THESE DE DOCTORAT DE L'UNIVERSITE PARIS VI - LISMMA

1.2 Comportement hyperélastique des ElastomèresDans le cas où les composantes du tenseur C sont indépendantes, lesdérivées de I i par rapport aux différents invariants de C s’écrit :⎧⎪⎨⎪⎩∂I 1∂C = δ∂I 2∂C = I 1 δ − C(1.11)∂I 3= I 3 C −t = I 3 C −1∂CConclusion :La formulation d’une loi de comportement hyperélastique est régie soit parla détermination de l’énergie volumique de déformation W, ou bien par ladonnée des dérivées de W par rapport aux invariants I 1 , I 2 et I 3 de C. Dansle cas d’un matériau incompressible, I 3 vaut 1. Par conséquent W ne dépendque de I 1 et de I 2 .1.2.2 Energie de déformation pour un matériau hyperélastiqueLorsqu’on s’abstient de l’hypothèse des déformations linéarisées, une démarchecommunément admise est d’exprimer l’énergie volumique de déformationsous la forme générale suivante [Peeken H. et al., 1987], appelée méthodede pénalisation :W (C) = Π(I 1 , I 2 ) + ζG 2 (I 3 ) − H(I 3 ) (1.12)Π est une fonction des deux premiers invariants I 1 et I 2 du tenseur des dilatationC.Le dernier terme du second membre est une fonction permettant la prise encompte de la nullité des contraintes à l’état non chargé en vérifiant H(1)=0.Le terme G(I 3 ) dans l’équation précédente est appelé fonction de pénalité,pondérée par le paramètre ξ, permettant la prise en compte de l’incompressibilitédu matériau en vérifiant :G(I 3 ) = 0 ⇒ I 3 = 1 ⇒ Matériau incompressible ⇒ W (I 1 , I 2 ).On note que la réciproque de la dernière implication n’est pas généralementvérifiée (Cas de la thermoélectricité linéaire isotrope). Les formesgénéralement admises pour la fonction G sont :33