Appendix I - Springer

Appendix IExtract from AC AL Ms 2 on the centrality of Ampere's force law:S'il etait demontre que l'action electrodynamique est une actionelementaire, il serait par cela meme evident que l'action mutuelle dedeux elemens voltaIques est dirigee suivant la droite qui joint leursmilieux: Des lors plus de difficulte; et toute la theorie en decoulecomme nous venons de l'exposer. Mais comme il nous semble peuphilosophique d 'admettre a priori une telle proposition sans la demontrer,nous avons cherche a demontrer, par l'experience, que l'actionde deux elemens de courants est en efet dirigee suivant la ligne quiles unit.Rappellons d'abord qu'il resulte d'une experience de Mr Oerstedque dans toutes les positions l'action d'un fil voltique sur l'aiguilleaimantee est identiquement la meme; d'ou il resulte que toutes lesfaces du fil sont parfaitement semblables, et considerons en premierlieu les courants infiniment petits mm', nn' diriges comme on Ie voitsur la figure [figure A does not exist in the maniscript], designonspar leur action mutuelle m'n'. La direction de leur action mutuellem'mIonIn'IFigure Adoit etre symetrique par rapport a eux. Si I'on suppose pour plus desimplicite que leurs grandeurs et leurs intensites sont egales. Cettedirection est done ou la droite m'n' ou une ligne quelconque situeedans un plan perpendiculaire a m'n' et passant par Ie point O. Orpar cela seul que toutes les faces du fil sont parfaitement identiques ilne peut y avoir aucune raison pour choisir une plutot que l'autre deces dernieres droites: elles doivent done toutes etre rejettees d'ouil resulte que la droite m'n' est veritablement la direction suivantlaquelle les deux courants s'attirent. On sent d'ailleurs que lademonstration faite pour deux elemens egaux s'etendra par suite adeux elements de grandeurs quelconque.

758 Appendix IUne demonstration analogue s'applique a deux elements mm',nn' parralleIes entr'eux et a angle droit sur la ligne qui joint leursmilieux. Supposons en effet qu'ils soient egaux et diriges dans laAA'n'm'I' I-'--------',~---_'_InB'BFigure Bmmeme sens. La force qui entraine I'un d'eux mm' par exemple, seradirigee suivant II' ou suivant une des droites DB, OA, DB', OA'passant par Ie milieu 0 de I]' perpendiculaires a cette ligne et situesdans Ie plan des deux elements ou dans un plan a angle droit aveccelui Ill.. Mail il n'y a aucune raison pour preferer DB a OA, DB' aOA' puisque I'on peut changer Ie sens des courants sans rien changera la force produite. Ces quatre directions doivent en consequenceetre rejettees et la force est dirigee suivant II'. Cette demonstrations'etendra d'ailleurs aussi bien que la precedente a des elements degrandeurs quelconques en decomposant raux a] en des assemblagesde courants egaux a leur commune mesure.L'egalite que no us avons supposee entre les intensites, ne presenterapas non plus de difficultes, si I'on se rappelle qu'un courant dontI'intensite serait 2 ne ferait que remplacer deux courants d'une intensite[1] et diriges dans Ie meme sens. D'un autre cote comme Factionqui resulte de deux courants infiniment petits quelconques est toujourssusceptible d'etre ramenee, comme nous I'avons fait voir, a desactions telles que celles que nous venons de considerer, il en resulteque notre demonstration est tout a fait generale et remplit parfaitementIe but que nous no us etions propose.[AC AL Ms 2]

Appendix IILiouville's notes on Galois. Biblioteque de l'Institut de France Mss 2108.I Fol. 260-265 (consecutively paginated 1-6)[Fol 260] Notes sur Galois J. Liouville.Adjonction - Expression des racines Xo, ... , Xn-l par V. - V, U &cdependent rationnellement l'une de l'autre - C'est donc toujours en facteursde degres egaux que l'eq. en V se decompose par adjonction.- Admettons qu'en adjoignant r racine d'une eq. irreductible de degrep, l'eq. en V se decompose vm+&c = !(V, r)h(V, r) ... !q-l(V, r)!, h, ... ,!q-l de meme degre s, sq = m - Et aussi si vm +&c = !(V, r')h(V, r') .. .!q-l (V, r') = !(V, r")h (V, r") ... si r', r," ... &c sont les autres racines derP + &c = o.Donc (Vm + &c)P= !(V, r)!(V, r') ... !(V, r(p-l))X h(V, r)h(V, r') ... h(V, r(P-l))Mais !(V, r)!(V, r') ... !(V, r(p-l)) est rationnel avant toute adjonction,c'est donc un diviseur rationnel de (vm + &)P et, it cause du degre et dem = sq, c'est (vm + &c)' [incorrect, see Fol. 282].Mais, si !(V, r) et !(V, r') ont un facteur commun, ils coincident, carsoient rp(V), ¢(V), &c les racines (outre V) de !(V, r) = 0, alors !( rpV, r) =!(V, r)Q(V, r). Donc !(rpV, r') = !(V, r')Q(V, r') et, si !(V, r') = 0, il suit!(rpV, r') = O. Donc &c. II y a donc s facteurs qui coincident avec !(V, r), &c-Et Vm+&c = !(V,r)!(V,rd ... !(V,rq-d= f(V, r)h(V, r) ... !q-l(V, r).De la deux genres bien distincts de decomposition. Mais, si toutes les racinesr, rq, ... , rq_l s'expriment rationnellement par une seule d'entr'elles, il estvisible que Ie 1 er genre de decomposition rentre dans Ie second, et que lesdeux genres de decomposition coincident.

760 Appendix IIAu moment ou nous adjoindrons une racine {fA, nous aurons Ie droit desupposer deja adjointes les racines de ctP = 1 qui dependent de radicauxd'ordre inferieur et, des lors, les racines de rP = A sont toutes exprimablesrationnellement par une seule. D'ailleurs, si l'eq. rP = A ne restait pasirreductible et si r q + &c ... - H = 0 etait un de ses facteurs les racines dece facteur donneraient par leur produit ctl'r· ct"r = H, r q = H, en sorteque l' serait une racine de degre q, non de degre p comme on Ie suppose.Ainsi, [Fol. 261] s'en tenant au degre p premier, les theoremes ci-dessuss'appliqueront a ce mode d'adjonction.Par une suite d'adjonctions de radicaux de degre 1f..!:.l'eq. f(x) = 0 finitpar s'abaisser du degre n (que je suppose premier) a un degre moindre.Soit l' = {fA Ie radical qui produit cet abaissement, p ayant la plus petitevaleur possible, en sorte que I'abaissement n'aurait pas lieu en adjoignantct, racine de ctP = 1, et qu'apres cette adjonction de ct, l'eq.eq.!?!!. e = A reste [rait] irreductible - Soit f(x,r) Ie plus [petit] facteur(quand au degre en x) de f(x); f(x,r') = f(x, ctr), f(x, ct2r) ... enseront d'autres et seront premiers entr'eux, sans quoi Ie commun diviseurde deux fournirait un facteur de degre moindre. Done f(x, r)f(x, 1") ...fait un diviseur de f(x), et etant rationnel sans I'adjonction de I" = f(x),done f(x) = f(x, r)f(x, 1") ... f(x, r(p-I)). Done si i est Ie degre de f(x, 1'),ip = n; done, pour n premier i = 1, p = 11. Pour 11 compose p divise 11.Ainsi pour p premier l'eq. on s'abaisse en une seule fois au 1er degre.Mais alors V s'abaisse aussi au 1 er degre. Done V etait auparavant dedegre n. Les adjonctions precedentes avaient deja reduit a n son degreprimitif m. Ces adjonctions peuvent se reduire a celie d'une seule quantitedependant rationnellement des radicaux adjoints et les exprimant rationnellementa son tour.Dans la derniere eq. en V (de degre n premier), les racines ne peuventetre que V,ipV,ip2V, ... ,ipn-I V et ipnv = V; ipV est rationnelle en Vdes Ie commencement, avant toute adjonction on a Xo = '\(V), et on nepeut avoir '\(V) = '\(ipV); car il en resulterait Xo = ~('\(V) + '\(ipV) +... + '\(ipn-Iv)) = quantite rationnelle avant d'adjoindre l' = {fA. Dont'\(ipV) = XI,'\(ip2V) = X2,'\(ipn- I v) = Xn-I -on voit que Ie derniergroupe de l'Eqon ne renferme que des permutations tournantes.Mais, 1° on passe d'un groupe a l'autre par une meme substitution,savoir en changeant V en V', et les substitutions sont les memes danschaque groupe. Cela resulte de la double forme [fol. 262],.r(V) F(V, t)F(V, tI)F(V, t2)" .F(V, t)FI(V, t)F2(V, t) . ..Soit done Xk,Xf(k) la permutation par laquelle on passe du ler groupe ausecond. Le second groupe sera

Appendix II 761Xf(O),Xf(1),Xf(2),·.·,Xf(k),···X f(l), X f(2), X f(3), ... , X f(k+1), ...X f(i), X f(i+ 1), X f( i+2), ... , X f(i+k), ...Mais les substitutions doivent etre eelles du ler groupeDone Ie second groupe deduit par ee second moyen doit etreXf(O), Xf(l), Xf(2),···,xf(k),···Xf(O)+l, Xf(l)+l, Xf(2)+1,···, Xf(k)+l,···, Xf(k)+/Done f(i + k) revient it f(k) + I; I depend de i, non de kf(i) = f(O) + I, f(2i) = f(i) + I = 2f(0) + I, f(3i) = 3f(0) + IJ(Jli) = Jlf(O) + l,f(k) = ktJP + I, f(k) = ak + b. Ainsi, il n'y a que despermutations lineaires [fo1. 263].Autrement, Xo = "\(V), Xl = ..\(

762 Appendix IIsoit Xo = A(V),XI = A(r,oV),&C' Changeant V en wV,Xo se change en A(WV) = Xa = A{r,oaV)XlA(r,oWV) = A(Wr,obV) = A(r,oa+bv) = Xa+bX2A(r,02WV) = A(wr,02b V) = A(r,oa+ 2bV) = Xa+2bXn-l= Xa+(n-l)bEn general Xk en xa+bk. ou, si l'on veut, Xak+b comme ci dessus -qu'il y a deux marches bien differentes a suivre.On voit1 0 si tout ce qui precede a lieu, en se donnant deux des racines, on sedonne visiblement toutes les autres. En effet, si on veut que Xo = A(V) soitune eq. satisfaite, on ne peut prendre que Xk, Xak, et alors, pour k differentde zero, Xk change de place. Donc, si on donne en outre Xl = A(r,oV), iln 'y aura qu 'une [fol. 264] seule racine V qui reste possible, et X2, X3, ...s'expriment par, Xo et Xl, rationnellement - Mais la reciproque? Si lesracines dependent de deux XO,XI, l'eq. en Vest au plus de degre n(n -1).Soi t m son degre. Soit X = A(V) une des racines de f(x) = O. L'eq.II[x - AV] = (x - A(V))(X - A(V')) ... = 0 n'a que des racines appartenantaf(x). Donc II(x-AV) = f(x)1-l et m = niJ. iJ est ~ n-l. Maison voit quem est divisible par n. - II y aura iJ facteurs X - A V pour lesquels Xo = A V,iJ pour Xl, X2, ... Et, de meme, si on avait pris Al V qui exprime Xl au lieude A(V),&c. Et les racines qui donnent Xo = A(V) = A(Vt} = ... sont (a lal ere pres) differentes de celles qui donnent Xl = AI{V) = AI{V') = ... , carsi V' = VI, Ie changement de V en VI ou V' = VI laisserait deux racines ala me me place, toutes par concequent, et on aurait V = fonet (xo, xd = VIce qui est absurde.Ainsi iJ - 1 racines pour lesquelles Xo ne change pas, puis (iJ -1) pourlesquelles Xl, ne change pas, &c en mettant ces racines a la place de V. Dela, n(iJ- 1) + 1 permutations ou une des racines garde sa place. Mais celan'epuise pas les racines V ou les niJ permutations du groupe. II y a doncdes permutations pour lesquelles toutes les racines changent de place.Soit r,oVune de ces racines, Xo = A{V) devient A{r,oV) quej'appelle Xl,puis A(r,02V) = X2, ... jusqu'a A(r,os-IV) = X,_l, A(r,o'V) = Xo. Mais alorsr,o'V = V, sans quoi Ie changement de V en r,o' V, laissant 2 racines xl, X2 alameme place, y laisserait toutes les autres et, de la, r,o'V = f( . .. Xo, xd = V,puisque Ie changement de V en r,o'V dans V = f.R.{ Xo, xI) ne changepas les seconds membres. D'ailleurs si A{V),A(r,oV), ... A{r,o,-IV) [fol. 265]n'epuisaient pas les n racines x, ces n racines se partageraient en groupesd'un nombre egal de racines, ce qui est impossible, n etant premier. Aussi,s = n et Xo = A(V), Xl = A(r,oV), ... , Xn-l = A{r,on-I{V)).

Appendix II 763Maintenant soit X1

764 Appendix II[Fol 280] On passe du 1er groupe au 2eme par une seule substitutionoperee dans les permutations du 1erXo = A(V), Xl = Al (V) ...1 er groupe Xo = Ak(

Appendix II 765Dans ce cas, on a a la foisF(V) = I(V, r)!t(V, r) ... In-I(V, r)F(v)q = I(V, r)/(V, r') ... I(V, r(P-I))II y aura donc q racines egales a v & en posant I(V, r)/(V, r') ... I(V, r(p-l))? 0 Mais chaque facteur I(V, r) ne peut avoir que des racines inegales. Voilace qu'on voit d'abord mais approfondissons la chose.[Fol 282] Soit V, rpV, .,pV, ... les racines de I(V, r) = O. Soit wV une racineV' de I(V', r') = O. On a donc I(w V, r') = 0 et w Vest absolument rationnelle.Maisl(rpV, r) = I(V, r)Q(V, r).Doncl(rpV,r') = I(V,r')Q(V,r')equation identique en V, de sorte quel(rpV', r') = I(V', r')Q(V', r').Donc, si I(V', r') = 0, l(rpV', r') = aussi zero, de la les racines V', rpV', . ..inegales, car si rpV' = .,pV', comme les fonctions rp,.,p sont absolumentrationnelIes, rpV = .,pV contre l'hypothese.Donc I(V, r) et I(V, r') ne peuvent avoir une racine commune sans etreidentiques. II y aura donc q facteurs egaux a I(V, r), q aut res differentes deceux-Ia et egaux aI(V, rd, ... jusqu'a I(V, rn) et par suiteF(V) = I(V, r)/(V, rt} ... I(V, rn)oil. r, rl,"" rn sont n racines de I'Eq.on irreductible de degre p = nq -Ainsi deux decompositionsetF(V) = I(V,r)!t(V,r) ... In-I(V,r)F(V) = I(V, ")I(v, rt} ... I(V, rn)en n groupes. - La discussion de ces deux decompositions ressemble a celIeci-dessus.[Fol 283] Ainsi quand il y a decomposition du groupe, ce groupe se diviseen n autres appartenant soit a n facteurs relatifs a une racine r adjointe,soit a n racines r, rl, ... , rn. Et les autres racines r', r," ... ne feraient quereproduire ces n groupes si on voulait les employer.Dans la derniere decomposition, considerez deux des groupes partiels etvous passerez du ler au second en operant dans toutes les permutations duler une seule substitution.Dans la premiere decomposition, considerez successivement les diversgroupes partiels et vouz verrez que tous contiennent les memes substitutions.

766 Appendix IISi les decompositions coi'ncident, la decomposition est dite propre et lesgroupes partiels jouissent a la fois des deux proprietes indiquees.Adjoindre toutes les racines peut se ramener a adjoindre une racined'Eq.on irreductible dont les racines s'expriment rationnellement I'unepar l'autre et dont r &0 dependent alors rationnellement. Et alors, lesdecompositions doivent colncider.[Fol 284) So it t racine d 'une Eqon irreductible dont r, r', ... dependentrationnellement, et t', t ," ... autres racines aussi.Adjoignons t. De laF(V)etf( V, t)/I (V, t) ... f. (V, t)f(V, t)f(V, td··· f(V, t._ 1 )Or, si f(V, t) est Ie plus petit facteur rationnel possible, comme adjoindretest aussi adjoindre t',t," ... , voila deux decompositions rationnelles en tet a facteurs premiers. Donc, l'egalite doit avoir lieu facteur par facteur etles deux decompositions cOincident. Donc &cII est donc bien vrai qu'il y a une grande difference entre adjoindre uneseule racine d'une equation irreductible ou les adjoindre toutes.

Appendix IIIThe sketch of contents of Liouville's course on rational mechanics at theFaculte des Sciences 1864-1865. [Ms 3626 (1) p. 14r-21r).After the number of each lecture, Liouville has written the day and dateas follows:l ere Le~on (Mercredi 23, 9bre 1864)I shall leave out these dates. Otherwise I shall quote Liouville's planverbatim.1. Notions preliminairesFaculte des Sciences1864-1865 Mecanique rationnelle(Les mercredis et vendredis it lOh)1 er Semestre; puis 2eme Ie 15 Mars 18652. Composition des forces concourantes3. Forces paralleles4. Suite des forces paralleles. Remarques diverses5. Con position des couples. Conposition generale des forces6. Remarques generales sur la composition des forces - Cas d'uneresultante unique7. Developpements sur ce qui precede8. Centre de gravite, centre de masses, notions generales9. Suite sur les centres de gravite10. Suite sur les centres de gravite11. Fin des centres de gravi te - Theoreme de Guldin12. Attraction d'une couche spherique homogene sur un point exterieurou interieur

768 Appendix III13. On commence Ie polygone funiculaire14. Suite - Ponts suspendus15. Courbes funiculaires. Equations de la chainette16. Proprietes geometriques de la chainette17. On commence a s'occuper du principe des vitesses virtuelles18. Suite du meme sujet19. Fin des vitesses virtuelles20. Fin de la Statique et commencement de la Dynamique21. Formules pour Ie mouvement rectiligne d'un point materiel22. On commence a s'occuper du mouvement curviligne23. Suite du mouvement curviligne24. Point materiel mis sur une surface don nee ou sur une courbe don nee25. Exemples de mouvements - Mouvement uniforme sur un cercle -Mouvement produit par une force centrale proportionnelle a la distance26. Principe des aires - Force centrale - Consequences des lois deKepler27. Mouvement autour d'un centre fixe, la loi d'attraction etant -/!228. Loi d'attraction J~,m, et considerations sur Ie systeme du monde29. Principe de d'Alembert et sa combinaison avec Ie principe des vitessesvirtuelles - Principe du mouvement du centre de gravite dans unsysteme libre - Et a cette occasion, question du choc direct dedeux spheres homogenes sans eJasticite, ou parfaitement elastiques(ce dernier cas traite a part, bien entendu) - Perte de force vivesdans Ie cas des corps non elastiques (mais il y a ici a souligner dequeUe force vive on entend parler; tout cela exigerait plus de detailsqu'on n'en donne d'ordinaire)30. Principe des aires &c31. Forces vives - Eqons de la Dynamique rapportees a une originemobile, centre de gravite ou point se mouvant en ligne droite avecune vitesse constante, &c

Appendix III 7692eme Semestre32. Mouvement apparent sur la surface de [la] terre, &c - no us voila ausecond semestre. Passons done a la seconde partie de notre cours etaux questions d'examen ([in margin]: Mort de Mr. Beugnot [?])22. Nous revenons en detail sur Ie mouvement rectiligne - Les premiersexemples a l'ordinaire. ([in margin]: Mort de Me Blin [?] mere de lamere de Bertrand)34. Chute des corps pesants en ayant egard a la variation de la pesanteuret mouvement ascensionnel35. Suite et fin du sujet precedent. Mouvement dans l'interieur de la terresupposee homogene36. Corps attire par deux centres fixes - Montee d'un corps en ayantegard a la resistance d'un milieu37. Chute d'un corps pesant dans l'air - Mouvement d'un point materieldans un tube qui tourne sur un plan horizontal ([in margin]: Mort deM. Ary [?] (de Toul), Mort de Richard Labden [?] ne en 1804)38. Oscillations du pendule dans Ie vide39. Pendule simple dans un milieu resistant ([in margin]: Mort de Mr.Gillet [?] de Nancy)40. Oscillations d'un corps pesant sur une courbe fixe - Cyclo·ide, tautochronisme,meme dans un milieu qui resiste d'apres la simple vitesse41. Synchrones d'Euler, &c - Pression sur la courbe pendant Ie mouvement,&c - On commence Ie pendule spherique.30 avril 1865 je re~ois une lettre de faire part de la mort de Mr Edine[?] - Joseph Millot, beau pere de Delaunay ...42. Suite du pendule spherique - Projectiles dans Ie vide, en negligeanttoujours la force centrifuge composee43. Projectiles dans un milieu resistant - ou dans Ie vide en tenantcompte de la force centrifuge composee44. Deviation a l'Est des corps tombant suivant la verticale, et a l'ouestdes corps lances suivant la vertic ale - Rappel du probleme desplanHes. ([in margin]: J'apprends la mort de Marie Catalan a Liege)45. Suite des planHes - r = a(l - e cos u), tan ~O = J~ tan ~u

770 Appendix III46. Fin des planetes - Mouvement d'un corps soli de autour d'un axe fixe- On commence it parler des moments d'inertie ([in margin): Mortde mon onele Vincent (it Toul))47. Suite des moments d'inertie axes spontanes de rotation &c. Proprietesmecaniques et geometriques48. Dernieres remarques au sujet des moments d'inertie - On revient aupendule compose, puis on s'occupe du pendule balistique (il y aurait revenir sur Ie pendule compose) ([in margin): Mort d'une des fiUesde mon cousin Gerard ... )49. Apres quelques mots sur Ie pendule on commence it s'occuper despercussions ou impulsions d'un point de vue abstrait. ([in margin):Mort de Geruser)50. Rotation d'un corps solide autour d'un point fixe - Composition desrotations51. On continue it s'occuper du mouvement d'un corps solide autour d'unpoint fixe52. Suite du sujet53. Eqons d'Euler - Corps solide libre - Stabilite de l'equilibre54. Quelques developpements sur la cyelo'ide [calculations of the Brachistochrone)- On commence l'hydrostatique55. On continue l'hydrostatique (et on parle meme de considerations plusgenerales) - Cas particulier des fiuides pesantes56. Suite de l'hydrostatique57. Notions d'hydrodynamique - Fin du CoursExamens de licence, Ecole normale, 2eme annee. Je suis convoque pourIe jeudi 6 juillet it 8h , vendredi et samedi, avec MM Haton et Briot. Maisau lieu de Haton, Delaunay.

NotesNotes to Chapter II1. M. Cauchy reunit la majorite des suffrages et est nomme membre duBureau. La nomination sera soumise it l'approbation du roi.2. Le president depose l'ordonnance du Roy par laquelle la nomination deMr Liouville est confirme. Mr Liouville sera installe appres la formalite duserment voulu par la loi (ce sont les termes expres de la lettre d 'envoi duMr Ie Ministre de l'Instruction publique).Notes to Chapter III1. Mr Liouville entretient Ie bureau des recherches qu'il a faites sur uneclasse de quantites qui ne sont ni rationnelles ni reductible it des rationnellesalgebriques.2. Mr Beautemps-Beaupre analyse la conversation qu'il a eu avec Ie ministrede I'Instruction publique, au sujet de la position ou se trouve Ie Bureaudepuis la nomination non acceptee de Mr Cauchy. Mr Beautemps-Beauprea fait remarquer it Mr Villemain que la question doit etre tranchee par Iegouvernement. Le Bureau ne peut prendre it ce sujet aucune initiative.3. II ne lui [the president] appartient pas de rechercher les motifs qui ontempeche Ie gouvernement de statuer sur cette nomination, mais il accomplitun devoir en vous assurant, Mr Ie ministre, que l'etat actuel des choses nesaurait se prolonger sans un dommage reel pour les sciences astronomique.4. inviter Ie Bureau des Longitudes it proceder it une nouvelle designation(de geometre) la premiere (celie de Mr Cauchy) ne pouvant etre ratifiee, etdemeurant sans effet d'apres Ie refus du candidat de remplir une obligationprescrite par la loi.5. Mr Liouville parle de la decouverte qui a ete faite en Allemagne desmanuscrits mathematiques de Pascal que Leibniz avait fait copier et parmilesquels se trouve, dit-on, Ie traite des Coniques.

