Ordre. Inequations du premier degré. Valeur ... - Lyceedadultes.fr

TABLE DES MATIÈRES 1Ordre. Inéquations du 1 er degré.Valeur absoluePaul MilanLMA Seconde le 15 novembre 2012Table des matières1 Intervalle dansR 21.1 Section commençante et section finissante . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.1.1 Section commençante : à partir de . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.1.2 Section finissante : jusqu’à . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.2 Encadrement dansR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.3 Union d’intervalles et intervalles particuliers . . . . . . . . . . . . . . . . 52 Inéquation du 1 er degré dansR 62.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62.2 Règles de résolution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62.3 Quelques exemples de résolution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72.4 Inéquations particulières . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92.5 Résumé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103 Signe du binôme ax+b 103.1 Règle pour déterminer le signe du binôme ax+b . . . . . . . . . . . . . 103.1.1 Le coefficient a est positif . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103.1.2 Le coefficient a est négatif . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113.2 Exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123.3 Résumé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124 Inéquations se ramenant au 1 er degré 134.1 Trois résolutions d’inéquations par une factorisation . . . . . . . . . . . . 134.1.1 Résoudre l’inéquation suivante : (5x+2)(3−2x)0 . . . . . . . 134.1.2 Résoudre l’inéquation suivante : (x−5)(x−2) (x−1) 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154.2 Deux inéquations rationnelles se ramenant au premier degré . . . . . . . 154.2.1 Résoudre l’inéquation 8−2xx+5 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . 1544.2.2 Résoudre l’inéquationx+1 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

25 Valeurs absolues 175.1 Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175.2 Égalité de deux valeurs absolues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185.3 Intervalles définis par une valeur absolue . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215.3.1 Intervalle centré . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215.3.2 Union d’intervalles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231 Intervalle dansROn peut distinguer deux sortes d’intervalles dans l’ensembleR:une section commençanteou finissante et un encadrement. De plus, un intervalle pose la question de lafrontière : la borne est-elle incluse ou excluse ?1.1 Section commençante et section finissante1.1.1 Section commençante : à partir de . . .Visualisons, sur la droite des réels, la proposition : xa−∞[ a +∞Les valeurs de x qui correspondent à la proposition xa (en rouge) sont tous les nombresréels à partir de a inclus. L’ensemble des valeurs de x va donc de a inclus jusqu’à+∞. Onécrit alors :x ∈ [a,+∞[ "x appartient à l’intervalle a fermé,+∞ "On dit que le crochet devant a est fermé (tourné vers l’intérieur de la zone rouge) cara est inclus dans l’intervalle. En revanche le crochet devant+∞ est ouvert (tourné versl’extérieur) car+∞ est exclus de l’intervalle. En effet+∞ n’est pas un nombre réel.Visualisons maintenant la proposition : x>a−∞] a +∞Cette fois la valeur a est à exclure car x est strictement supérieur à a. Le crochet sera doncouvert en a. On écrit donc :x ∈ ]a,+∞[ "x appartient à l’intervalle a ouvert,+∞ "On ne précisejamais que +∞ estouvert car cela esttoujours le casDéfinition 1 Les deux cas d’une section commençante sont :xa qui revient à écrire x ∈ [a,+∞[x>a qui revient à écrire x ∈ ]a,+∞[paulmilan 15 novembre 2012 lmaseconde

1.1 Sectioncommençanteetsectionfinissante 3La proposition x9 :x9⇔ x ∈ [9,+∞[Exemples✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿La proposition x>−2 :x>−2⇔ x ∈ ]2,+∞[Le symbole ⇔signifie "estéquilalent à"1.1.2 Section finissante : jusqu’à . . .−∞] a +∞Les valeurs de x qui correspondent à la proposition xa (en rouge) sont tous lesnombres réels jusqu’à a inclus. L’ensemble des valeurs de x va donc de−∞ jusqu’à ainclus. On écrit alors :x ∈ ]−∞ ; a]"x appartient à l’intervalle−∞, a fermé"On dit que le crochet devant−∞ est ouvert (tourné vers l’extérieur) car−∞ est exclusde l’intervalle. En effet−∞ n’est pas un nombre réel. On dit que le crochet devant a estfermé (tourné vers l’intérieur) car le nombre a est inclus dans l’intervalle.Visualisons maintenant la proposition : x

