthode formelle.L’ensemble des activités a ététesté dans quelques classes dedeuxième année du secondaire.Certaines classes étaient d’un niveauélevé en mathématiques, d’autresplus faibles. Ceci nous a permisd’évaluer l’impact des activités surdes populations très contrastées dupoint de vue des compétences.E. ANALYSE DES DÉMARCHES DERÉSOLUTIONCe dernier axe constitue unesynthèse d’une analyse présentée demanière détaillée dans notre rapportde recherche 1999 (Vlassis &Demonty). Cette analyse a étéréalisée sur base des observationsdans les classes et des productionsd’élèves au cours de leursrecherches.La résolution des équations du premier degré a une inconnue

46 Cahiers du Service de Pédagogie expérimentale - Université de Liège - 3-4/2000De manière générale, nousavons constaté une diversité dans lessolutions proposées par les élèves.L’inventivité dont certains élèves ontfait preuve dans la résolution dessituations est étonnante. Ce travailmontre clairement que les élèvessavent résoudre certaines équationsavant même d’avoir reçu unenseignement en la matière. D’unpoint de vue mathématique, cesconnaissances constituent donc untremplin incontournable pour asseoirde manière solide les nouveauxapprentissages algébriques. Cesderniers peuvent ainsi apparaîtrecomme des clés efficaces là où lessavoirs antérieurs échouent, puisqueles méthodes de résolution intuitivesne peuvent résoudre tous les typesd’équations. Cette perspective esttrès différente de celle, plus habituelle,où la démarche formelle derésolution est posée d’emblée, mêmepour résoudre des cas élémentaires.Les paragraphes suivants donnent unaperçu des démarches utilisées parles élèves dans les deux phases de laséquence.Les démarches des élèves au coursdes activités de la première phaseLes équations issues de cesactivités pouvaient se résoudre soitpar les opérations réciproques, soitpar la substitution, soit par lerecouvrement.L’analyse des productions d’élèvesmontre que les opérations réciproquesreprésentent la procédure laplus employée dans les différentessituations. Même dans des cas oùelle est peu adaptée, les élèvesutilisent ou tentent d’utiliser cetteméthode. Ceux-ci exploitent cettedémarche dans des cas très simplesoù une reconnaissance numérique(méthode par substitution) auraitsuffi, comme, par exemple,« 557 = ? − 10 », mais aussi dansdes situations complexes commecelle de la recherche d’unedimension connaissant l’aire dutrapèze et l’autre dimension.Cette prédominance des opérationsréciproques pourrait en partie sejustifier par l’influence del’enseignement des mathématiques àl’école primaire. En effet, à ceniveau, seul ce mode de résolutionest considéré comme mathématiquementcorrect pour la résolution desproblèmes arithmétiques dont lastructure s’apparente à un calcullacunaire de type a + ? = c.La substitution, moins exploitée queles opérations réciproques, l’estcependant davantage par les élèvesfaibles. On constate également uneaugmentation des procédures desubstitution dans le contexted’évaluation lorsque les élèves seretrouvent seuls devant leur feuille.Cette démarche implique unraisonnement plus spontané et moinsformalisé que les opérationsréciproques. Il paraît donc normald’observer une augmentation decette option chez des élèves faiblesou lorsque les étudiants travaillentindividuellement. Elle représentepour certains un moyen plus sûrd’arriver au résultat.La résolution des équations du premier degré a une inconnue

