Etude de l' ecoulement du sang dans les art eres: e ets nonlin ... - LMM

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De nombreux phenomenes inuent sur cette evolution spatio-temporelle. En dehorsde l'elasticite lineaire de la paroi et du terme d'acceleration de Navier-Stokesqui sont les ingredients essentiels de la propagation (Lighthill, [Lig75]), il semblenecessaire pour decrire plus nement l'onde de pouls d'introduire dans une etudea) les phenomenes dissipatifs lies a laviscoelasticite delaparoioubiena la viscositedu sang b) les phenomenes nonlineaires associes aux eets convectifs dansle uide ou a la relation reliant pression transmurale et lumiere de l'artere | ceque traduit l'augmentation du nombre de Young incremental de la paroi avec laprecontrainte| c) le caractere conique des arteres ainsi que les phenomenes dereexion des ondes aux bifurcations arterielles.La plupart des etudes introduisant les eets visqueux ou viscoelastiques negligentles eets non lineaires. Inversement l'introduction de termes nonlineairesdans les equations s'eectue generalement dans une approche de type uide parfaitpour lequel le prol des vitesses est constant dans la section de l'artere. Dansce travail, on prend en compte tous ces eets dans le cadre d'un modele monodimensionnel.On se ramene a cetypedemodele par une serie d'approximationsque l'on justie a l'aide des donnees physiologiques. A partir des equations debase, on denit un probleme de type couche limite instationnaire couplee a uneparoi deformable. L'originalite denotredemarche, consiste a expliciter une formulationintegrale de ce probleme couplee a une relation de fermeture. On obtientcette derniere relation a l'aide d'une approximation de type Pohlhausen que l'ona adaptee au cas instationnaire. Cette methode est ecace et economique pourprendre en compte la viscosite du uide et l'existence de prols instationnairesque l'on observe dans l'ecoulement sanguin. Ceci est indispensable dans le cadred'etudes ulterieures visant a remonter, a l'aide d'une methode inverse (Chavent[Cha79]), a certaines caracteristiques de la paroi arterielle ou du cisaillement parietal.2 Le modele dynamique.Le sang est suppose homogene, newtonien de viscosite cinematique , incompressiblede densite uniforme et l'ecoulement axisymetrique. Ces hypothesessont valables si a) on considere des arteres de diametre susamment grand b)si on neglige la nature viscoelastique du uide ou s'il est possible de denir uneviscosite renormalisee (Flaud et Quemada [FQ80]). L'ecoulement est decrit parla composante axiale u(rxt) et radiale v(rxt) de la vitesse, par la pressionp(rxt)etparledeplacement delaparoisituee en r = R(x t). Il satisfait lesequations de Navier-Stokes et l'equation de continuite auxquelles on adjoint desconditions aux limites couplant le uide avec la paroi arterielle. En dehors de lacondition dynmique (4), il s'agit des deux conditions cinematiques d'adherence ala paroi:3

