THESE DE DOCTORAT DE L'UNIVERSITE PARIS VI - LISMMA

1.3 Comportement Visco-élastique des élastomèresCe modèle définit un tenseur de déformation généralisé G qui permetd’écrire l’énergie libre d’Helmholtz sous la forme quadratique suivante[Hassani S. & al., 1998] :ρ 0 ψ(t) = 1 2∫ t ∫ t•G(E, t 1 ) : R(2t − t 1 − t 2 ) :•G(E, t 2 )dt 1 dt 2 (1.51)00G est une fonction isotrope du tenseur de déformation de Green LagrangeE ; (•) désigne la dérivée totale par rapport au temps. R est letenseur de relaxation. Au tenseur G est associé un tenseur de contraintethermodynamique conjugué T . C.a.d. que §, E, G et T sont liés par ladensité volumique des puissances P :P = S :• •E = T : G (1.52)OùS est le second tenseur des contraintes de Piola Kirchhoff ; E est letenseur des déformations de Green Lagrange.Quelques expressions de mesure de déformations sont proposées dansla littérature. A titre d’exemple nous citons les mesures de Seth quisont exprimées par les relations suivantes :⎧⎪⎨⎪⎩G = 1 m (C m2G = Ln(C)− δ)(1.53)m est un paramètre, C est le tenseur des dilatations et δ est le teneurunité. La loi de comportement dérive du second principe de lathermodynamique suivant l’expression suivante :⎧⎪⎨⎪⎩∫ tT (t) = R(t − τ) :0[− ∫ tS(t) = R(t − τ) :0 −•G(τ)dτ•G(τ)dτ]: ∂G∂E (t) (1.54)L’identification du comportement est équivalente à la détermination deG = f(E), et du tenseur de relaxation R d’ordre 4.49