THESE DE DOCTORAT DE L'UNIVERSITE PARIS VI - LISMMA

3.1 Modèle d’ O’Down et Knauss généraliséD’après la relation 2.14, Φ est déduite de l’énergie de déformation W :Φ ijpq η pq =∂σ ijF 0,kp F 0,lqdE} 0,pq{{ }R ijklε klSoit :R ijkl =∂σ ijdE 0,pqF 0,kp F 0,lq = φ ijpq F kp F lq (3.9)R ijkl est le module de relaxation tangent à la précharge E 0 ,Soit :Φ[E 0 , t] : η(t) = R[E 0 , t] : ε(t) (3.10)E(E 0 , t) étant le module de relaxation tangent (tenseur de rang 4), à laprécharge E 0 et au temps t. Nous rappelons que :Dans ce cas,⎧S 0 (t) =⎪⎨⎪⎩{Jσ = F ∂WdEt FΦ[E 0 , t] + ∂RdE [E 0, t]ε(0 + )S 1 (t) = R[E 0 , 0 + ] : ε(t) −∫ t0•}: E 0R[E 0 , t − τ] : ε(τ)dτ(3.11)Avec,S 0 (t) : Contraintes statique (transitoire) qui tend vers une valeur constanteau cours du temps (asymptote des modules de relaxation).S 1 (t) : Contrainte dynamique qui traduit l’évolution au cours du temps autourde cette contrainte statique.Finalement la relation 3.11 traduit un comportement viscoélastique linéaireau cours du temps. Dans le domaine fréquentiel, la contrainte dynamiquecomplexe s’exprime par la relation :˜˜S 1 (ω) = R[E 0 , ω] : ˜ε(ω) (3.12)ω étant la pulsation. Le module tangent complexe à la précharge E 0 peutêtre étudié sous modèle rhéologique et sous modèle hyperélastique.93