v(rxt)j r=R = @R@t u(rxt)j r=R =0: (1)La derniere equation impose aux mouvements de la paroi d'^etre seulement radiaux.Cette hypothese est justiee par la liaison mecanique des arteres aux tissusenvironnants. Ces conditions etant imposees sur une surface en mouvementdontla dynamique n'est pas connue a l'avance, on eectue un changement devariableen introduisant une variable reduite = r=R(x t). Ceci permet d'ecrire des conditionssur une surface xe en =1maisintroduit des termes supplementaires dansles equations.L'onde de pouls satisfait en premiere approximation une equation de propagationcaracterisee par une vitesse c 0 , connue sous le nom de celerite deMoens-Korteweg, de l'ordre de 3 a 10m/s. Vu la pulsation cardiaque (! =2f avecf ' 1 2s ;1 ), le rapport " 1 = R 0entre le rayon interne de l'artere non perturbeR 0 et la longueur d'onde qui est donc de l'ordre du metre, est un petit parametre.Experimentalement " 1 ne depasse pas 10 ;2 .Sionneglige tous les termesplus petits que " 2 1dans les equations generales mises sous forme adimensionnelle,on se ramene a un probleme de type couche limite:@u@t ; " 2 @ R R @t @u@1 @vR @ + v R + @u@x ; " 2 @ R @uR @x @ u+ " 2 @u @uR @ +u @x ; " 2= ; @ p@x + 2 1 2 R @ @u 2 @ @=0 (2)R @ R @x @u@@ p@==0: (3)Pour la mise sous forme adimensionnelle des equations, on a utilise: x = x,t = tf, v =vRf ,u = u u 0,ou R et u 0 = RR 0f = RR 0c 0 sont respectivementles jauges du deplacement de la paroi et de la vitesse longitudinale. Dans (3) leparametre " 2 = RR 0= u 0c 0caracterise l'importance des termes nonlineaires dans leuide et la paroi. Ce parametre est experimentalement q de l'ordre de 0,1. Ennle nombre de Womersley [Wom55] = R !0 , rapport entre le rayon interne del'artere et l'epaisseur de la couche de Stokes decrit l'importance des eets visqueuxdans le uide. Si est grand, le prol des vitesses est assez plat. Plus est petit,plus on se rapproche d'un ecoulement instationnaire de Hagen-Poiseuille. Dansl'artere femorale, on trouve par exemple des valeurs ' 3 ; 5.Une description complete de la dynamique necessite la donnee d'un modelede paroi arterielle. Dans ce travail preliminaire, on a volontairementchoisi une loiphenomenologique simple qui contient les deux eets majeurs: l'amortissementstructurel et le comportementdetype materiau elastique non-lineaire. Elle s'ecritsous forme adimensionnelle:4

" 4@h@t +2h(1 + " 3h) =p " 2 h(x t) = R(x t) ; R 0R 0: (4)On peut inclure sans dicultes la conicite, la tension longitudinale l'inertie,l'inuence du frottement parietal (Ohayon et Chadwick [OC88])3 Equations integrales dans le uideDorenavant, on est implicitement sans dimensions. Dans cette section onmontre commment tenir compte de la variation radiale du prol des vitessesliee aux eets visqueux dans un modele monodimensionnel ou lavariable radialen'appara^t pas explicitement. Pour ce faire on adapte les methodes integrales deVon Karman pour le traitement des couches limites stationnaires en aerodynamique(Le Balleur,[LeB82]) au cas instationnaire (2), (3). On integre les equationspar rapport a lavariable radiale entre l'axe du tuyau et la paroi, c'est-a-direpour compris entre 0 et 1. La forme integree introduit la vitesse au centre U 0 ,la perte de debit-masse due aux eets visqueux q et un terme nonlineaire associeau terme de convection dans Navier-Stokes ; :q = R 2 (U 0 ; 2Z 10Zud) ;=R 2 (U 2 0 ; 2 1u 2 d): (5)On remarque que q est l'ecart du prol des vitesses au prol plat de uideparfait: l'analogue de l'epaisseur de deplacement 1 .De l'equation de continuite et des conditions d'adherence a la paroi, on obtientl'equation:@R 2@t + " @2@x (R2 U 0 ; q) =0 (6)Les m^emes manipulations sont eectuees pour l'equation de quantite demouvement(3).Onendeduit une relation portant surl'evolution de q:0@q@t + " 2( @@x ; ; U @0@x q)=;22 2 =(@u @ )j =1 ; ( @2 u@ 2 )j =0 (7)De la m^eme equation (3),on deduit une relation pour la vitesse au centre dutuyau:@U 0@t + " @U 02U 0@x = ; @p@x +22 0 2 R 2 0 =( @2 u@ 2 )j =0: (8)Des informations relatives a la dynamique dans une section sont evidemmentperdues par cette integration. Dans la suite on esperer retrouver les comportementsradiaux essentiels a l'aide d'une hypothese de fermeture.5