772 Notes6. Mr Liouville rend un compte verbal d'un memoire que Mr Delaunay sepropose de presenter a l'academie dans la prochaine seance sur Ie mouvementde la terre autour de son centre de gravite.7. Mr Liouville parle du memoire que Mr Jacoby [sic] a publie, en allemand,sur les inegalites seculaires. II voudrai que Ie Bureau Ie fit traduire.On pourrait apres, suivant la plus ou moins grande importance du memoire,I'inserer en totalite ou seulement par extrait dans la Connaissance desTemps.8. Mr Faye sera invite au nom du Bureau a traduire Ie memoire de MrJacoby sur les inegalites seculaires.9. Mr Leverrier signale I'interet du travail du geometre allemand, tout enfaisant remarquer qu'il faudra Ie reprendre entierement, a cause de I'actionde la nouvelle planete.10. On discute les propositions qui ont deja ete faites touch ant Ie nom adonner a la planete de Mr. Leverrier et en particulier Ie nom de Neptune.11. Mr Arago met sous les yeux de Mr Leverrier place en ce momentpres de lui, mais a titre seulement de communication officieuse et individuelle,une lettre imprime de Mr Encke iI. Mr Schumacher, dans laquelleI'astronome de Berlin donne Ie passage suivant comme tire textuellementd'une lettre que Mr Leverrier lui aurait ecrire en date du 6 octobre 1846.""J'ai prie mon illustre ami, Mr Arago, de se charger du soin de choisirun nom pour la planete. J 'ai ete eu peu confus de la decision qu'il a prisedans Ie sein de I'academie."Mr Leverrier preferant sans doute une explication officielle a une discussionparticuliere, 'lit a haute voix Ie passage ci dessus et declare qu'iln'a rien pu, qu'il n'a rien du ecrire de semblable. Je serais bHimable, a-t-ilajoute, si Ie passage rapporte etait de moi; mais j'ai conserve Ie brouillonde rna lettre, je Ie chercherai et I'on verra que mes paroles n'ont pas eterapportees fidelement.Mr Leverrier quitte la seance.12. Les directeurs des observatoires de Poulkowa et de Greenwich se sontdecide pour Ie nom de Neptune, apres avoir re

Notes 77315. Le Bureau, dans sa seance du 28 juillet dernier, avait pris la resolutionde donner a la planHe dont l'existence a ete signaIee par Mr Leverrier Ienom de Neptune, qui a prevalu aujourd'hui parmi les astronomes. II avaitarrete en outre qu'une note relative a cette deliberation serait inseree dansla Connaissance des temps pour 1850.Mr Leverrier par l'intermediaire de Mr Beautemps-Beaupre demande auBureau qu'il soit ajoute a cette note les mots suivants:Mr Leverrier n'etait pas present a la seance."16. Mr. Liouville rend compte d'une belle theorie de l'electricite et dumagnetisme publiee par un Mr. Green. Le merite de cette theorie paraltn'avoir pas ete reconnu du vivant de l'auteur.17. M. Liouville parle d'un theoreme sur l'attraction qu'une couche eIectriqueen equilibre exerce sur un point exterieur place tres pres de la surfacede cette couche; ce theoreme que Poisson dans ses memoires sur l'electricitedonne comme etant de Laplace, se trouve deja dans les Memoires de Coulomb(Mem. de l'acad des sciences pour 1788). Cette remarque a ete communiqueea Mr. Liouville par un geometre anglais, Mr. William Thomson.M. Liouville annonce que des recherches etendues sur la theorie de l'electriciteont ete entreprises par Ie me me geometre.Notes to Chapter IV1. La seance n'etant pas encore ouverte, Mr. Cauchy est entre dans la salledes seances sans avoir prevenu personne, et a signe la feuille de presence.Mr. Cauchy etant etranger au Bureau des Longitudes, Mr. Ie presidentl'a engage a se retirer, et, avec l'assentiment unanime du Bureau, a rageson nom de la feuille de presence.2. Mr. Liouville insiste pour que dans la lettre qu'il doit adresser au MinistreMr.le Tresorier du Bureau fasse resortir la difference qui existe entre lasomme ordonnancee pour les traitements du Bureau et la somme reellementpercue.3. A l'occasion d'un memoire lu recemment a l'academie des sciences parMr. Cauchy MMr. Poinsot et Liouville posentent quelques considerationssur la nature des fonctions ainsi que sur celIe des differentielles et desintegrales qui y sont relative.4. II est question d'un memoire ou Mr. Cauchy donne une expressionanalytique de la dispersion. Mr. Liouville rapelle que la condition physiquede la dispersion d'apres Fresnel est que Ie rayon de la sphere d'activite desmolecules de l'ether doit etre comparable a la longeur de l'ondulation, ...

774 NotesNotes to Chapter V1. M. Arago propose au Bureau Mr Ernest Liouville comme candidatstagiaire au titre d'Eli~ve astronome de I'observatoire de Paris.Cette proposition est sou mise a I'approbation du Bureau. II y a 8 votant,Ie scrutin donne 8 bulletins portant Qui. [Po V. Bur. Long. July 28th 1852)2. M. Liouville donne quelques details sur les travaux de Mr Bienaymerelatifs aux caleul des probabilites et en particulier sur un application qu'ila fait de la methode des moindres carres au caleul de la probalite de I'erreurde la masse de Jupiter determinee par MMr Laplace et Bouvard. Mr. Bienaymea fait voir que la formule don nee par Laplace pour cet objet etaitI faute defautive I en ce qu'elle donnait la probabilite de la masse commesi cela etait la seule inconue du probleme. [Po V. Bur. Long. January 28th1852)3. M. Liouville entretient Ie Bureau d'un probleme relatif a la fixationla plus probable d'un point determinee par la rencontre de trois droitesmenees par trois points donnes de position suivant des directions egalementconnues. [Po V. Bur. Long. August 11th 1852)4. A I'occasion de la derniere opposition de Neptune, Mr Liouville insistepour que I'on cherche si les observations de cet astre continuent a donnerun grand axe d'a peu pres 30 et differant ainsi de 1/6 de celui que Mr LeVerrier avait adopte hypothetiquement pour en faire les [bases ?) de sescaleuls. [Po V. Bur. Long. September 11th 1852)5. A l'occasion du nouvel astero·ide decouvert par Mr Hind, on rapellel'hypothese si connue d'Olbers, qui fait resulter ces petits corps de l'explosiond'une planete circulant autrefois dans la region compris entre Marset Jupiter. MM Biot et Babinet citent ace sujet un theoreme de Mr Leverrieren vertu duquel aucun astre de masse tres petite ne pourrait dans cetteregion conserver sous I'inftuence perturbatrice de Jupiter et de Saturne uneorbite peu excentrique et peu inclinee a l'ecliptique.M. Liouville fait observer que l'analyse de M. Leverrier dont on parlerepose sur des bases inexactes et sur une approximation mal or don neepour Ie cas tout particulier qu'on discute ici et auquel Mr Le Verrier acru pouvoir l'etendre. C'est ce qu'on peut voir sans caleul par Ie resultatmeme, et a l'aide d'un raisonnement tres simple. "Mais," ajoute M. Liouville"on pourra traiter la question par des formules rigoureuses, car je mesuis assure que les equations differentielles similaires, relatives au caleuldes inclinaisons mutuelles des orbites de trois planetes qui se troublent etpour lesquelles les excentricites sont tres petites et les inclinaisons quelconques,peuvent toujours s'integrer quelles que soient les masses des troisplanetes. L'integration n'en devient de plus facile quand une des masses estinsensible. C'est par ce cas simple que j 'ai commence mes recherches dont

Notes 775Ie champ s'est ensuite etendu, et j'en ai fait l'objet d'un memoire que ladiscussion actuelle m'engagera it presenter au Bureau un peu plus tot queje ne me proposait de Ie faire." [Po V. Bur. Long. December 22nd 1852]Notes to Chapter VI1. M. Liouville communique au Bureau un theoreme relatif it la theoriedes nombres: Ie theoreme est Ie suivant:Soit l'equation 4m = i 2 + 3i,2 dans laquelle m designe un nombre inpairdonne, i et i' deux entiers in determines egalement impaires. Consideronsl'ensemble de toutes les solutions de l'equation en question et designons parL: i2 et L: il2 la somme de tous les nombres i2 et celle de tous les nombresi,2 respectivement associes: on auraLi 2 > L i,2et L i 2 < 9 L i,2Chacune de ces inegalites peut dans certains cas tres-particuliers se changeren egalite.M. Liouville a obtenu un grand nombre de resultats du meme genre, qu'ilse propose de publier prochainement. [Po V. Bur. Long. January 21st 1874]2. une discussion s'engage entre M. Liouville et M. Le Verrier qui tient itce que Ie materiel du Bureau soit mis en harmonie avec les attributions deses membres.Notes to Chapter VII1. In fact, Ampere divided the above fact into two separate facts so thatthe following is called fact 2 in the lecture notes. However, I have preferredthis numbering in order to facilitate a comparison with Ampere's book andLiouville's papers.2. Ampere gave no argument to support his claim that the dependence ofr must be proportional to /n with the same n as above. In fact, Liouville[AC AL Ms 2] wrote kii/~td.' at first, but when combining the two formulashe set the k in ric equal to n.3. In fact, Fourier worked with the specific heat per unit mass Cm , butin order to compare his formula with Poisson's, as Liouville did, I haveused the specific heat per unit volume Cv instead. They are related by theequation Cv = Cm D where D is the density of the material.

776 Notes4. Laplace's function cp is obtained from P by integrating P along a horizontalplane of figure 13. This explains why Laplace found the factorJ s2cp(s)ds and Poisson the factor k = J s4P(s)ds.5. Dulong and Petit measured the heat exchange in a vacuum betweena mercury-thermometer and its surrounding container. The container waskept at a constant temperature Uo of 0° (or 20°,40°,60°,80° C) while thetemperature of the thermometer decreased from 300° C to 0° C. Theyinterpreted the results as a proof that the heat exchange was proportionalto aU - a Uo = aU - 1. Stephan-Boltzmann's law predicts a heat exchangeproportional to T4 - Ti = T4 - 2734 . In the figure are shown the graphsof T4 - 2734 and 1010(a u - 1). If I had drawn 1.15· 1010(a u - 1) instead,the two curves would have been almost indistinguishable.Figure109 LU~~~~~-L-L-L~~J-~L-L-L-L-~_a 100 200 300 °c273 373 473 573 OK6. Poisson had earlier worked with the diffraction of light according toFresnel's wave theory and had in 1819 predicted the famous "Poisson'sspot" [Arnold 1981 p. 29].7. In the earlier memoir [AC L Ms 4] is inserted a small note by Poissonwhere he states that he returns Liouville's memoir with a few comments.Thus Poisson had already read Liouville's ideas in an earlier version, butthe very few comments in the margin suggest that he was not as criticalthe first time he saw them.8. In [1832a], Liouville illustrated the use of fractional calculus to analysemicroscopic elementary forces, but the mathematical method was theprimary subject of the paper.

Notes 7779. The memoir is not in the file of the meeting and a correspondencein Liouville's personal file in the Archive de /'Academie des Sciences bearwitness to earlier unfruitful attempts to find it.10. Either by inserting a power series with arbitrary coefficients into theequation or by applying the successive approximation procedure from [Liouville1830], cf. Chapter X formula (72).11. This is the so-called problem of moments. Monna [1973 p. 48] writesthat "the connection of this problem with the theory of probability waspointed out by the Russian mathematician Tchebycheff." As a matter offact, Laplace had already seen this connection.12. This step is all right here according to Lebesgue's theorem of dominatedconvergence.Notes to Chapter VIII1. Note presente par M. Liouvilleyo T p xOx horisontale, Oy verticale. - On demande que, quel que soit Ie pointde depart M d'un mobile pesant 1° Ie temps du transport de M en M'soit constant 2° l'exd~s du temps employe it descendre sur Ie temps employeit montrer soit proportionnel a la difference MT - M'T' des tangentsextremes.Solution. Soit OM = s, OM' = s'; on trouveA, B, n sont des constantes quelconques.N.B. On obtient ces formules par Ie calcul des differentielles it indicesquelconques; Ie developpement en series indique par Mr Poisson pour Ieprobleme des tautochrones n'y conduirait pas. [Po V. Bur. Long. February28th 1844].

778 Notes2. There are two more notes connecting the theory of heat and the fractionalcalculus. In the first [3615 (3) p. 57v) from June 1832, Liouvilleexpressed the heat equation "supposing the law of action at a distance= e-rrl'-l" as a fractional differential equation. The second, dated December31st 1838, runs as follows:Let d!u = dudt! dxso that ~~ = ~:~ .&c. application of the methods ... of diff. of arbitraryindex. [Ms 3616 (3) p. 5v)This is perhaps an attempt to solve the one-dimensional heat equationby way of the fractional calculus. However, the transformation is wrong.Gregory [1841) and later Heaviside [1893-1912) (cf. [Liitzen 1979]) solvedthis equation by operational techniques, which also use fractional calculus.3. This integral only converges if Re v > O. Otherwise one has to use thedefinitionIIf() 1 d m jX )m-II-1 ()deDx x = r(m _ v) dxm c (x - t f t twhere m is an integer greater than Re v. It is easy to see that this expressionis independent of m.4. A third proof of the expandability can be found in a note from April1832 [Ms 3615 (3) p. 42v) where Liouville based it on Cauchy's integralformulaf(x) = ~ J" ~f(x) dp where x = X eP..r-Y, Ixl < X27r - .. (x-x)To this end Liouville insertedand__ -- = _1 100x - x 0ea(x-x) drx-for Re(x - x) < 0_-- 1 = 100e-a(x-x) - drx for Re(x - x) > 0x-x 0(cf. (28)) into Cauchy's formula and obtained an expression of the formwhich is also an exponential "series."Cauchy had found his integral formula the previous year and had onlyjust sent a proof of it to the Academie on March 5th 1832. It was containedin the Extrait du mbnoire presente a l'Acadbnie de Turin Ie 11 octobre1831. [Cauchy 1824/1981)

Notes 7795. I do not know if these theorems correspond to true theorems in nonstandardanalysis.6. Following Liouville and Fourier I have written Fourier's formula withthe p integration inside the a integration. This order of integration is inadmissiblein clasical analysis but in distribution theory it is correct. As Ipointed out in [Liitzen 1982a, p. 112-115] Fourier intentionally used thisorder of integrationI:because he understood thatdpcos(px - pa) = 271" 8(x - a).I think that Liouville followed Fourier in order to compare his results directlywith Fourier's, and if he had thought of the problem he would probablyhave preferred to take the a integration first as Cauchy and Dirichlethad done.7. Ross [1977 p. 77] attributes this definition to Lacroix and calls it theLacroix-Peacock method. However, Euler explicitly stated this definition,except that he did not use the symbol r but wrote its integral representation.8. Ross [1977 p. 79] suggests that Liouville might have been quite awareof the restrictions of the exponential definition and therefore formulatedthe second based on (32). Since Liouville explicitly preferred the originaldefinition, this seems highly improbable to me. Moreover, talking aboutLiouville's two definitions, as Ross does, is slightly misleading. Liouvilleonly applied one definition but indicated two others.9. Here Liouville had n = -2i..Ji. He often returned to this equationfor various values of n : (-l,-*,l,-n etc.) Since there is in principleno difference between the various equations, I shall always refer to thegeneral equation (53) in the subsequent discussion, in order to facilitatethe comparison of the results.10. Pour integrer toute equation lineaire a coefficients constants ayant unesecond membre fonction de x on peut employer la methode suivante quiest generale quoique je prefere la demontrer d'abord dans cette note surun exemple particulier. Cet exemple une fois bien compris, il sera faciled'etendre notre procede a tous les cas possibles.Soit donc propose d'integrer I'equationd 1 / 3 y d 2 / 3 y dyAy + B dx 1/ 3 + C dx 2/ 3 + D dx = f(x) (1)dans laquelle A, B, C, D sont des constantes et f(x) une fonction de x avolonte.d 1 / 3 d 2 / 3 •Je pose dX17~ u; dX27~ = v, et Je trouve cette nouvelle forme del'equation (1)dyAy + Bu + Cv + D dx = f(x),

780 Notesd'ou je conclus par deux differentiations successives par rapport a x etrelativement a l'indice 1/3 les deux egalites nouvelles:lesquelles se simplifient en vertu des relations qui tient u et v a y: on a enresume par un calcul fort simple trois equations:Ay+Bu+Cv+D* = f(x)!JJL du _ d 1 / 3J(X)Au + Bv + C dx + D dx - d f l/3Av+B!JJL+Cdu +D dv = d"/3J(x)dx dx dx ----;J;;'iT3Or ces trois equations differentielles simultanees du premier ordre et aderivees entieres suffisent evidemment pour determiner u, v et surtout y.[Ms 3615 (3) p 9v-l0r]11. In [1832b, p. 84] Liouville found an example where limf··· is convergentwhereas f lim· .. is divergent. He even claimed to have found anothercase where they are both convergent but converge towards different values.This, however, is due to the erroneous belief that{'X; (e- ZX _1)dz for x> 0ioZis finite. In fact it diverges as log z at iufinity.(2)Notes to Chapter IX1. With the possible exception of one sheet found in Abel's notebooksafter his death; see Sylov and Lie's Apercu des manuscriis d'Abel conservesjusqu'li present in Abel's Oeuvres vol II p. 288.2. Let R be an arbitrarily given polynomial and let e be a polynomialwith the same roots as R. DefineThen P is a polynomial andP = (J' _ ~ R' (J .2 RPdx _ _Je_vR - VIi·3. [Ms 3615 (3)] has M±PfR instead of M±PfR. This is clearly aslip of the pen.

Notes 7814. Liouville in fact analysed the equationwith n = m, but from the context it is clear that he had the more generalequation (13) in mind.5. At the end of the argument Liouville found that R can be expanded:where z = (al + f31 Vii). He claimed that this is absurd if R only has simpleroots. However, since k can be a fraction, there is in fact no contradiction.6. In the Proces- Verbaux it is stated that the report was Signe d la minute:Lacroix et Libri Rapporteur. However, Poisson's signature also figures onthe original report in the file at the Archive of the Academie.7. According to Youschkevitch [1970-1980a] the thesis existed in draft asearly as 1843.Notes to Chapter X1. The technique of separating the variables by searching for solutions ofthe general form F(x)/(t) had been introduced by Fourier in [1822, §167].However, for simple equations like (5) both Fourier and his successors knewthe equation for /(t) and its solution so well that they immediately wrotedown the expression (9).2. Daniel Bernoulli also studied certain inhomogeneous chains and therehe found a solution which we recognize as a first-order Bessel function.3. To a modern reader d'Alembert's assumption ( = ef pdx for p(x) ERlimits the discussion to positive values of ( in which case only the first valueof A can be found. However, this argument does not apply to d'Alembertwho believed that log x = log(-x). In the letter considered here d'Alembert[1766 p. 250] gave a new argument for this standpoint based on the equation(11) for X constant.4. Here Fourier has left out one multiplicative constant. Another constanthas been determined from the implicit boundary value condition that u(x)is regular at x = O.5. Poisson did not use vector notation but wrote his equations in components.6. Sturm's memoir was presented to the Academie on September 28th1833 and not on September 30th, as is stated in [Sturm 1833a] and [Prouhet1856].

782 Notes7. The analysis of Sturm's memoir in [1833a] is written in the third person;thus it is not certain but is most probable that Sturm is the author.8. For L(x) f:. 0 in (39) Sturm found the functions of(41) to beJ ~dK(x) = e L\rT x9. Sturm formulated only one theorem (here called theorem E) in thewhole paper. In order to make this discussion easier to grasp than Sturm'spaper, I have formulated as propositions many of the properties proved bySturm.10. In the 1830's the concept of differentiability had not been introduced.Following Cauchy, the rigorists differentiated only continuous functions,but even continuity of V with respect to r is never questioned by Sturm.Liouville raised this question once, when he had obtained completely inadmissibleresults (cf. §54). In the following presentation I take for grantedsufficient smoothness in Vr as a function of r.11. Sturm did not argue in favour of such an ordering of the eigenvalues.However, it is a consequence of Liouville's expression for the asymptoticbehaviour of the eigenfunctions (96).12. In the last paragraph of [Sturm 1836b, section 9], Sturm claimed thatthe root x = f3 must be counted among the n - 1 roots of Vn . This mistakewas corrected in the Errata.13. Sturm did not question the interchange ~f integration and summationinvolved in determination of the Fourier coefficients Ci .14. I have set all the physical constants appearing in Liouville's paperequal to 1, and have from the start assumed the interval to be of the form[0, f3]. In Liouville's paper this simplification is made only in the last part.15. Liouville correctly deduced the orthogonality (60) [Liouville 1830,p. 179) but when he used it to derive the expression (64) for the Fouriercoefficients he forgot the factor g(x). [Liouville 1830 pp 179-180]16. In the first place Liouville's analysis shows only that Un behavesasymptotically like cos ":y'" x. This has m - 1 roots in (0,,,),), and since Un,according to Sturm's oscillation theorem, has n - 1 roots in (0,,,),), Liouvilleconcludes that m = n. Kline [1972 p. 1101] and Schlissel [1976/1977)counts this as one of the earliest uses of asymptotic series.17. Liouville wrote: "that the integral J; & dz has a finite value and canbe considered as equivalent to the sum of its elements." The last remarkno doubt means that the integral is not be taken in its 18th-century sense,as the opposite of the differential, but must be defined as a sum in the wayFourier and more precisely Cauchy had done. Liouville probably thought ofCauchy's extension of the integral to functions with isolated discontinuities.

Notes 78318. It is impossible to tell whether Liouville in [1836f] had forgotten theconvergence problems of the successive approximation and of the Fourierseries, which he had discussed in [1830], or whether he consciously postponedtreatment of these problems to the following papers. As Liouvilleexpressed himself in [1836f], he must have created the impression that hewas unable to reach Cauchy's standards of rigor, which he had earlier explicitlystressed. [Chapter III]When Sturm in [1836b p. 411] referred to Liouville's theorem he was kindenough to formulate it not as Liouville had done in [1836f] but as he oughthave done:the sum of the series [85], if this series is convergent, cannot failto be equal to f(x), for all values of x contained between 0' and(3.In [Liouville 1838h §35] Liouville formulated the theorem in this way aswell.19. Under the assumptions made in Liouville's first convergence proof[1836f] term-by-term integration is allowed since the Fourier series convergesuniformly.20. Sturm and Liouville built their conclusion on a development ofv,.II(r)in simple fractions (II( r) being defined by formula (4)).21. Liouville rejected the first deduction because it used the Taylor theorem.He explicitly referred to Cauchy's objections to this theorem.22. The argument works only because Vn has no double root. Liouville'scareful argument in [1836e p. 275] takes this fact into account.23. In secondary sources it is often claimed that Liouville proved Bessel'sinequality for the general Sturm-Liouville problem (1)-(3) (see e.g. [Kline1972 p. 716-717], [Birkhoff 1973 p. 276] and [Dieudonne 1981 p. 21]).Bessel's inequality states that00E C~ ~lf3g(x)f2(x) dx,n=lorwhere Cn are the Fourier coefficients and the orthogonal system Vn hasbeen normalizedJ: g(X)Vn (x)Vm (x) dx = bm,n'At the place referred to in the secondary sources [Liouville 1836d p 265]Liouville proves that ifUn(x) = L~=l Ci V;(x),l'n(x) = L~n+l CiV;(X),

784 Notesthenfrom whichNow it is true, but not pointed out by Liouville, that the right-hand side of(*) is equal to 2::7=1 C~, and so one obtains Bessel's inequality in the limitn = 00. Liouville himself made the following comment on (*):This last formula proves that the integral f: gu~ dx, howeverlarge you make the index n, can never have a numerical valuesurpassing the limit f: gf(x)2 dx with which it coincides whenn = 00.Thus for Liouville (*) was important because it is valid for a finite n,whereas Bessel's inequality has n = 00. According to Liouville the two sidesof (*) coincide for n = 00; this has made Kline [1972 p. 716-717] attributeParseval's equality to Liouville. For Liouville, however, the equality was asimple consequence of the expansion theorem, uoo(x) = f(x), and thereforehe did not consider it a theorem in its own right.The modern mathematician evaluates the inequality (*) differently fromLiouville because he knows that one cannot always take the limit inside theintegral sign whereas Liouville did not doubt the identityTo ascribe Bessel's inequality, and particularly Parseval's equality to Liouville,therefore, is an overinterpretation, at least when only his work onSturm-Liouville theory is taken into account. In Chapter XV §§36-37 Ishall show that these theorems obtained a central place in his unpublishedwork on a certain type of integral operators arising in potential t.heory.24. In the very first note in the first notebook [Ms 3615 (1)] Liouvillewrote S- + rV = 0, d;~'+ r'V' = 0, and tried without success to find anexpression for (r- r') f VV'. Next to this calculation he successfully carriedout the corresponding calculation for ~:~ + rV = 0. Most of the notes in[Ms 3615 (1)] seem to stem from around 1830, but the above mentionednote is probably from a later date.25. In this note Liouville had only treated the equationV(3)(X) + G(r,x)V(x) = 0.

