THESE DE DOCTORAT DE L'UNIVERSITE PARIS VI - LISMMA

THESE DE DOCTORAT DEL’UNIVERSITE PARIS VISpécialitéMécaniqueprésentée parGACEM Hatempour obtenir le grade deDocteur de l’Université Pierre & Marie Curie - Paris VISujet de la thèse :COMPORTEMENT VISCO-HYPERELASTIQUEDES ELASTOMERES- Viscoélasticié non linéaire, Application aux Multicouches -Soutenue le le 12 Décembre 2007devant le jury composé de :M. MULLER P., Professeur, IUT Cergy-Pontoise . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . PrésidentM. CHEVALIER Y., Professeur, I. S. M. E. Paris . . . . . . . . . . . . . . . Directeur de thèseM. REZGUI B., Professeur, E. N. I. Tunis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Directeur de thèseM. LAIARINANDRASANA L., Maître de recherche, ENS Mines Paris . . . . RapporteurM. HADDAR M., Professeur, E. N. I. Sfax, Tunisie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . RapporteurM. PASQUET T., Société Bosch, Paris . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ExaminateurM. BEDA T., Maître de Conférences, E. N. S. P. Y., Cameroun . . . . . . . . . CodirecteurM. DION J. L., Maître de Conférences, I. S. M. E. Paris . . . . . . . . . . . . . . . CodirecteurM. SOULA M., Maître assistant, E. N. I. Tunis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Codirecteur

REMERCIMENTSCe travail s’inscrit dans le cadre d’une coopération entre l’université deTunis Elamanar (Ecole Nationale d’Ingénieur de Tunis, Unité de RechercheGénie des Matériaux) et l’université de Paris VI (Institut Supérieur de Mécaniquede Paris).Une première partie de ce travail a été réalisée au sein de l’Unité de RechercheGénie des Matériaux (URGM) à l’École Nationale d’Ingénieurs deTunis dirigée par le professeur M. REZGUI Brahim dont je remercie pour lesmoyens expérimentaux qui ont été mis à ma disposition ainsi que pour sesconseils. La seconde partie de la thèse a été réalisée au sein du Laboratoired’Ingénierie des Systèmes Mécaniques et des Matériaux (LISMMA) à l’InstitutSupérieur de Mécanique de Paris dirigée par le Professeur M. RIVIEREAlain. Je tiens à remercier toutes les personnes du laboratoire LISMMA pourleur accueil et leur sympathie.Cette thèse doit son accomplissement au travail en groupe dont ont participésans réserve mes directeurs de thèse M. CHEVALIER Yvon et M.REZGUI Brahim ainsi que M. DION Jean Luc et M. SOULA Mohamed.Je tiens à remercier chaleureusement M. CHEVALIER Yvon de m’avoir proposéce sujet, pour son accueil et les moyens donnés pour réaliser ce travaildans de bonnes conditions. Je ne sais comment le remercier pour sa disponibilité,sa patience, ses conseils et tout ce qu’il a pu m’apprendre au cours deces quatre années.Un grand merci à M. CASIMIR Jean Baptiste et M. BEDA Tibi pourtoutes les discussions que nous avons eux sur le sujet.Je remercie vivement M. le Professeur MULLER Patrick qui m’a faitl’honneur de présider le jury.J’ai été également sensible à la participation de M. HADDAR Mohamed ainsique M. LAIARINANDRASANA Lucien comme rapporteurs de ma thèse.3

Je remercie M. PASQUET T., de la société BOSCH, d’avoir accepté de fairepartie du membre du jury.La mise en place d’une partie des expériences de ce travail doit beaucoupà messieurs DION Jean Luc et SABBAH Hamidou.Si une thèse ne peut se réaliser hors d’un environnement scientique, lecadre humain est tout aussi indispensable. A ce titre, j’exprime toute mareconnaissance aux personnels de l’Institut Supérieur de Mécanique de Paris.

