THESE DE DOCTORAT DE L'UNIVERSITE PARIS VI - LISMMA

1.3 Comportement Visco-élastique des élastomèresOù, σ et ε sont respectivement le tenseur des contraintes de Cauchy etle tenseur des déformations linéarisées. La fonctionnelle f est linéaire parrapport à la déformation. Le comportement d’un matériau viscoélastiquelinéaire peut être défini à partir uniquement de la donnée de l’une de cesfonctions réponse. Les hypothèses de linéarité du comportement, ainsi que leprincipe de superposition de Boltzmann ("Si l’on superpose deux histoires desollicitations, la réponse est la superposition des réponses") permettent alorsd’écrire la réponse à toute histoire de sollicitation à partir de la connaissancedes fonctions de retard ou de relaxation.Lois de comportementUne loi de comportement viscoélastique linéaire s’écrit sous forme d’intégralehéréditaire liant la contrainte et l’hystoire des déformations :σ(t) =∫ t0.R(t − τ) : ε(τ)dτ + R(0 + ) : ε(t) (1.23)Où, R est le tenseur de relaxation. Le dernier terme du second membrede la relation 1.23 représente l’élasticité instantanée.La relation 1.23 traduisant le comportement viscoélastique linéaire peut êtreécrite sous forme de produits de convolution notée * (cas de chargement sanssaut).•En appliquant la transformée de Laplace noté˜:On définit la transformée de Carson par :Avec p complexe. Soit,σ = R ∗ ε (1.24)˜σ(p)˜= p R(p) : ˜ε(p) (1.25)˜˜f(p) = p ˜f(p) (1.26)˜ ˜R(p) = pR(p) (1.27)La loi de comportement viscoélastique linéaire s’écrit alors, dans l’espacede Laplace, suivant une expression similaire à la lois d’élasticité linéaire :39