Notes 78526. Liouville also tried a related method in notes from February 8th-10th,March 8th, and August 5th, 1838 [Ms 3615 (5), 3616 (2)). It consisted instudying solutions V of (138) of the formV=UW'-WU',where U and Ware solutions to the adjoint equation with suitable boundaryconditions. The investigations end without result.27. Liouville wrongly wrote An = -Vn(a).Notes to Chapter XI1. See Todhunter [1873) for the respective merits of Legendre and Laplacein the theory of attraction.2. Todhunter [1870) has discussed Ivory's paper [1838) in detail and haspointed out several other weaknesses. He has even found an error in Ivory'scorrecting note [1839). A list of Ivory's many articles on rotating fluids canbe found in [Todhunter 1873, II §§1416-1417].3. Liouville's formulas include the mass and the density of the fluid, sothat the dependence of these quantities can also be inferred. This is forexample of importance in the discussion of the behaviour of a star when itis slowly cooling off (see [Poincare 1885 and 1902]).4. See [Oppenheim 1919, §§19, 20) for the difference between static andkinetic equilibrium.5. Oppenheim [1919, footnote 100] attributes the formula (16) to Liouvillebut explicitly states that Liouville did not discover the additional term in(17). He probably learned about Liouville's formula from Liapounoff [1884,§7) and misunderstood his remark about another missing term.6. The exact formulation of [Ms 3617 (2) p. 78r) can be found in [Liitzen1984b] note 13.7. In the manuscript Liouville initially multiplied by Yn and integratedover the sphere. However, he crossed out all the Yn's and wrote Pn instead.Today Pn is usually considered as a function of one variable but Liouvilleclearly thought of a function of the two spherical coordinates 0, cpo Moreover,the following argument uses the completeness of the functions Pn .Therefore one can conclude that Liouville thought of the system consistingof Pn(cosO), P;:'(cosO)cosmcp and P;:'(cosO)sinmcp (1 ~ m ~ n), whichI have abbreviated as P;:'. Considering this system is equivalent to consideringthe Yn's sincenYn(O, cp) = AO,nPn(cos 0) + L (Am,n cos mcp + Bm,n sin mcp)P~(cos 0).m=l

786 NotesAn argument similar to the one leading to (29) can be found in §29.8. In [Ms 3616 (3) p. 43v], which must be earlier than [Ms 3617 (2) p. 78]Liouville took the variation of the quantity in (18) under the single condition(23). He concluded:is not a constant, one is not at the minimum. Thus the"If g( + II (' ~Wlminimum gives (at least if there is one)Jr [(' dw'i -X- =g(+C... All this seems very tricky."He probably could not prove the existence of a minimum and thereforeintroduced the condition (22).9. Since Liouville in dealing with the stability coefficients used two differentnotations, Lame's and the notation used by Laplace and Jacobi, itis convenient to derive the translation of some of these expressions. Thetranslations are all based on the identities (47):p2 = k~, p2 _ b2 = kr, p2 _ c2 = k2.Formula relative to R3 = Jp2 - c2 :[00 k2 da27rklk io (a + P)H= 27rJ(p2 _ b2)(p2 _ c2) [00 (p2 - c 2 ) daio (a + p2 - c2)J(a + p2)(a + p2 - b2)(a + p2 - c2)Now substitute p,2 = a + p2,2p'dp' = da. Then we getThusSimilarly we get:Formula relative to R4 = p2 _/2:(**)

Notes 787Formula relative to R5 = p( V p2 - b2):4 R 5 S 5 V(p2 - b2)(p2 - c2) _ 2 k kk2k2 foo da7r 5 - 7r 1 1 2 Jo (a + kD(a + knH'(*** )10. By note 9 the equilibrium condition (10) can be written in the compactformThis was explicitly remarked by Liouville in [Ms 3617 (4) p. 29].11. On p. 64 of [Ms 3617 (4)] Liouville finds some of the Lame functionsof third degree, among others the critical quantity R 15 (71), but he doest I I t RS .no ca cu a ethO2 n +l' In IS case.Notes to Chapter XVI1. Mr. Liouville a examine que serait Ie mouvement d'une lune que Mr.Laplace avait place de telle sorte qu'elle restait toujours opposee au soleil.D'apres Ie resultat general que Mr. Liouville a trouve Ie result at du mouvementen question (position en ligne droite du soleil de la lune et de laterre) ne serait pas stable; la moindre perturbation apporterait aux positionsrelatives des derangements considerables et fort rapides.2. Mr. Liouville communique les resultats d'un calcul relatif it l'augmentationd'amplitude que presenterait dans ses oscillations tres petites un penduledont la longueur irait sans cesse en diminuant. En appliquant sesformules it la Lune, dans Ie but de rechercher si (comme on l'a cru) la librationde cet astre pourrait it la longue devenir sensible par suite d'un changementdans les dimensions de cette astre produit par un abaissement dans latemperature. Mr Liouville trouve que en partant de donnees d'une grandeurexageree et apres des millions d'annees, la libration ne serait aggrandie qued'une petite fraction de sa valeur actuelle, laquelle est insensible.3. Mr Liouville pense qu'un calcul des perturbations qui pourrait ne pasetre tres long s'il etait convenablement dirige augmenterait beaucoup lacertitude des resultats obtenues.4. On parle du calcul des refractions astronomiques dans lequelles geometresont coutume de supposer l'atmosphere dans un etat d'equilibre moyen.Mr Liouville annonce au Bureau qu'il s'occupe d'un travail que peut etre[?] jeter quelque jour sur la question, dans Ie cas d'une atmosphere agitee.5. Mr. Arago parle d 'un memoire sur les refractions astronomiques presentesa l'academie par M. Robert Lefebre. A cette occasion Mr. Liouvilleannonce qu'il a trouve une demonstration nouvelle du theoreme de Mr.

788 NotesBiot sur les refractions pres de I'horizon et d'une equation aux differencespartielles qu'il ont dej a donnee et qui comprend ce theoreme comme casparticulier. La demonstration nouvelle ne suppose pas qu'on ait I'expressionde la refraction. La methode s'etend avec des modifications convenables itun atmosphere quelconque: on a meme des resultats d'un genre semblablepour toutes les problemes de Mecanique ou I'integrale du force vives a lieu.6. Mr. Liouville annonce que la methode dont il a entretenu Ie bureaudans une presedente seance, est plus generale encore qu'il la pensait; iln'est pas necessaire que I'integrale des forces vives ait lieu, pour qu'elle soitapplicable. Elle s'etend it toutes les cas.

BibliographyUnpublished Manuscripts and Other ArchivalMaterialAcademie des Sciences (Archives)AC AL Ms 1. Cours de physique mathematique. CollCge de France. MEAmpere prof. 1826-1827. J. Liouville E. de l'E.Po. 122 pp. Liouville'snotes from Ampere's lectures. Papiers de A.M. Ampere, Cart. 11,Chap. 11, Chern 21l.AC AL Ms 2. Cours de physique mathematique 1826-1827.258 pp. Faircopy of AC AL Ms 1, with additional section on electrodynamics.Papiers de A.M. Ampere, Cart. 12, Chap. 11, Chern 213.AC AL Ms 3. Theorie mathematique des phenomenes Clectrodynamique.86 pp. In Liouville's hand but written as though Ampere was theauthor. Papiers de A.M. Ampere, Cart. 11, Chap. 10, Chern 208bis.AC AL Ms 4. Note sur l'Electro-dynamique. 3 pp. In Liouville's hand.Papiers de A.M. Ampere, Cart. 10, Chap. 10, Chern 200. Publishedas [Liouville 1831]'AC AL Ms 5. Action d'un courant ferme sur un Clement de courant. 4pp. Signed by Liouville. Papiers de A.M. Ampere, Cart. 10, Chap.10, Chern 200.AC L Ms 2. Sur l'electricite dynamique, et en pariiculier sur l'actionmutuelle d'un pole d'aimant et d'un fil conducteur. 100 pp., by Liouville.File of meeting June 30, 1828.AC L Ms 3a-c. Memoire sur Ie calcul aux differences pariielles, l er _3eme.19, 23, and 24 pp., respectively, by Liouville. File of meeting December1, 1828.

790 BibliographyAC L Ms 4. Recherches sur la theorie physico-mathematique de la chaleur.Abstract 12 pp.; Memoire 132 pp. by Liouville. File of meetingAugust 16, 1830.AC L Ms 5. Memoire sur les questions primordiales de la theorie de lachaleur. 2 copies of 37 and 39 pp., by Liouville. File of meeting November2, 1830.AC L Ms 6. Premier Memoire sur la determination des inUgrales dontla valeur est algebrique. File of meeting December 17, 1832. A firstversion of [Liouville 1833b).AC L Ms 7. Premier Memoire sur la determination des inUgrales dontla valeur est algebrique (dated February 4, 1833). File of meetingDecember 17, 1832. A second version of [Liouville 1833b).AC L Ms 8. Second Memoire sur la determination des inUgrales dontla valeur est algebrique. File of February 4, 1832. Early version of[Liouville 1833c).AC A Ms 1. Rapport sur un memoire de M. Liouville intitu/e memoiresur les questions primordiales de la theorie de la chaleur. 6 pp.,Ampere (rapporteur) et Navier. File of meeting April 4, 1831.AC P Ms 1. Observations sur Ie memoire de M. Liouville. 4 pp. in Poisson'shand. Attached to AC A Ms 1. File of meeting April 4, 1831.1. Liouville's personal file (dossier personnelle).2. Libri's personal file; here one finds:3. Letter read by Sturm in the Academie des Sciences on June 26, 1843.Archive NationaleAN. F14 22711 Liouville's personal file.

Bibliography 791Bibliotheque N ationalev. 14275. Joseph Liouville. Notes des cours Ii l'Ecole Centrale des Artset Manufacteurs 1837-1838.Bureau des Longitudes (meeting room)Proces Verbaux du Bureau des Longitudes. The originals from the period1853-1876 have disappeared. Copies exist from the period 1853-1868.College de France (Archives)1. Joseph Liouville. Dossier personnelle (personal file).2. Proces Verbaux Ii l'assemble des Professeurs.Ecole Poly technique (A rchives)1. Ecole Poly technique. Conseil d 'Instruction. Handwritten minutes fromthe meetings.2. Ecole Poly technique. Conseil de perfectionnement. Handwritten minutesfrom the meetings.3. Report from the Commission Mixte 1851 in Ec. Pol. Cons. Perf.4. Ecole Poly technique. Corps Enseignent de 1794 Ii 1854. Handwrittenlists.5. Programmes de l'enseignement de l'Ecole Royale poly technique arretespar Ie Conseil de Perfectionnement pour I'annee scolaire 1825-1826.Printed Paris 1825.6. Ecole Royale Poly technique. Registre des Notes 1825-1826. Handwrittentables for each student.7. Ecole Imperiale Poly technique, Cours de 1820-1830. "Signalements"of students and their careers at the school.8. Ecole Poly technique. Visite de sante. Tables of health and constitutionof the students.

792 Bibliography9. Ecole Poly technique, Dosier personelle de M. Liouville.The following lithographed notes taken by various students in Liouville'sCours d'Analyse; they are all classified under the code AlII a 88:10. Liouville Cours d'Analyse 1ere anne 1843-1844.11. Liouville Cours d'Analyse 1ere anne 1845-1846 redige par M. Vazeille,eleve (Etienne).12. Liouville Cours d'Analyse 2eme Divission, 1ere anne 1847-1848.13. Liouville CalculIniigral, 1ere anne et 2eme anne 1847-1849.14. Liouville Cours d'Ana/yse 2eme anne et Cours de Mecani-que 2emeanne (no year mentioned).Institut de France (Bibliotheque)Ms 3615-3640 The Liouville Nachlass consisting of 340 notebooks and abox of loose sheets.Ms 2108 Manuscrits d'Evariste Galois. Fo1. 36 and fo1. 260-285 containLiouville's notes. Fol 26.-34 are the never published proof sheets ofM emoire sur les conditions de resolubiliii des equations by Galoisintended for 1. J. 8 (December 1843), 489-505.Sorbonne (Bibliotheque)Socieii Philomathique de Paris, Extraits des Proces-verb-aux des seances.Archives depariementa/es du Loir-et-CherIniigrales dijinies, Cours de M. Liouville. Fonds prive Saint Venant. -[Liouville/Saint Venant 1839-1840].

List of J. Liouville's Published Works 793List of J. Liouville's Published Works[Year] refers to the first published version of the entire paper. Within eachyear the ordering is only approximately chronological.The number after the year is the number of the publication in the RoyalSociety's Catalogue of Scientific Papers.From the Comptes Rendus notes and summaries of Liouville's verbal contributionsare included if they contain any scientific information. Moreover,there are references to the reports written by Liouville (the other membersof the judging committee are mentioned in paranthesis). Notes mentioningmerely that Liouville gave a speach or was elected a member of some committeeare not recorded:' In case the note in the Compte Rendu has no titlein the main text, the title in the index is usually quoted.Joint papers with Sturm and papers written under the pseudonym Besge,are included.ABBREVIATIONS:C. R.: Comptes Rendus de l'Academie des SciencesL. J.: Journal de Mathematique pures et appliquees or "Liouville'sJournaL"LIST[1829-1] Demonstration d'un theoreme d'electriciU dynamique, Ann. de Chimieet Physique 41 (1829),415-421.[1830-2] Memoire sur la theorie analytique de la chaleur, Ann. Math. PuresApp!. 21 (1830-1831), 131-181; Summary by Sturm in Bull. Sci. Math.Phys. et Chim.[1831] Note sur I'electro-dynamique, Bull. Sci. Math. Phys. et Chim. 15 (1831),29-31.[1832a-3] Sur quelques questions de geometrie el de mecanique. el sur un nouveaugenre de calcul pour resoudre ces questions, Journ. Ec. Polyt. 13(21. cahier) (1832), 1-69.[1832b-4] Memoire sur Ie calcul des dilJerentielles a indices quelconques, Journ.Ec. Polyt. 13 (21. cahier) (1832),71-162.Sur l'inUgration de l'equation (mx2+nx+p) ~+(qX+T)~+SY = 0 a[1832c-5]l'aide des dilJerentielles a indices quelconques, Journ. Ec. Polyt. 13 (21.cahier) (1832), 163-186.[1833a-6] Memoire sur I 'equation de Riccati, Journ. Ec. Polyt. 14 (22. cahier)(1833),1-19.[1833b-7] Premier Memoire sur la determination des integrales dont la valeurest algebrique, Journ. Ec. Polyt. 14 (22. cahier) (1833), 124-148; Mem.Savans Etrangers Acad. Sci. Paris 5 (1838), 76-102.[1833c-7] Second Memoire sur la determination des inUgrales doni la valeur estalgebrique, Journ. Ec. Polyt. 14 (22. cahier) (1833), 149-193; Mem.Savans Etrangers Acad. Sci. Paris 5 (1838), 103-151.

794 Bibliography[1833d-8] Note sur la determination des integrales dont la valeur est algebrique,Journ. Reine Angew. Math. 10 (1833), 347-359; Errata: Journ. ReineAngew. Math. 11 (1834), p. 406.[1834a-9] Memoire sur Ie theoreme des fonetions eomplementaires, Journ. ReineAngew. Math. 11 (1834), 1-19.[1834b-l0] Memoire sur une formule d'analyse, Journ. Reine Angew. Math. 12(1834), 273-287.[1834c-ll] Sur les transeendantes elliptiques de premiere et de seeonde espeee,eonsiderees eomme fonctions de leur amplitude, Journ. Ec. Polyt. 14(23. cahier) (1834), 37-83.[1834d-12] Note sur la figure d'une masse f/uide hom ogene, en equilib"e, etdouee d'un mouvement de rotation, Journ. Ec. Polyt. 14 (23. cahier)(1834),289-296.[1835a-13] Memoire sur I'integration d'une classe de fonctions transcendantes,Journ. Reine Angew. Math. 13 (1835), 93-118.[1835b-14] Memoire sur I'usage que I'on peut faire de la formule de Fourier,dans la calcul des difJerentielles a indices quelconques, Journ. ReineAngew. Math. 13 (1835), 219-232.[1835c-15] Sur Ie changement de la variable independante dans Ie calcul desdifJerentielles a indices quelconques, Journ. Ec. Polyt. 15 (24. cahier)(1835),17-54.[1835d-16] Sur la determination d'une fonction arbitmi,-e plaeee sous un signed'integration definie, Journ. Ec. Polyt. 15 (24. cahier), 55-60.[1836a-17] Memoire sur Ie developpement des fonetions ou parties de fonctionsen series de sinus et de cosinus, L. J. 1 (1836), 14-32.[1836b-18,48] Memoire sur une question d'analyse aux difJerences partielles,L. J. 1 (1836),33-74; Mem. Sayans Etranger Acad. Sci. Paris 5 (1838),559--606.[1836c-19] Note sur une maniere de generalise I' la formule de Fourier, L. J. 1(1836),102-105.[1836d-20] Note sur Ie calcul des inegalites periodiques du mouvement des plane-Ie.;,L. J. 1 (1836), 197-210; C. R. 2 (1836), p. 217.[1836e-21] Demonstration d'un theOl'eme du a M. Stw-m et relati! a une classede fonctions transcendantes, L. J. 1 (1836), 269-277.[1836f-22] Memoire sur Ie developpement des fonctions ou parties de fonctionsen series, dont les divers termes sont assujettis a satisfaire a une memeequation difJerentielle du second ordre, contenant un parametre variable,L. J. 1 (1836), 253-265; C. R. 1 (1835), p. 418.[1836g-23] Memoire sur un nouvel usage des fonctions elliptiques dans les problemesde mecanique celeste, L. J. 1 (1836), 445-458; C. R. 3 (1836),41-42.[1836h-25] Lettre a M. Arago concernant la demonstration de la convergenced'une serie qui se presente en analyse lorsqu'on cherche a trouver leslois du mouvement de la chaleur dans une barre heterogene, C. R. 3(1836), 622-623, 653-655.[1836i-26] Note ajoutee au Rapport de M. Poisson sur mon memoire concernantune question nouvelle d'cmalyse, Journ. Reine Angew. Math. 16 (1836),41-46.

List of J. Liouville's Published Works 795[1836j] Avertissement, L. J. 1 (1836), 1-4; (chronologically this belongs before1836a).[1836] Liouville and Sturm, Demonstration d'un theoreme de M. Cauchy relatifaux racines imaginaires des equations, L. J. 1 (1836),278-289.[1837a-24] Memoire sur I 'integration de l'equation ~~ = ~, Journ. Ec. Polyt.15(25. cahier) (1837), 85-117; C. R. 3 (1836), 572-575.[1837b] Solution d'un probleme d'analyse, L. J. 2 (1837), 1-2.[1837c-27] Second Memoire sur Ie developpement des fonctions ou parties defonctions en series, dont les divers termes sont assujettis Ii satisfaire Iiune meme equation differentielle du second ordre, contenant un parametrevariable, L. J. 2 (1837), 16-35.[1837d-28] Memoire sur la classification des transcendantes et sur l'impossibilited'exprimer les racines de certaines equations en fonction finie explicitedes coefficients, L. J. 2 (1837),56-105;,3 (1838), 523-547.[1837e-29] Sur la sommation d'une serie, L. J. 2 (1837), 107-108.[1837f-30] Note sur Ie developpement de (1 - -2xz + z2)-~, L. J. 2 (1837),135-139.[1837g-31] Note sur un passage de la Mecanique Celeste, relatif Ii la theorie dela figure des planetes, L. J. 2 (1837), 206-220.[1837h-32] Sur une lettre de d'Alembert Ii Lagrange, L. J. 2 (1837), 245-248.[1837i-33] Troisieme Memoire sur Ie developpement des fonctions ou partiesde fonctions en series, dont les divers termes sont assujettis Ii satisfaireIi une meme equation differentielle du second ordre, contenant unparametre variable, L. J. 2 (1837), 418-437; C. R. 5 (1837), 205-207.[1837j-34] Solution nouvelle d'un probleme d'analyse, relatif aux phenomenesthermo-mecaniques, L. J. 2 (1837),439-456; C. R. 5 (1837), 598-599.[1837k-35] Sur la formule de Taylor, L. J. 2 (1837),483-484.[18371-36,39] Nouvelles recherches sur la determination des integrales dont lavaleur est algebrique, C. R. 5 (1837), 330-333; L. J. 3 (1838), 20-24.[1837m-37] Memoire sur I 'integration des equations differentielles Ii indices fractionnaires,Jorn. Ec. Polyt. 15 (25. cahier) (1837), 58-84; C. R. 2 (1836),167-168 (chronologically this belongs before 1837a).[1837a] Liouville and Sturm, Extrait d'un Memoire sur Ie developpement desfonctions en series dont les differents termes sont assujettis Ii satisfaire aune meme equation differentielle lineaire, contenant un parametre variable,L. J. 2 (1837), 220-223; C. R. 4 (1837), 675-677.[1837b] Liouville and Sturm, Note sur un tMoreme de M. Cauchy relatif auxracines des equations simultanees, C. R. 4 (1837), 720-724.[1838a-38] Sur les deux derniers cahiers du Journal de M. Crelle, L. J. 3 (1838),1-3.[1838b-40] Sur I 'integration d'une classe d'equations differentielles, L. J. 3 (1838),31-32; slightly abbreviated as Note 6 in Navier Resume des Leconsd'Analyse donnees Ii l'Ecole Poly technique, Paris 2 (1840), p. 345.[1838c-41] Note sur la tMorie des equations differentielles, L. J. 3 (1838),255-256.[1838d-42] Sur la tMorie des equations transcendantes, L. J. 3 (1838), 337-341.[1838e-43] Note sur la theorie de la variation des constantes arbitraires, L. J. 3(1838), 342-349.

