Géométrie, trigonométrie et nombres complexes.

M02Géométrie, trigonométrie et complexesMATHS POUR LA PHYSIQUE : CHAPITRE 2.Géométrie, trigonométrie et nombres complexes.Objectifs⊲ Connaître les caractères les plus utilisés de l’alphabet grec en sciences physiques.⊲ Savoir calculer les aires et volumes de formes usuelles.⊲ Connaître les identités usuelles en trigonométrie, ainsi que les valeurs trigonométriques de quelques anglesparticuliers.⊲ Connaître les représentations cartésienne et trigonométrique d’un nombre complexe.⊲ Savoir effectuer des opérations sur les complexes.⊲ Savoir résoudre une équation du second degré, un système linéaire de deux équations à deux inconnues.⊲ Suites arithmétiques et suites géométriques.Introduction : l’alphabet grec.Il existe 24 lettres en grec classique qui sont les suivantes :Α α alpha Β β bêta Γ γ gamma ∆ δ delta Ε ε epsilon Ζ ζ dzetaΗ η êta Θ θ thêta Ι ι iota Κ κ kappa Λ λ lambda Μ µ muΝ ν nu Ο ο omicron Ξ ξ xi Π π pi Ρ ρ rhô Σ σ sigmaΤ τ tau Υ υ upsilon Φ ϕ (φ) phi Χ χ khi Ψ ψ psi Ω ω omégaOn utilise aussi la lettre : ϖ appelée « pi dorien ».1 Géométrie.1.1 Aires.figure rectangle parallélogramme triangle trapèzeformeabahbhbBh1surface a.b a.h2 b.h 12h.(b + B)figure ellipse disque sphère cylindrebformerarhsurface πa.b πr 2 4πr 2 S lat = 2πrh1.2 Volumes.figure cube cône boule cylindrearformeahharvolumea 3d = a √ 313 πr2 4h3 πr3 πr 2 hA. ROBICHON, PC 1/ 4

M02Géométrie, trigonométrie et complexes1.3 À propos de triangles.triangle quelconqueAAtriangle rectanglebacbahypoténusecCgabBCabBsin(α)aα + β + γ = π α + β = π 2= sin(β)b= sin(γ)ccosinus =adjacenthypoténusea 2 = b 2 + c 2 − 2bc.cos(α) tangente = opposéadjacentsinus =a 2 + b 2 = c 2cotangente =opposéhypoténuse1tangente2 Trigonométrie.2.1 Les fonctions trigonométriques.Dans le cercle trigonométrique de rayon unité ci-dessous, on a, en fonction de l’angle orienté θ :cos(θ) = OC sin(θ) = OS tan(θ) = OSOC , θ ≠ π 2 [π]Fonctions trigonométriques de quelques angles remarquablesππ064√222√ √32221√31sin 01cos 1tan 0cercle deππrayon unitéπ32√31 02120 −1√3 ∞ 0Le cercle trigonométriqueSsinus+MO cosinus CTtangenteRelations usuelles :La fonction cosinus est pairetan(θ) = sin(θ)cos(θ)Les fonctions sinus et tangente sont impairescos 2 (θ) = 1+cos(2θ)2=11+tan 2 (θ)cos 2 (θ) + sin 2 (θ) = 1 sin 2 (θ) = 1−cos(2θ)2= tan2 (θ)1+tan 2 (θ)Rotations remarquables :a → π + a a → π − a a → π 2 + a a → π 2 − asinus sin(π + a) = −sin(a) sin(π − a) = sin(a) sin( π 2 + a) = cos(a) sin( π 2− a) = cos(a)cosinus cos(π + a) = −cos(a) cos(π − a) = −cos(a) cos( π 2 + a) = −sin(a) cos( π 2− a) = sin(a)tangente tan(π + a) = tan(a) tan(π + a) = −tan(a) tan( π 2 + a) = − 1tan(a)tan( π 2 − a) = 1tan(a)2.2 Les identités fondamentales.cos(a + b) = cos(a)cos(b) − sin(a)sin(b)cos(a − b) = cos(a)cos(b) + sin(a)sin(b){ coscos(2a) =2 (a) − sin 2 (a)2cos 2 (a) − 1 = 1 − 2sin 2 (a)sin(a + b) = sin(a)cos(b) + sin(b)cos(a)sin(a − b) = sin(a)cos(b) − sin(b)cos(a)sin(2a) = 2sin(a)cos(a)A. ROBICHON, PC 2/ 4

