THESE DE DOCTORAT DE L'UNIVERSITE PARIS VI - LISMMA

3.3 Module tangent( B est le tenseur des dilatations de Cauchy-Green gauche)).Si nous exprimons la fonction Φ sous sa forme générale en utilisant les relations3.16 et 2.11, nous avons l’expression générale suivante :Φ = ∂[Jσ]dE+2Q 11 (F ) ∂2 W∂I 2 1= Q 1(F ) ∂W∂I 1+ Q 2 (F ) ∂W∂I 2+ 2Q 22 (F ) ∂2 W∂I 2 2+ Q 3 (F ) ∂W∂I 3+ 2Q 33 (F ) ∂2 W∂I 2 3+2Q 12 (F ) ∂2 W∂I 1 ∂I 2+ 2Q 13 (F ) ∂2 W∂I 1 ∂I 3+ 2Q 23 (F ) ∂2 W∂I 2 ∂I 3(3.17)Les fonctions Q i et Q ij ont des formes intrinsèques dépendant du tenseurgradient de la déformation :⎧Q ⎪⎨ i = ∂Φ i; i = 1, 2, 3dE⎪⎩Q ii = 1 2 Φ i ∂I idE; i = 1, 2, 3Q ij = 1[Φ 2 i ∂I j+ Φ j ∂I i] ; ij = 12, 13, 23dE3.3 Expressions du module tangentLa relation 3.17 s’écrit aussi de manière concise :Φ =3∑i=1Q i (F ) ∂W∂I i+i=1dE3∑{ 3∑}Q ij (F ) ∂2 W∂I i ∂I jj=1(3.18)En considérant que l’énergie volumique de déformation ait la forme donnéepar 3.14, on a :⎧⎪⎨⎪⎩∂W∂I p∂ 2 W∂I p∂I q= N ∑n=1= N ∑K n g n (t)(1 + α n )H αnnn=1{K n g n (t)(1 + α n )∂Hn∂I pα n H αn−1 ∂H n ∂H nn ∂I p ∂I q+ H αnn}∂2 H n∂I p∂I q(3.19)La fonction de relaxation donnée par la relation 3.18 prend alors la formegénérale suivante :Φ(E, t) =N∑K n g n (t)P (I 1 , I 2 , I 3 ) (3.20)n=195