RESUMELe travail réalisé constitue une contribution à l’étude du comportementviscoélastique non linéaire des élastomères et se compose de quatre chapitres :Un premier chapitre bibliographique est consacré à introduire les propriétésmécaniques des élastomères, à savoir l’hyperélasticité et la viscoélasticité.Nous mettons l’accent sur la viscoélasticité non linéaire en terme de non linéaritécomportementale ainsi que géométrique.Dans le deuxième chapitre, une caractérisation expérimentale du comportementen fluage d’un élastomère, à court terme ainsi qu’à long terme,est présentée en premier lieu. Par la suite, un formalisme général originalmodélisant le comportement viscoélastique non linéaire des élastomères estdéveloppé. Dans cette optique, nous nous basons sur une généralisation de laloi de Knauss. Dans une troisième partie du deuxième chapitre, une approchede prévision de courbe maîtresse de fluage à longue durée à partir d’essaisde fluage courts est présentée. On a vérifié par le biais des expériences quedes courbes de fluage à différentes contraintes sont liées par un facteur destranslation qui dépendent habituellement de la contrainte et pertinemmentdu temps ce qui n’est pas classique par rapport à l’état de l’art. L’idée estbasé sur une équivalence physique contrainte/temps. En se basant sur ce résultat,le modèle de Knauss est appliqué avec succès dans le cadre des petitesdéformations, sur des essais courts à différentes charges pour prédire le comportementau fluage à longue durée.L’étude du comportement dynamique des élastomères sous préchage feral’objet d’un troisième chapitre et présente une application du formalisme généraldéveloppé dans le chapitre 2. En effet, nous nous sommes intéressésà la modélisation du module dynamique d’un élastomère, dans le domainetemporel et fréquentiel, en intégrant l’effet de la précharge. La modélisationest basée sur le couplage hyperélasticité-viscoélasticité.Dans un dernier chapitre, nous mettons en oeuvre les parties antérieures,5

concernant la caractérisation et la modélisation du comportement mécaniquedes élastomères, au profit de l’étude d’une problématique industrielle. Dansce cadre, une caractérisation expérimentale et une modélisation du comportementdynamique en cisaillement, sous précharge, d’une structure multicouchea été menée. C’est un composite élastomère/métal appelé ”Shim”, utilisé pourl’isolation vibroacoustique dans les systèmes de freinage. Le modèle développépermet de caractériser le comportement fréquentiel du composite en fonctionde la précharge. Une étude comparative avec un modèle éléments finis estdiscutée.Mots clés : Élastomère, hyperélasticité, viscoélasticité non linéaire, grandesdéformations, comportement dynamique, multicouches, caractérisation expérimentale.

SUMMARYVisco-Hyperelastic behaviour of elastomers- Non linear viscoelasticity -- Application on multilayers -The work carried here constitutes a contribution to the study of the nonlinearviscoelastic behaviour of elastomers and is composed of four chapters :A first bibliographical chapter is devoted to introduce the mechanical propertiesof elastomers, namely hyperelasticity and viscoelasticity. We stressnonlinear viscoelasticity in terms of behavioral and geometrical non linearity.In the second chapter, an experimental characterization of behaviour in creepof an elastomer, in the short term as in the long term, is initially presented.Thereafter, an original development generalising modelling the nonlinear viscoelasticbehaviour of elastomers is developed. Accordingly, our work is basedon a generalization of Knauss’s law.In a third part of the second chapter, an approach of forecast of mastercurve of creep at long duration starting from short creep tests is presented.We have checked by means of the experiments that curves of creep to variousconstraints are bound by a factor of translation which usually depends onthe constraint and pertinence of time which is unconventional in terms of thestate of the art. The idea is based on physical stress/time equivalence. Whilebased on this result, the Knauss’s model is applied successfully within theframework of small deformations, to short tests with various loads to predictbehaviour with creep at long duration.The study of the dynamic behaviour of elastomers under preload will be studiedin the third step and presents an application of the general formalismdeveloped in chapter 2. Indeed, we were interested in the modelling of thedynamic module of an elastomer, in the temporal and frequential field, byintegrating the effect of the preload. Modelling is based on hyperelasticityviscoelasticitycoupling.In the final chapter, we implement the former parts, concerning the characterizationand the modelling of the mechanical behaviour of elastomers, for7