1.2 EncadrementdansR 41.2 Encadrement dansRIl y a quatre situations dans le cas d’un encadrement suivant que l’on prenne ou nonles valeurs extrêmes.1. Visualisons la proposition : a xb−∞a[] b +∞Les valeurs de de x qui correspondent à la proposition a xb (en rouge) sonttous les nombres réels compris entre a et b inclus. On écrit alors :x ∈ [a ; b] " x appartient à l’intervalle fermé a, b "2. Visulalisons la proposition : a< x

1.3 Uniond’intervallesetintervallesparticuliers 5La proposition 2 x5 :2 x5 ⇔ x ∈ [2 ; 5]La proposition−7< x

62 Inéquation du 1 er degré dansR2.1 DéfinitionDéfinition 4 On appelle inéquation à une inconnue une inégalité qui n’est vérifiéeque pour certaines valeurs de cette inconnue, dont on se propose de déterminer lesvaleurs.Des inéquations du 1 er degré :Exemples✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿Des inéquations du 2 nd degré :x−3 (x+1)(x+7)Remarques✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿On classe les inéquations, comme les équations suivant le degréde l’inconnue car la résolution dépend du degré de l’inconnue.Résoudre une inéquation dansR, c’est déterminer l’intervalleou l’union d’intervalles des valeurs de l’inconnue qui vérifientcelle-ci.2.2 Règles de résolutionComme pour l’équation du 1 er degré, la résolution d’une équation du 1 er degré se faiten deux étapes : isoler l’inconnue puis diviser lorsque cela est possible. On a ainsi lesdeux règles suivantes :Règle 1 On ne change pas une inéquation si l’on ajoute ou retranche un mêmenombre de chaque côté de l’inégalité.D’après la règle 1, on peut isoler l’inconnue :Exemple1✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿3x−2 x+53x− x2+52x7Toujours d’après la règle 1 :Exemple2✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿x−3

2.3 Quelquesexemplesderésolution 7Règle 2 On ne change pas la relation d’ordre si l’on multiplie ou divise par un mêmenombre positif chaque côté de l’inéquation.On inverse la relation d’ordre si l’on multiplie ou divise par un même nombre négatifchaque côté de l’inéquation.Remarque✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿Cette règle marque une petite différence avec la résolutiond’une équation car, suivant que l’on divise une inéquation parun nombre positif ou négatif, on laisse ou on inverse la relationd’ordre. Cette règle d’inversion est liée à la symétrie, par rapportà zéro, des nombres positifs et des nombres négatifs. Eneffet 2−5.Reprenons le 1 er exemple donné avec la règle 1.2x7Exemple1✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿On divise par 2 qui est positif, on laisse la relation d’ordre, ona donc :x 7 2On conclut par l’intervalle solution :[ 7[S=2 ;+∞Dans le 2 nd exemple, on doit diviser par−4, on inverse alors larelation d’ordre, d’où :Exemple2✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿−4x 4 −4x>−1S=]−1 ;+∞[Attention les deuxerreurs classiquesconsistent àoublier d’inverserla relation d’ordreou à oublier lasolution sous formed’intervalle2.3 Quelques exemples de résolutionVoici trois exemples de résolution :paulmilan 15 novembre 2012 lmaseconde

2.3 Quelquesexemplesderésolution 8Soit à résoudre dansRl’inéquation suivante :2(x−1)−3(x+1)>4(3x−2)Comme pour les équations, on enlève les parenthèses puis onisole l’inconnue, ce qui donne :2x−2−3x−3>12x−82x−3x−12x>2+3−8−13x>−3Exemple1✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿On divise par−13, on change donc la relation d’ordre, ce quidonne :x< −3−13x< 3 13On conclut par l’intervalle solution]S=−∞ ;3[13Soit l’inéquation à résoudre dansR:3x−14 5x+16On multiplie par le dénominateur commun, ici 12, ce quidonne :Exemple2✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿3(3x−1)2(5x+1)9x−310x+29x−10x3+2−x5On inverse la relation d’ordre car on change les signes dechaque côté de l’inéquation, on obtient alors :x−5On conclut par l’intervalle solution :S= [−5 ;+∞ [paulmilan 15 novembre 2012 lmaseconde

