THESE DE DOCTORAT DE L'UNIVERSITE PARIS VI - LISMMA

1.2 Comportement hyperélastique des Elastomèrespar des essais.Nous citons à titre d’exemple la loi de Rivlin [Rivlin M., 1940] qui est unesérie polynomiale des invariants du tenseur des dilatations C et qui généralisebon nombre de cas particulier d’énergie de déformation.Loi de Mooney-RivlinRivlin a montré que l’énergie de déformation d’un matériau incompressibles’exprimait par un développement en série de fonction des invariants I 1et I 2 du tenseur de Cauchy-Green droit C [Rivlin M., 1940] :W (I 1 , I 2 ) =N∑m,n=0C mn (I 1 − 3) m (I 2 − 3) n (1.18)C mn , m, n et N sont des constantes du matériau.Ces lois sont généralisées à des matériaux compressibles en introduisant letroisième invariant du tenseur de Cauchy-Green droit. Elles s’écrivent alors,en considérant un nombre fini de termes :∑N 1∑N 2∑N 3W (I 1 , I 2 , I 3 ) =A ijk (I 1 − 3) i (I 2 − 3) j (I 3 − 3) ki=0j=0 k=0Si A 000 est nul, alors les contraintes sont nulles à l’état naturel. Lesconstantes A ijk sont indépendantes de l’élongation et sont des caractéristiquesdu matériau.On utilise ces lois en se limitant à quelques termes. On distingue :– La loi néo-hookéenne : W = C 10 (I 1 − 3)– La loi de Mooney : W = C 10 (I 1 − 3) + C 01 (I 2 − 3)(Il est à signaler que la loi de Mooney-Rivlin est une généralisation dela loi de Mooney).– La loi de Tschoegl du 1er ordre :W = C 10 (I 1 − 3) + C 01 (I 2 − 3) + C 20 (I 1 − 3) 2– La loi de Biderman :W = C 10 (I 1 − 3) + C 20 (I 1 − 3) 2 + C 30 (I 1 − 3) 3 + C 01 (I 2 − 3)35