796 Bibliography[1838f-44] Observations sur un memoire de M. Libri, relatif Ii la theorie de lachaleur, L. J. 3 (1838), 350-354; C. R. 6 (1838), p. 240.[1838g-45] Note sur I'integration d'une equation aux diJjerentielies partiellesqui se presente dans, la theorie du son, L. J. 3 (1838), 435-436; C. R. 7(1838), 247-248.[1838h-46] Premier memoire sur La theorie des equations diJjerentielies lineaires,et sur Ie developpement des fonctions en series, L. J. 3 (1838), 561-614;C. R. 7 (1838), 1112-1116.[1838i-47] Sur quelques formules de M. Poisson, C. R. 7 (1838), 84-86; (chronologicallythis belongs before 1838g).[1839a-49] Sur I'integration des equations lineaires aux diJjerentielies partielles,L. J. 4 (1839), 1-6.[1839b-50] Observations sur un memoire de M. Ivory, sur l'equilibre des elliosoi'deshomogenes, L. J. 4 (1839), 169-174.[1839c-51 ,57] Note sur quelques integrales definies, L. J. 4 (1839), 225-235; C.R. 8 (1839), p. 626.[1839d-52] Note sur evaluation approchee du produil 1.2.3 ... x, 1. J. 4 (1839),317-322; C. R. 9 (1839), 104-108; Not.e 4 in Navier Resume des Le

List of J. Liouville's Published Works 797[1840g-66] Sur les conditions de convergence d'une classe generale de series, L.J. 5 (1840), 356-359; C. R. 11 (1840),615-618.[1840h-67] Sur l'equation z2n - y2n = 2X n , 1. J. 5 (1840), p. 360.[1840i-68] Memoire sur les transcendantes elliptiques de premiere et de secondespece, considerees comme fonctions de leur module, L. J. 5 (1840),441-464; C. R. 10 (1840), 2-4.[1840j] Observations sur une note de M. Libri, C. R. 10 (1840), 343-345.[1840k] Replique de M. Liouville Ii M. Libri, C. R. 10 (1840), p. 347.[18401-69] Sur un theoreme d'analyse indeterminee, C. R. 10 (1840), 381-382.[1840m-70] Observations sur une note de M. de Pontecoulant, relative Ii certainesformules de la theorie analytique du "Systeme du Monde", C. R.10 (1840), 881-884.[1840n-71] Sur les methodes generales Ii l'aide desquelles on determine les perturbationsdu mouvement des planetes, C. R. 11 (1840), 251-255.[18400] Sur la formule de Maclaurin; Note 1 in Navier Resume des Ler;onsd'Analyse donnees Ii l'Ecole Polytechniqtle, Paris 2 (1840), 319-320.[1840p] Sur les fractions qui se presentent sous la forme ~; Note 2. in NavierResume des Ler;ons d'Analyse donnees Ii l'Ecole Poly technique, Paris 2(1840), 321-322.[1840q] Sur quelques integrales definies; Note 3 in N avier Resume des Ler;onsd'Analyse donnees Ii l'Ecole Poly technique, Paris 2 (1840), 323-331.[1840r] Sur une application singuliere de la theorie des integrales doubles Iila demonstration d'un theoreme d'algebre; Note 5 in Navier Resumedes Ler;ons d'Analyse donnees Ii l'Ecole Poly technique, Paris 2 (1840),340-344; verbatim quote of [1839h505-508].[1840s-56] Addition Ii la Note sur Ie principe fondamental de la tMorie desequations alge- briques, L. J. 5 (1840), 31-34; (d. [1839h]); (chronologicallythis belongs before 1840a).[1840t] Rapport sur un Memoire de M. Le Verrier, concernant les variations deselements det sept planetes principales, (with Arago and Savary), C. R.10 (1840), 524-527.[1841a-72] Remarques nouvelles sur l'equation de Riccati, L. J. G (1841),1-13;C. R. 11 (1840), p. 729.[1841b-73] Sur l'integrale fa" cosi(u - x sinu)du, L. J. G (1841), p. 36.[1841c-74] Sur une formule de M. Jacobi, 1. J. 6 (1841), 69-73.[1841d-75] Memoire sur quelques propositions generales de Geometrie et sur LatMorie de l'elimination dans les equations algebriques, L. J. 6 (1841),345-411; C. R. 13 (1841), 412-416.[1841e-76] Sur une classe d'equations differentielles, L. J. 6 (1841), p. 448.[1841£-77] Remarques sur un theoreme de Jacobi, C. R. 13 (1841), 467-470.[1841g] Rapport sur un Memoire de M. Steiner concernant les maxima et Lesminima des figures geometriqtles, (with Cauchy and Sturm), C. R. 12(1841), 931-935.[1841h] Rapport sur une Note de M. Passot intitulee: Note sur l'inexactitudedes indications du frein dynamometrique, (with Sturm and Piobert), C.R. 13 (1841), 526-528.[1842a-78] Sur l'equation ~+ f(x)*+F(y)(*f = 0, 1. J. 7 (1842),134-136.

798 Bibliography[1842b-79] Sur les fractions qui se pnisentent sous la forme indeterminee ;;-,1. J. 7 (1842),160-162.[1842c-80] Sur un probleme de Geometrie re/(ltif Ii l(l theorie des maxim(l etminima, L. J. 7 (1842),163-164.[1842d-81] Sur I'ellipse de plus petite surf(lce qui passe par trois points A, B,C, et sur I'ellipsoi'de de plus petite volume qui passe par quatre pointsA, B, C, D, L. J. 7 (1842), 190-191.[1842e-82] Demonstration d'un tMoreme de M. Biot sur les refractions (lStronomiquespres de I'horizon, L. J. 7 (1842), 268-271.[18421] Extrait d'une Lettre de M. Liouville Ii M. Arago, C. R. 15 (1842),425-426.[1842g-83] Sur un C(lS particu/ier du probleme des trois corps, C. R. 14 (1842),503-506; L. J. 7 (1842),110-113; Connaiss des Temps pour 1845, (1842),3-17.[1842h-84] Sur l(l st(lbi/ite de l'eqilibre des mers, C. R. 15 (1842), 903-907.[1842i-97] Note Ii l'occasion du memoire de M. Ch(lsles: Sur I'atraction descorps, Connaiss des Temps pour 1845 (1842),34-36.[1842j] R(lpport sur un Memoire de M. J. Binet re/otif Ii 10 tMorie de 10 voriotiol!des constantes, (with Poinsot, Sturm and Coriolis), C. R. 14 (1842),440-441.[1842/1984] Anolyse d'un Memoi,'e sur 10 stobi/ite de I'equilibre des mel's. AppendixA in [Liitzen 1984b].[1842] Besge, Sur Ie centre de gravite d'un fI'iangle sphb'ique, L. J. 7 (1842),p. 516.d 2 ¢ d 2 ¢[1843a-85] Sur I'equation p + dyt = 0, L. J. 8 (1843), 265-267.[1843b-86] Sur la loi de la pesanteur Ii la surfoce ellipsoi'dale d'qui/ibre d'unemasse liquide homogfme douee d'un mouvement de rotation, L. J. 8(1843), p. 360.[1843c-87] Remarques sur un Memoi,'e de N. Fuss sur la solution du problemesuivant: Un polygone P etant donne, de combien de manieres peut-onIe partager en polygones de m cotes au moyen de diagonales, L. J. 8(1843),391-396.[1843d-88] Ropport fait Ii l'Academie des Sciences de l'Institut, sur un Memoirede M. Hermite, re/(ltif Ii la division des fonctions Abeliennes ou ultra-elliptiques;(with Lame) suivi d'une Letlre de M. Jacobi Ii M. Hermite,L. J. 8,502-506; C. R. 17 (1843), 292-295.[1843e-89] Sur les figures ellipsoi'dales Ii tl'Ois (lxes ineg(lux, qui peuvent convenirIi I'equilibre d'une masse liquide homogene, douee d'un mouvement derotation, C. R. 16 (1843), 216-218; Connaiss. des Temps, pour 1846(1843), 85-96.[18431] Recherches sur la stabilite de I'equi/ibre des fiuides, C. R. 16 (1843), p.363.[1843g] Reponse aux remarques fait sur Ie rapport SUI' un memoire de M. J.Bertrand, par M. Libri, C. R. 17 (1843), 295-296.[1843h] Observations Ii l'ocC(lsion de /a reclamation de M. Libri re/ativement aun passage du Rapport sur Ie memoire de M. Hermite, C. R. 17 (1843),327-334.[1843i] Replique Ii M. Libri, C. R. 17 (1843),445-449.

List of J. Liouville's Published Works 799[1843j] Reponse Ii une note de M. Libri, C. R. 17 (1843), 552-554.[1843k-90] Sur la division du perimetre de la lemniscate, Ie diviseur etant unnombre entier reel ou complexe quelconque, C. R. 17 (1843), 635-640;L. J. 8 (1843), 507-513.[18431-91] Sur un theoreme d'Abel, C. R. 17 (1843), p. 720; L. J. 8 (1843),513-514.[1843m] Rapport sur un Memoire de M. Bertrand intituM Developpements surquelques points de la theorie des surfaces isothermes orthogona/es, (withLame), C. R. 17 (1843), 290-292; (this belongs before 1843d).[1843/1984] Recherches sur la stabilite de I'equi/ibre des fluides. Appendix Bin[Liitzen 1984b].[1844a-92] Deve/oppements sur un theoreme de Geometrie, L. J. 9 (1844), 337-349.[1844b-93] Sur une propriete des sections coniques, L. J. 9 (1844), 350-353.[1844c-94] De la ligne geodisique sur un ellipsoi"de quelconque, L. J. 9 (1844),401-408.[1844d-95] Sur les rayons de courbure des courbes geometriques, L. J. 9 (1844),p.435.[1844e] Remarques relatives 1° Ii des classes tres-etendues de quantiMs dontla valeur n'est ni rationnelle ni meme reducible Ii des irrationnellesalgebri-ques; 1!" Ii un passage du livre des Principes ou Newton calcu/el'action exercee par une sphere sur un point exterieur, C. R. 18 (1844),883-885.[1844f-96] Nouvelle demonstration d'un theoreme sur les irrationnelles algebriques,C. R. 18 (1844), 910-911.[1844g] Remarques (relatives 1° Ii des lignes geodesiques: 1!" Ii des fonctionsdoublement periodiques) Ii I'occasion d'une note de M. Chasles, C. R.19 (1844), 1261-1263.[1844h] Rapport sur une Note relative Ii la flexion des pieces chargees deboutpresentee par M. E. Larmarle, (with Poncelet), C. R. 18 (1844), 82-84.[1844a] Besge, Sur une equation differentielle Ii indices fractionnaires, L. J. 9(1844), p. 294.[1844b] Besge, Sur I'equation ~ = (a+b:+ucx2 )2' L. J. 9 (1844), p. 336.[1845a-98] Sur les deux Formes x 2 + y2 + Z2 + t 2 , x 2 + 2y2 + 3z 2 + 6t 2 , L. 1. 10(1845),169-170.[1845b] Resultats de quelques recherches concernant des questions de physiquemathematique et d'analyse, C. R. 20 (1845), 1386-1389. also 222-225of [1845d].[1845c-l02] Solution d'un probleme relatif Ii l'ellipsoi·de, C. R. 20 (1845), 1609-1612. also 225-228 of [1845d].[1845d-99] Sur diverses questions d'analyse et de physique mathematique, L. J.10 (1845), 222-228; consists of 1845b and 1845c.[1845e] Rapport sur un Memoire de M. Serret, sur la representation geometriquedes fonctions elliptiques et ultra-elliptiques, (with Lame), C. R. 21 (1845),281-284; L. 1. 10 (1845), 290-293; see also Rapport sur la nouvelleredaction ... , C. R. 26 (1848), 352-353.[1845f] Note, (added to the report [1845eJ), L. 1. 10 (1845), 293-296.

800 Bibliography[1845g-100] Sur un Memoire de M. Serret, re/atif Ii la representation des fonctionselliptiques, 1. J. 10 (1845), 456-465; C. R. 21 (1845), 1255-1264.[1845h-101] Sur une propriete genera/e d'une classe defonctions, 1. J. 10 (1845),327-328.[1845i] M. Liouville donne de vive voix une idee des nouvelles recherches de M.Michael Roberts, sur les lignes geodesiques et les lignes de courbure deI'ellipsoi·de, C. R. 21 (1845), 1410-1411; 1. J. 10 (1845), 466-468.[1846a] Note in a paper Sur quelques proprietes des lignes geodesique et deslignes de courbure de l'ellipsoi"de, by M. Robert, L. J. 11 (1846), p. 4.[1846b-113] Demonstration geometrique relative Ii l'equation des lignes geodesiquessur un ellipsoi"de quelconque, C. R. 22 (1846), 111-113.[1846c-104] Demonstration geometrique relative Ii l'equation des lignes geodes i­ques sur les surfaces de second degre, 1. J. 11 (1846), 21-24.[1846d-105] Sur un theoreme de M. Joachimstlwl, relatif aux lignes de courburesplanes, L. J. 11 (1846), 87-88.[1846e-106] Lettres sur diverses questions d'analyse et de physique mathematique,concernant I'ellipsoi·de adressees a M. P. H. Blanchet - PremiereLettre, L. J. 11 (1846), 217-236.[1846f-107] Lettres sur diverses questions d'analyse et de physique mathematiqueconcernant l'ellipsoi"de, ad,·essees a M. P. H. Blanchet - Deuxieme Lettre,1. J. 11 (1846), 261-290.[1846g-114] Deux theoremes concernant les lignes geodesiques et les lignes decourbure de l'ellipsoi"de, C. R. 22 (1846), p. 893.[1846h-122] Theoreme concernant I'integration des equations du mouvementd'un point libre, Connaiss. des Temps pour 1849 (1846), 255-256.[1846i-108] Sur quelques cas particu/iers ou les equations di mouvement d'unpoint materiel peuvent s'integrer - Premier memoire, 1. J. 11 (1846),345-378.[1846j] Oeuvres Mathematiques d'Evariste Galois. Avertissement, 1. J. 11 (1846),381-384; Note, 1. J. 11 (1846),415-416.d . e d 4> 2[1846k-I09] Sur une transformation de I'equation sin 8~ + 9 + n(n+ 1)sin 2 8.4> = 0, L. J. 11 (1846), 458-461.[18461-110] Sur la decomposition des fractions rationnelles, L. J. 11 (1846),462-463.[1846m-111] Sur I'integra/e Io oo e-xxndx, 1. J. 11 (1846), 464-465.[1846n-112] Sur une classe d'equations du premier degre, L. J. 11 (1846),466-467.[18460-103] Sur une propriete de la couche electrique en equilibre Ii la surfaced'un corps conducteur, Camb. and Dub!. Math. Journ. 1 (1846),279-281.[1846a] Besge, Sur I'equation ~*= (01 ~ 1)2' L. J. 11 (1846), p. 96.[1846b] Besge, Sur I'equation -f(x)sin y + F(x) cosy + cp(x) = 0,1. J. 11(1846), p. 445.[1847a] Rapport sur un Memoire de M. Delaunay concernant la theorie ana­Iytique du mouvement de la Lune, (with Biot and Laugier), C. R. 24(1847),6-11.[1847b-115] Sur les equations algebriques Ii plusieurs inconnues, L. J. 12 (1847),68-72.

List of J. Liouville's Published Works 801[1847c] Remarques Ii l'occasion d'une communication de M. Lame sur un theoremede Fermat, C. R. 24 (1847), 315-316.[1847d-116] Sur la loi de reciprocite dans la theorie des residues quadratiques,L. J. 12 (1847), 95-96; C. R. 24 (1847), 577-578.[1847e-117] Note au sujet d'un Memoire de M. Chasles sur les lignes geodesiquesdes surfaces, L. J. 12 (1847), p. 255.[1847f-118] Note sur deux lettres de M. Thomson relatives Ii l'emploi d'un systemenouveau de coordonnees orthogonales dans quelques problemes destheories de la chaleur et de l'electricite, et au probleme de la distributiond'electricite sur Ie segment d'une couche spherique infiniment mince, L.J. 12 (1847), 265-290.[1847g-119] Sur un theoreme de M. Gauss concernant Ie produit des deux rayonsde courbure principaux en chaque point d'une surface, L. J. 12 (1847),291-304; C. R. 25 (1847), p. 707.[1847h-108] Sur quelques cas particuliers ou les equations du mouvement d'unpoint materiel peuvent s'integrer. Second Memoire, L. J. 12 (1847),410-444.[1847i-124] Memoire sur l'integration des equations differentielles du mouvementd'un nombre quelconque de points materiels, Connaiss. des Tempspour 1850 (1847), 1-40; L. J. 14 (1849), 257-299.[1847j-120] Sur l'elimination par les fonctions symetriques, Nouv. Ann. Math.6 (1847), 295-30l.[1848a] Note Ii la suite d'un article de M. Serret, L. J. 13 (1848),34-37.[1848b-121] Sur l'equation aux differences partielles qui concerne l'equilibre dela chaleur dans un corps hitel"Ogene, L. J. 13 (1848), p. 72.[1848c] Note Ii la suite d'une Lettre de M. W. Roberts, L. J. 13 (1848), p. 220.[1848d] Aux Electeurs du Departement de la Meurthe; Election poster. 2 pages(1848).[1849a-125] Note au sujet de l'equation x2 + y2 = z2, C. R. 28 (1849), p. 687.[1849b-123]Remarques sur une classe d'equations differentielles, Ii l'occasiond'un Memoire de M. Jacobi sur quelques series elliptiques, L. J. 14(1849), 225-24l.[1849a] Besge, Sur l'integrale definie Io oo ';Dxax dx, L. J. 14 (1849), 31-32.[1849b] Besge, Sur un probleme de geometrie, L. J. 14 (1849), 247-248.[1850a-126] Theoreme sur l'equation dx2 + dy2 + dz2 = A(da2 + df32 + d1'2), L.J. 15 (1850), p. 103.[1850b] Sur les courbes Ii double courbure; Note I in G. Monge Application del'Analyse Ii la Geometrie, 5. Ed, ed. Liouville, Paris 1850. 547-568.[1850c] Expressions diverses de la distance de deux points infinement voisinset de la courbure geodesique des lignes sur une surface; Note II in G.Monge Application de l'Analyse Ii la Geomeh'ie, 5. Ed, ed. Liouville,Paris 1850. 569-576.[1850d][1850e]Theoreme concernant l'integration de l'equation des lignes geodesiques;Note III in G. Monge Application de l'Analyse Ii la Geometrie, 5. Ed.,ed. Liouville, Paris 1850. 577-582.Sur Ie theoreme de M. Gauss concernant Ie produit des deux rayonsde courbure principaux en chaque point d'une surface; Note IV in G.Monge Application de l'Analyse Ii la Geometrie, 5. Ed., ed. Liouville,Paris 1850. 583-600.

802 Bibliography[1850fj Du trace geographique des surfaces les unes sur les autresj Note V in G.Monge Application de l'Analyse a la Geometrie, 5. Ed., ed. Liouville,Paris 1850. 601-608.[1850g] Extension au cas des trois dimensions de la question du trace geographiquejNote VI in G. Monge Application de l'Analyse a la Geometrie, 5.Ed., ed. Liouville, Paris 1850. 609-616.[1850h] Note a l'occasion de l'equation des cordes vibnrantesj Note 7 in G.Monge Application de l'Analyse a la Geometrie, 5. Ed, ed. Liouville,Paris 1850. 617-638.[1851a-127] Sur un tMoreme de M. Chasles, L. J. 16 (1851), 6-8.[1851 b] Remarques a I'occation d 'une communication de M. Binet sur Ie mouvementdu pendule simple, en ayant egard a I'influence de la rotationdiurne de la terrej [Foucault's pendulum] C. R. 32 (1851), 159-160.[1851c] Reclamation de priorite relativement a quelques parties des travaux mentionnesdans un Rapport fait par M. Cauchy, C. R. 32 (1851), 450-452.[1851d-128] Sur la theorie genera Ie de surfaces, 1. J. 16 (1851), 130-132j C. R.32 (1851), 533-535.[1851e-129] Sur des classes tJ'es-etendus de quantiUs dont la valeur n'est nialgebrique, ni meme reductible a des ilTationnelles algebrique, L. J. 16(1851),133-142.[1851£-130] Memoire sur les figures ellipsoi'dales a trois axes inegaux, qui peuventconvenir a I'equilib"e d'une masse liquide homogene, douee d'unmouvement de rotation, 1. J. 16 (1851), 241-254.[1852a-131] Rapport sur un MenlOi,'e de M. Jules Bienayme, concernant laprobabiliU des erreurs d'apres la methode des moindres carresj (withLame and Chasles) C. R. 34 (1852), 90-92j L. J. 17 (1852), 31-32.[1852b] Note au sujet de deux Theses de M. O. Bonnet, 1. J. 17 (1852), p. 340.[1852c-132] TMoreme sur Ie rapport anhm'monique, L. J. 17 (1852), 391-392.[1852d-133] Sur les fonctions Gamma de Legendre, 1. J. 17 (1852), 448-453;C. R. 35 (1852), 317-322.[1852e-134] Note sur la tMorie des formules dijJerentielles, L. J. 17 (1852),478-480.[1852f-146] Formules generales relatives a la question de la stabilite de l'equilibred'une masse liquide homogene douee d'un mouvement de rotation autourd'un axe, Connaiss. des Temps pour 1855 (1852), 26-44j L. J. 20 (1855),164-184.[1853a-135] Sur l'equation aux dijJe,'ences pm·tielles d:~OJvA ± ~ = 0, L. J. 18(1853), 71-72j C. R. 36 (1853), 371-373.[1853a] Besge, Sur une transformation d'integrales definies, L. J. 18 (1853), p.112.[1853b] Besge, Addition a la Note sur une transformation d'inUgrales definies,inseree dans Ie cahier de mars, L. J. 18 (1853), p. 168.[1854a] Sur la part qu 'a prise l'Academie au developpement d'une branche importantede la richesse agricole dans l'Algerie, C. R. 38 (1854), p. 1038.[1854b-136] Sur I'equation dijJerentielle d(X-::)* - xy = 0, 1. J. 19 (1854),151-152.[1854c-137] Expression simple du rayon de courbure geodesique d 'une lignetracee sur un ellipsoi'de, L. J. 19 (1854), p. 368.

List of J. Liouville's Published Works 803[1854d] Note Ii l'occasion d'un Memoire de M. Borchardt, L. J. 19 (1854),395-400.[1854e-138] Methode metamorphique par rayons vecteurs reciproques; (summaryof [1847f]) Nauv. Ann. Math. 13 (1854), 227-245.[1855a-139] Note sur une formule pour les diJJerentielies Ii indices quelconques,Ii l'occasion d'un memoire de M. Tortolini, L. J. 20 (1855), 115-120.[1855b--140] Valeur d'une integrale definie qui se rattache am: integrales trinomes,L. J. 20 (1855), 133-134.[1855c-141] Rapport sur un Memoire de M. Bour, concernant l'integration desequations diJJerentielies de la mecanique analytique; (with Lame andChasles) C. R. 40 (1855), 661-662; L. J. 20 (1855), 135-136.[1855d-142] Note sur l'integration des equations diJJerentielies de la Dynamique,presentee au Bureau des Longitudes Ie 29 juin 1853,*L. J. 20 (1855),137-138.[1855e-143] Sur 1 'equation diJJerentielle du premier ordre = f(x, y), L. J. 20(1855), 143-144.[1855f-144] Sur un theoreme relatif Ii l'integmle Eulerienne de seconde espece,L. J. 20 (1855), 157-160.[1855g-145] Sur l'equation r(t)r(t + t) = 2 1 -- 2t ,Ji. r(2t), L. J. 20 (1855),161-163.[1855h] Note Ii l'occasion d'un Memoire de M. Edmond Bour, 1. J. 20 (1855),201-202.[1855i-147] Sur les fonctions elliptiques; (contains 1844g and 1851c) 1. J. 20(1855), 203-208.[1855j] Discours prononce aux funerailles de M. Stw'm; L. J. 20 (1855), 395-396;Included in [Prouhet 1856].[1856a] Avertissement, L. J. (2) 1 (1856), V-VI.[1856b-148] Sur deux memoires de M. Poisson. [Note historique relative Ii l'integralede l'equation sur laquelle repose essentiellement la theorie de lapropagation du son dans les milieux gazeuxj, L. J. (2) 1 (1856), 1-6; C.R. 42 (1856), 465-470.[1856c-149] Sur des questions de minimum, L. J. (2) 1 (1856), 7-8.[1856d-150] Determination des valeurs d'une classe remarquable d'integralesdefinies multiples, et dbnonstration nouvelle d'une celebre formule deM. Gauss concernant les fonctions Gamma de Legendre, L. J. (2) 1(1856), 82-88; C. R. 42 (1856), 501-508.[1856e-153] Memoire sur la reduction de classes tres-etendus d'integrales multiples,1. J. (2) 1 (1856),289-294; C. R. 42 (1856), 525-530; Summaryin Zeitschrift f. Math. u. Phys. (Schlomilch), 1 (1856), 356-363.[1856f-151] Extension d'un theoreme de caleul integrale, L. J. (2) 1 (1856),190-191; C. R. 42 (1856), 985-990.[1856g-157] Sur la theorie generale des equations diJJerentielles, L. J. (2) 1(1856),345-348; C. R. 42 (1856), 1084-1088.[1856h-152] Sur la represetation des nombres par la forme quadratique x 2 + ay2+bz 2 + abe, L. J. (2) 1 (1856), p. 230; C. R. 42 (1856), 1145-1146.[1856i-154] Memoire sur un cas partieulier du probleme des trois corps, L. J.(2) 1 (1856), 248-264.[1856j-155] Note sur une equation aux differences finies partielles, L. J. (2) 1(1856), 295-296.