2.4 Inéquationsparticulières 9Un dernier exemple avec des parenthèses et des fractions.53 (2x+1)− 1 2 (x−2)< 7 6 (x+2)On multiplie par le dénominateur commun, ici 6, ce qui donne :Exemple3✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿10(2x+1)−3(x−2)

2.5 Résumé 10Un autre exemple :On isole l’inconnue :4(x−3)−(3x−10)> x+5Exemple2✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿4x−12−3x+10> x+54x−3x− x>12−10+50x>7On a donc 0>7 ce qui est faux quelque soit les valeurs de x,on conclut donc par :S=∅Remarque✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿Beaucoup de cas de figure peuvent se présenter, dans les inéquations,où l’on obtient 0x. Il faudra dans chaque cas réfléchirpour savoir si l’on se situe dans un cas toujours vrai (exemple 1)ou dans un cas impossible (exemple 2).2.5 RésuméRègle 3 Toute inéquation du premier degré peut se mettre sous l’une des formessuivantes :axb , axbSi a0Si a=0on obtient soit une section finissante, soit une section commençante.l’inéquation est soit toujours vraie, soit impossible.3 Signe du binôme ax+bL’objet de ce paragraphe est de se préparer à la résolution d’inéquation se ramenantau 1 er degré, soit par une factorisation, soit dans le cas d’inéquations rationnelles.3.1 Règle pour déterminer le signe du binôme ax+bOn cherche à déterminer, lorsque x varie sur l’ensembleR, le signe de l’expressionax+b. Du fait de la règle n˚2, le signe va dépendre du signe du coefficient a.3.1.1 Le coefficient a est positifDéterminons, suivant les valeurs de x, quand l’expression ax+b est positive, nulle etnégative.ax+b>0 soit ax>−b et donc x>− b apaulmilan 15 novembre 2012 lmaseconde

3.1 Règlepourdéterminerlesignedubinˆome ax+b 11On remarquera que comme a>0, on ne change pas la relation d’ordre lorsque l’ondivise par aax+b=0 soit ax=−b et donc x=− b aax+b

3.2 Exemples 123.2 ExemplesVoici, à l’aide de deux exemples les deux cas de figures qui l’on vient de traiter.Déterminer, à l’aide d’un tableau, le signe de 3x−7.On détermine ce qu’on appelle la valeur frontière, c’est à direla valeur de x qui annule la quantité 3x−7.Exemple1✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿3x−7=0 soit 3x=7 donc x= 7 3Comme a=3, le coefficient est positif, donc la quantité estd’abord négative, nulle puis positive. On a donc le tableau suivant:x−∞3x−7 − 0 +73+∞Déterminer, à l’aide d’un tableau, le signe de−5x+9.On détermine la valeur frontière, c’est à dire la valeur de x quiannule la quantité−5x+9.Exemple2✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿−5x+9=0 soit − 5x=−9 donc x= 9 5Comme a=−5, le coefficient est négatif, donc la quantité estd’abord positive, nulle puis négative. On a donc le tableau suivant:x−∞−5x+9 + 0 −95+∞3.3 RésuméLe signe du binôme ax+b dépend du signe du coefficient a. Si a>0, la quantité ax+bsera d’abord négative (signe de−a), nulle puis positive (signe de a). Si a