the study of industrial problems. Within this framework, an experimentalcharacterization and a modelling of dynamic behaviour in shearing, underpreload, of a multi-layer structure were carried out. It is an elastomer/metalcomposite called ” Shim ”, used for vibroacoustic isolation in brakes. Thedeveloped model makes it possible to characterize the frequential behaviourof the composite according to the preload. A comparative study with finiteelements calculations is discussed.Key words : Elastomer, hyperelasticity, nonlinear viscoelasticity, great deformations,dynamic behaviour, multi-layer, experimental characterization.

Table des matièresINTRODUCTION 170.1 Contexte de l’étude . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170.2 Plan du mémoire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191 ETUDE BIBLIOGRAPHIQUE 211.1 propriétés générales des élastomères . . . . . . . . . . . . . . . 221.1.1 Qu’est ce que le caoutchouc ? . . . . . . . . . . . . . . 221.1.2 Propriétés mécaniques . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231.2 Comportement hyperélastique des Elastomères . . . . . . . . . 311.2.1 formulation d’une loi de comportement d’un milieu hyperélastique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 311.2.2 Energie de déformation pour un matériau hyperélastique 331.2.3 lois de comportement hyperélastique . . . . . . . . . . 341.2.4 Identification . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 361.3 Comportement Visco-élastique des élastomères . . . . . . . . . 381.3.1 Comportement viscoélastique linéaire . . . . . . . . . . 381.3.2 Comportement viscoélastique non linéaire . . . . . . . 421.4 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 632 MODELE GENERAL ET PREVISION A LONGUE DU-REE 652.1 Expérimentation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 662.1.1 Dispositif expérimental . . . . . . . . . . . . . . . . . . 662.1.2 Eprouvette . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 672.2 Résultats expérimentaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 672.3 Modèle général en viscoélasticité non linéaire . . . . . . . . . . 692.3.1 Invariance dans le temps . . . . . . . . . . . . . . . . . 712.3.2 Cas particuliers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 732.4 Prévision du comportement à longue durée . . . . . . . . . . . 752.4.1 Modélisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 752.4.2 Généralisation du modèle de Schapery . . . . . . . . . 779

2.4.3 Prévision du comportement à longue durée . . . . . . 802.5 Conclusions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 853 COUPLAGE VISCOELASTICITE HYPERELASTICITE 893.1 Modèle d’ O’Down et Knauss généralisé . . . . . . . . . . . . . 903.1.1 Sollicitation autour d’une précharge . . . . . . . . . . 903.1.2 Prise en compte du comportement du matériau . . . . 913.2 Modèle paramétrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 943.3 Module tangent . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 953.3.1 Précharge d’extension - Sollicitation harmonique en extension. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 973.3.2 Précharge de compression - Sollicitation harmoniqueen cisaillement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1003.4 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1044 APPLICATION AU MULTICOUCHE ”SHIM” 1054.1 Problématique posée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1064.2 Dispositif expérimental et essais . . . . . . . . . . . . . . . . . 1084.2.1 Dispositif expérimental . . . . . . . . . . . . . . . . . 1084.2.2 Résultats et constatations . . . . . . . . . . . . . . . . 1104.3 Modélisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1114.3.1 Modélisation par matrice de transfert . . . . . . . . . 1154.3.2 Influence des couches visco-hyperélastiques . . . . . . . 1184.4 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123CONCLUSION GENERALE ET PERSPECTIVES 125BIBLIOGRAPHIE 129A ANNEXES 141A.1 Expériences fondamentales en viscoélasticité . . . . . . . . . . 141A.1.1 Expérience de retard ou de fluage . . . . . . . . . . . . 141A.1.2 Expérience de relaxation . . . . . . . . . . . . . . . . . 141A.2 Identification des fonctions g 1 et g 2 à haute contrainte . . . . 143A.3 Intégration d’un modèle rhéologique dans le modèle de Schapery144A.4 Module complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147A.5 Modèle rhéologique généralisé . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150A.6 Modèles aux dérivées fractionnaires . . . . . . . . . . . . . . . 152A.7 Dispositif de montage d’éprouvette . . . . . . . . . . . . . . . 154

