THESE DE DOCTORAT DE L'UNIVERSITE PARIS VI - LISMMA

COUPLAGE VISCOELASTICITE HYPERELASTICITEDonc, on peut en déduire l’expression du tenseur des contraintes de Cauchyσ sous la forme de l’équation 3.16 :⎡2(λ 2 − 1 ) ⎤ ⎡2(λ − 1 )λ λ SY M2 Jσ = σ =⎢ 0 0∂WSY M⎥ +⎣⎦ ∂I 1⎢ 0 0⎣0 0 0} {{ }0 0 0} {{ }⎤⎥⎦∂W∂I 2φ 1φ 2Soit,D’après la relation 2.11 :Jσ 11 = σ 11 = σ = 2(λ 2 − 1 λ )(∂W + 1 ∂W) (3.25)∂I 1 λ ∂I 2⎧⎪⎨⎪⎩Φ 1111 = 1 ∂σλ ∂λΦ 1122 = Φ 1133 = √ λ ∂σ∂( 1∂λ√λ) = √ λ[−2λ √ λ ∂σ] = −2λ2∂σ∂λ(3.26)Compte tenu des relations 3.26 :Avec :⎧Φ 1111 =Q 1 1111 ∂W∂I 1+2Q 111111 ∂2 W∂I 2 1+ Q 2 1111 ∂W∂I 2++ 2Q 221111 ∂2 W∂I 2 2Q 1 1111 = 2(2 + 1 λ 3 ) ; Q 2 1111 = 2( 1 λ + 2 λ 4 )+ 2Q 121111 ∂2 W∂I 1 ∂I 2(3.27)⎪⎨Q 111111 = 4( λ3 −1) 2 ; Q 22λ 2 1111 = 4 ( λ3 −1) 2 = Q11λ 2 λ 21111(3.28)λ 2⎪⎩ Q 121111 = 8 ( λ3 −1) 2 λ λ 2Pour obtenir les composantes de Q i 1122 = Q i 1133 et Q ij1122 = Q ij1133, ilsuffit de multiplier les valeurs des relations 3.28 par (−2λ 3 ).Expression des modules tangentsD’après la relation 3.9 , le module tangent à pour valeur :98