Modélisation des Pertes Thermiques dans un Capteur Solaire - CDER

Rev. Energ. Ren. Vol. 5(2002)49-58Modélisation des Pertes Thermiques dans unCapteur Solaire à Air à deux PassesA. Zerrouki , B. Tedjiza et N. SaidCDER B.P. 62 Bouzaréah, Alger, ALGERIERésumé – Cette étude porte sur une modélisation mathématique d’un capteur solaire à air deconception conventionnelle à deux passes (circulation d'air de part et d'autres de l'absorbeur).Nous avons étudié le cas où le capteur est dans un état tel que les conditions de BLISS sontrespectées. Nous avons établi un bilan thermique respectivement sur la couverture transparente,l'absorbeur puis l'isolation thermique arrière. Nous avons résolu le système d’equations obtenus.Nous avons ensuite fourni les expressions mathématiques exactes des paramètres U L ,F r et F’.Une représentation graphique de ces paramètres a été présentée.Abstract – in the present paper, we have discussed a solar air heater of a conventional design. Inthis type of collector, there are two flow channels one above and other below the absorber plate.The steady state equations which govern the behaviour of the system are obtained by consideringthe energy balance on absorber, the cover and the insulation. The analytical derivations ofequations for computing the solar collector efficiency factor, F' and the collector loss factor U Land the heat removal factor F r are presented. The results equations are presented in bothanalytic and graphical form. The use of the formulae derived in this paper will enable thedesigner to make a prediction of collector performance for a selected flow rate and environmentalconditions. The prediction of the performance provided by this procedure is particularly usefulin comparing performance of air heaters with conventional design. The designer of solarcollectors would do well to carefully consider the values of these two functions (F' and U L ) forconstructing an air heating solar collector.Mots clés : Capteur solaire - Energie solaire – Performance - Pertes thermiques1. INTRODUCTIONLe capteur solaire à air de conception conventionnelle a été introduit durant les annéesquarante. L'adoption d'absorbeurs plans dans ce type d'insolateurs a commencé durant lesannées soixante. Plusieurs études ont été faites sur ce type de capteurs solaires [1,2,3,4]. Lamajeure partie de ces d'études porte sur la détermination des expressions donnant lecoefficient des pertes globales (U L ) et du facteur de rendement (F r ) du capteur. En 1974,Klein proposé un modèle mathématique qui estime la conductance F' et le facteur (F r ) descapteurs. Ces facteurs de transfert sont déterminés en se basant sur la théorie de Bliss-Whillier [ 2,5 ]. Cependant, dans la littérature il n'existe que très peu d'études qui traitent lecapteur solaire à deux passes.Le présent travail, consiste à fournir les expressions exactes de la conductance des pertesthermiques (U L ) et du facteur de conduction (F r ) en suivant les hypothèses de Bliss.2. ANALYSE THERMIQUE D'UN CAPTEUR SOLAIRE A DEUX PASSESConsidérons un capteur solaire à air à deux passes (voir la figure 1). On suppose que cecapteur est dans un état tel que les conditions de Bliss sont respectées.49

