THESE DE DOCTORAT DE L'UNIVERSITE PARIS VI - LISMMA

A.4 Module complexeA.4 Module complexePour caractériser l’amortissement d’une structure, on définit les notionsfondamentales d’angle de perte et de module complexe. Considérons le casoù un système est soumis à des déformations sinusoïdales cycliques :ε(t) = ε 0 sin(ωt)(A.11)Si on estime que la contrainte transmise répond de façon sinusoïdale avecun déphasage ϕ, appelé angle de perte, on peut écrire :σ(t) = σ 0 sin(ωt + ϕ)(A.12)Généralement, cette hypothèse, dite de premier harmonique, n’est passuffisante. Typiquement, la réponse en contrainte contient des harmoniquesd’ordre supérieur, et la réponse réelle est du type :σ(t) = ∑ kσ k sin(k ωt + ϕ K ) (A.13)Dans le cas de l’hypothèse de premier harmonique, l’énergie dissipée aucours d’un cycle correspond à l’aire de l’ellipse représentée en figure A.5 ets’exprime comme suit :∮E d =σ(t)dε = ω σ 0 ε 0∮cos(ωt) sin(ωt + ϕ)dt = πσ 0 ε 0 sin(ϕ)(A.14)A partir de la représentation complexe (par transformation de Fourier) deséquations précédentes traduisant la contrainte et la déformation, on définitle module d’Young complexe E ∗ définit par :E ∗ = σ ε = σ 0ε 0e iϕ = E ′ + iE ′′ = E ′ (1 + i.tg(ϕ))(A.15)|E ∗ | = σ 0(A.16)ε 0|E ∗ | est le module dynamiqueE ′ = |E ∗ |.cosϕ, est la partie réelle du module dynamique. Cette grandeurcaractérise la partie de la réponse en phase avec l’excitation. On l’appelleégalement module de conservation ou de stockage("storage modulus") : Eneffet, il caractérise une mesure de l’énergie emmagasinée et restituée au coursd’un cycle.E ′′ = |E ∗ |.sinϕ, est la partie imaginaire du module dynamique. Cettegrandeur caractérise la partie de la réponse en quadrature de phase avec147