Table des figures1.1 Aspect hyperélastique et dissipatif des élastomères, Effet Mullins.Chargement cyclique sur mélange amortissant . . . . . . 241.2 Effets de la température sur la rigidité et l’amortissement d’unvulcanisât de caoutchouc naturel chargé. [Saad P., 2003] . . . 261.3 Effets de la fréquence sur la rigidité d’un vulcanisât de caoutchoucnaturel chargé [Saad P., 2003] . . . . . . . . . . . . . . 271.4 Variation du module de coulomb en fonction de l’amplituded’excitation sinusoïdale, pour deux mélanges. Cas d’un essaide cisaillement, [Saad P., 2003] . . . . . . . . . . . . . . . . . . 291.5 Modèle rhéologique à trois paramètres (Modèle de Zener). . . 521.6 Facteur g 1 en fonction de la contrainte, [Zaoutsos S. P. et al., 2000] 541.7 Facteur g 2 en fonction de la contrainte, [Zaoutsos S. P. et al., 2000] 541.8 Comparaison entre modèle viscohyperélastique et expérienceà différents taux de déformation, [Yang L. M., 2000] . . . . . . 582.1 Machine de fluage (ENIT) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 662.2 Machine de fluage, Dispositif de montage d’éprouvette . . . . 672.3 Éprouvette "Haltère - H2" normalisée pour essais de fluage(Dimension en mm). Epaisseur=2,5 mm, longueur utile =20mm 672.4 Courbes de fluage à différentes charges - Déformation totale . 682.5 Courbes de fluage à différentes charges à courte durée et unecourbe à longue durée - Déformation totale . . . . . . . . . . . 692.6 Saut de déformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 702.7 Courbes de fluage à différentes contraintes - Déformation totale 762.8 Courbe maitresse de fluage à une contrainte=2.5 MPa. (6. 10 5 s =7 jours; 10 7 s = 115 jours) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 772.9 Évolution du facteur de translation horizontal en fonction dutemps entre une courbe de référence à 2.5 MPa et les courbesà 0.5 MPa ; à 1 MPa et à 1,5 MPa - Valeurs expérimentales . . 782.10 Résultats expérimentaux : déformation de fluage réduite enfonction du temps. (Mesures à diverses précharges 0

