a a l'infini P p - mms2

TUNNEL DANS DU SABLE SEC1pPa l’infiniqu’en tout point du massif on ait les inégalités strictesσ r > σ z > σ θ . Ainsi, si le potentiel plastique est lui-même Coulombien(βmax i σ i − min i σ i ), les déformations plastiques auront comme vitesses :˙ε p r = β˙λ ≥ 0 ˙ε p z = 0 ˙ε p θ = −˙λaLe coefficient de gonflement β = tan 2 (π/4 + ψ/2) où ψ est l’angle dedilatance est tel que : 1 < β ≤ K.Figure 1 : Géométrie du tunnel et chargement appliquéDonnéesLe tunnel (cylindre de rayon a) est creusé dans un massif infini (r ∈[a,+∞[), initialement sous contraintes homogènes et isotropes σ ∼ I = −PI ∼oùP est la pression à l’infini (pression géostatique due au poids des terrains)(Fig. 1).Le matériau est isotrope parfait de module d’Young E, de coefficient dePoisson ν obéissant au critère de CoulombF(σ ∼) = K max i (σ i ) − min i (σ i ) avec K = tan 2 (π/4 + φ/2) où φ est l’anglede frottement (milieu pulvérulent sec sans cohésion).Au fur et à mesure de l’avancement du tunnel, un soutènement (exemple :voûte en béton) est posé de sorte que le calcul de l’état final du sol entourantle tunnel puisse se faire en simulant une pression à la paroi (r = a) quidécroît progressivement de P (pression initiale des terrains) à p (pressionde soutènement) : p ≤ P).Les calculs sont à faire en coordonnées cylindriques (r,θ,z) en admettantque le tunnel est infini dans la direction de son axe Oz (déformationsplanes : ε z = 0).De plus on ne considérera que la situation oùp ≤ (1 − 2ν)P/[K − ν(K + 1)], conduisant à un régime de contrainte tel1. Réponse élastiquePour une pression de soutènement p assez grande, la réponse dumassif est élastique (ε ∼ p = 0 ∼). Déterminer les contraintes dans ce cas.Remarquer que la contrainte axiale reste constante (σ z = −P) tandisque et que les contraintes radiale σ r et circonférentielle σ θ restentdes pressions (≤ 0) mais que la pression radiale baisse et que lapression circonférentielle augmente (suite au mouvement convergentdu sol).Déterminer la pression minimale p e que doit assurer le soutènementpour que cette solution élastique reste vraie (p ≥ p e ).Remarquer que p e n’est pas nul (un soutènement est obligatoire)pour tout P > 0.Pour P < p e la solution élastique est fausse car le critèreF = Kσ r −σ θ est positif dans une zone r ∈ [a,c e ] entourant le tunnel.Calculer c e en fonction de (p/p e ).On note respectivement :u(r)ε r = u ′ = ∂u/∂rε θ = u/rε z = 0déplacement radialdéformation radialedéformation circonférentielledéformation axiale

Les conditions de compatibilité et les lois d’élasticité fournissent :etD’où :et :ε r = rε ′ θ + ε θEε z = (1 + ν)(σ z + P) − ν(σ r + P + σ θ + P + σ z + P)ε z = 0 ⇒ σ z + P = ν(σ r + σ θ + 2P)σ z = ν(σ r + σ θ ) − (1 − 2ν)PEε r = (1 + ν)(σ r + P) − ν(σ r + P + σ θ + P + σ z + P)Eε θ = (1 + ν)(σ θ + P) − ν(σ r + P + σ θ + P + σ z + P)E(ε r − ε θ ) = (1 + ν)(σ r − σ θ )E(ε r + ε θ ) = (1 + ν)(1 − 2ν)(σ r + σ θ + 2P)L’équation d’équilibre est :Les conditions aux limites sont :D’où :rσ ′ r + σ r − σ θ = 0σ r (a) = −p et σ r (+∞) = −Pσ r = −P + (P − p)(a/r) 2σ z = −Pσ θ = −P − (P − p)(a/r) 2σ r > σ z > σ θpour r fini et p < P(−σ r ) est une pression qui varie de p (pour r = a, c’est-à-dire à laparoi du tunnel) à P (pour r = +∞).2(−σ θ ) est une pression qui varie de P + (P − p) (pour r = a) à P(pour r = +∞).(−σ z ) est une pression uniforme P (égale donc à sa valeur initiale).Le déplacement radial est tel que :ε θ = u/r = −[(P − p)/(2µ)](a/r 2 )avec 2µ = E/(1 + ν) ; µ= module de cisaillement. Il s’agit doncd’un mouvement convergent (la matière est attirée par le vide) et enparticulier la diminution relative du rayon du tunnel est :Le critère est F = Kσ r − σ θ−u(a)/a = (P − p)/2µF = (K + 1)(P − p)(a/r) 2 − (K − 1)P : fonction décroissante de rPour rester en élasticité, il faut et il suffit que F ≤ 0 pour r = a. D’où :(K + 1)(P − p) − (K − 1)P ≤ 0La pression P doit rester supérieure à la valeur limite p e .p e = 2P/(K + 1)Lorsque p > p e , la solution élastique devient fausse (car F > 0 pourr = a par exemple). Mais on peut être tenté d’utiliser l’expression deF pour déterminer une valeur approchée de l’épaisseur (c e − a) de lazone plastique (r ∈ [a,c e ] dans laquelle F > 0). On obtient :c e = a[1 + 2(1 − p/p e )/(K − 1)] 1/2En particulier pour p = p e on a c e = a (début de la plastification etdonc fin de la phase élastique).

