THESE DE DOCTORAT DE L'UNIVERSITE PARIS VI - LISMMA

1.3 Comportement Visco-élastique des élastomèresfonctionnelle non linéaire de la forme :S(t) = £τ≤t{F (τ)} (1.37)Où S est le second tenseur des contraintes de Piola Kirchhoff, F est letenseur gradient des déformations et τ la variable temps. Nombreux travauxde recherche sont menés sur l’identification de la fonctionnelle £ dont nouscitons par la suite différents travaux.1. Modèle de VolterraSi on suppose que la fonctionnelle non linéaire £ est continue sur R,on peut l’approcher par application du théorème de Stone-Weierstrass[Pipkin A. C., 1964] au moyen d’une série fonctionnelle de Volterra dela forme :N∑S(t) = s n (t) (1.38)n=1Où les s n sont des séries tensorielles d’intégrales multiples. Dans le casd’un matériau incompressible, Pipkin [Pipkin A. C., 1964] développe lasérie en s n à l’ordre trois sous la forme :S(t) = −p(t)C −1 +∫ t∫ t∫ t•r 1 (t − τ) E(τ)dτ+−∞• •r 2 (t − τ 1 , t − τ 2 ) E(τ 1 ) E(τ 2 )dτ 1 dτ 2 +−∞ −∞∫ t ∫ t ∫ t• • •r 3 (t − τ 1 , t − τ 2 , t − τ 3 )tr[ E(τ 1 ) E(τ 2 )] E(τ 3 )dτ 1 dτ 2 dτ 3 +−∞ −∞ −∞∫ t ∫ t ∫ t• • •−∞ −∞ −∞r 4 (t − τ 1 , t − τ 2 , t − τ 3 ) E(τ 1 ) E(τ 2 ) E(τ 3 )dτ 1 dτ 2 dτ 3 + ..........(1.39)Les r i sont les noyaux de Volterra d’ordre i qui s’identifient expérimentalementet doivent vérifier un comportement viscoélastique. Lesnoyaux constants permettront d’obtenir un comportement purementélastique. Dans la bibliographie, ils existent différentes approches d’identificationdes noyaux r i ([vinh T., 1990] et [Saad P., 2003]). L’approchedéveloppée par Maxime G. [Maxime G., 1976] consiste à linéariser leproblème en projettant les contraintes S i ainsi que les noyaux r i suivantune base de fonctions orthonormales. Cette approche suppose la43