2.11 Courbe maîtresse : Courbe classique théorique à facteur detranslation constant et courbe réelle (Schéma de principe). . . 832.12 Recalage du facteur de translation horizontal dépendant dutemps pour une courbe de fluage de référence à 2.5 MPa etles courbes de fluage à 0.5 MPa, 1MPa et 1.5 MPa ; σ=0.5MPa : λ=397.9 ; a= 1.8 ; b=15970.6 ; σ=1 MPa : λ = 132.4 ;a = 1.46 ; b = 16281.9 ; σ=1.5 MPa : λ = 37.22 ; a= 1.14 ; b=26233.8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 852.13 Courbe maitresse théorique et expérimentale . . . . . . . . . . 863.1 Petite déformation autour d’une configuration actuelle (déformée). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 903.2 Superposition du chargement : (a) Précharge de Compression- (b) Cisaillement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1014.1 Système de freinage automobile . . . . . . . . . . . . . . . . . 1064.2 Structure d’un Shim . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1074.3 Éléments de freinage automobile : (a)Étrier+patin ; (b) Etrier+ patin (démontés) ; (c) Face du patin coté piston ; (d) structuredu ”Shim” . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1074.4 Dispositif d’essais sur élastomères (ISMEP-Paris) . . . . . . . 1084.5 Dispositif de fixation des plaques multicouches ”Shim” . . . . . 1094.6 Dispositif de fixation des plaques multicouches ”Shim”. Montagedes capteurs de mesure. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1094.7 Système de fixation des plaques multicouches ”Shims” (l’épaisseurdes ”Shims” ne respecte pas l’échelle du schéma et estdilatée) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1104.8 Modèles rhéologiques simples du montage des 12 ”Shims” . . . 1104.9 Module de cisaillement en fonction de la fréquence à différentesprécharges pour un Shim . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1114.10 Module de cisaillement en fonction de la fréquence à différentesprécharges - Essai d’amplitude 0,1 mm sur plot . . . . . . . . 1124.11 Module de cisaillement fonction de la fréquence à différentesamplitudes - Essais à une précharge de 500 N sur plot . . . . . 1124.12 Structure ”Shim” à 5 couches . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1134.13 Recalage du module de cisaillement dynamique : modèle analytiqueet expériences, A=299,47 MPa ; B=42,8283 MPa ; a 1 =51,44 ; a 2 = 11,56 ; b 1 =-37,5996 b 2 =-2,4658 ; t 1 =0,0005 s ; t 2 =0,0360s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1194.14 Identification de l’énergie de déformation volumique - RésultatsAbaqus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121

4.15 Maillage du Shim . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1214.16 Simulation du shim en cisaillement harmonique sous préchargede compression (contrainte de Von Mises en MPa) . . . . . . . 1224.17 Comparaison entre résultats expérimentaux et des résultatsAbaqus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1224.18 Module de cisaillemnt du Shim. Prévision du modèle analytiqueà haute fréquence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1234.19 Comparaison : Modèle analytique / Modèle de ressorts en série 124A.1 Expérience de retard à l’instant t 0 ; a) Echelon de contrainte ;b) Réponse en déformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142A.2 Expérience de relaxation à l’instant t 0 ; a) Échelon de déformation; b) Réponse en contrainte . . . . . . . . . . . . . . . . 142A.3 Modèle rhéologique à trois paramètres . . . . . . . . . . . . . 144A.4 Recalage du modèle de Schapery généralisé basé sur une fonctionde fluage suivant le modèle Zener ; σ = 2.5 MPa (- model ;. experience) (E 2 =0.820 MPa ; k=0.345 ; τ=0.034 ; n=0.021) 146A.5 Courbe Contrainte/Déformation. Cycle d’hystérésis . . . . . . 148A.6 Module dynamique dans le plan complexe . . . . . . . . . . . 149A.7 Modèle rhéologique de Maxwell Généralisé . . . . . . . . . . . 150A.8 Elément "‘Spring-Pot"’ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152A.9 Dispositif de montage d’éprouvette élastomère - Dessin d’ensembledu dispositif de montage élaboré - . . . . . . . . . . . . 154A.10 Chape . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155A.11 Bride d’alignement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156A.12 Plaque de fixation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157

GLOSSAIREa σ : Facteur de pondération du temps, dépendant de la contrainte.e : Energie interne par unité de volume.E : Module d’Young.E* : Module complexe.f : Fréquence.G : Module de cisaillement global.I i Invariant n˚i du tenseur des dilatations.I 1,E Invariant n˚i du tenseur des déformations de Green-Lagrange.h : Épaisseur. J : det(F ).K : Raideur.p : Pression hydrostatique.r i :, r ij : Noyau de Volterra d’ordre i ou d’ordre (ij).s : Entropie par unité de volume.S : Surface. t : Temps.W : Énergie de déformation volumique.z : Coordonnée globale.α ij : Matrice de transfert pour le cisaillement.β ij : Matrice de transfert pour la compression.α σ : Facteur de contrainte généralisé dépendant de la contrainte et du temps.β : Angla de cisaillement.λ : Élongation.λ(σ n ) : facteur de translation à faible durée.ξ(σ n , t) : facteur de translation général.ν : Coefficient de Poisson.ρ : Masse volumique.ξ : Coordonnée locale.µ : Coefficient de Lamé.ω : Pulsation.ψ : Temps réduit.φ : Dissipation par unité de volume.15