Cahiers du Service de Pédagogie expérimentale - Université de Liège - 3-4/2000 47On a observé également très peu dedémarches de recouvrement saufpour la résolution des exercices deséquations fractionnaires. La majoritédes élèves a pu résoudre ce typed’équations sur base de leursconnaissances arithmétiques.Exemple :5 (9 + x)=7 21L’expression (9 + x) est considéréecomme l’inconnue.Sur base du principe des fractionséquivalentes, les élèves attribuentla valeur 15 à l’expression 9 + xutilisant ainsi le recouvrement. Si9 + x = 15, alors x = 6.Dans ce cas, le recouvrementreprésente la seule démarche vraimentefficace à la disposition desélèves de ce niveau. Ce qui expliquel’utilisation importante de cetteméthode pour cet exercice.Cette analyse ne doit pas nousfaire perdre de vue que dans certainessituations, ces méthodes sontincluses dans différentes procéduresde résolution, parfois très élaborées.En outre, certains élèves utilisent desméthodes mixtes : ils entament leurrésolution par une procédure, parexemple, les opérations réciproqueset puis terminent par la substitution.Les démarches des élèves au coursdes activités de la deuxième phaseélèves ne connaissaient pas laméthode formelle, ils ont utilisé lasubstitution (essais-erreurs) pourtrouver la valeur de l’inconnue.Cette démarche impliquait un travailde recherche important. Celui-ci apermis aux élèves d’élargir leurconcept d’équation qui n’est plus uncalcul lacunaire mais une égalité quise vérifie pour une valeur del’inconnue. En outre, les élèves ontrapidement affiné leurs stratégies eneffectuant leurs tâtonnements demanière de plus en plus ciblée enfonction de l’écart entre les résultatsde chaque membre.Grâce à la situation des balances,tous les élèves ont pu intégrer lesprincipes des équations équivalentes.En effet, dans la dernière situationoù il s’agissait de résoudre deséquations de manière algébrique,tous ont effectué la même opérationdans les deux membres. Cependant,des difficultés sont apparues chez denombreux élèves lorsque l'équationétait composée de soustractions oude nombres négatifs. Par exemple,dans l’équation 7 − 5x = 8x + 9,certains soustrayaient 5x pourannuler −5x. Il semble donc qu’uneétape doive encore être franchieentre les activités sur la balance etl’étape ultime de formalisation. Ils’agit d’aider les élèves à se détacherdu modèle et de les faire réfléchiraux manipulations algébriques proprementdites.La première activité impliquaitdes équations avec l’inconnuedans les deux membres. Puisque lesLa résolution des équations du premier degré a une inconnue

48 Cahiers du Service de Pédagogie expérimentale - Université de Liège - 3-4/2000CONCLUSIONSIl existe différentes démarchesefficaces pour résoudre les équationsdu premier degré à une inconnue :certaines sont intuitives, d'autresformelles. Dans le cas d'équationssimples, les premières méthodes sontsuffisantes, mais dès que celles-ci secomplexifient, les secondes démarchessont nécessaires. Dans lesclasses, la question est rarementposée de cette façon. L'enseignementdes équations se résume pourl'essentiel aux méthodes formellesutilisables dans tous les cas, des plussimples aux plus complexes. Or,différentes études signalent quel'expertise mathématique se définitpar un regard à la fois intuitif etformel. L'enseignement des équations,essentiellement centré sur lesméthodes formelles, doit donc faireune plus large place aux méthodesintuitives. Celles qui utilisent lasubstitution semblent offrir davantagede possibilités d'exploitationpour l'algèbre que celles employantles opérations réciproques.En outre, les étudiantsinterviewés, dans l'étude de Petitto(1979), pensent que leurs propresintuitions ne sont pas "mathématiques"et qu'on n'attend pas d'euxd'avoir des intuitions mais biend'étudier les règles et les définitions.Or, comme nous l'avons développéprécédemment, l'intuition fait partiedes stratégies d'apprentissage et derésolution en mathématiques.L'apprentissage des mathématiquesdoit rendre aux démarchesintuitives une place véritable etpermettre à l'élève de réfléchir surles différentes solutions d'unproblème posé, ainsi que sur lesrésultats obtenus. L'enseignant nepourra susciter cette réflexion qu'enprenant véritablement en considérationles connaissances spontanéesdes élèves et en cessant de focaliserexclusivement l'enseignement deséquations sur les démarches formelles,les faisant ainsi apparaître auxyeux des élèves comme uniquesavoir mathématique.L'analyse des démarches desélèves montre que le passage à laméthode formelle de résolutiond’équations implique l’intégration denombreux concepts qui sont loind’être simples. Trop souvent, dansl’enseignement, on fait l’impasse surl’une ou l’autre de ces notions oubien, on s’imagine que dire leschoses suffit. Il faut prendre le tempspour permettre aux élèves demodifier leurs structures de penséepour appréhender ces nouveauxcontenus. Lorsqu’ils aurontdécouvert les limites de leursconnaissances et qu’ils aurontcherché de nouvelles solutions, alorson peut espérer qu’ils seront prêts àenvisager une autre méthode.Par ailleurs, l’analyse desdémarches a mis en évidence lacréativité dont les élèves font preuvepour résoudre les problèmes proposés.Nous parlons de « créativité »La résolution des équations du premier degré a une inconnue

Cahiers du Service de Pédagogie expérimentale - Université de Liège - 3-4/2000 51La résolution des équations du premier degré a une inconnue