THESE DE DOCTORAT DE L'UNIVERSITE PARIS VI - LISMMA

3.3 Module tangent3.3.1 Précharge d’extension - Sollicitation harmoniqueen extensionSoit (0, ⃗x, ⃗y, ⃗z) une base orthonormé directe. Considérons un barreau incompressibletravaillant en extension dans la direction ⃗x. Le matériau estdéfini par une énergie de déformation W (I 1 , I 2 ) dans le cas d’un matériauincompressible. Désignons par λ l’élongation dans la direction 1. Si la déformationest homogène, le tenseur gradient F a alors pour expression :⎡⎤λ⎢ SY M ⎥F =⎢⎣01 √λ0 01 √λEt le tenseur de Cauchy-Green droit C vaut donc :⎡⎤C =⎢⎣λ 201λDont les invariants ont pour valeurs :SY M0 01λ⎥⎦⎥⎦I 1 (C) = λ 2 + 2 λ ; I 2(C) = 2λ + 1 λ 2 ; I 3 (C) = 1 = J 2 (3.24)Le tenseur des déformations de Green Lagrange E vaut :⎡⎤λ 2 − 1E = 1 2 (C − δ) = 1 SY M12 ⎢ 0λ⎣− 1⎥⎦10 0 − 1 λEn utilisant la relation 3.15, le seconf tenseur de Piola-Kirchhoff S a pourexpression :⎡2(1 − 1 )( ∂Wλ 3 ∂I 1+ 1 ∂W⎤λ ∂I 1)SY MS =⎢ 0 0⎥⎣⎦0 0 097