134 Inéquations se ramenant au 1 er degré4.1 Trois résolutions d’inéquations par une factorisation4.1.1 Résoudre l’inéquation suivante : (5x+2)(3−2x)0Le problème revient à déterminer les valeurs de x pour lesquelles le produit de facteursest positif ou nul. Si on se réfère à la règle des signes, le produit est positif si et seulementsi les deux facteurs sont du même signe (soit tous les deux positifs, soit tous les deuxnégatifs).Remarque✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿Le fait que les deux facteurs soient positifs entraîne bien que leproduit soit positif, mais ce n’est pas la seule solution. Les deuxfacteurs négatifs (− par−) entraînent aussi un produit positif.Nous sommes donc amenés à résoudre les deux systèmes suivants :{ { 5x+20 5x+20ou3−2x0 3−2x0Nous pourrions alors résoudre ces deux systèmes et nous aurions alors la solution ànotre inéquation mais cela est un peu fastidieux. Nous pouvons penser notre problèmeautrement. Au lieu de nous préoccuper tout de suite du signe positif de notre produit,nous allons nous poser la question : " Quel est le signe du produit suivant les valeurs dex ? " Ensuite nous ne retiendrons que les valeurs de x qui rendent notre produit positif ounul. La méthode consiste donc à superposer deux tableaux correspondants aux signes desquantités 5x+2 et 3−2x puis d’appliquer la règle des signes pour obtenir celui du produit.Cela donne :1. On détermine les valeurs qui annulent le produit, c’est à dire les valeurs frontières :5x+2=0 donc x=− 2 53−2x=0 donc x= 3 22. On remplit le tableau suivant :a) On place les valeurs frontières en les ordonnant de la plus petite à la plusgrande.b) On place ensuite les "0".c) On remplit les signes de la ligne de 5x+2 en utilisant la règle du signe dubinôme. On a d’abord−puis 0 puis+car le coefficient a=5est positif.d) On remplit les signes de la ligne de 3−2x en utilisant la règle du signe dubinôme. On a d’abord+puis 0 puis−car le coefficient a=−2 est négatif.e) Pour remplir la dernière ligne, on détermine les signes en appliquant la règledes signes verticalement (les deux signes qui sont au-dessus).x −∞ − 2 55x+2 − 0 + +32+∞3−2x + + 0 −(5x+2)(3−2x) − 0 + 0 −paulmilan 15 novembre 2012 lmaseconde

4.1 Troisrésolutionsd’inéquationsparunefactorisation 14Il ne nous reste plus qu’à choisir les valeurs de x pour lesquelles notre produit(5x+2)(3−2x) est positif ou nul. En regardant la dernière ligne du tableau puis ense raportant à la première pour trouver les valeurs de x correspondantes, on observe :[(5x+2)(3−2x)0 si et seulement si x ∈ − 2 5 ; 3 ]2On conclut par :S=[− 2 5 ; 3 ]24.1.2 Résoudre l’inéquation suivante : (x−5)(x−2)

4.2 Deuxinéquationsrationnellesseramenantaupremierdegré 154.1.3 Résoudre (3x−2) 2 > (x−1) 2Remarque✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿On pourrait être tenté de supprimer les carrés de chaque côtéde la relation d’ordre, c’est à dire d’écrire 3x−2> x−1. Onobtiendrait une partie de la solution, mais pas toute la solution.En supprimant les carrés, on change l’énoncé. On procéderadonc de la même manière que l’exemple précédent.1. On annule le second terme, on a donc :(3x−2) 2 − (x−1) 2 > 02. On factorise la différence de deux carrés :3. On cherche les valeurs frontières :[(3x−2)−(x−1)] [(3x−2)+(x−1)]>0(3x−2− x+1)(3x−2+ x−1)>0(2x−1)(4x−3)>02x−1=0 donc 2x=1 d’où x= 1 24x−3=0 donc 4x=3 d’où x= 3 44. On a le tableau de signes :x−∞2x−1 − 0 + +1234+∞4x−3 − − 0 +(2x−1)(4x−3) + 0 − 0 +5. En conclusion pour que le produit soit strictement positif, nous avons deux possibilités:x< 1 ou x> 3 2 4La solution est donc :]S= −∞ ; 1 2[∪] 34 ;+∞ [4.2 Deux inéquations rationnelles se ramenant au premier degré4.2.1 Résoudre l’inéquation 8−2xx+5 0Avant de commencer à résoudre, il faut déterminer l’ensemble de définition, c’est àdire des valeurs de x pour lesquelles le quotient existe. Cela revient à déterminer la ou lesvaleurs interdites, c’est à dire les valeurs de x qui annulent le dénominateur.paulmilan 15 novembre 2012 lmaseconde

