THESE DE DOCTORAT DE L'UNIVERSITE PARIS VI - LISMMA

ETUDE BIBLIOGRAPHIQUEDe plus, la formulation fonctionnelle semble plus intuitive puisqu’il estplus difficile dans l’approche par variables internes de donner une significationphysique à ces variables. Parmi les modèles viscoélastiquesnon linéaires établis par l’approche à variables internes nous citons lemodèle décrit par Spathis G. [Spathis G., 1997].Modèle de SpathisEn adoptant l’idée de variable de contraintes internes comme la manifestationde la résistance de chaînes moléculaires, Spathis G. [Spathis G., 1997]développe un modèle viscoélastique non linéaire suivant lequel une réponseen contrainte est la somme de deux réponses. La première réponsecorrespond au comportement élastique et par conséquent peut être calculéeau moyen d’une énergie de déformation volumique, tandis quela seconde réponse constitue la contrainte interne moléculaire qui estresponsable des phénomènes de relaxation. Pour un matériau isotropeincompressible une loi constitutive pour les élastomères a été proposéepar Spathis G. suivant l’équation suivante :σ − σ int =3∑i=1λ i∂W∂λ i(n i ⊗ n i ) − pδ (1.74)Avec :σ : Tenseur des contraintes de Cauchy, σ int : Tenseur des contraintesinternes, W : Énergie de déformation volumique, p : Pression hydrostatique,λ i : Élongation principale suivant la direction n i , δ : Tenseurunité.Le tenseur des contraintes internes σ int est déterminé à partir de larésolution de l’équation différentielle suivante :•σ int − σ int A + A σ int = 2 3 h a•D dev − C r σ int (1.75)Où,•D dev : Partie déviatorique du tenseur taux des déformations, A : Partieantisymétrique du tenseur gradient des vitesses, h a : Module de durcissementdu matériau responsable au développement des contraintes•internes, C r : Coefficient de relaxation, σ int est le taux d’évolution dutenseur des contraintes internes.62