50A. Zerrouki et al.VitrageAbsorbeurx'Iso lationU th c2 air h c1 h r (G 1 ,T 1 )h c3 air h c4 h s (G 2 ,T 2 )xU bFig. 1: Schéma d'un élément du capteurOn se propose de calculer le coefficient de conduction (F r ) et le facteur de déperditionthermique (U L ). Pour les besoins du problème, nous allons établir un bilan thermiquerespectivement sur la couverture transparente, l'absorbeur puis l'isolation thermique arrière.Nous obtenons ainsi un système d'équations à 3 inconnues ( T vit ,T ab et T ar ):I + hc2(T − T1ab) + hU (T − Ttc3(T − T) + h) + h (TU (T − T ) + hba2avitabarc1r(T − Tc41vit− T) + h (T) + h (T(T − T ) + h (T2vitabarrssabarab− Tvit− Tab− Tar) = 0) = 0) = 0Les énergies utiles récupérées par l'air à la sortie des conduits (1) et (2) sont données par:Qu1= hc1(Tvit− T 1)+ hc2(Tab− T 1)⎫⎬Qu2= hc3(Tab− T2) + hc4(Tar− T2) ⎭La résolution mathématiquement du système d'équations (1) permet d'écrire:f UU⎫Q =1I −11(T − T ) +12u11 amb (T2− Ta)D DD⎪⎬f UUQ =2I +21(T − T ) −21(T − T ) ⎪u21 a2 aD DD⎭L'énergie totale récoltée à la sortie du capteur est donnée par la relation suivante:Q = Q + Q(4)uu1u2En remplaçant Q u1 et Q u2 par leurs expressions dans (4), on arrive à:f f U UU UQ1 + 2I11 − 21(T T )22 − 12u = −1 − a + (T2− Ta)(5)D DDLes expressions mathématiques des différents paramètres contenus dans les équationsprécédentes sont présentées en annexe.2.1. Cas d'un capteur solaire parfaitement symétriqueConsidérons un capteur solaire à air à deux passes parfaitement symétrique par rapport àl'absorbeur. Cette symétrie se traduit mathématiquement par les équations (6):hUc1t= h= Uc4b;;hG12= h= G32; hG=2s= hr⎫⎪⎬⎪⎭⎫⎪⎬⎪⎭(1)(2)(3)(6)

Modelisation des Pertes Thermiques… 51Par ailleurs, l'énergie utile Q u peut être aussi obtenue en utilisant la relation de Bliss-Whillier:'Qu= F (I − UL(T− Tamb))(7)En remplaçant les relations (6) dans (5) et en identifiant le résultat à l'équationfondamentale (7), on obtient:h + h + h + h f + f⎫F' = 1α2 2α33α3 4α1= 1 2DD⎪h + h + h + h U + U − U − U⎬ (8)0U = 1β22β33β34β1= 11 22 21 21L⎪h1α2 + h2α3 + h3α3 + h4α1f1+ f2⎪⎭En simplifiant le résultat, on obtient:' 2f 2fF = 1 = 2D D0 2U − 2UU = 11 12L2f12U − 2U= 22 212f2L'expression du facteur de conduction ( F r ) est alors obtenue en utilisant la théorie de Bliss-Whillier :GC ⎛0 'p⎞⎜ U FF = 1−exp( − L) ⎟r (10)0U ⎜⎟L ⎝GCp⎠Très souvent, les conditions de symétrie citées ci-dessus ne sont pas vérifiées( Ut≠ Ubet hr≠ hs). Cependant, en première approximation, on peut utiliser lesexpressions précédentes pour estimer les performances des capteurs solaires à deux passes.2.2. Cas d'un capteur solaire non symétriqueDans la pratique, les relations (6) ne sont pas vérifiées. Les expressions exactes desparamètres (U L et F r ) sont alors obtenues en résolvant le système d'équations (2). Pour cela,considérons un élément de volume (adx) du fluide caloporteur (l'axe x étant orienté dans ladirection de l'écoulement voir figure 1). Pour simplifier le problème, nous allons poser leshypothèses suivantes:Cp1+ Cp2⎫Cp1 = Cp2et Cp=⎪2 ⎬(11)T = T = T⎪i1 i2 i⎭Calculons les énergies récoltées à la sortie de l'élément de volume (adx) dans les deuxconduits. Nous avons donc:dqdqu1u2= G AC1= G AC2p1⎫⎪⎬⎪⎪⎭f Iadx U adx U adx ⎫dT =1−11(T − T ) +1211 a (T2− Ta)D DD⎪⎬f Iadx U adx U adxdT =2+21(T − T ) −22(T − T ) ⎪21 a2 aD DD⎭p2Après simplification, on obtient:(9)(12)