M02Géométrie, trigonométrie et complexes2.3 Linéarisation.cos(a)cos(b) = 1 {cos(a + b) + cos(a − b)}2 cos2sin(a)sin(b) = 1 {cos(a − b) − cos(a + b)}2 sin2sin(a)cos(b) = 1 {sin(a + b) + sin(a − b)}2(a) = 1 + cos(2a)2(a) = 1 + −cos(2a)2sin(2a)sin(a)cos(a) =22.4 Factorisation.cos(p) + cos(q) = 2cos ( p+q2cos(p) − cos(q) = −2sin ( p+q2) (cosp−q)2)sin( p−q2)sin(p) + sin(q) = 2sin ( p+q2sin(p) − sin(q) = 2sin ( p−q2) (cosp−q)2)cos( p+q2)3 Nombres complexes.3.1 Représentation d’un nombre complexe.forme cartésienne forme trigonométrique représentation de Fresnelz = a + ıb, avec ı 2 = −1z = re ıθ , avec r = |z|.et e ıθ = cosθ + ısinθz est représenté dans le plancartésien xOy par le point M telque −−→ OM = a⃗e x + b⃗e yaxe imaginaireargument : θ = arg(z), oùbMmodule : |z| = √ a 2 + b 2θ ={ arctan ( b/a) a 0π + arctan ( b /a) a < 0e yrqOe xaaxe réel(Remarque. Souvent, en physique, l’imaginaire pur « ı » est noté j. On retient j = exp j π ).23.2 Conjugué d’un complexe.Soit le nombre complexe z = a + ıb. On note ¯z le nombre complexe conjugué de z, avec ¯z = a − ıb .Remarque. En physique, le complexe conjugué est souvent noté z ∗ au lieu de ¯z. C’est dû au fait que la notation¯x peut désigner aussi en physique la valeur moyenne de X.3.3 Opérations sur les nombres complexes.z + z ′ = ¯z + ¯z ′ zz ′ = z. ¯¯zz.¯z = |z| 2 arg(¯z) = −arg(z)|zz ′ | = |z| . |z ′ |∣ z ∣ ∣∣ |z| =z ′ |z ′ |arg(zz ′ ) = arg(z) + arg(z ′ )( z)argz ′ = arg(z) − arg(z ′ )Formule de Moivre : (cosθ + jsinθ) m = cos(mθ) + jsin(mθ) .Formules d’Euler : cos(x) =exp(jx) + exp(−jx)2sin(x) =exp(jx) − exp(−jx)2j.A. ROBICHON, PC 3/ 4

M02Géométrie, trigonométrie et complexes4 Équations algébriques.4.1 Équation du second degré (à coefficients réels).Forme canonique : ax 2 + bx + c = 0 , a, b et c réels, avec a ≠ 0.Discriminant : ∆ = b 2 − 4ac .Racines :Si ∆ > 0 Si ∆ = 0 Si ∆ < 02 racines réelles 1 racine réelle double 2 racines complexes conjuguéesx 1 = −b − √ ∆2a; x 2 = −b + √ ∆2ax 1 = x 2 = −b2ax 1 = −b − j√ −∆2a; x 2 = −b + j√ −∆2aSomme et produit des racines : S = x 1 + x 2 = − b a et P = x 1x 2 = c a. L’équation du second degrépeut s’écrire en fonction de S et P selon x 2 − Sx + P = 0 . (Utile pour calculer deux nombres x1 et x2 quandon connaît leur somme S et leur produit P).Signes du trinôme du second degré (avec racines réelles) : f(x) = ax 2 + bx + cf(x) = a(x − x 1 )(x − x 2 ) , qui montre que f(x) est du signe de −a entre les racines .On écrit4.2 Système linéaire à deux inconnues (système de Cramer).{ ax + by = cForme générale :a ′ x + b ′ y = c ′ , avec ∆ =∣ a b∣ ∣∣∣a ′ b ′ ≠ 0 (∆ = ab ′ − a ′ b).∣ c b∣ ∣∣∣c ′ b ′Solutions : x =∆∣ a c∣ ∣∣∣a ′ c ′et y =∆.5 Suites arithmétiques et suites géométriques.5.1 Suites arithmétiques.La relation de récurrence : u n+1 = u n + a , a est appelé la raison.Expression du terme général : u n+1 = u 1 + n.a .Somme des n premiers termes : S n =n∑u i = nu 1 +i=1n(n + 1)a2.5.2 Suites géométriques.La relation de récurrence : u n+1 = au n , a est appelé la raison.Expression du terme général : u n+1 = a n u 1 .Somme des n premiers termes a ≠ 1) : S n =n∑i=1u i = u 1 − u n+11 − a=1er termeprésent−1 − raison1er termeabsent.A. ROBICHON, PC 4/ 4