2. La vraie zone plastiqueLorsque p < p e calculer les contraintes dans la zone plastiquer ∈ [a,c] et dans la zone élastique r ∈ [c,+∞[ sachant que F = 0 pourr = c. Déterminer c en écrivant la condition de continuité (équilibre)de la contrainte radiale à l’interface r = c des deux zones.En déduire que c ≥ c e . Autrement dit la solution fausse (élastique)sous-estime l’épaisseur de la zone plastifiée (endommagée) donc nepeut pas servir comme règle de trois de l’ingénieur pour des raisonsde sécurité.Nous inspirant de la solution élastique, nous cherchons la solutionélastoplastique telle que :∗ Il existe un rayon c (à déterminer) vérifiant :r ∈ [c,+∞[ : solution élastique avec F = 0 pour r = c.r ∈ [a,c] : zone plastique dans laquelle F = 0.∗ σ r > σ z > σ θDans la zone élastique, il suffit de reprendre la solution du chapitre 1en remplaçant a par c et p par p e :Si r ≥ c : σ r = −P + (P − p e )(c/r) 2σ z = −Pσ θ = −P − (P − p e )(c/r) 2ε θ = u/r = −[(P − p e )/2µ](c/r) 2Si a ≤ r ≤ c : F = Kσ r − σ θ = 0 ⇒ σ θ = Kσ rrσ ′ r + σ r − σ θ = 0 ⇒ σ ′ r = (K − 1)/rdonc [ln(σ r /(−p)] ′ = [(K − 1)ln(r/a)] ′et σ r = −p(r/a) (k−1)Les lois d’écoulement sont telles que ε p z = 0.Donc la relation σ z = ν(σ r +σ θ )−(1−2ν)P reste vraie, si bien que :σ z = −(1 − 2ν)P − ν(K + 1)p(r/a) (k−1)A l’interface (r = c) entre les deux zones, la seule contrainte qui estnécessairement continue est la contrainte radiale qui vaut :– à gauche (r = c − ) σ r = −p(c/a) (k−1)– à droite (r = c + ) σ r = −p eD’où : c = a(p e /p) 1/(k−1)En posant x = p e /p variant de 1 à +∞, les deux fonctions croissantesde x, c e = c e (x) et c = c(x) sont représentées par des courbes partantdu même point (x = 1 et c e = c = a) avec la même tangente mais trèsvite c devient plus grand que c e montrant que cette dernière valeurconduit à sous-estimer la vraie zone plastique.3. La courbe caractéristique du massifLorsqu’on utilise les lois d’écoulement (le coefficient β) on peutcalculer le déplacement radial u(r) et en particulier la diminutionrelative du rayon du tunnel [−u(a)/a]. En portant cette quantité enabscisse et la pression de soutènement p en ordonnée, on obtient ceque l’on appelle en génie civil, la courbe réponse caractéristique dumassif.pPp e0EquilibreASoutenementMassif(-u a /a)Figure 2 : Courbe convergence–confinement d’un tunnelLa réponse du soutènement (sans contraintes initiales) posé aprèsque le tunnel ait déjà subi une certaine déformation (point A) estutilisée pour obtenir l’état final d’équilibre (point d’intersection desdeux courbes) et juger si la pression d’équilibre est assez faible pourêtre supportée par le soutènement.3

Cette méthode (convergence-confinement) montre clairement quesi le soutènement est posé tôt (point A proche de l’origine), lesdéplacements du terrain, et donc son endommagement, seront réduitsmais le soutènement sera très chargé et inversement. Il y a un justecompromis à trouver.Pour p < p e , dans la zone élastique les déplacements sont déjàdéterminés. Pour calculer dans la zone plastique on élimine lesdéformations plastiques en formant l’expression de ε r + βε θ , carεr p + βε p θ= 0. D’où :E(ε r + βε θ ) = (1 + ν)[σ r + P + β(σ θ + P)]−ν(1 + β)(σ r + P + σ θ + P)(1 + ν)En utilisant la relation de compatibilité ε r = rε ′ θ + ε θ et lesexpressions des contraintes déjà déterminées dans la zone plastique,4on obtient pour ε θ une équation du premier ordre que l’on intègreen tenant compte du fait que ε θ pour r = c est connu (continuité dudéplacement à l’interface des deux zones).On obtient ainsi l’expression de ε θ = u/r en fonction de r et dep. En particulier pour r = a (à la paroi du tunnel), la convergence(−u(a)/a) est reliée à la pression de soutènement p (confinement)par une relation non linéaire qui n’est valable que pour p ≤ p e maisqui peut être complétée par celle obtenue en élasticité (p ≥ p e ).Ainsi, dans le diagramme convergence (en abscisse), confinement(en ordonnée) on obtient une courbe descendante à concavité versle haut commençant par une portion de droite (phase élastique) etprésentant une asymptote (p = 0 pour −u(a)/a tendant vers l’infini).Cette asymptote traduit simplement le fait qu’il est impossible deconcevoir un tunnel dans du sable sec sans soutènement (p = 0).