804 Bibliography[1856k-156]Expression remarquable de la quantite qui, dans Ie mouvementd'un systeme de points materiels a liaisons quelconques, est un minimumen vertu du principe de la moindre action, L. J. (2) 1 (1856),297-304; C. R. 42 (1856), 1146-1154.[18561-158] Sur les sommes de divideurs des nombres, L. J. (2) 1 (1856), 349-350.[1856m-159] Sur I 'equation 1.2.3 ... (p-l)+1 = pm, L. J. (2) 1 (1856),351-352.[1856n-160] Sur I'integrale fol t~:;~L~·ctX):tdt, L. J. (2) 1 (1856), 421-424.[18560-161] Demonstration nouvelle d'une formu/e de M. W. Thomson; [donnantla valeur d'une integrale definie multiple] L. J. (2) 1 (1856), 445-450.[1856p-177] Developpement sur un chapitre de la "Mecanique" de Poisson, Connaissdes Temps pour 1859 (1856), 1-22; L. J. (2) 3 (1858), 1-25.[1857a-162] Observations sur I'integra/e fo! t~:;~tl~c?:):!,dt avec remarques, L.J. (2) 2 (1857), 47-55.[1857b-163] Theoreme concernant les sommes de diviseurs des nombres, L. J.(2) 2 (1857), p. 56.[1857c-164] Sur I'expression ¢l(n), qui marque combien la suite 1.2.3 ... n contientde nombres premiers a n, L. J. (2) 2 (1857), 110-112.[1857d-176] Note sur la tMorie des nombres, C. R. 44 (1857), 753-755.[1857e-I73] Sur un point de la theorie des equations binomes, L. J. (2) 2 (1857),413-423; C. R. 44 (1857), 797-801.[1857f-165] Sur quelques fonctions numeriques, L. J. (2) 2 (1857), 141-144,244-248, 377-384, 425-432.[1857g-166] Sur un theoreme de Dirichlet, L. J. (2) 2 (1857), p. 184.[1857h-167] Sur Ie produit m(m + l)(m + 2)··· (m + n - 1), L. J. (2) 2 (1857),277-278.[1857i-168] Sur I'integra/e definie fo! (:;'fl.iil):~~~~, L. J. (2) 2 (1857), p. 279.[1857j-169] Sur Ie fonction E(x), qui marque Ie nombre entier contenu dans x,L. J. (2) 2 (1857), p. 280.[1857k-170] Sur la decomposition d'un nombre en un produit de deux sommesde carres, L. J. (2) 2 (1857), 351-352.[18571-171] Generalisation d 'un tMoreme de I 'arithmetique Indienne; [Lasomme 1 3 +2 3 +3 3 + ... . +n3 des cubes des nombres naturels est egale aucarre de la somme des nombres eux-memes, c. a. d. = (1+2+3+· . . +n)2.]L. J. (2) 2 (1857), 393-396.[1857m-172] Sur une relation entre deux fonctions numeriques, L. J. (2) 2(1857), p. 408.[1857n-172] Demonstration du theoreme econce dans I'article precedent, L. J.(2) 2 (1857), 409-412.[18570-174] Note a I'occasion d'un memoire de M. Bouniakowsky: "Nouvellemethode pour la theorie des formes quadratiques", L. J. (2) 2 (1857), p.424.[1857p-175] Sur quelques series et produits infinis, L. J. (2) 2 (1857), 433-440.[1857q-179] Sur un probIeme de Mecanique, Connaiss des Temps pour 1860(1857),69-72; L. J. (2) 3 (1858),69-72.

List of J. Liouville's Published Works 805[1858a-178] Generalisation d'une formule concernant les sommes des puissancesdes diviseurs d'un nombre, L. J. (2) 3 (1858), 63-68.[1858b-180] Demonstration d'un theoreme sur les nombres premiers de la forme811 + 3, L. J. (2) 3 (1858), 84-88.[1858c-181] Sur quelques formules generales qui peuvent etre utiles dans la the-oriedes nombres; (premier-sixieme article) L. J. (2) 3 (1858), 143-152, 193-200,201-298, 241-250, 273-288, 325-336.[1858d-182] Note sur une question de la theorie des nombres, L. J. (2) 3 (1858),357-360.[1858a] Besge, Sur deux integrales doubles, L. J. (2) 3 (1858), p. 324.[1858b] Besge, Autre ega lite d'integrales doubles, L. J. (2) 3 (1858), p. 416.[1859a] Sur quelques formules generales qui peuvent etre utiles dans la theoriedes nombres (septieme-onzieme acticle), L. J. (2) 4 (1859); 1-8, 73-80,111-120, 195-204, 281-304.[1859b-183] Sur la forme x2 + y2 + 5(z2 + e), L. J. (2) 4 (1859), 47-48.[1859c-184] Sur une integrale definie multiple, L. J. (2) 4 (1859), 155-160.[1859d-185] Theoreme arithmetique, L. J. (2) 4 (1859), 271-272.[185ge-186] Theoreme concernant les nombres premiers de la forme 2411 + 7, L.J. (2) 4 (1859), 399-400.[1859a] Besge, Sur une equation differentielle, L. J. (2) 4 (1859), p. 72.[1859b] Besge, Sur les integrales trinomes, L. J. (2) 4 (1859), p. 194.[1860a] Sur quelques formules generales qui peuvent etre utiles dans la theoriedes nombres (douzieme article), L. J. (2) 5 (1860), 1-9.[1860b-187] Theoreme concernant Ie double d'un nombre premier contenu dansl'une ou l'autre des deux formes lineaires 16k + 7, 16k + 11, L. J. (2) 5(1860), 103-105.[1860c-188] Sur Ie double d'un nombre premier 411 + 1, L. J. (2) 5 (1860),119-121.[1860d-189] Note Ii l'occasion d'un theoreme de M. Kronecker, L. J. (2) 5 (1860),127-128.[1860e-190] Theoreme concernant les nombres premiers de la forme 24k + 11,L. J. (2) 5 (1860), 139-140.[1860f-191] Theoreme concernant la fonction numerique relative au nombre desrepresentation d'un entier sous Ie forme d'une somme de trois carres,L. J. (2) 5 (1860),141-142.[1860g-192] Nombre des representations du double d'un entier impair sous laforme d'une somme de douze carres, L. J. (2) 5 (1860), 143-146.[1860h-193] Sur la forme x2 + y2 + 3(Z2 + t2), L. J. (2) 5 (1860), 147-152.[1860i-194] Addition Ii la note au sujet d'un theoreme de M. Kronecker, supra,p. 127, L. J. (2) 5 (1860), 267-268.[1860j-195] Sur la forme x2 + y2 + 2(z2 + t2), L. J. (2) 5 (1860), 269-272.[1860k-196]EgaliUs entre des sommes qui dependent de la fonction numeriqueE(x), L. J. (2) 5 (1860), 287-288; (addition) 455-456.[18601-197] Theoreme concernant les nombres premiers de la forme 811 + 5, L.J. (2) 5 (1860), p. 300.[1860m-198] Sur les nombres premiers de la fOl·me 16k + 7, L. J. (2) 5 (1860),301-302.[1860n-199] Sur Ie produit de deux nomb,·es premiers, l'un de la forme 8k + 3,et I'autre de la forme 8h + 5, L. J. (2) 5 (1860), 303-304.

806 Bibliography[18600] Sur la forme x 2 + y2 + 4(z2 + t2), 1. J. (2) 5 (1860),305-308.[1860p-200]Nouveau theoreme concernant les nombres premiers de la forme24k + 11, L. J. (2) 5 (1860), 309-310.[1860q-201] Theoreme concernant les nombres premiers de la forme 24k + 19,L. J. (2) 5 (1860), 311-312.[1860r-202] Theoreme concernant les nombres premiers de I'une ou de I'autredes deux formes 401' + 11,401' + 19,1. J. (2) 5 (1860), 387-388.[18608-203] Theoreme concernant les nombres premiers de la forme 401' + 7, 1.J. (2) 5 (1860),389-390.[1860t-204] Theoreme concernant les nombres premiers de la forme 401' + 23,1. J. (2) 5 (1860), 391-392.[1860u] Theoreme concernant Ie triple d'un nombre premier de la forme 81' + 3,1. J. (2) 5 (1860), 475-476.[1860] Besge, Somme d'une serie, L. J. (2) 5 (1860), 367-368.[1861a-205] Theoremes concernant Ie quadruple d'un nombre premier contenudans I'une ou dans I'autre des deux formes 81' + 3,81' + 5, L. J. (2) 6(1861),1-6.[1861b-206] Theoreme concernant les nomb,'es premiers de la forme 16k + 13,1. J. (2) 6 (1861), 7-8.[1861c-207] Theoremes concernant Ie double d'un nombre premier de la forme16k + 7,1. J. (2) 6 (1861),28-30.[1861d-208] Theoreme concernant les nombres premiers de la forme 81' + 1, L.J. (2) 6 (1861), 31-32.[1861e-209] Nouveau theoreme concernant les nombres premiers de la forme81' + 1, L. J. (2) 6 (1861), 55-56.[186lf-210] Theoremes concernant Ie quadruble d'un nombre premier de la forme12k + 5, L. J. (2) 6 (1861), 93-96.[1861g-211] Theoremes concernant respectivement les nombres premiers de laforme 16k + 3 et les nombres p,'emiers de la forme 16k + 11,1. J. (2) 6(1861),97-100.[1861h-212] Theoreme concernant les nombres premiers de la forme 24k + 13,1. J. (2) 6 (1861), 101-102.[1861i-213] Theoreme concernant les nombres premiers de la forme 24k + 1, 1.J.(2) 6 (1861), 103-104.[1861j-214] Theoreme concernant les nombres premiel's de la forme 4011' + 3, L.J. (2) 6 (1861), 105-106.[1861k-215] Theoreme concernant les nombres premiers de la forme 401' + 27,L. J. (2) 6 (1861), 107-108.[18611-216] Theoremes concernant Ie quintuble d'un nomb,'e premier de l'une oude I 'autre des deux formes 401' + 7, 40" + 23, 1. J. (2) 6 (1861), 109-112.[1861m-217] Sur la forme x2 + 3y2 + 4Z2 + 12t2, 1. J. (2) 6 (1861), 135-136.[1861n-218] Theoremes concernant Ie quintuble d 'un nombre premier de la forme24k + 17, L. J. (2) 6 (1861), 147-149.[18610-219] Theoremes concernant les nombres premiers de I'une ou de I'autredes deux formes 120k + 61, 120k + 109, L. J. (2) 6 (1861), 150-152.[1861p-220] Theoremes concernant Ie produit de deux nombres premiers egauxou inegaux de la forme 81' + 3,1. J. (2) 6 (1861),185-186.[1861q-221] Theoreme concernant Ie produit de deux nombres premiers, I'un dela forme 81' + 1, I'autre de la forme 8v + 3, 1. J. (2) 6 (1861), 187-188.

List of J. Liouville's Published Works 807[1861r-222] Theoreme concernant Ie produit de deux nombres premiers egaux ouinegaux de la forme 24Jl + 5,1. J. (2) 6 (1861), 189-190.[1861s-223] Theoreme concernant Ie produit de deux nombres premiers egaux ouinegaux de la forme 24Jl + 7,1. J. (2) 6 (1861), 191-192.[1861t-224] Theoreme concernant Ie produit de deux nombres premiers, I'un dela forme 40Jl+3, I'autre de la forme 40v+7, L. J. (2) 6 (1861), 193-194.[1861u-225] Theoreme concernant Ie produit de deux nombres premiers, I'un delaforme 40Jl+7, I'autre de laforme 40v+27, L. J. (2) 6 (1861), 195-196.[1861 v-226] Theoreme concernant Ie produit de deux nombres premiers, I'un dela forme 40Jl+3, I'autre de la forme 40v +23, L. J. (2) 6 (1861), 197-198.[1861x-227] Theoreme concernant Ie produit de deux nombres premiers, I'un dela forme 40Jl + 23, I'autr'e de la forme 40v + 27, 1. J. (2) 6 (1861),199-200.[1861y-228] Theoreme concernant Ie produit de deux nombres premiers egau:L'ou inegaux de la forme 120Jl + 31,1. J. (2) 6 (1861), 201-202.[1861z-229] Theoreme concernant Ie produit de deux nombres premiers egaux ouinegaux de la forme 120v + 79,1. J. (2) 6 (1861), 203-204.[1861a-230] Theoreme concernant de produit de deux nombres premiers, l'un dela forme 120Jl + 31, I'autre de la for'me 120v + 79, 1. J. (2) 6 (1861),205-206.[1861,8-231] Theoreme concernant Ie produit d'un nombre premier 8Jl + 3 par Iecarre d'un nombre premier 8v + 7, L. J. (2) 6 (1861),207-208.[1861')'-232] Remarques nouvelles concernant les nombres premiers de la forme24Jl + 7, L. J. (2) 6 (1861), 219-224.[18618-233] Sur les deux formes quadratiques x 2 +y2 +Z2 +2t2, x 2 +2(y2 +z2 +e),1. J. (2) 6 (1861), 225-230.[1861.0-234] Sur un certain genre de decomposition d'un entier en sommes decarrea,1. J. (2) 6 (1861), 233-239.[1861(-235] Sur la forme x 2 + y2 + Z2 + 8T2, L. J. (2) 6 (1861), 324-328.[18611/-236] Nouveaux theoremes concernant les fonctions N(n, p, q) et d'autresfonctions qui s'y rattachent, L. J. (2) 6 (1861), 369-376.[18618-237] Sur la forme x2 + 2y2 + 4z2 + 8e, L. J. (2) 6 (1861), 409-418.[1861>.-238] Sur les deux formes x 2 + y2 + Z2 + 4T2, x 2 + 4y2 + 4Z2 + 4T2,L. J. (2) 6 (1861), 440-448.[1861Jl] Reponse Ii une lettre de Hermite, CR 53 (1861),228-231; 1. J. (2) vol7 (1862), 41-44.[1861] Besge, Extrait d'une lettre adressee a M. Liouville, L. J. (2) 7 (1862),239-240.[1862a] Remarques Ii I'occasion d'un Memoi,'e de M. Bour, CR 54 (1852), 941-942.[1862b-239] Sur la forme x 2 + 2y2 + 2Z2 + 4T2, L. J. (2) 7 (1862), 1-4.[1862c-240] Sur la forme x 2 + 8(1"2 + Z2 + T2), L. J. (2) 7 (1862), 5-8.[1862d-241] Sur la forme x 2 + 4y2 + 4Z2 + 8T2, L. J. (2) 7 (1862), 9-12.[1862e-242] Sur la forme X2 + 81"2 + 8Z2 + 16T2, L. J. (2) 7 (1862), 13-16.[1862f-243] Nouveau theoreme concernant les nombres premiers de la forme16g + 11, L. J. (2) 7 (1862),17-18.[1862g-244] Nouveau theoreme concernant les nombres premiers de la forme8Jl + 1,1. J. (2) 7 (1862),19-20.

808 Bibliography[1862h-245] Theoreme concernant Ie produit de deux nombres premiers inegauxde la forme 8Jl. + 3, L. J. (2) 7 (1862), 21-22.[1862i-246] Theoreme concernant la quatrieme puissance d'un nombre premierde la forme 8Jl. + 3, L. J. (2) 7 (1862), 23-24.[1862j] Note de M. Liouville; [to a letter by Hermite] (cf. 1861Jl.) 1. J. (2) 7(1862), 44-48.[1862k-247] Sur la forme x 2 + 2y2 + 4Z2 + 4t2, L. J. (2) 7 (1862), 62-64.[18621-248] Sur la forme x 2 + 2y2 + 8z2 + 8t2, L. J. (2) 7 (1862), 65-68.[1862m-249] Sur la forme x 2 + 8y2 + 16z2 + 16t 2 , L. J. (2) 7 (1862), 69-72.[1862n-250] Sur la forme x 2 + 4y2 + 4Z2 + 16t2, 1. J. (2) 7 (1862), 73-76.[18620-251] Sur la forme x 2 + 16(y2 + Z2 + e), L. J. (2) 7 (1862), 77-80.[1862p-252] Sur la forme x 2 + y2 + 2Z2 + 4t2, 1. J. (2) 7 (1862), 99-100.[1862q-253] Sur la forme x 2 + y2 + 4z2 + 8t2, 1. J. (2) 7 (1862), 103-104.[1862r-254] Sur la fOl'me x 2 + 4y2 + 16z2 + 16e, L. J. (2) 7 (1982), 105-108.[1862s-255] Sur la forme x 2 + y2 + 8z2 + 8t2, 1. J. (2) 7 (1862), 109-112.[1862t-256] Sur la forme x 2 + 4y2 + 8z2 + 8e, L. J. (2) 7 (1862), 113-116.[1862u-257] Sur la forme x 2 + y2 + 16z2 + 16t2, L. J. (2) 7 (1862), 117-120.[1862v-258] Theoreme concernant Ie double du carre d'un nombre premier 81£+3,L. J. (2) 7 (1862), p. 136.[1862x-259] Sur la forme x 2 + 4y2 + 8z2 + 16t2, L. J. (2) 7 (1862), 143-144.[1862y-260] Sur la forme x 2 + 2y2 + 16z2 + 16t2, L. J. (2) 7 (1862), 145-147.[1862z-261] Sur la forme x 2 + 2y2 + 2z2 + 8t2, L. J. (2) 7 (1862), 148-149.[18620'-262] Sw' la forme x 2 + 2y2 + 4z2 + 16t2, 1. J. (2) 7 (1862), 150-152.[1862;3-263] Sur la forme x 2 + 2y2 + 8z2 + 16t2, L. J. (2) 7 (1862),153-154.[1862/'-264] Sur la forme x 2 + y2 + 2Z2 + 8t2, L. J. (2) 7 (1862), 155-156.[18626-265] Sur la forme x 2 + y2 + 4Z2 + 16t2, L. J. (2) 7 (1862), 157-158.[1862e-266] Sur la forme x 2 + 2y2 + 2Z2 + 16t2, L. J. (2) 7 (1862),161-164.[1862(-267] Sur la forme x 2 + y2 + Z2 + 16t2, 1. J. (2) 7 (1862), 165-168.[186271-268] Sur la forme x 2 + y2 + 8z2 + 16t2, 1. J. (2) 7 (1862), 201-204.[1862B-269] Sur la forme x 2 + y2 + 2z2 + 16t2, L. J. (2) 7 (1862), 205-209.(1862).-270] Sur la forme x 2 + 8y2 + 8z2 + 641 2 , L. J. (2) 7 (1862), 246-248.[1862Jl.-271] Sur la forme x 2 + 8y2 + 16z2 + 64t2, L. J. (2) 7 (1862), 249-252.[1862v-271]Exirait d'une lettre a M. Besge sur une formule concernant lessommes de diviseurs des nombres, 1. J. (2) 7 (1862), 375-376.[1862~-273] Theoreme concernant les nomb"es triangulaires, L. J. (2) 7 (1862),407-408.[186271"] Sur la forme x 2 + 8y2 + 64(Z2 + t 2), 1. J. (2) 7 (1862), 421-424.[1862] Besge, Extrait d'une lettre adressee a Ilf. Liouville, L. J. (2) 7 (1862), p.256.[1863a-274] Nouveaux theOl'emes concernant les nombres triangulai,'es, L. J. (2)8 (1863), 73-84.[1863b-275] Theoremes concernant Ie quadruple d'un nombre premier de I 'uneou de I'autre des deux formes 20k+3, 20k+7, L. J. (2) 8 (1863), 85-88.[1863c-276] Nouveau theoreme comcernant Ie quadr'uple d'un nombre premier'de la forme 12k + 5, L. J. (2) 8 (1863), 102-104.[1863d-277] Sur la forme x 2 + y2 + Z2 + 3t 2 , L. J. (2) 8 (1863), 105-114.[1863e-278] Sur la forme x 2 + y2 + 2Z2 + 2zt + 2t2, L. J. (2) 8 (1863), 115-119.[1863f-279] Sur la forme x 2 + y2 + Z2 + zt + t2, L. J. (2) 8 (1863), 120-123.[1863g-280] Sur la forme x 2 + y2 + 2z2 + 6e, L. J. (2) 8 (1863),124-128.

List of J. Liouville's Published Works 809[1863h-281] Sur la forme x 2 + y2 + 2Z2 + 3t2, L. J. (2) 8 (1863), 129-133.[1863i-282] Sur la forme x2 + 2y2 + 4z2 + 6t2, 1. J. (2) 8 (1863), 134-136.[1863j-283]Theoreme concernant les nombres premiers contenus dans une quelconquedes trois formes lineaires 168k + 43, 168k + 67, 168k + 163, 1. J.(2) 8 (1863), 137-140.[1863k-284] Sur la forme x2 + xy + y2 + z2 + zt + t 2, 1. J. (2) 8 (1863), 141-144.[18631-285] Sur la forme x2 + y2 + z2 + 12t2, L. J. (2) 8 (1863), 161-168.[1863m-286] Sur la forme x 2 + 2y2 + 2z2 + 12t2, L. J. (2) 8 (1863), 169-172.[1863n-287] Sur la forme x 2 + y2 + 4z2 + 12t2, L. J. (2) 8 (1863), 173-176.[18630-288] Sur la forme x 2 + 4y2 + 4Z2 + 12t2, L. J. (2) 8 (1863), 177-178.[1863p-289] Sur la forme 3x2 + 4y2 + 4z2 + 4t2, 1. J. (2) 8 (1863), 179-18l.[1863q-290] Sur la forme x 2 - y2 + 3z2 + 4t2, L. J. (2) 8 (1863), 182-184.[1863r-291] Sur la forme x 2 + 3y2 + 4z2 + 4t2, L. J. (2) 8 (1863), 185-188.[1863s-292] Sur la forme 2X2 + 2y2 + 3z2 + 4t2, L. J. (2) 8 (1863), 189-192.[1863t-293] Remarques nouvelles sur la forme x2 + y2 + z2 + 3t2, L. J. (2) 8(1863), 193-204.[1863u-294] Sur la forme x 2 + 4y2 + 12z2 + 16t2, L. J. (2) 8 (1863), 205-208.[1863v-295] Sur la forme x 2 + 3y2 + 6z2 + 6t2, 1. J. (2) 8 (1863), 209-213.[1863x-296] Sur la forme 2x2 + 3y2 + 3z2 + 6t2, L. J. (2) 8 (1863),214-218.[1863y-297] Sur la forme x 2 + 3(y2 + z2 + t2), L. J. (2) 8 (1863), 219-224.[1863z-298] Sur la forme 2X2 +2xy+2y2 +3(Z2 +t2), L. J. (2) 8 (1863), 225-226.[18630'-299] Sur la forme x 2 + xy + y2 + 3(Z2 + t2), L. J. (2) 8 (1863), 227-228.[1863;1-300] Sur la forme 3x2 + 3y2 + 3z2 + 4t2, L. J. (2) 8 (1863), 229-238.[18631'-301] Sur la forme 3x2 + 3y2 + 4z2 + 12t2, L. J. (2) 8 (1863),239-240.[18635-302] Sur la forme 3x2 + 4y2 + 12z2 + 12e, 1. J. (2) 8 (1863), 241-242.[1863e-303] Sur la forme x2 + 3y2 + 3z2 + 12e, L. J. (2) 8 (1863), 243-248.[1863(-304] Sur la forme x 2 + 3y2 + 12z2 + 12t2, L. J. (2) 8 (1863), 249-252.[18631/-305] Sur la forme x 2 + 12y2 + 12z2 + 12e, L. J. (2) 8 (1863), 253-254.[18638-306] Sur la forme 3x2 + 4y2 + 12z2 + 48t2, L. J. (2) 8 (1863), 255-256.[1863,\-307] Remarque nouvelle sur la forme x2 + y2 + 3(Z2 + t 2), L. J. (2) 8(1863), p. 296.[1863p,-308] Sur la forme x 2 + xy + y2 + 2Z2 + 2zt + 2t2, L. J. (2) 8 (1863),308-310.[18631/] Extrait d'une leUre adresee a M. Besge, L. J. (2) 8 (1863), 311-312.[1863e-309] Theoremes generaux concernant des fonctions numeriques, L. J. (2)8 (1863), 347-352.[186371"] Theoreme d'Atithmetique, L. J. (2) 8 (1863),431-432.[1864a-310] Sur la forme x 2 + y2 + Z2 + 5e, 1. J. (2) 9 (1864), 1-12.[1864b-311] Sur la forme x 2 + y2 + 2Z2 + 2zt + 3t2, 1. J. (2) 9 (1864), 13-16.[1864c-312] Sur la forme x 2 + 5(y2 + Z2 + e), L. J. (2) 9 (1864), 17-22.[1864d-313] Sur la forme 2x2 + 2xy + 3y2 + 5z2 + 5e, 1. J. (2) 9 (1864), 23-24.[1864e-314]Extension du theoreme de Rolle aux racines imaginaires des equations,1. J. (2) 9 (1864), 84-88.[1864f-315] Sur la forme x2 +y2 +z2 +t2 +u2 +3v2, L. J. (2) 9 (1864), 89-104.[1864g-316] Sur la forme x2 + 3(y2 + z2 + t2 + u 3 + v2), L. J. (2) 9 (1864),105-114.[1864h-317] Sur laforme x 2+y2+Z2+t2 +2u2 +2uv+2v2, L. J. (2) 9 (1864),115-118.