ϕ : Phase.Φ : Déformation réduite (Fonction réduite de fluage).γ : : Tangente de l’angle de cisaillment.τ : Contrainte de cisaillement.ψ : Densité volumique d’énergie libre.−−−→grad E : Opérateur gradient Eulérien.⃗q : Vecteur flux de chaleur.⃗U : Vecteur déplacement.δ⃗u : Vecteur déplacement de petites perturbations.⃗x : Position actuelle.⃗x ′ : Position correspondante à une petite perturbation au voisinage de laconfiguration actuelle.⃗X : Position de référence.t A : Transposée du tenseur A.B : Tenseur des dilatations de Cauchy-Green gauche.C −1t: Tenseur des déformations de Finger.C : Tenseur des élongations de Cauchy-Green droit (ou des dilatations).D : Tenseur taux des déformations.D i : Tenseur de discontinuité de contrainte.E : Tenseur des déformations de Green-Lagrange.E 0 : Tenseur des déformations de Green-Lagrange à une précharge.L : Tenseur gradient des vitesses des déformations.F : Tenseur gradient de déformation.S : Second tenseur des contraintes de Piola-Kirchhof.η : Tenseur des déformations par rapport à une précharge.δ : Tenseur unité.σ : Tenseur des contraintes de Cauchy.ɛ : Tenseur des déformations linéarisées.J ≡ ϕ : Module de fluage.R : Tenseur tangent.φ : Fonction de relaxation.A : B : Produit doublement contracté des deux tenseur A et B.16

INTRODUCTION0.1 Contexte de l’étudeCe travail constitue une contribution à l’étude du comportement viscoélastiquenon linéaire des élastomères. Les élastomères constituent des atoutsmajeurs dans le domaine industriel. Leurs propriétés mécaniques spécifiquesen termes d’hyperélasticité, permettant plusieurs centaines de pour cent dedéformation élastique, et de viscoélasticité assurant la capacité à amortir lesvibrations, justifient leur utilisation dans plusieurs applications industrielles.Ils présentent un amortissement interne qui leur confère d’excellentes propriétésfréquentielles d’isolation vibratoire et acoustique. La nature complexe desélastomères et notamment la présence des chaînes carbonées lui confère descomportements (hautement) non linéaires et dissipatifs. Leur comportementest considéré généralement quasi incompressible.Les comportements contrainte-déformation, non classiques, du caoutchoucont présenté une opportunité pour les ingénieurs innovant et un challengepour les scientifiques depuis la moitié du 19 eme siècle. La majorité des branchesthéoriques telles que la théorie statistique de l’élasticité caoutchoutique et lathéorie de déformation finie en élasticité sont apparues grâce aux travauxde caractérisation des élastomères. De nos jours, les travaux théoriques dansle cadre des grandes déformations trouvent peu d’applications parmi les ingénieursdu caoutchouc car les mathématiques sont devenues rapidementintraitable par tous à l’exception des thèmes classiques. L’arrivée des outilsde calcul et de simulation accessibles et puissants ont changé ce contexte etont amené le challenge du caoutchouc aux ingénieurs calculs.Le développement de la théorie statistique du caoutchouc dans les années1940, de la théorie d’élasticité en déformation finie dans les années 1950 etles formes convenables de fonctions d’énergies de déformation dans les années17