4 fermetureComme en aerodynamique, le systeme d'equations globales ci-dessus n'estpas un systeme ferme puisque l'on ne connait pas la dependance de ;, et 0 en fonction de q, U 0 et R. Ces relations sont liees a ladependance radialedu champ de vitesse longitudinale. Une methode originale, due a Pohlhausen(Schlichting,[Sch87]) permet de trouver de telles relations. Elle consiste a sedonnera priori un champ des vitesses qui respecte les conditions aux limites (1)et approche au mieux les prols experimentaux. Nous gardons ici l'esprit de lamethode mais nous l'adaptons au cas instationnaire. Dans la recherche d'un pro-l, nous sommes guides par l'etude du probleme pulse linearise pour lequel nousdisposons de la solution analytique de Womersley ecrite en formulation complexe(Womersley, [Wom55]):avecU Womersley =(F (x t)+iG(x t))(j r ()+ij i ()): (9)(F (x t)+iG(x t)) = kp! (1; 1J 0 (i 3=2 ) )ei(!t;kx) (j r +ij i )=0 1B@ 1 ; J 0(i 3=2 )J 0 (i 3=2 ) CA :1 ;1J 0 (i 3=2 )Dans la suite, on approxime le champ des vitesses en conservant lam^emedependance en variable radiale . D'une certaine maniere, on suppose donc quec'est le mode fondamental qui impose la structure radiale de l'ecoulement. Onpose donc:u =1=2((F + iG)(j r + ij i )+cc) =(Fj r ; Gj i ) (10)ou F (x t)etG(x t)sont deux fonctions inconnues decrivantl'evolution spatiotemporelledu pouls et cc le complexe conjugue. On verie que la fonction F (x t)correspond a la vitesse au centre de l'artere U 0 (x t). Elle joue le r^ole de la vitesseexterieure en aerodynamique. La fonction G(x t) s'exprime comme:G(x t) = q=R2 ; U 0 R R 1+ U 0 2 j 0 rd12 j : (11)0 idA partir de ces relations, on calcule les fonctions ;, le cisaillement parietal et le cisaillement au centre 0 en fonction de la vitesse au centre de l'artere et dela fonction q.;= qqq 2R 2 + quqU 0 + uu R 2 U 2 0 = qqR 2 + uU 0 0 = 0qqR 2 + 0uU 0 : (12)Les coecients (( qq qu uu ) ( q u ) ( 0q 0u )) sont des fonctions de quis'expriment par des combinaisons d'integrales et de derivees des fonctions de6

Bessel. Pour memoire ces coecients varient peupour

[LeB82][Lig75]J.C. LeBalleur. Viscid- inviscid coupling calculations for 2 and 3Dows. VKI lecture series 1982-02, 1982.M.J. Lighthill. Mathematical Biouiddynamics. SIAM Philadelphia,1975.[McD74] D.A. McDonald. Blood ow in arteries 2nd ed. Arnold. London.,1974.[OC88][Ped80][RF95]J. Ohayon and R. S. Chadwick. Eect of collagen microstructure onthe mechanics of the left ventricle. Biophys. J., 54:1077{ 1088, 1988.T. J. Pedley. The Fluid Mechanics of Large Blood Vessel. CambridgeUniversity Press, 1980.I. Rogova and P. Flaud. evaluation de l'impedance terminale d'unsite arteriel: separation des ondes directes et retrogrades, faisabiliteet applications a l'ecoulement vasculaire. Archives of physiology andbiochemistry, 103, 3:C47, 1995.[Sch87] H. Schlichting. Boundary Layer Theory, 7th ed. Mc Graw Hill, 1987.[Wom55]J. R. Womersley. Oscillatory motion of a viscous liquid in a thin{walled elastic tube. Philosophical Magazine, 46:199{221, 1955.[ZKNM91] M. Zagzoule, J. Khalid-Naciri, and J. Mauss. Unsteady wall shearstress in a distensible tube. J. Biomechanics, 24, 6:435{ 439, 1991.|||{Laboratoire de Modelisation en MecaniqueURA CNRS 229 Universite Paris 6, bo^te 1624 Place Jussieu, 75252 PARIS CEDEX 5. FRANCEmess.e.: pyl@ccr.jussieu.fr, maur@ccr.jussieu.fr2x=0x=1/4x=1/23x=0x=1/4x=1/22.51.52p(t)1p(t)1.510.50.500-0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1t-x/cFig.1 La pression en trois sites,eets dissipatifs sans termes non lineairesFig.1 Pressure at 3 locations dissipativeeects, whitout non linearities-0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1t-x/cFig.2 La pression en trois sites,eets dissipatifs et eets non lineairesFig.2 Pressure at 3 locations dissipativeeects, and non linearities8

2.5U(r/R)21.5U10.50-0.5-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1r/RFig.3 prols de vitesse,tt>0 9 dt =0 1Fig.3 velocity proles,tt>:9 dt = :19