THESE DE DOCTORAT DE L'UNIVERSITE PARIS VI - LISMMA

2.3 Modèle général en viscoélasticité non linéaire2.3.2 Cas particuliersModèle d’ O’Down et KnaussDans ce modèle, il n’ya pas de pondération du temps par la contrainte.La non linéarité est géométrique et comportementale avec invariance dansle temps. En vertu de la relation 2.5, la loi de comportement s’écrit encontrainte :S(t) = Φ[E(t), 0 + ] : E(t) −∫ t0∂Φ[E(τ), t − τ]dτ: E(τ)dτ (2.10)L’objectif du modèle est de lier la fonction Φ, que l’on peut baptiser "fonction de relaxation " aux lois de l’hyperélasticité et à l’énergie volumiquede déformation W. En général, W dépend des trois invariants I i (C) (i=1, 2, 3)du tenseur de Cauchy-Green droit C. La fonction Φ est définie formellementà chaque instant à partir du tenseur des contraintes de Cauchy C par larelation :Φ = ∂[Jσ]dEJ = det(F ) ; (J=1 : Milieu incompressible)= ∂[Jσ]dF F −1 (2.11)Φ s’exprime également, dans le cas d’un matériau incompressible, à l’aidedu tenseur de Piola Kirchhoff S.F est le tenseur gradient.Φ = ∂[F S F t ]dE(2.12)Sachant que S = ∂W , la fonction de relaxation Φ s’exprime à l’aide de∂El’énergie volumique de déformation W par la relation :Φ = ∂ ∂W[F F t ] (2.13)dE dED’un point de vue indiciel, nous pouvons écrire :Φ ijkl = ∂(S pqF ip F jq )dE kl= ∂(Jσ ij)dE kl(2.14)73