52A. Zerrouki et al.dTdx1f=1IaG AC1dT2f Ia=2dx G AC2p1U−11a(TD G AC Dp21U+21aD G AC2p1p21− TaU a) +12(TG AC DU a(T − T ) −211 aD G AC12p1p22− T )a(T2− Ta)DPour faciliter la résolution du système d'équations différentielles (13), nous allonsintroduire un changement de variables:u = T1− Tav = T2− Ta⎫⎬⎭En adoptant ces deux nouvelles variables dans ce système d'équations différentielles, onobtient:' f S U Uu =1−11u +12vBG1BG1BG1' f S U Uv =2+21u −22vBG BG BG222⎫⎪⎬⎪⎪⎭u'et v'désignent respectivement les dérivées de u et v par rapport à la variable x. Lesconditions initiales se traduisent par:u(0) = Ti− Ta⎫⎬(16)v(0) = Ti− Ta⎭La résolution du système d'équations différentielles ci-dessus donne:(17)⎛ U11Un12⎞⎜ + 2⎟GGn xT T 1 (T T ) 1 (T T ) C S exp( 11 − a = ⎜i1 − a −i2 − a + ⎟3 ) +⎜ n2− n1n2− n⎟1B⎜⎟⎝⎠⎛ U11Un12⎞⎜ − − 1⎟⎜ G1Gn x(T T ) 1 (T T ) C S⎟exp(2i1 − a +i2 − a + 4 ) + C1S⎜ n2− n1n2− n⎟1B⎜⎟⎝⎠⎫⎪⎬⎪⎪⎭(13)(14)(15)U11⎛ UUn 11 n12⎞+ 1 ⎜ + 2⎟G GGn xT T 1 1 (T T ) 1 (T T ) C S exp( 12 − a = ⎜i1 − a −i2 − a + ⎟3 ) +n2− n ⎜1 n2− n1n2− n⎟1B⎜⎟⎝⎠U11⎛ UUn 11 n12⎞+ 2 ⎜ − − 1⎟G1⎜ G1Gn x(T T ) 1 (T T ) C S⎟exp(2 ) C SUi1 − a −i2 − a + 4+ 211 ⎜ n2− n1n2− n⎟1B⎜⎟G1⎝⎠(18)Maintenant, on calcule la température moyenne du fluide caloporteur dans le capteur.

Modelisation des Pertes Thermiques… 53Pour le premier conduit1 LT 1 − Ti= ∫ (T −01 Ti)dx(19)LPour le second conduit1 LT 2 − Ti= ∫ (T −02 Ti)dx(20)LAprès avoir remplacé (T 1 -T i ) et (T 2 -T i ) par leurs expressions dans les relations 19 et20, et après intégration, on obtient:⎛n1n2 ⎞⎜ A11CpDC D A12CpDC D ⎟ppT1− Ti= ⎜ (e −1)+ (e −1)−1⎟(Ti− Ta) +⎜ n1n2⎟⎝⎠n1n2c3SCpDC D c4SCpDC Dpp(e −1)+ (e −1)+ c1Sn1n2(21)⎛n1n2⎞⎜⎟A21CpDCpDA22CpDCpDT2− Ti=⎜(e −1)+ (e −1)−1⎟(Ti− Ta) +⎜ nn ⎟1⎜2⎟⎝⎠n1n2c3SCpDA23CpDc4SCpDA24CpD(e −1)+(e −1)+ c2Sn1n2(22)La température moyenne ( T fm ) de l'air, relative au débit total (G) à la sortie du capteurpeut être aussi obtenue par l'équation suivante:G (T T ) G (T T)T1 1 − i + 2 −− i =(23)GT2fm2.2.1. Calcul de l'énergie utile récupérée à la fin des conduitsL'énergie utile récupérée par l'air dans le conduit j (j=1 ou 2) est donnée par la relationsuivante :Q = C G (T − T )(24)ujpjjsjiLes variations de températures entre l'entrée et la sortie (T sj -T i ) dans les conduits 1 et 2est déterminée à l'aide des équations (17) et (18) (x=L).2.2.2. Calcul du rendementLe rendement énergétique relatif au conduit j est calculé à l'aide de la relation de base:Q ujη j =(25)AIPar ailleurs, ce rendement peut aussi s'exprimer par la relation de BLISS:

