THESE DE DOCTORAT DE L'UNIVERSITE PARIS VI - LISMMA

APPLICATION AU MULTICOUCHE ”SHIM”On postule que les tenseurs des contraintes de Cauchy et des déformationslinéarisés ont la forme suivante :⎡⎤ ⎡⎤σ 11 = σ0SY MSY Mσ E =⎢ 0 σ 22 = σ⎥ ; ε =⎢ 0 0⎥⎣⎦ ⎣⎦0 τ σ 33 0 ε 32 ε 33(4.5)Nous postulons un champ de déplacement, défini par les deux fonctionsf(z) et g(z) inconnues, sous la forme suivante :−→ U (z, t) = f(z) sin(ωt) ⃗y + g(z) ⃗z (4.6)où ω est la pulsation appliquée. f(z) traduit la précharge de compression.En utilisant l’équation du mouvement appliquée au champ des contraintesdonné par la relation 4.5, on montre que f et g doivent vérifier les équationssuivantes :⎧⎨⎩∂ 2 f k (z)∂z 2 + q 2 k f k(z) = 0 ⇒ f k (z) = A k e iq k z + B k e −iq k zg k (z) = C k z + D k(4.7)où,qk 2 = ρ kw 2µ k; ρ k est la masse volumique du matériau de la couche n˚k. A k , B k ,C k et D k sont des constantes. (l’indice k fait référence à la couche n˚k)D’après les relations 4.4, 4.6 et 4.7, on en déduit les champs des contrainteset des déformations :⎧⎨⎩σ (k)11 = σ (k)22 = λ k C kσ (k)33 = (2µ k + λ k ) C kτ (k) (z, t) = i µ k q k sin(wt) (A k e iqkz − B k e −iqkz )⎧⎨ U y (k) (z, t) = sin(wt) (A k e iqkz + B k e −iqkz )⎩(4.8)U z (k) = C k z + D k(4.9)i est le nombre imaginaire pur (i 2 = −1). Les constantes A k , B k , C ket D k sont déterminées en utilisant les conditions aux limites ainsi que desconditions d’interface qui s’écrivent :114