810 Bibliography[1864i-318) Sur la forme 2x2 + 2xy + 2y2 + 3(Z2 + e + u 2 + v2), 1. J. (2) 9(1864),119-122.[1864j-319) Sur la forme x 2 + y2 + 2Z2 + 2zt + 2t2 + 3u2 + 3v2, L. J. (2) 9 (1864),123-128.[1864k-320) Nouveux theoreme concernant Ie quadruple d'un nombre premier del'une ou de I'autre des deux formes 20k + 3, 20k + 7, L. J. (2) 9 (1864),135-136.[18641-321) Theoremes concel·nant l'octuble d'un nombre premier de l'une ou deI'autre des deux formes 20k + 3, 20k + 7,1. J. (2) 9 (1864), 137-144.[1864m-322) Sur la forme x2 + y2 + 2yz + 2Z2 + 3t2, 1. J. (2) 9 (1864), p. 160.[1864n-323) Sur la forme x 2 + y2 + z2 + e + u 2 + 2v2, L. J. (2) 9 (1864), 161-174.[18640-324) Sur la forme x 2 + 2(y2 + Z2 + e + u 2 + v 2), L. J. (2) 9 (1864),175-180.[1864p-325) Sur la forme x 2 + xy + y2 + 6=2 + 6zt + 6e, L. J. (2) 9 (1864),181-182.[1864q-326) Sur la forme 2X2 + 2xy + "2y2 + 3=2 + 3zt + 3e, L. J. (2) 9 (1864),183-184.[1864r-327) Sur la forme x 2 + xy + y2 + 3z 2 + 3zt + 3t2, L. J. (2) 9 (1864),223-224.[1864s-328) Sur quelques formulcs gellemlcs qui pcuvent etre utiles dOllS 10 theor·iedes nombres; (treizieme-seizieme article) L. J. (2) 9 (1864), 249-256,281-288,321-336,389-400.[1864t-329) Sur la forme x 2 + y2 + z2 + t2 + 2(u2 + v 2), L. J. (2) 9 (1864),257 -272.[1864u-330) Sur la forme x 2 + y2 + 2(Z2 + t2 + u 2 + v 2), L. J. (2) 9 (1864),273-280.[1864v-332) Extrait d'une letlre adresee a M. Besge, 1. J. (2) 9 (1864), 296-298.[1864x-331) Sur la forme x 2 + 2y2 + 3z2 + 6e, L. J. (2) 9 (1864),299-312.[1864y-333) Sur la forme x 2 + 2(y2 + Z2 + t2 + u 2) + 4v2, L. J. (2) 9 (1864),421-424.[1865a-334) Sur la forme x 2 + y2 + 5z 2 + 5t2 , L. J. (2) 10 (1865), 1-8.[1865b-335) Sur la forme 2X2 + 2xy + 3y2 + 2=2 + 2=t + 3t2, 1. J. (2) 10 (1865),9-13.[1865c-336) Sur la forme x 2 + y2 + 9z2 + ge, L. J. ("2) 10 (1865), 14-20.[1865d-337) Sur la forme 2Z2 + 2xy + 5y2 + 2=2 + 2zt + 3e, L. J. (2) 10 (1865),21-24.[1865e-338) Note au sujet de la forme x 2 + y2 + o(z2 + e), L. J. (2) 10 (1865),43-48.[1865f-339] Note au sujet de la forme x 2 + 2y2 + az2 + 2at2, 1. J. (2) 10 (1865),49-54.[1865g-340) Sur la forme x 2 + 4y2 + 4Z2 + 412 + 4u2 + 4v2, L. J. (2) 10 (1865),65-70.[1865h-341) Sur la forme x 2 + y2 + 4z2 + 4t2 + 4u2 + 4v2, L. J. (2) 10 (1865),71-72.[1865i-342] Sur la forme x 2 + 2y2 + 2z2 + 4t 2 + 4u 2 + 4v2, L. J. (2) 10 (1865),73-77.[1865j-343] Sur la forme x 2 + l + Z2 + 4t2 + 4u 2 + 4v 2 , 1. J. (2) 10 (1865),77-80.

List of J. Liouville's Published Works 811[1865k]Bur quelques formules generales qui peuvent etre utiles dans la theoriedes nombres; (dixseptieme-dixhuitieme article) L. J. (2) 10 (1865), 169-176.[18651-344] Bur la forme x 2 + y2 + 2z2 + 2t2 + 4u2 + 4v2, L. J. (2) 10 (1865),145-150.[1865m-345] Bur la forme x2 + y2 + z2 + t2 + 4u2 + 4v2, 1. J. (2) 10 (1865),151-154.[1865n-346] Bur la forme x2 + y2 + Z2 + 2e + 2u2 + 4v2, 1. J. (2) 10 (1865),155-160.[18650-347] Bur laforme X2+y2+Z2+t2+u2+4v2, L. J. (2) 10 (1865),161-168.[1865p-348] Bur la forme x2 + 4y2 + 4z2 + 4t2 + 4u2 + 16v2, L. J. (2) 10 (1865),203-208.[1865q] Extrait d'une lettre adresee ci M. Besge, L. J. (2) 10 (1865), p. 234.[1865r-349] Theoreme concernant les nombres premiers contenus dans la formuleA2 + 20B2, 1. J. (2) 10 (1865), 281-284.[1865s-350] Theoreme concernant les nombres premiers contenus dans la formuleA2 + 36B2, en y prenant B impair, L. J. (2) 10 (1865), 285-288.[1865t-351] Theoreme concernant les nombres premiers contenus dans la formuleA2 + 44B2, en y prenant B impair, 1. J. (2) 10 (1865), 289-292.[1865u-352] Theoreme concernant les nombres premiers contenus dans la formuleA2 + 56B2, en y prenant B impair, L. J. (2) 10 (1865), 293-294.[1865v-353] Theoreme concernant les nombres premiers contenus dans la formuleA2 + 116B2, en y prenant B impair, 1. J. (2) 10 (1865), 295-296.[1865x-354] Bur les deux formes x2 + y2 + 6z2 + 6t2, 2x2 + 2y2 + 3z2 + 3t2, L.J. (2) 10 (1865), 359-360.[1866a-355] Nombre des representation d'un entier quelconque sons la formed'une somme des dix carres, C. R. 60 (1865), 1257-1258; L. J. (2) 11(1866), 1-8.[1866b-356] Bur les deux formes x2 +2y2 +2yz+2z2 + 15t2, 2x2 +2xy+3y2 +3z2+3t2, L. J. (2) 11 (1866),39-40.[1866c-357] Theoremes concernant les nombres premiers centenus dans la formule4A2 + 5B2, en y prenant A impair, L. J. (2) 11 (1866),41-48.[1866d-358]Bur les deux formes 3x2 + 5y2 + 10z2 + 10zt + lOe, 2X2 + 2xy + 3y2+ 15z2 + 15t2, L. J. (2) 11 (1866),103-104.[1866e-359] Bur les deux formes x2 + 2y2 + 2yz + 2z2 + 6e, X2 + 2y2 + 3z2 + 3t2,L. J. (2) 11 (1866), 131-132.[1866f-360] Bur les formes quadratiques propl·ement primitives, dont Ie determinantchange de signe est > 0 et == 3 (mod. 8), L. J. (2) 11 (1866),191-192.[1866g-361] Bur la forme x2 + 3y2 + az2 + 3ae, L. J. (2) 11 (1966), 211-216.[1866h-362] Extrait d'une lettre adressee ci M. Besge, L. J. (2) 11 (1866),221-224.[1866i-363] Bur les deux formes 2x2 + 3y2 + 4z2 + 4zt + 4t2, x2 + 2y2 + 6z2 + 6t2,1. J. (2) 11 (1866), 280-282.[1866j-364] Bur la forme ci cinq indeterminees Xl X2 + X2X3 + X3X4 + X4 Xs, C. R.62 (1866), 714-715; L. J. (2) 12 (1867), 47-48.[1866k-365] Nombre des representation d'un entier quelconque sous la formed'une somme de dix nombres triangulaires, C. R. 62 (1866), 771-773.[18661-366] Bur la fonction numerique qui exprime pour un determinant negatifdonne Ie nombre des classes de formes quadratuques dont un au moins

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IndexAarhus University, xiiAbel, Niels Henrik (1802-1829),18, 36, 54, 74, 76, 79,104, 117, 118, 123, 140,306, 313, 314, 352, 356,358, 362, 373, 379, 382,386, 389, 394, 417, 530,533, 534, 535, 541, 555,565, 579, 737on integration in finite terms,358, 363, 368on Liouville's theorem, 361theorem, 74, 75, 360, 361,362, 370, 380abelian equations, 704abelian functions, 93, 123, 126,140, 535, 556, 564, 714,716-727abelian integrals, 117, 126, 356,556,702absolute convergence, 74, 75, 342absorption, 291Academie des Sciences de Paris,15,17,18,19,20,21,22,31,32,33,34,35,36,38,39-43, 47, 51, 53, 54, 58,59,61,63,64,65,69,80,82,84,87,88,90,91,92-98, 101, 107, 111, 119,121, 123, 127, 130, 134,137, 139, 149, 151, 152,164, 170, 176, 178, 180,186, 189, 190, 194, 200,202, 211, 213, 219, 220,223-224, 235, 241, 242,250, 253, 258, 259, 264,281, 282, 294, 359, 369,378, 379, 380, 383, 410,425, 479, 483, 484, 485,503, 520, 535, 650, 652,655, 657, 675, 678, 680,719,781Academie Royale des Sciences,15Acta Mathematica, 237, 487action-angle coordinates, 671action integral, 171,680,707Adams, John Couch (1819-1892),113, 114addition theorem of elliptic integrals,356, 360, 530, 554adjoint boundary values, 463adjoint differential equation, 462adjoint differential operators, 100adjoint problem, 462agregation, 25, 28, 106Ahrens, Wilhelm E. M. G.(1872-1927), 259Airy, George Biddell (1801-1892),108, 113, 115Albert (Martin), 153, 157d'Alembert, Jean BabtisteIe Rond (1717-1783),52,54,73,356,427,428-430,443, 478, 485, 591, 748,781algebra, (see also Galois theory),59-62, 146, 246, 580algebraic curves, 128, 353, 710algebraic equations, 54algebraic functions, 33, 369classification, 373

856 Indexexplicit or implicit, 369,380-381algebraic numbers, 51algebraic geometry, 413, 709, 710-715Allegret, 235Allgemeine Lehrsatze, 493, 583Alsace-Lorraine, 243, 244amendement Grevy, 159Amiot, J ° Bo, 165, 249Ampere, Andre Marie(1775-1836),6,7,8, 14,16,17,19,22,26,32,33,34,38,41,43,44,51,141,263, 291, 292, 293force law, 17, 141,273,274,279, 309-310, 312, 757electrodynamics, 293analogies, 140, 141analyse algebrique, 7analytic function, 589analytic geometry, 710-715analytic, synthetic, geometry, 133analytical mechanics (see alsorational mechanics), 665analytical number theory, 216Andersen, Kirsti, xiiangular momentum, 478, 482, 486,492, 505, 509, 656angular velocity, 478, 482, 491Annales scientifiques de l'lf;coleNormale superieure, 236Annales de Chimie et Physique,17Annales de MathimatiquesPures et Appliquees,4,5Annuaire du Bureau desLongitudes, 63, 183, 218Appell, Paul Emile (1855-1930),207, 705, 706Arago, Dominique Fran

Index 857balayage, 629Balland, Colonel, 175, 240, 255Balland, Marie-Louise, 11Balland, Therese, 3Banquets RHormistes, 149-153, 156Bar-Ie-Due, 237, 238Barbey, Celine (born Liouville),189, 238, 251Barthelemy-Saint-Hilaire, Jules(1805-1895),166,168,169,257Beaumont, Elie de (see Elie deBeaumont)Beautemps-Beaupre, CharlesFran~ois (1766-1854),98,116Becquerel, Alexandre Edmund(1820-1891),17,259Beer, A., 633Begat, 221Beirut, 151Belanger, 29Belgium, 240Belhoste, Bruno, xii, 82, 84Bell, Eric Temple (1883-1960), 560Bellavitis, 731Beltrami, Eugenio (1835-1900), 231,746, 747, 750Berlin Academy, 59, 244-247Berlin group, 528Bernard, Claude (1813-1878), 259Bernoulli, Daniel (1700-1782), x,80, 301, 427, 513, 519,781Bernoulli, Jakob (1654-1705),134,179Bernoulli, Johann (1667-1748),134,234, 353, 354, 414, 427Bernoulli, Nicolaus I.(1687-1759),301,354Bernoullis, the, 356Berthollet, Claude Louis (1748-1822), 5, 149, 550Bertrand, Joseph Louis Fran~ois(1822-1900),v~i,48,77,81,84,93,102,103,116,130, 131, 152, 163, 191,197, 199, 206, 213, 214,224, 232, 242, 257, 259563, 579, 677, 678, 679,691,695, 717, 740, 742Bessel, Friedrich Wilhelm(1784-1846), 127, 700,717Bessel's equation, 473Bessel's function, 427Bessel's inequality, 617, 783Besge, 81, 189, 228beta functions, 73, 77Betti, Enrico (1823-1892), 132,152, 579, 580Bezout, Etienne (1730-1783), 356Biblioteque de l'Institut de France,xi, xiiBibliotheque nationale, 175Bibliotheque royale, 54Bienayme, Jules, 163, 178, 203Biermann, Kurt R., 245Binet, Jacques Philippe Marie(1786-1856),6,22,32,78,102,164,166,675rational mechanics, 93Binet, Paul, 6, 22, 23binomial integral, 416binomial theorem, 5biorthogonality, 461, 463Biot, Jean-Baptiste(1774-1862),17,32,43,46,54,63,64,82,88,98,149, 164, 171, 181, 183,185, 186, 222, 264, 275,278, 280, 293, 309, 462,655, 691on refraction, 100Biot and Savart's law, 264, 275,280, 308, 312biquadratic residues, 234biquadratic numbers, 232Bismarck, Otto von (1815-1898),240, 242, 243

858 IndexBjerknes, Carl Anton (1825-1903),xli, 84,192,202,206Blackburn, Hugh, 136Blanc, Jean Joseph Charles Louis(1811-1882),153,157,159Blanchard, Charles Emile(1820-?), 259Blanchet, Jos. Bernard Achille, 595Blanchet, P. H. (1795-1863),103,139, 223, 510, 511, 595Blanchet, Pierre-Armand-Charles(1819-?), 595, 606blank ballots, 168Blaschke, Wilhelm (1885-1962), 717Blignieres, Celestin de, 250Blignieres, Marie (born Liouville),256Blondel, Christine, 265Bacher, Maxime (1867-1918), 424,436,473Bohr, Niels (1885-1962),748Bologna, Academy of, 247Boltzmann, Ludwig (1844-1906),50, 663Bolyai, Janos (1802-1860), 747Bonaparte (see Louis-Napoleonand Napoleon III)Bonnard,98Bonnet, Ossian Pierre(1819-1892), 81, 84, 92,100, 128, 223, 248, 717,739, 743, 748, 749, 750Borchardt, Carl Wilhelm (1817-1880),126,127,185,186,231, 245, 247, 257, 528,529, 535, 542, 550, 551,557,676Born, Max (1882-1970), 705Boucharlat, 45Boulanger, Aug., 412Boulevard St. Michel, 175boundary value problems (see alsoSturm-Liouville theoryand Dirichlet problem),317,732Bouniakowsky, ViktorJakowlewich (1804-1889),192Bouquet, Jean Claude(1819-1885),173,201,213,214, 223, 224, 246, 247,256, 528, 529, 556, 557Bour, Jacques Edmond Emile(1832-1866), 190, 207,223, 224, 677, 686, 688,698Bourbaki, Nicolas, 240Bourbons, 13, 151, 152, 159, 174Bourges, 10Bourgne, R., 567, 569Bouvard, Alexis (1767-1843), 63,108,111Bouvard, Eugene, 108Bremen, 242Brion, 252Brioschi, Francesco (1824-1897),412Briot, Charles Auguste Albert(1817-1882),173,201,213, 214, 223, 224, 239,246, 256, 528, 529, 556,557Brocard, Henri (1845-1922), 81,259Brounker's continued fraction, 234Brush,290Bruxelles, 217, 458Academy of, 247Buch, Leopold von (1774-1853),186Bulletin des sciences mathematiqueset astronomiques,236Bureau des Longitudes, xii, 63-67,69,80,82,90,91,98-101, 111, 126, 128, 138,139, 142, 149, 154, 159,163, 165, 170, 178, 179,180, 182, 190, 207, 208,218, 230, 231, 235, 237,

Index 859239, 245, 258, 259, 316,520, 593, 653, 654, 655,656, 659, 657, 671, 672,678, 699Burgati, P., 704Butzer, Paul L., 203, 330calculus of probability, 14,73, 181,201,232,233calculus of variations, 73, 78, 601,680caloric particles, 290, 291, 293Cambridge Mathematical Journal,137, 142Cambridge and Dublin MathematicalJournal, 142, 145, 190,595Cambridge University, 135, 142Campbell, John Edward(1862-1924), 706canonical equations, 667, 687, 696,698, 699canonical transformations, 199,686-700Cantor, Georg Ferdinand Ludwig(1845-1918),526capillarity, 223cardinality, 526Carnot, Hippolyte (1801-1888),7,142,712Caspar, 529Cassini, Jean Dominique (GianDomenico) (1625-1712),90Catalan, Eugene Charles (1814-1894), xii, 34,76,81,84,102, 105, 149, 151, 152,170, 194, 229, 247Catholic church, 160Catholicism, 138Cauchy, Augustin Louis(1789-1857),6,7,10,11,18,19,20,39,45,46,58,64,74,75,77,78,79,81,82,84,88,90,91,92,93,94,95,96,97,98-99,103,124, 130, 131, 137, 152,154, 166, 167, 168, 172,173, 174, 179, 189, 198,203, 206, 215, 224, 259,312, 342, 360, 376, 435,439, 448, 449, 452, 455,518, 529, 542, 543, 544,548, 551, 556, 563, 574,575, 578, 579, 652, 713,741,779,782,783convergence criteria, 459error, 216integral formula, 294, 542,778Cauchy-Riemann equations, 540,542, 556, 591Caussidiere, Marc(1808-1861), 159Cavaignac, Louis Eugene (1802-1857), 159Cavenne, 160Cayley, Arthur (1821-1895), 102,137, 190, 235, 243, 659Cayx, R. J. B. C., 200celestial mechanics, 48, 65, 82, 99,100, 107, 147, 201, 231,637,639, 643-657centrifugal force, 273, 477, 702Ceres, 49Chalons-sur-Marne, 105Chateau-Rouge, 153Chatillon, 150Challis, James (1803-1882), 113Chamber of Deputies, 149, 153change of coordinates, 730Chaptal, Jean Antoine(1756-1832),5characteristic function, 668, 682Charles X (1757-1836),13,64Charon, M. C. (1798-1876), 162Chasles, Michel (1793-1880), 22,38,71,74,88,90,93,100,102, 103, 133, 137, 140,

860 Index147, 171, 172, 175, 176,178, 181, 185, 194-197,198, 216, 217, 223, 244,245, 247, 257, 528, 535,583, 592, 595, 634, 678,684, 709, 710-715, 712,713, 719, 726, 727, 739Chateauroux, 10, 15Chebyshev, Pafnuti Lvovich(1821-1894), 102, 176,202-205, 206, 367, 415,417, 488, 528Chelini, Domenico(1802-1878),750chemistry, 6, 93Chenneval, Odile, 212, 250, 252Cheppe, de, 12Chevalier, Auguste, 130,413,559,560, 561, 563, 572, 578Chevreul, Michel Eugene (1786-1889), 9, 186, 259Chopert, 241Christian Berg, xii, 628, 632Christoffel, Elvin (1829-1900),685, 755Chrystal, George (1851-1911), viiChurch, 167, 173Cimitiere du Montparnasse, 259circumscribed polygon, 719Citizen King (see also Lou is-Phillipe),13Claitaut, Alexis Claude(1713-1765),201,478Clapeyron, Benoit Pierre Emile(1799-1864),259classification of functions, 352,355, 373, 386, 391, 393Claude (depute de Meurthe), 253Clebsch, Alfred (1833-1872), 675,676, 677, 698Clement, Nicholas (1778-1841), 26Codazzi, Delfino (1824-1873), 746coils, 278Colbert, Jean-Baptiste(1619-1683)College Rollin, 41College de France, 8, 14, 24, 25,43,46,47,62,71,74,75,82,84,117,139,165-171,173, 175, 189, 190, 194,201-202, 208, 213, 215,216, 217, 232, 242, 244,245, 246, 248, 253, 255,258, 267, 462, 528, 654,655, 666, 676, 677, 679,691,708,727,751election I, 84election II, 168lectures, 171-173College Louis Ie Grand, 25, 84,122College Royale, 8College St. Louis, 4Colladon, Jean Daniel(1802-1893), 25, 26, 31Combes, Charles Pierre Mathieu(1801-1872), 186, 219Commercy, 3, 212, 217, 244, 250,252Commission du Journal et de laBiblioteque, 72Commission Mixte, 167, 170, 180committee of finances, 159Commune, 230, 240-244compact operator, 620, 628, 633compass and ruler, 79complementary functions, 304,323, 324, 344, 347complete quotient, 520complex function theory (see alsodoubly periodicfunctions), 7, 93complex integration, 124, 556Comptes Rendus des Seances deI' Academie des Sciencesde Paris, xi, 36, 38, 39,47,50,53,54,56,57,60,90,92,213,214,250,652Comte, Isidore Auguste MarieFran~ois Xavier (1798-

Index 8611857), 26, 42, 43, 250Condorcet, Marie Jean Marquisde (1743-1794),354,356,358, 369, 400, 402conducting elements, 265, 312conductivity, 289confocal hyperboloids, 700conformal mappings, 145,591,748conic sections, 5, 100, 353conjugate integrals of motion, 696Connaissance des Temps, 63,101,116, 164-165, 183, 218,219,231Conseil academique, 196, 198Conseil d'Instruction, 22, 198Conseil de Perfectionnement, 167,170conservative mechanical system,667Conservatoire des arts et metiers,203Constituting Assembly, 154-157,157-160, 162continued fraction, 233, 515, 520continuity, 7, 75, 216convergence, 75, 76, 82, 215, 452,461, 520convergence proof, 44, 74convergence test, 103convolution integrals, 307, 312coordinate systems, 716Copenhagen, 359Copenhagen University, xiiCordier, Pierre Louis Antoine(1777-1861),259Coriolis, Gustave G.(1792-1843), 6, 26, 27,29,31,32,38,42,46,125,707Corps liouvillien, 419corpuscular nature of heat, 290,293Coulomb, Charles Augustin (1736-1806),142,263,266,582coup d'etat, 160Cours d 'Algebre, 559Cours d'analyse et de mecanique,6,72-73,75, 167,200Courtial, 42Cousin, 252Cramer's method, 638, 659Crelle, August Leopold(1780-1855), 36, 37, 38,41,51,102,120,390,675,700Journal, 53, 102, 103, 127,139, 215, 365, 369, 382,390, 528Cremieux, Isaac Moise(1796-1880), 153Crimean War, 175Cross, Jim, 191Crozet, I., 12crucial experiments, 267, 272crystals, 103cumul, 31, 207curvature (see geodesic curvature)cyclic group, 574cyclic coordinates, 707cycloid, 314cyclotomic numbers, 95Dall'Acqua, 704Damoiseau, 650Dandelin,731Danish Royal Society, xiiDarboux, Jean Gaston(1842-1917),81,207,232,235, 236, 248, 249, 253,685, 705Darwin, George Howard(1845-1912),508Davy, Humphrey (1778-1829), 290Debain, P. 1. M. (1808-1888), 25Dedekind, Julius Wilhelm Richard(1831-1916),96, 132definite integral, 7, 50, 82, 110,189, 201, 216, 231, 233Degen, Carl Ferdinand

