THESE DE DOCTORAT DE L'UNIVERSITE PARIS VI - LISMMA

COUPLAGE VISCOELASTICITE HYPERELASTICITEEn utilisant la relation 3.15, le tenseur des contraintes de Cauchy σ s’écriten fonction de l’énergie de déformation volumique W et du tenseur de déformationde Cauchy gauche B comme suit :σ = 2[ ∂W∂I 1+ I 1∂W∂I 2]B − 2 ∂W∂I 2B 2 + pδ (3.37)Où δ est le tenseur unité et p est la pression hydrostatique.Compte tenue des relations 2.11 et 3.9, le tenseur tangent R s’écrit :R ijkl = ∂(Jσ ij)∂F kpF lp (3.38)On s’intéresse dans cette section particulièrement au module de cisaillementtangent R 2323 . La relation 3.38 permet de déduire le module de cisaillementtangent R 2323 dans le cas de sollicitation de cisaillement harmoniquesous précharge de compression :R 2323 = ∂(Jσ 23)∂F 23F 33 (3.39)En exprimant les composantes du tenseur B en fonction des celles dutenseur F et en utilisant les relations 3.37 et 3.39, on détermine le modulede cisaillement tangent R 2323 suivant l’expression suivante :R 2333 = Q 1∂W∂I 1+ Q 2∂W∂I 2+ Q 11∂ 2 W∂I 2 1+ Q 22∂ 2 W∂I 2 2+ Q 12∂ 2 W∂I 1 ∂I 2(3.40)Avec :⎧⎪⎨⎪⎩Q 1 = 2F332Q 2 = 2F33 2 [F11 2 + F22 2 + F33 2 + 3F23 2 − 2F 23 F 33 ]Q 11 = 4F33 2 F232Q 22 = 4F11 2 F33 2 F23 3 (F11 2 + F22 2 + F33 2 + F23 2 − F 23 F 33 )Q 12 = 4F33 2 F23 2 [2F11 2 + F22 2 + F33 2 + F23 2 − F 23 F 33 ](3.41)En fonction de l’élongation de la précharge de compression λ et de latangente de l’angle de cisaillement γ, les fonctions Q i et Q ij s’écrivent :102