4.2 Deuxinéquationsrationnellesseramenantaupremierdegré 161. Valeur interdite et ensemble de définition :Le dénominateur est nul si x+5=0 soit x=−5On a donc l’ensemble de définition D suivant :D=R−{−5}2. Le signe du quotient sur l’ensemble de définition est le même que celui du produit.On cherche donc les valeurs frontières.8−2x=0 donc −2x=−8 d’où x=4x+5=0 donc x=−53. Par convention une valeur interdite, ici x=5, se note dans un tableau de signes parune double barre. On a donc le tableau suivant :x −∞ −5 4 +∞8−2x + + 0 −x+5 − 0 + +8−2xx+5− + 0 −4. En conclusion pour que le quotient soit positif ou nul, on a donc :−5< x4La solution est donc :S=]− 5 ; 4 ]44.2.2 Résoudre l’inéquationx+1 3Après avoir déterminé l’ensemble de définition, comme le second terme n’est pas nul,il faut donc l’annuler. On réduit ensuite au même dénominateur de façon à n’avoir qu’uneseule fraction.1. Valeur interdite et ensemble de définition :Le dénominateur est nul si x+1=0 soit x=−1On a donc l’ensemble de définition D suivant :D=R−{−1}2. On annule le second terme et on réduit au même dénominateur :4x+1 − 304−3x−3x+1 0−3x+1x+1 0paulmilan 15 novembre 2012 lmaseconde

173. On cherche les valeurs frontières :−3x+1=0 donc −3x=−1 d’où x= 1 3x+1=0 donc x=−14. On a donc le tableau suivant :x −∞ −1−3x+1 + + 0 −13+∞x+1 − 0 + +−3x+1x+1− + 0 −5. En conclusion pour que le quotient soit négatif ou nul, on a donc :x

5.2 Égalitédedeuxvaleursabsolues 18Remarque✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿On pourrait considérer d’autres applications comme lorsquel’on s’intéresse à l’intensité d’une force en physique et que l’onignore si celle-ci est motrice ou résistante.|F|=5NConséquence✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿Comme le signe dans une valeur absolue n’intervient pas on a :|a−b|=|b−a|Définition 6 La distance d’un nombre x à un nombre a est égale à :|x−a|.Exemples✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿La distance d’un nombre x à 2 est égale à :|x−2|La distance d’un nombre x à−5 est égale à :|x−(−5)|=|x+5|5.2 Égalité de deux valeurs absoluesRègle 4 L’égalité|a|=|b| est équivalente à : a=bou a=−bRemarque✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿Cela découle du fait que par exemple|5|=|−5|paulmilan 15 novembre 2012 lmaseconde

5.2 Égalitédedeuxvaleursabsolues 19Déterminer les valeurs de x pour lesquelles la distance de x à 2est égale à 5.Visualisons ce problème sur la droite des réels.5 5−3 2 7Graphiquement, nous trouvons donc comme solution−3 et 7.Résolvons notre problème algébriquement.Exemple1✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿La distance de x à 2 est égale à :|x−2|, donc le problème revientà résoudre :|x−2|=5D’après notre règle, on a donc les égalités suivantes :x−2=5 ou x−2=−5x=5+2 ou x=−5+2x=7 ou x=−3S={−3; 7}paulmilan 15 novembre 2012 lmaseconde

5.2 Égalitédedeuxvaleursabsolues 20Déterminer les valeurs de x pour lesquelles la distance de x à 3est égale à la distance de x à−5.Visualisons ce problème sur la droite des réels.−5 x 3Graphiquement, nous nous apercevons que x doit être au milieude l’intervalle [−5 ; 3]La solution est donc : x= −5+3 =−12Résolvons notre problème algébriquement.Exemple2✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿La distance de x à 3 est égale à :|x−3|La distance de x à−5 est égale à :|x−(−5)|=|x+5|Donc le problème revient à résoudre :|x−3|=|x+5|D’après notre règle, on a donc les égalités suivantes :x−3= x+5 ou x−3=−x−50x=5+3 ou 2x=−5+3impossible ou x=−1S={−1}Déterminer les valeurs de x pour lesquelles deux fois la distancede x à 1 est égale à la distance de x à−5.Visualisons ce problème sur la droite des réels.4 2 6−5 x 1 1 x 2Exemple3✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿Graphiquement, nous nous apercevons qu’il y a deux positionsde x possibles.✒ soit x est dans l’intervalle [−5 ; 1] donc x se trouve auxdeux tiers de la distance de−5 à 1 :x 1 =−5+ 2(1−(−5))3=−5+4=−1✒ soit x se trouve à l’extérieur de l’intervalle [−5 ; 1], donc 1est au milieu de−5 et x 2 :x 2 = 1+(1−(−5))=1+6=7paulmilan 15 novembre 2012 lmaseconde