862 Index(1766-1825),359Delambre, Jean Baptiste Joseph(1749-1822), 63Delaunay, Charles Eugene (1816-1872),93,100,102,111,196, 208, 219, 239, 240,654Deligny, Edouard, 253Deloffre, 221Demonferrand, 9demonstrations, 152, 346Denmark, 240, 241Departement de Meurthe, 154, 157,160, 253Departement Isere, 13descriptive geometry, 6, 170, 712Desgranges, 168Desormes, Charles Bernard (1777-1862),26Despeyrous, 194determinant, 50, 191, 659developable surfaces, 73Deville, Henri Etienne SainteClaire (1818-1881), 106Dickson, Leonard Eugene (1874-1954), 717difference quotient, 329differentiability, 782differentiable manifold, 171differential field, 419differential forms, 171, 751differential geometry, x, 6, 171,172, 190, 201, 233, 234,413, 511, 680, 739-755differential equations (see also rationalmechanics), 7, 50,52,55,56,73,78,82,223,233, 294-301, 340, 352,374, 377, 392, 400, 424,448, 511, 658,665, 732algebraic solutions, 412solution in finite terms, 400-411first-order, 400fractional, 332-341fundamental formula, 320irreducible, 413, 418integration byquadratures, 409polynomial solutions, 377rational solutions, 378differential ring, 419differentiation of arbitrary order,263,281,303-349alternative definitions, 349British ideas, 346, 348Euler's definition, 330impact, 347Riemann's definition, 348differentiation under the integralsign, 332, 343Diguet, 163Dijon, 217Dinet,5Dini, Ulisse (1845-1918), 474, 746Dion, 162Diplome de Bachelier-es-lettres, 72directeur general, 12Dirichlet, Peter Gustav Lejeune(1805-1859), 36, 50, 52,53,70,74,75,76,79,82,84,85,88,94,96,97,102,127, 132, 142, 160, 181,183, 184, 185, 191, 192,193, 194, 202, 206, 208,210, 211, 213, 214, 215,217, 218, 227, 228, 232,245, 410, 421, 455, 457,458, 474, 487, 519, 524,557, 587, 588, 595, 598,711,779function, 75number-theoretical research,752on ellipsoids, 216principle, 141, 142,586,588,594, 625-628, 633problem, 588, 629, 632Disquisitiones Arithmeticae, 532Disquisitiones generales circa su-

Index 863perficies curvas, 163,685, 739divergence theorem (see alsoGauss's theorem), 586divergent series, 74, 342, 345, 376division theorems (see elliptic functions)Docteur es-sciences Mathematique,42Dolbina, Ivan P. (1853-1902),417Donkin, William Fishburn (1814-1869), 672, 679double points, 712double integrals, 50doubly periodic functions, 122-127,134, 147, 165, 172, 201,203, 213, 229, 231, 233,234, 246, 511, 527as inverse of elliptic integral,549duality, 712Dublin, 134Dubois, 72Dugas, Rene, 665, 666Duhamel, Jean Marie Constant(1797-1872),32,40,41,42,43,45,46,51,58,103,128, 152, 167, 170, 185,233, 586, 711Dulong, Pierre Louis (1785-1838),9, 26, 32, 42, 149, 259,288, 293, 776and Petit's law of radiation,288, 290, 291, 292Dumas, Jean Baptiste Andre(1800-1884), 26, 259Dupin, Pierre Charles Fran~ois(1784-1873), 14, 700,712, 715, 731, 739Dupont de l'Eure, JacquesCharles (1767-1855),153,156, 160, 161Durhuus, Bergfinnur, 748dynamometric break, 93e, irrationality of, 515e, transcendence of, 79, 80, 521,525Ecole Poly technique, viii, 5-9, 10,20,21,22,24,25,28,31,38, 39-43,47, 56, 63, 64,71-82, 84, 91, 105, 106,107, 122, 126, 129, 152,156, 157, 159, 161, 163,167, 170, 179, 180, 200,207,217,233,257,258,259, 344, 707, 712commandants, 71Conseil d' Administration, 72Conseil de Discipline, 72Conseil d'Instruction, 71, 72Conseille de Perfectionnement,71curriculum, 72, 167Directeur des Etudes, 71resignation of staff, 170Ecole Centrale des Arts et Manufacture,25-31, 39, 47,73,84Ecole des Mines, 10Ecole des Ponts et Chaussees,viii, 14, 17, 21, 22, 24,105, 107, 161,209,217Ecole du Genie, 10, 105Ecole Militaire, 63Ecole Normale, 129Ecole Normale Superieure, 200etoiles variables, 184Edwards, Harold M., vii, xii, 93,96, 97, 564, 571, 575eigenfunctions, 297,423,425,433,454, 601-632asymptotic behavior, 450, 782orthogonality, 449oscillation of, 444eigenvalues, 423, 425, 429, 454, 601-632asymptotic behavior, 450, 453infinity of, 445reality of, 444, 445, 450

864 IndexEinstein, Albert (1879-1955),190Eisenstein, Ferdinand GottholdMax (1823-1852), 102,230, 555elasticity, 223electoral reform, 150, 153electric fluids, 263, 293electrical images (see also inversionin sphere), 144electricity, 82, 140electrodynamics, ix, 14, 22, 141,262-281,757-758electromagnetism (see also electrodynamics),140, 263electrostatics, (see also inversionin spheres), 142, 147,582,728elementary force, 265elementary functions, 351, 352elements, 79Elie de Beaumont, Jean BaptisteArmand 1. 1.(1798-1874),27,31,186,250ellipses, 172, 717ellipsoid equilibrium (see also rotatingmass offluid), 477,583ellipsoid of revolution, 48, 478ellipsoidal harmonics (see Lamefunctions), 139ellipsoidal coordinates, 147, 511,700, 704, 716, 717, 718,725ellipsoids, 100, 133, 134, 147,480,496, 535, 581, 583, 622,700elliptic integrals, 7, 50, 51, 117,147, 352, 356, 369, 394,415, 417, 385, 530, 648,651,652,716-727of the first, second, and thirdkind,357reduction of, 357, 367elliptic coordinates, 172elliptic curves, 93, 103, 127-129,147,727elliptic elements, 107, 639, 643elliptic equation, 234elliptic functions(see also doubly periodicfunctions), 117, 127, 130,147, 172, 194, 205, 227,233, 235, 246, 360, 480,527, 528, 529, 530, 535,544,707,717division of, 117,528,551,725Ellis, R. E., 135Encke, Johann Franz (1791-1865),113, 114, 115, 674, 676Engineering Corps, 91English, 218epicycloid, 735equality, 156equicontinuous, 518equilibria, pear-formed states of,508equilibrium, 101, 142,478,485equilibrium distribution, 584, 594,603equilibrium figure, 48error analysis, 163Euclid's algorithm, 515Euler, Leonhard (1707-1783), 7,53, 79, 80, 94, 95, 163,202, 233, 234, 235, 306,340, 348, 353, 356, 427,428, 515, 519, 639, 669,699, 704, 715, 727, 735,742, 779arithmetical works, 204elliptic integrals, 733formulas, 353exact differential, 278, 673"exceptions", 348exchange of limit procedures, 518Executive Commission, 157, 159Exercices Mathematiques, 173existence of a minimum, 626existence proof, 20

Index 865existence theorems, 76, 424, 448of potentials, 584expansion of functions (see alsoSturm-Liouville theory),297, 499explicit, (see also finite explicitfunctions), 351exponential series, 297, 304, 312,342,369expansion in, 320, 321, 322expansion of z\' 322expansion of polynomials, 322expansion of trigonomic functions,322Exposition du Systeme, 653external problems (see alsoisoperimetric property),172Fabricius (from Aquapendente orFabrici, Girolamo)(ca. 1533-1619),90Faculte des lettres, 25, 178Faculte des Sciences, 8, 25, 174,176, 193, 194, 196, 207,211, 215, 218, 244, 237,242, 243, 247, 249, 252,253, 258, 654, 707, 713,715, 767-770Fagnano, Giulio Carlo(1690-17607), 356Faraday, Michael (1791-1867),140,141, 266experiment, 272, 273, 278Faurie de, 208Favre, Jules, 241, 243Favre, Rolin, A.M.Faye, Herve (1814-1902), 83,84,92,95,104, Ill, 112, 181,221, 250, 257, 258Ferdinant, 211Fermat, Pierre de (1601-1665), 94,179primes, 532Fermat's last theorem, 94-97Ferrusac's Bulletin, 17,36,37,41Fibonacci, 90field theory, 266figure of the earth, 477figures of equilibrium, 477final causes, 653finite differences, 73finite explicit functions,classification of, 351Fleury, 85Flocon, Ferdinand(1800-1866), 153Flourens, J. P., 186, 222,235fluid, 100fl uid ellipsoids (see rotatingmasses of fluid)fonctions elliptiques, 194Fontaine, Alexis (1704-1771),354, 358, 367Fonvielle, 93Forest, 217Forbach, 241Forbes, 137Force Five (see also kineticenergy), 489-492force vive, 73, 656forces act at a distance, 291Foucault, Jean Bernard Leon(1819-1868), 164pendulum, 163-164Foundation Danoise, xiifoundations of mathematics, 76Fourcroy, Antoine Fran«ois de(1755-1809),5Fourcy, Lebebure de(1785-7), 77, 176, 198,233Fourier, Jean Baptiste Joseph(1768-1830), 7, 13, 14,17,18,19,20,21,26,54,82, 130, 131, 179, 215,281, 293, 304, 306, 327,430-432, 446, 451, 516,778, 779, 781, 782

866 Indexheat equation, 282-286theorem, on number of roofs,431Fourier integrals, 319, 590Fourier series, 74, 82, 215, 283,319, 342, 425, 432, 446,450, 455, 461, 615, 619convergence, 451-455, 471sum of, 455-460fractional calculus (see alsodifferentiation ofarbitrary order), ix, 32,35, 121, 128, 206, 230,233, 297, 303-350Franco-Prussian War, 240-244Francoeur, Louis Benjamin(1773-1849),32,57,152fraternite, 153, 159Fredholm, Erik Ivar (1866-1927),620, 633Fremy, Edmond (1814-1894),200,222French State, xiiFrench language, 137, 142Frenet, Jean Frederic (1816-1900),11,740formulas, 740Fresnel, 27, 31,141,166,290,291,293wave theory, 776friction, 290Frobenius, Ferdinand Georg(1849-1917),413Fuchs, Immanuel Lazarus(1833-1902),408,412functions, 386, 391of the first kind, 351of the nth kind, 351of the second kind, 351functional analysis, 424functional equations, 75functions, infinitely oftenoscillating, 457fundamental theorem of algebra,77, 124, 147, 234,544fundamental formula, 307Fuss, Nicolaus (1755-1826), 103Fuss, Paul Heinrich (1797-1855),519r-function, 72, 77, 189, 190, 307,323Galilei, Galileo (1564-1642), 90,121, 637Galle, Johann Gottfried(1812-1910), 111, 112Galois, Alfred, 561,562,563Galois, Evariste (1811-1832), vii,18,19,104,122,129,130,413, 422, 535, 559, 577friends, 560-564group, 413,533,547,565papers, 121Galois theory, x, 52, 122,129-132,147, 197, 202, 229, 234,363-364, 422, 511, 533,559, 564-567, 759-766Galois resolvent, 565Gambetta, Leon (1838-1882), 241Gare du Nord, 175Garnier-Pages, Etienne JosephLouis (1801-1841), 153,157Gauss medal, 187Gauss, Carl Friedrich(1777-1855), xii, 53, 59,61, 78, 85, 95, 100, 102,117, 118, 122, 127, 130,146, 163, 178, 186, 191,212, 215, 231, 232, 234,340, 354, 493, 511, 529,532, 566, 582, 583, 585,591, 593, 595, 609, 626,634, 649, 685, 709, 729,733, 741, 742, 747, 748,749,753Allgemeine Lehrsiitze, 592,593, 595Disquisitiones generales circa

Index 867superficies curvas, 709,741,747existence proof, 626, 627theorem, 583,586,593theorema egregium, 171, 743,751problem in potential theory(see also Dirichlet problem),584, 587, 588, 599,600, 622, 632, 733Gauss-Bonnet theorem, 747, 748Gaussian curvature, 743, 750Gaussian integers, 121, 532Gay-Lussac, Joseph Louis (1778-1850), 26, 32gelatin, 241general theory of relativity, 190generality of algebra, 7generalized coordinates, 640, 666generalized momenta, 667generating function, 673Geneva, Academy of, 247geodesic line, meaning of, 717geodesic triangle, 726, 749geodesics, x, 100, 134, 147, 511,535, 685, 700, 702, 753arc length, 720curvature, 171, 748, 749, 751ellipsoid, 709, 714, 716, 717Poncelet trajectory, 724geodesy, 6, 9, 100, 107geographic maps, 729, 748geometric mean, 81geometrical curves, 353geometry (see also differential geometry,synthetic geometry,projective geometry,analytic geometry), 93,101, 132-134, 145, 147,163, 246, 303, 316, 511,707, 709-756algebraization, 637Gergonne, Joseph Diez(1771-1859),4,5,19,20,21, 35, 446, 712Annales, 19, 36, 37, 38, 44,281Germain, Sophie (1776-1831), 36,739German papers, 218Germans, 218, 227Germany, 97, 240, 709Gerono, Camille Christophe (1799-1891),741Gervais, 748Gibbs, Josiah Willard (1839-1905),50,663Gilain, Christian, 354, 448Girard, Pierre Simon (1765-1836),32Giusti, Enrico, 343Glasgow University, 135, 139, 143global theory, 511Goldbach, Christian (1690-1764),x, 80, 301, 513, 519Goldschmidt, Hermann(1802-1866), 178Gapel, Gustav Adolph(1812-1847), 126Gattingen, 186, 188, 206Gattingen, Academy of, 247Grand Prix de Mathematique, 96,97, 126Grandpierre, 237, 238Grattan-Guinness, Ivor, xii, 87Gravelotte, 241gravitation, 135,311,477,581,582,716Greatheed, S. S., 121, 348Grebus, 161, 177Greek, 218Green, George (1793-1841), 100,136, 137, 138, 139, 143,144, 583, 588, 595, 626,634Essay, 586, 594, 595rotating fluids, 595Green's first theorem, 586Green's function, 474, 587, 588Green's second theorem, 586

868 IndexGreenhill, 417Gregorian calendar, 88-89Gregory, James (1638-1675), 353,356,778Grenoble, 11, 12group of transformations, phasespace, 657group theory, 413, 578growth at infinity, 376Grunwald, A. K., 330Guizot, Franc;ois Pierre Guillaume(1787-1874), 151, 153,165Haagerup, Uffe, xiiHachette, Jean Nicolas Pierre(1769-1834),32Hadamard, Jacques (1865-1963),704,706Halley, Edmond (1656-1743),113Halphen, Georges Henri(1844-1889),207Hamilton, William Rowan (1805-1865),134,201,666,669,673,674equations, 50, 657, 661, 663,667, 671, 674, 687, 698Hamilton's principle, 667Hamilton-J acobi, 733equations, 101, 190,669,677,682, 683, 703, 704formalism, 666-670, 675, 677,682, 684, 718Hamiltonians, 678Hansen, Peter Andreas(1795-1874),645Hansteen, Christoph, 359Hardy, Godfrey Harold(1877-1947),365,414,419, 418harmonic function, 141, 142,591Haupt, Otto(1887-?), 705Haussmann, Eugene (1809-1891),175, 187heat, ix, 18, 35, 281-293, 297molecular model, 286conduction, 21, 82-83, 141,281, 298, 318,426,451,446,475,496,589,717in sphere, 281stationary, 582equation, 282-286physical nature, 290Heaviside, Oliver (1850-1925), 778Heine, Heinrich Eduard (1821-1881), 139,474,498helicoid, 717Hermite, Charles (1822-1901), vii,80, 81, 84, 93, 100, 102,116, 117, 122-127, 140,165, 172, 197, 203, 207,214, 227, 245, 526, 528,529, 534, 535, 548, 554,562, 563, 579, 717Herschel, William (1738-1822), 112,113high-energy physics, 747Hilbert, David (1862-1943), x, 139,474, 475, 589, 620, 633,634,705,747space, 425, 475, 603Hilbert-Schmidt, 628Hind, John Russel(1823-1895), 181Hire de la, 726Hirst, Thomas Archer (1830-1892),84,243history of mathematics, 52, 392Holmgren, Hjalmar, xii, 58, 84,176,202,205,227,230,250, 320, 341, 633, 634holomorphic function, 743holonomic constraints, 640, 663,667homogeneous sphere, 581Hooks law, 704, 718Hopkins, William (1793-1866),136, 137

Index 869I'Hospital's well-known rule, 77Hotel de Ville, 153Houel, Guillaume Jules(1823-1886),81,231,232,236, 249, 747Humboldt, Friedrich WilhelmHeinrich Alexander von(1769-1859),115,185,245,675Hurwitz, Adolph (1859-1919), 518Huygens, Christiaan (1629-1695),51, 179hydrodynamics, 73, 101, 201,489hydrostatics, 201hyperbolas, 717hyperboloids, 496hypergeometric equation, 304, 340imaginary points, 712imperialists, 157implicit finite functions, 394imponderable fluids, 293incompatibility of functions, 157incomplete quotients, 520indeterminacy, 279Indre, 10inelastic impact, 291inequalities, 50infinite quantities, 187infinite series, 233, 234, 312, 353,513convergence of, 344, 458"neither convergent or divergent",342infinitely small exponents, 321infinitesimal calculus, 29infinitesimals, 344Ingram, 731initial value problems, 317Institut de France, 15, 32, 36, 37,43,71,151,175,208,437,444instruments, 63integral calculus, 209integral equations, 33, 147, 280,305, 312, 319, 339, 452,453, 454, 474, 481integral operators, x, 139, 511,601-605integrable systems, 700-706d'integrales multiples, 190integrals, 76integrating factor, 661integration in algebraic terms, 369-382integration in finite terms, ix, 33,35,54,56,147,203,213,297,351-422Abel's influence on Liouville,381analytic and algebraic methods,376, 383, 418, 420differential equations, 400, 412eXy (y algebraic), 390elliptic integrals, 410further developments, 411-422integration by quadratures,409Liouville's theorem, 352generalizations, 390, 394monograph,351prehistory, 352rational differential equation,linear second-order, 404Riccati equation, 411unpublished treatise, 392integro-differential equations, 590Intellectual Exposition, 237interchange of I; and J, 343Intermediaire des mathematiciens,259international contacts, 97international collaboration, 97, 102intrinsic geometry, 750, 751inverse tangents, 234inversion in spheres, 147, 163,709,727-739irreducible equation of prime degree,567

870 Indexirreducible factor, 565Isere, 12isoperimetric property, 133isothermal surfaces, 141, 742isothermal line element, 745isothermal coordinates, 702, 704,717,742Italy, 152, 175, 217Ivory, Sir James (1765-1842), 50,101, 482, 486, 583, 785Izarn, 140Jacobi, Carl Gustav Jacob (1804-1851),18,36,38,48,49,59,61,78,95, 100, 101,102, 112, 117, 124, 126,127-129, 130, 133, 140,188, 191, 199, 201, 212,215, 234, 245, 319, 368,479, 481, 482, 528, 530,535, 551, 555, 556, 563,578, 655, 659, 661, 665,666, 667, 669, 673, 674,677, 680, 683, 686, 698,700, 702, 704, 707, 708,710, 711, 714, 716-727,786ellipsoid, 50, 101,479-482,485,486, 487, 488, 492, 502,503, 511ideas on rational mechanics,674last multiplier, 699Liouville's theorem, 676-677three-body problem, 669Jan-Erik Roos, xiiJeans, J ames Hopwood (1877-1946),508Jeremy Gray, xiiJesuits, 88, 152, 255, 256Joachimsthal, Ferdinand(1818-1861),126,127,209,528, 550, 715, 716Jongmans, F., xii, 152, 170,203,247Jordan, Camille (1838-1922), 81,132, 207, 235, 236, 237,412, 422, 562Journal de Mathimatiques pureset appliquees (see Liouville'sJournaOJournal fur die reine und angewandieMathematik, 36Journal de I'Ecole Polyiechnique,36, 72, 245, 303, 379Journal des Debais, 253Journal des Savants, 235, 236Jupiter, 49, 50,111,179,181,645,646, 650, 651Jussieu, Antoine Laurent de (1748-1836), 259Kaplansky, Irving (1917-), 413,414Kasper, Toni, 352Kaufmann-Buhler, W., xiiKelland, 54Kelvin, Lord (see Thomson,William)Kelvin transform, (see also inversionin sphere), 144,728Kepler's laws, 639, 644Kepler's equation, 362, 394Kergrohen, de, xiiKhanikof, N. W. de (1819-1878),234,243Kiernan, B. M., 561, 562,578kinetic energy, 509, 640Kirchoff, Gustav Robert (1824-1887), 245, 473, 665Klein, Felix (1849-1925),412,473,628Kline, Morris, 125, 782, 784Kneser, Julius Carl Chr. Adolph(1862-1930), 474, 475Knudsen, Ole, 141,265Kogan, 230Kolchin, Ellis Robert (1916-), 413,

Index 871414Konigsberger, Leo (1837-1921), 413,418, 676Kronecker, Leopold (1823-1891),102,227, 244, 245Kummer, Ernst Eduard(1810-1893),95,97,102,232Kuz'min, 515Laboulay, x, 248, 258Lacroix, Sylvestre Fran~ois (1765-1843), 7, 14, 32, 43, 52,56,64,77,84,86,88,120,306, 347, 379, 560, 779Laflize, G. C. C. (1798-1880),162Lafon, Adrien, 679LaGournerie, 170Lagrange, Joseph Louis(1736-1813), x, 5, 7, 14,40,52,63,65,73,74,80,95, 101, 108, 110, 198,234, 283, 363, 428, 439,478, 520, 521, 565, 581,637, 638, 639, 642, 644,652, 667, 672, 669, 686,704bracket, x, 198, 641equations, 641, 667, 701formalism, 640, 704potential, 581Mecanique Analytique,637,641, 649, 677variational methods, 201Laguerre, Edmond (1834-1886),207Lalande, Joseph JeromeLefran~ais de (1732-1807),251Lalande, Michel Jean JeromeLefran~a( o)is de (seeLefran~ois Lalande)Lallemand, 249Lamarle, Ernest, 93, 126, 231Lamartine, Alphonse Marie Louisde Prat de (1790-1869),153, 157, 159, 160, 161Lamb aIle , Jobert de, 200Lambert, Johann Heinrich (1728-1777), 79, 394, 515, 516Lame, Gabriel (1795-1870), 32,38,42,45,46,90,91,94,95, 116, 141, 176, 178,185, 223, 496, 497, 583,586, 591, 678, 730, 753functions, 101, 139,473,496-498, 498, 501, 503, 509,510, 511, 583, 595, 599heat conduction, 583Laplace, Pierre Simon(1749-1827), viii, 7, 14,19,33,48,50,63,65,82,100, 107, 110, 142, 149,179,263, 264, 288, 291,300, 306, 332, 357, 369,382, 386, 477, 478, 479,480, 481, 485, 486, 493,509, 510, 582, 583, 639,644, 647, 649, 652, 653,655, 659, 714, 777, 786equation, 141,474,496,497,582, 732harmonic equation, 582heat equation, 282-286Mecanique Celeste, 48,65, 179,479, 481, 484, 485, 493,509, 510, 639, 643, 649,650, 652, 655moon, 653potential theory, 201spectral theory, 475spherical harmonics, 583transform, 300, 334Laplacian physics, 19, 21, 32, 281Largeteau, Charles Louis (1794-1857),111last multiplier, 661, 665Latin quarter, 26Laugier, Paul August Ernst

872 Index(1812-?), 98, 183, 221,222Laugwitz, Detlef (1932-), 343Laurent, Paul Mathieu Herman(1841-1908),81, 83,84,104, 248, 259Lavoisier, Antoine Laurent (1743-1794),291law of varying action, 668Le Roy, Edouard, 631Le Verrier, Urbain Jean Joseph(1811-1877),vlii, 10,65,66, 70, 81, 84, 97, 100,102, 104-116, 151, 167,168, 174, 176, 180, 186,198, 200, 208, 218-222,239, 240, 247, 257, 562,654least action, 190least squares, 178, 179Lebesgue, Henri Leon (1875-1941),248, 627, 737Lebesgue, Victor Amedee (1791-1875), 38, 103, 203, 232Ledru-Rollin, Alexandre Auguste(1807-1874),153, 157,159Lefebre, Robert, 656Lefran