54A. Zerrouki et al.⎛(T − T ) ⎞η = F ⎜() − Ui aj rj τα e Lj ⎟(26)⎝I ⎠On remplace Q uj par son expression dans la relation (25) et on calcule le rendement η i . Parla suite on identifie le résultat avec l'équation (26). Pour les deux conduits, on obtient ainsi:n1n2CpDCpD1−A e − A eU = 2121L2n 1n2C+ p D CpDc2c3A23e+ c4A24e⎛ n n ⎞⎜12⎟GCp⎜ CpDC ⎟= ⎜ − − p DFr21 A21eA22eU⎟L2 ⎜⎟⎝⎠⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎬⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭(27)n1n2C− p D C− p D1 A e A eU = 1112L1n 1 n2C+ p D C+ p Dc 1 c3ec4en1n2CpDCpD1−A e − A eU = 11 12L1n1n2CpDCpDc1+ c3e+ c4e⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎬⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭(28)A la sortie du capteur, l'énergie récupérée par l'air s'écrit de la façon suivante:Q = Q + Q(29)uu1u2On calcul le rendement du capteur, et après une démarche analogue à la précédente, onobtient:n1n2n1n2CpDCpDCpDCpDG (1−A e − A e ) + G(1−A e − A e )U = 1 11 122121L n 1 n1n1n2CpDCpDCpDCpDG(c3e+ c4e+ c1)+ G(c3A23e+ c4A24e+ c2⎛n1n2n1n2⎞⎜⎟Cp=⎜CpDCpDCpDCpDF G (1−A e − A e ) + G (1−A e − A e )⎟rU ⎜ 1 21222 2122 ⎟L⎜⎟⎝⎠⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎬⎪⎪⎪⎪⎪⎭(30)3. RESULTATS ET DISCUSSION

Modelisation des Pertes Thermiques… 55Le modèle mathématique précèdent a été simulé sur micro-ordinateur. Un programmeinformatique en matlab a été élaboré. Des simulations ont été faites pour les cas décrits cidessous.Tous les calculs ont été effectués pour des conditions stationnaires où les valeurs dela température ambiante et de l’éclairement solaire sont respéctivement (T a =20°C ) et(I=800W/m 2 ). La vitesse du vent est de 2 m/s. Le produit (τα)e=0.80. Ub=1W/m 2 °C. Lesémessivités ε a =ε ab =ε vit =0.90h 1 = h h 2 = h h 3 = h h 4 = hh r = 5 h s = 5 U t = 15 U b = 1G 1 = G et K 2 = 100U L / U L0F r / F r 0F r / F r 0h 1 = h h 2 = 3 h h 3 = h h 4 = hh r = 5 h s = 5 U t = 15 U b = 1G 1 = G 2 et K = 100U L / U L0Fig. 2aFig. 2bh (W/ m 2 ° C )h (W/m 2 ° C)h 1 = h ; h 3 = 3 h ; h 2 = h ; h 4 = hh r = 4 ; h s = 4 ; U t = 15 ; U b =1G 1 = G 2 et K = 100F R / F R0h 1 = hh r = 5G 1 = G 2h 3 = 3 h h 2 = h h 4 = hh s = 5 U t = 12 U b = 12et K = 100F r / F r 0U L / U L0U L / U L0Fig . 2cFig. 2d2h (W/m °C)h (W/m 2 °C)Fig. 2: Evolution des rapports (Fr/Fro ) et (UL/ULo)Le coefficient d'échange thermique à l'intérieur du capteur est donné par la relation [14,15 ]:⎛ 2 m&Nu c(a b)⎟ ⎞=⎜⎝ν+ ⎠n(31)Pour 5000