5.3 Intervallesdéfinisparunevaleurabsolue 21Résolvons notre problème algébriquement.La distance de x à 1 est égale à :|x−1|La distance de x à−5 est égale à :|x−(−5)|=|x+5|Donc le problème revient à résoudre :2|x−1|=|x+5|Exemple3✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿D’après notre règle, on a donc les égalités suivantes :2(x−1)= x+5 ou 2(x−1)=−x−52x−2= x+5 ou 2x−2=−x−52x− x=2+5 ou 2x+ x=2−5x=7 ou x=− 3 3 =−1S={−1 ; 7}Remarque✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿On s’aperçoit sur ce dernier exemple que la résolution graphiquepeut être plus compliqué que la résolution algébrique,contrairement à ce que laissaient supposer les 2 exemples précédents.C’est là que la puissance de l’algèbre prend toute savaleur.5.3 Intervalles définis par une valeur absolue5.3.1 Intervalle centréÉtudions à l’aide de deux exemples les cas que l’on peut résumer par :|x−a|b ou |x−a|0paulmilan 15 novembre 2012 lmaseconde

5.3 Intervallesdéfinisparunevaleurabsolue 22Prenons l’intervalle défini par :|x−2|5Cela revient à déterminer les valeurs de x pour lesquelles ladistance de x à 2 est inférieure ou égale à 5Visualisons cet intervalle sur la droite des réels :Exemple1✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿5 5−3 2 7[ ]On obtient alors l’intervalle [−3 ; 7]. On dit que 2 est le centreet 5 le rayon de l’intervalle.Résolvons algébriquement cet encadrement :−5 x−25On fait passer le−2 à l’extérieur de l’intervalle, il change doncde signe :−5+2 x5+2−3 x7Nous retrouvons donc l’intervalle [−3 ; 7].Règle 5 Un intervalle peut être donné sous la forme :|x−a|b ou |x−a|0Pour trouver cet intervalle, on résout l’encadrement :−b x−ab ou − b< x−a

5.3 Intervallesdéfinisparunevaleurabsolue 235.3.2 Union d’intervallesÉtudions à l’aide de deux exemples les cas que l’on peut résumer par :|x−a|b ou |x−a|>b avec b>0Prenons l’inégalité défini par :|x−1|3Cela revient à déterminer les valeurs de x pour lesquelles ladistance de x à 1 est supérieure ou égale à 3.Visualisons cet intervalle sur la droite des réels :−∞3 3−2 1 4] [+∞On obtient alors l’union d’intervalle suivant]−∞ ;−2]∪[4 ;+∞[Exemple1✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿On dit que 1 est le centre et 3 le rayon de cette union d’intervalles.Résolvons algébriquement cette inéquation :|x−1|3x est soit au delà de 1 ce qui se traduit par x−13 soit x esten deçà de 1 ce qui se traduit par x−1−3. On a donc :x−13 ou x−1−3x3+1 ou x1−3x4 ou x−2Nous retrouvons donc l’union d’intervalles :]−∞ ;−2]∪[4 ;+∞[paulmilan 15 novembre 2012 lmaseconde

5.3 Intervallesdéfinisparunevaleurabsolue 24Règle 6 L’inéquation :revient à résoudre :De même, l’inéquation :revient à résoudre :|x−a|b avec b>0x−ab ou x−a−b|x−a|>b avec b>0x−a>b ou x−a4paulmilan 15 novembre 2012 lmaseconde