Index 873Liouville, Celine (see Barbey)Liouville, Claude-Joseph, 3, 161Liouville, Edmond, 242Liouville, Ernest (?-1880), 177,241,258Liouville, Felix Silvestre Jean Baptiste(1803-1860), 3,217,224, 238Liouville, Joseph (1809-1882)administration, 71, 92, 97affinity to death, 250, 255applications, 72, 170archenemies, viiiastronomy, 180avertissement, 559Besge pseudonym, 81Bordeaux archive, viicase of complete integrability,665coherence of work, 146-147collected works, viicommentaries, 567-576criticism of Laplace, 481didactical ideas, 688differential equation, 745domestic life, 250-251election poster, 156exceptions to rules, 344external examiner at Ecole Polytechnique,217finances, 63, 164, 209, 248foreign languages, 132, 205foreign visitors, 132-134fourth theorem, 554grave, 259health, 70,139,162,177,189,209-213history of his science, 100honors, 187,203,224-225,244hospitality, 137integrable systems, 101, 707Journal, vii, xi, 35, 39, 43,48,58,60,71,75,81,92,93,102-104,123,128,134,139, 145, 184, 193, 203,205, 211, 216, 218, 246,417, 421, 557, 563-595,606, 650, 671, 675, 677,678, 700, 715, 728, 730,740,743juryman, 237lecture on Mechanics, 679Nachlass, vii, ix, xi, 483, 484,510,527,567,751Officer of the Legiond 'Honneur, 224opinion of Cauchy, 84, 213-215orator, 92, 119pattern of discovery, 374philosophy, 714political freedom, 208politician, 149, 176,218,237,250, 255posthumous reputat.ion, 258-260principle, 123, 387, 537process of discovery, 688public life, 224, 237-240publication habits, 69, 229qualitative theorems, 634re-evaluation of Jacobi, 481religion, 252reviewer, 92, 213second theorem, 554supervisor, 104, 128teacher, 72, 81, 83, 171,200,201-202, 232, 767-770theoremcomplex functions, 123,538, 548conformal mappings, 146,730doubly periodic functions,x, 534-544, 548, 554integration by quadratureof Hamilton's equations,100, 190, 670-673, 677-679integration in finite terms,

874 Index34, 360, 368, 386, 390"on the volume in phasespace", 657-665, 689transcententalnumbers,524third theorem, 554Toul,69training periods, 217transformation, 453travels, 217understanding of Galois theory,478-579unpublished ideas, vii, viii, 229unpublished projects, 78,392,471,484,511,576unpublished results, 395Weierstrass' evaluation of, 245wine grower, 188Liouville, Henri (1837-1887), 204,225, 238, 241, 244, 249,250, 253, 254Liouville, Louise (see Ruau or Liouville,Marie Louise),251,252Liouville, Marie (see Blignieres)Liouville, Marie Louise, (born Balland)(1812-1880), 185,205, 257, 258Liouville, Roger (1856-1930), 249Liouville, Sophie (see Picard), 217,238, 254"Liouville action", 747Liouville, Therese (born Balland)(?-1830?),254Liouvillian field, 419Liouvillian line element, 706Liouvillian number, 80, 523, 525Liouvillian surfaces, 706Lipschitz, Rudolf Otto Sigismund(1832-1903),190,685,755Liquid on a kernel, equilibrium of(see also seas), 492,Littlewood, John Edensor (1885-1977), 365live force, 493Lobachevski, Nikolai Ivanovich(1793-1856),747Loewy, Maurice (1833-1907), 235,240logarithmic functions, 353logarithmic potential, 634logarithms, 5Loi Falloux, 167, 173, 174Lomadze, 230long periodic inequality, 645Longet, Fran

Index 87584,235map projection, 729, 742Marais quarter, 25Marie de Saint-Georges,Alexandre P. T. Amable(1795-1870), 153,157, 170Mars, 181,651Marseille, 217Mathematical Papers, 667mathematical induction, 81mathematical physics, 82, 245mathematics prize, 96Mathieu, Claude-Louis(1783-1875),9,22,65Mathieu, Emile Leonard (1835-1890),22,26,41-42,47,98,99,183,207,219,221,235, 254, 347, 650Maupertuis, Pierre Louis Moreaude (1698-1759), 669Maurice, 16, 263, 278Mauvais, 183maximal geodesic polygon, 719Maxwell, James Clerk(1831-1909),266,663Mayer, 25, 31mean anomaly, 643Memoires des Savants Etrangers,35,650mechanical curves, 353mechanics, x, 14, 28, 29, 43, 167,245, 253, 303, 334, 511,637-708,716-727Mellin transform, 300method of least squares, 649metric system, 5, 93Metz, 241Meyer, C. 0.,482Michon, 253microscopic causes, 293microscopic models, 293microscopic interactions, 293, 312military careers, 175Minding, Ferdinand (1806-1865),716, 743, 744, 746, 748,749,750development of surfaces, 743problem, 748minimal geodesic polygon, 719Minister of Education, 24, 98, 115,168, 169, 176, 184, 196,221, 233, 239Minister of State, 224minor planets, 49Miquel, A., 731Miscellanea Taurinensia, 52Mittag-Leffler, Gosta Magnus(1846-1927),84,85,104,205, 207, 227, 230, 234,236, 250Mobius, August Ferdinand (1790-1868), 713, 731moderation, 161modernists, 293Moigno, L'abbe Frant;oisNapoleon Marie (1804-1884), 56, 448molecular model, 281molecules, 263, 290, 291, 312moment of inertia, 478monarchists, 157, 160Monge, Gaspard (1746-1818), 5,7, 14, 146, 163, 171, 712,739,740,743,748Application de I'analyse a fageometric, 730, 739, 709Moniteur, 176Monna, A. F., 589monomial of the nth kind, 351monomials of the first kind, 351monomials ofthe second kind, 351Montpellier, 35moon, 93, 100, 220Mordukhai-Boltovskoi, D. D.(1876-1952),419Morin, 170Mourey, 77, 78multi-valued functions, 400multiple integrals, 190

876 Indexmultiple eigenvalues, 613Nancy, 3,150,157,161,162,217Napoleon III (Charles Louis N.Bonaparte) (1808-1873)(see also Louis-Napoleon),3,159,167,160,174,175,176, 239, 240, 241Napoli, Academy of, 247National Guard, 159National, 150, 151, 153,157National Assembly, 244N avier, Louis Marie Henri (1785-1836), 10, 19, 42, 43, 46,76, 77, 78, 292, 347, 379Neptune, 104, 111-116, 180, 181,220Neuenschwander, Erwin, viiNeumann, Carl Gottfried (1832-1925),589,629,631,632,633Neumann, Franz Ernst(1798-1895), 103Neveu, A., 748Newton, Sir Isaac (1642-1727), 3,127, 210, 290, 353,478,581, 637law, on heat conduction, 282,283, 288Principia, 637second law, 640third law, 266, 267Niewenglowski, 235Nimes, 217non-Euclidean geometry, 231, 746,747, 753noncanonical systems, 199normal subgroup, 566, 573Nouvelle Annales deMathematique, 236, 741number theory, 14, 191,202, 209,223, 232, 233, 234, 246oath of loyalty, 64, 154Oberwolfach, xiiobliquity of the ecliptic, 110Observatory, 63, 108, 178, 180, 182,218, 222, 239, 243Oceanus, 113OMon quarter, 242, 243Odense University, xiiOlbers, Heinrich Wilhelm Matthias(1758-1840),181Oldenburg, Henry (1618-1677), 353Olesen, Poul, 748OlJivier, Emile, 239Onofri, E., 748Opera, 175operational calculus, 348oppression, 176orbit plane, 643Ore, Oystein (1899-1968), 359Orleanists, 157, 1590rsted, Hans Christian (1777-1851),263, 264, 265, 273orthogonal coordinates, 702, 704orthogonal surfaces, 739orthogonality, 425, 444, 498, 620oscillations of chains, 318Oslo, 359Ossian Bonnet, 733Ostrogradsky, Mikhail Vasilevich(1801-1862),203,414,415,416, 586Ostrowski, Alexander (1893-), 419Palais royal, 243Pappus of Alexandria(fl. 300-350), 353parabolic coordinates, 717parallel postulate, (see also non­Euclidean geometry), 231,747Paris, 12, 13, 22, 37, 97, 250bombardment of, 242capitulation of, 243Paris Observatory, 111, 178

Index 877Parseval, Marc Antoine(1755-1836), 17,294Parseval's inequality, 784partial fractions, 353, 414partial differential equations, 21,317Partie de l'ordre, 160, 162, 167Pascal, Blaise (1623-1662), 3, 81,100, 179Passot, 93Peacock, George (1791-1858), 121,346,348Peaucellier, Charles N.(1832-1913), 254Peiffer, Jeanne, vii, 217, 527, 529,535, 537, 557Pelouze, Theophile Jules (1807-1867), 70, 137, 150, 151,152, 185, 199, 200, 210,224Pepin, P. T., 412perfect numbers, 234perihelion, 109, 643period parallelogram, 123periodic inequalities, 645periods, 123permanence of equivalent forms,346permutation tourante, 578permutation, 131, 564personal errors, 180perturbation theory, 50-51, 82, 198,637, 638-642, 659, 691perturbations of comets, 163perturbations of planets, 650Petersen, Jens Lyng, 748Petit, Alexis Therese (1791-1820),98, 288, 293, 776Peytier, 221Pfaff, Johann Friedrich(1765-1825),340,669, 674phase flow, 657phase space, 50, 698phenomenology, 293Philadelphia, Academy of, 247physics, 6, 18, 146Picard, Charles Emile (1856-1941),20, 207, 250, 254, 412,413, 448, 562Picard, Louis Joseph Ernest (1821-1877),238,243,244,247,255Picard, Sophie (born Liouville)Picard-Vessiot theory, 413Pinet, 153Place de l'Odeon, 175plagiarism, 337Plana, Giovanni (1781-1864),245Planck, Max, 665plane curves, 353planetary theory, 48, 49, 73, 93,637, 641Plato (427-347 BC), 162Plucker, Julius (1801-1868), 38,102, 713, 731Poincare, Henri (1854-1912), ix,101, 204, 237, 412, 424,464, 473, 477, 487, 497,501, 503, 505, 508, 510,511fundamental functions, 589,629-632, 634, 653, 688Poincare, Raymond (1860-1934),244Poincare-Hopfindex theorem, 511Poinsot, Louis (1777-1859), 5, 24,43, 54, 93, 96, 99, 120,154, 166, 185, 222points at infinity, 712Poisson, Simeon-Denis(1781-1840),7,9,17,18,19,20,32,33,34,35,36,39,41,42,47,48,50,51,54, 56, 63, 64, 82, 106,107, 118, 130, 131, 140,142, 191, 198, 281, 288,289, 290, 291, 293, 319,342, 347, 369, 379, 382,386, 391, 432-435, 446,

878 Index451, 459, 461, 560, 564,582, 641, 642, 645, 646,647, 650, 667, 672, 674,675, 686adoption of Liouville's ideas,292brackets, 198,642, 671, 672,674, 675, 677,686-699diffraction of light, 776equation, 582heat equation, 282-286on Liouville's theorem, 673-674rotating masses of fluids, 592theory of heat, 14Poisson's spot, 776Poitiers, 10polar coordinates, 717poles, 123Polyakov, 747polygonal numbers, 234polynomial equations, 5, 564Pommaret, J. F., 413Poncelet, J ean-Victor (1788-1867),14,36,107,133,185,712,713,714trajectory, 724closure theorem, 724Pontecoulant, Philippe G. de(1795-1874),51, 57,65,107-110,173,650,654Pope, 160positivism, 42, 293postal service, 102potential energy, 489, 584potential theory, x, 35, 82, 93, 100,101, 141, 147, 195, 200,216, 233, 495, 496, 511,581-634, 667Pothier, 29Prange, G., 666, 698, 705Primform, 412primordial truths, 345Prince President, 160principal function, 668principe des aires, 73Principia, 210, 581principle of least action, x, 669,680,753geometrization, 666Prix Bordin, 97Prix Lalande, 98Prix Poncelet, 98prize competitions, 97-98probability (see calculus of probability)problem solver, 76problem of moments, 777Proci~s Verbaux du Bureau des Longitudes,xi, 63, 182progressive, 157projective geometry, 100, 133, 145,710, 712, 713Prony, Gaspard Franc;ois ClaireMarie Riche de (1755-1839),5,9,32,47,63proof, 97proof-generated assumptions, 455propagation of sound, 191prosecutions, 162Prouhet, Eugene, 76, 741provisional government, 153pseudosphere, 746Public School System, 24-25Puiseux, Victor Alexandre (1820-1883),196,198,208,221,223, 556, 740Puissant, Louis (1769-1843), 32,43pure mathematics, xquadratic residues, 234quadratic forms, 191,232quadrature of the circle, 79, 515,526quadrature of the hyperbola, 353quadrature of the parabola, 234quantum mechanics, 666quantum Liouville theory, 748

Index 879Quatremere, 168Quetelet, Lambert AdolpheJacques (1796-1874),152, 153, 731Correspondance mathimatiqueet physique, 36Raabe, 103radicals, 149radius of curvature, 752Raffy, Louis, 417Rambouillet, 244rational mechanics, 8, 28, 50, 78,100, 147, 172, 189, 190,201, 231, 511, 637, 665-666rational functions, 81, 353rationally known quantities, 564Rayleigh, Lord (Strutt, JohnWilliam) (1842-1919),473, 605, 633quotient, 613Rayleigh-Ritz method, x, 139,605,606, 608, 618, 625, 626,627, 628, 633!Malis, 249reality of eigenvalues, 620reciprocity, 188, 192rectangular coordinates, 717Recteur,25rectification of the ellipse, 234, 353la !Mforme, 153refraction, 82, 93, 164Regnault, Henri Victor(1810-1878),72,139,140,143, 144, 146regularity conditions, 582Reich, Karin, 709, 717, 739, 746relative stability, 493represent ants du peuple, 157Resal, Henri (1828-1896), 236, 237republicans du lendemain, 157republicans de la veille, 156residues, 126, 542, 551revolution1789, 5, 63, 1541830, 13, 201848, 149, 153-154Reynaud, 5, 42Riccati, J acopo Francesco (1676-1754),22equation, 22, 294, 298, 352,410, 418, 428Ricci-Curbastro, Gregorio (1853-1925), 190, 685Richard, Louis Paul Emile, 122,562, 563Richter, G. R., 634Riemann, Georg Friedrich Bernhard(1826-1866), x, 142,171, 206, 245, 348, 487,510, 556, 589, 628, 685,741, 747, 748, 751, 753,755harmonic functions, 592holomorphic function, 748surfaces, 556, 589Riemannian manifolds, 747, 751Riemannian metric, x, 172, 190,685, 753Riemann-Liou ville definitionof arbitrary order, 303, 320of derivative, 303rigid bodies, 73, 208rigor, 74-76,120,342-346,443,748,782Risch, Robert H., ix, 420Ritt, Joseph Fels (1893-1951), 373,394, 395, 413, 414, 419,420Ritter, 65, 93, 655Ritz, Walter (1878-1909), 633Roberts, Michael, 93, 100, 134,715,729, 731Roberts, William, 134Roberval, Gilles Personne de(1602-1675),73,737Rodrigues, Olinde(1794-1851),102

880 IndexRoeland, 202Rolle's theorem, 228, 234Rollin, Favre, 3, 337Rome, 160Roos, Jan-Erik, 205, 227Rosenhain, Johann Georg (1816-1887), 126Rosenlicht, Maxwell (1924-), 419,420Ross, Bertram, 306, 313, 314, 315,779rotating masses of fluids, ix, 48,101, 135, 139, 147, 165,203,229,477,716Royal Society of London, 15, 146,247Ruau, Louise (born Liouville), 253Ruau, Joseph, 253rue Liouville, 259rue Saint-Louis, 27rue d'Enfer, 27rue de l'Est, 71rue de l'Odeon, 243rue de Conde, 175, 189, 243, 250rue de Salvateur, 70,186,235,253,259rue de Savoi, 250, 258rue de Sorbonne, 71,175,189Rumford, Count (BenjaminThompson) (1753-1814),290Saint-Hilaire, Barthelemy(see Barthelemy-Saint­Hilaire)Saint-Marcellin, 13, 14Saint-Michel, 3Saint-Orner, 3Saint-Venant, Adhemar JeanClaude Barre de (1797-1886), 82, 84, 102, 236Salvandy, Narcisse Achille Comtede (1795-1856), 39Saturn, 49, 50,111,181,645,646,650,651Saturn's ring, 90, 485Savants etrangers, 379Savart, Felix (1791-1841), 32, 264,275, 309Savary, Felix (1797-1841),17,27,32, 42, 66, 264, 275, 347Say, J. B., 26Scandanavian students, 205-209Schlafli, Ludwig (1814-1895), 473,684,685Schlissel, 782Schlomilch, Oskar Xavier (1823-1901), 190Schmidt, Erhard (1876-1959), 425,474,475Schumacher, Heinrich Christian(1780-1850),114,212,231Schwartz, Hermann Amandus(1843-1923),557,589scientific societies, 31-32Sebastopol, 175Second Empire, 17.5, 176, 185,238Second Republic, 149-174seconde division, 9Secretaire perpetuel, 40secular variations, 107secular inequality, 645, 654Sedan, 241Seidel, Philip Ludwig von (1821-1896),74self-adjoint problems, 462Senff, Karl Eduard (1810-1849),741separation of variables, 427, 700series expansion, 125Serret, Joseph Alfred (1819-1885),78, 81,92,93, 100, 102,103, 116, 127-129, 131,132, 147, 172, 197-199,203, 206, 222, 224, 239,257, 559, 576, 579, 727,731, 733, 735, 737, 740elliptic curves, 733helix, 740

Index 881Serret, Paul (1827-1898),172Shakespeare, William (1564-1616),135shape of the planets, 654short ranged action, 286, 288Simon, J. (minister of education),39simple fractions, 81simultaneous equations, 471sinam, 554Singer, M. F., 414singularity, 125Societe Philomatique, 31-32, 433,711Societe mathematique de France,236social reforms, 159social arithmetic, 6, 73socialist montagnards, 160socialists, 153, 157, 159solar syst.em, 65, 107solution by radicals (see alsoGalois theory), 117, 120,122, 531, 534, 566solvable group, 566Sorbonne, 8, 32, 106, 166, 200,207, 208, 209, 233, 248Souchere, 161sound, 47, 163, 318space curves, 246, 739specific heat, 290spectral theory, x, 139, 425, 443,601-632spectrum, 297spherical geometry, 133spherical harmonics, 493, 495, 595,785St. Cyr, 217St. Petersburg Academy, 204, 247,414St. Petersburg school, 202, 417stability, 65, 93, 100, 101, 107,483-512stability coefficients, 501, 786Stackel, 704, 705state tobacco company, 105statistical mechanics, 50, 658, 663statistics, 73, 178Staudt, Karl Georg Christian von(1798-1867),713steam engines, 28Stefan-Boltzmann's law, 288Steiner, Jakob (1796-1863), 36, 93,132, 185, 218, 709, 710,713, 731Stekloff, Vladimir Andreevich(1864-1926),474stenographer, 209stepwise generalization, 400stereographic projection, 731Stieltjes, Thomas Johannes (1856-1894), 229, 230Stirling's formula, 77Stockholm, Academy of, 247Stokes, George Gabriel(1819-1903),74equation, 191theorems, 586straight line, equations of, 718string-theory, 747Struve, Friedrich Georg Wilhelm(1793-1864),115Stubbs, 731Sturm, Charles Frant;ois(1803-1855),25, 31, 32,38,40,41,45,51,54,56,64,70,72,77,78,87,90,91,96,122,125,137,138,139, 171, 185, 193-194,202, 215, 259, 430, 435-445, 457, 460, 461, 465,473, 497, 501, 529, 529,562, 563, 634, 781, 782,783comparison theorem, 430,442, 463eigenvalues, 782method,464Nachlass, 194oscillation theorem, 442, 463

882 Indextheorem, 45, 137,435Sturm-Liouville theory, ix, x, 20,47,50,74,82, 103, 135,147, 281, 297,423,423-476, 591, 616, 622, 633,634higher order generalizations,460-473substitution, 564substitution circulaire, 578successive approximations, 20, 76,281, 337, 447, 452, 460sum of continuous functions, 74sum replaced by integral, 290sunspots, 90superposition, 427surface distributions, 582surface of revolution, 717surface of rotation, 746surfaces, 73, 163, 231, 246, 741~756Swedish, 218Sylvester, James Joseph(1814~1897), 100,235, 243symmetric kernel, 618synchrones, 234synthetic geometry, 263, 710-715,731Tait, Peter Guthrie (1831~1901),685Tannery, Jules (1848~1910), 250,575, 567Tardy, 349Taton, Rene, vii, 130, 260, 511tautochrone, 48, 100, 306, 313,333, 340taxation, 157Taylor, Brook (1685~1731), 427series, 76-77, 438, 783convergence of, 439, 521Terquem, Olry (1782~1862), 711,728Thenard, Louis Jacques(1777~1857),24,42, 186,242theorem of the arithmetic mean,583theorema egregium, 163, 739theorema gravissimum, 676theory of equations, 534theory of numbers (see numbertheory)thermodynamics, 142thermoelectricity, 223Thiers, Marie Joseph LouisAdolphe (1797~1877), 149,151, 153Thompson, Silvanus Phillips(1851~1916), 135Thomson, James, 135Thomson, William (LordKelvin) (1824~1907), 100,102, 103, 135-146, 147,197, 210, 487, 510, 582,583, 588, 594, 626, 685,709,727-739Journal, 190three axial ellipsoid (see alsoJacobi ellipsoid), 479three-body problem, 49, 650tides, 220, 223Tisserand, Fran«ois Felix(1845~1896), 248Todhunter, Issac(1820~1884), 477, 785tolerance, 162topographic drawing, 6Torino, 245Tortolini, Barnaba (1808~1874),305, 307, 349Toul, 3, 70,93,99, 105, Ill, 132,150, 154, 161, 162, 175,185, 186, 194, 204, 205,211,217,240,241,243,244, 250, 251, 259, 338,484Toulon, 241

Index 883Toulouse, Academy of, 247tractrix, 746transcendentru curves, 353transcendentru functions, 34, 75,233, 353transcendentru numbers, x, 79-81,165, 233, 234, 513, 519-525transformation par rayonsvecteurs reciproques, (seea/so inversion in sphere),145transformations of differentialequations, 696trigonometric series (see a/soFourier series), 123, 537trigonometric functions, 326, 353trigonometry, 5, 425Turin, Academy of, 247two-dimensional heat conduction,36two-body problem, 637ultra-Catholic, 162, 164ultraelliptic integrals, 128uniform convergence, 343, 454, 518uniform continuity, 343unique factorization, 95uniqueness theorems of potentials,584universal suffrage, 154Universite, 24, 25, 200Uranus, 49, 50, 108, 111, 112, 113,650Vaillant, J. B. P. Marechal de(1790-1872),221Valenciennes, Achille (1794-1865),222ValIee-Poussin, Charle Jean de la(1866-1962),587Valson, 64variable stars, 184variation of arbitrary constants,50, 638-642, 659Vauquelin, Nicolas Louis (1763-1829),5Vecten,5Venus, 110vernal equinox, 643Versailles, 243Verteillac, Comtesse de, 243, 255Vessiot, Ernest Paulin Joseph(1865-1952),413Vesta, 49, 650, 651Viete, Fran

884 Indexwave equation, 73, 233, 748wave theory of light, 293wave theory of light and heat, 290waves, 48, 82, 141, 166Weber, Heinrich (1842-1913),132,208, 633Weierstrass, Karl TheodorWilhelm (1815-1897), 74,142,245,256,354,417,529, 557, 589, 628evaluation of Liouville, 245Wessel, Caspar (1745-1818), 529Wessembourg, 241Westfall, V., 330Whittaker, Edmund (1873-1956),642, 666, 706Wilhelm I, Kaiser, 241, 243Woepecke, M., 234Woepke, Fran (1826-1864)World Exhibitions, 176Wronskian, 408, 438, 439Wussing, Hans, 578Young, Thomas (1773-1829), 290Youschkevitch, A. P., 414, 415Zolotarev, Egor Ivanovich(1847-1878),417Zwirner, 717

Sources in the History ofMathematics and Physical SciencesVol. I:G.J. Toomer (Ed.)Diodes on Burning Mirrors: The Arabic Translation of the Lost GreekOriginal, Edited, with English Translation and Commentary by GJ. ToomerVol. 2:Vol. 3:Vol. 4:Vol. 5:Vol. 6:Vol. 7:vol. 8:A. Hermann, K.V. Meyenn, V.F. Weisskopf (Eds.)Wolfgang Pauli: Scientific Correspondence I: 1919·19291. SesianoBooks IV to VII of Diophantus' Arithmetica: In the Arabic Translationof Qusta ibn LiiqaP.l. FederiscoDescartes on Polyhedra: A Study of the De Solidorum ElementisO. NeugebauerAstronomical Cuneiform TextsK. von Meyenn, A. Hermann, V.F. Weisskopf (Eds.)Wolfgang Pauli: Scientific Correspondence II: 1930·1939J.P. HogendijkIbn AI.Haytham's Completion of the ConicsA. JonesPappus of Alexandria Book 7 of the Collection