56A. Zerrouki et al.Pour 2500

Modelisation des Pertes Thermiques… 57U L : Coefficient des pertes thermiques à l'arrière du capteur [ W/°K ]U t :Coefficient des pertes thermiques à l'avant du capteur[W/m²K ]REFERENCES[1] H. G. Hottel et Woertz, "Performance of Flat-Plat Solar Heat Collectors", Trans. 64,1642.[2] R. Bliss, "The Derivations of Several Plat Efficiency Factor Useful in the Design ofFlat-Plat Solar-Heat Collectors", Solar Energy 3 (1955).[3] N. E. Wijeysundera and al, "Thermal performance Study of two Pass Solar Air Heaters",Solar Energy 28, No 5 (1962).[4] D. J. Close, "Solar Air Heaters for Low and Moderate Temperature Applications", Sol.Energy 7, N°3, 1663.[5] A.Whillier, "Black Painted Solar Heaters of Conventional Design", Solar Energy,Vol.13,No 1,1664.[6] M. K. Selcuk, "Thermal and Economic Analysis of the Overlapped Glaze Plate Solar AirHeaters", Sol Energy, Vol. 13, n°2, 1971.[7] J. F. O. Saccadura, "Equations caractéristiques des capteurs solaires plans sansconcentration", R.G.T, No 171, France, mars 1976.[8] J. A. Duffie and W.A. Beckman, "Solar Energy Thermal Process", Pu. J. Wiley, 1974.[9] S. A. Klein, "Calculation of flat collector load coefficients", Solar Energy 17, No 17,1676.[10] M. Daguenet, "Les sechoires solaires : Théorie et pratique", UNESCO, Paris, 1985.[11] A. A. M. Sayigh, "Solar Energy Engineering", Academic Press, 1977.[12] Yvonne Howel and al, "Engineer's Guide to Solar Energy", SEIS. 1979.[13] F. Kreith and al, "Principles of Solar Engineering", Hemisphere Publishing Corporation,1979.[14] M. Neckati Özisik, "Heat Transfert. A Basic Approach", McGraw-Hill , Inc., 1985 ,USAANNEXEα = h R1sα = h R2rα = RP3ou:C = W + H + h hW = hR = hc2c4c1h+ hr+ hβ = RH + h h U1β = h h Ur2r+ U C2− h Uβ = h U R + h U P3c3c4+ Uhtsr+ hsbbrsH = Uhc4rP = hrbc4tt+ h htrtγ = h12c2γ = h( h + h + h + h )c2s c4+ h+ hcc3+ Uhc2sb3h R + h h hγ = h C + hr+ h3rhssc1c2sc2c1h PPR + h h Prc1D = CR − hr2rrPsγ4= γ − D3f1UU= h α + h1111c1c32c132c2α= −hγ − hc43c2= h γ − h γγ14f2UU= h α + h α1122c3= -h= h3c1c3β + h2β + h3c41c2c4β + h γ + h γ3β + h γ + h γ1c1c332c2c414B = DC pL

58A. Zerrouki et al.nn12U− (G=111U− (G=111U+G222U+G222) +) −U(G1112U(G1112U−G111U−G111))224U12U+G G14U12U+G G1222121dcc1= C Sf U=U U3 13AAAcUG1=112123+ f U− U U1 22 2 1211 22 21 122 12UG=111c2f U=U U+ f U− U U2 11 1 2111 22 21 12cU cUncU 122 1211−1( +2) − +1( + n2)G1G1G1c3=n − nn − n2 1U+ n2−Gn − n2 1⎛ U11⎜ + n⎜ G1= A11⎜n2− n1⎜⎝U11+ n1G1=U12G11121⎞⎟⎟⎟⎟⎠A12UG=1212 1U−n1−Gn − n12 1⎛ U11⎞⎜ + n2⎟⎜ G1A =⎟22A12⎜U ⎟12⎜ ⎟⎝ G1⎠U11+ n2G1A24=U12G111