1970, est focalisé sur la modélisation des caractéristiques élastiques du caoutchouc.Quoique, la majorité des approches développées récemment dans cesujet sont basées sur ces travaux antérieurs ([Proc. Roy. Soc. London, 1976],[Treolor L. R. G., 1975]).Le traitement du caoutchouc comme matériau hyperélastique modélisé en déformationsfinies par une énergie de déformation a été implémenté dans desoutils de calcul par éléments finis dans les années 1980. Depuis, ce domainea connu un enrichissement incessant, prenant en compte d’autres aspects ducomportement caoutchoutique tels que (particulièrement) la viscoélasticité,donnant naissance, dans un environnement compétitif, à une panoplie decodes commerciaux.Toutefois, seulement peu d’élastomères tel que le caoutchouc non renforcéet certaines classes de polyuréthanes se conforment réellement à l’idée hyperélastique(grandes déformations élastiques). la majorité des autres élastomèresincorporent des renforcements qui sont nécessaires pour faciliterle processus d’élaboration ou pour l’amélioration des propriétés en servicedans une large gamme. Le comportement mécanique de tel caoutchouc renforcés’éloigne significativement du thème d’élasticité, et nécessite la priseen compte d’autres phénomènes tel que particulièrement la dépendance parrapport à la vitesse et l’histoire de déformation (phénomène viscoélastique).La pertinence dans l’utilisation des matériaux élastomères se présente surtoutdans le domaine des matériaux composites. Dans le domaine de la grandediffusion, bon nombre d’efforts de recherche se portent sur les compositessouples à base d’élastomères constituant des structures membranaires utiliséesdans le secteur de l’habitat mobile et de la protection de l’environnement: citons les applications dans le domaine des constructions modulairesde cloisonnement (barrages mobiles) pour contrôler le niveau d’eau contreles inondations par fermeture des rivières et des canaux ; l’utilisation desstructures souples multicouches à membranes travaillantes pour l’isolationvibroacoustique des machines tournantes, protection des satellites en astronautique.Ces applications ne sont possibles que grâce aux performancesmécaniques des matériaux : une faible masse volumique assurant un montageet démontage allégé permettant une grande mobilité alliées à d’excellentespropriétés de résistance mécanique et de dissipation. Le domained’étude des élastomères est un sujet multidisciplinaire dans lequel l’interventionde différentes branches scientifiques est nécessaire pour contribuerà une maîtrise du sujet. Les travaux de recherche dans le domaine des matériauxélastomères se situent selon trois axes : les sciences des matériaux([Tobolsky A. V., 1960], [Aklonis J. et al., 1972], [Yeoh O., 1990]), le comportementmécanique ([Wineman A. S. & al., 2000], [Holzapfel G. A., 2000],[David I. G. J., 2001], [Gay D., 1991], [Lion A., 2007]) et la conception18

0.2 Plan du mémoire([Ever B. J., 1998], [Gay D., 1991]). La présente étude se situe dans la secondecatégorie dans la quelle on s’intéresse à l’étude du comportementhyper-viscoélastique non linéaire des élastomères. La mise en évidence deces travaux de recherche conduit à compléter ces études par un volet expérimentalde validation qui est généralement coûteux sur différents plans. Lacomplexité du comportement mécanique de ce type de matériau nécessitele développement d’algorithme performant de résolution de systèmes nonlinéaires et l’utilisation d’outil puissant de simulation tel que la méthoded’éléments finis.Il est important de signaler que les non linéarités interviennent à plusieursniveaux en fonction des conditions d’utilisation des élastomères :- En quasi statique, les non linéarités intervenants sont à la fois géométriqueset comportementales.- En dynamique, ces matériaux ont de plus des propriétés amortissantes leurspermettant de dissiper de l’énergie et représentant l’aspect viscoélastique.Cette dissipation est non linéaire. Elle s’écrit par une relation qui met enjeu dans la loi de comportement le facteur temps ou taux de déformationen plus par rapport à la loi classique de l’élasticité. Généralement l’utilisationdes élastomères en dynamique, se présente sous une petite déformationdynamique autour d’une configuration préchargée statiquement en grandedéformation. Dans ce cas le modèle de comportement peut être une linéarisationdu comportement hyperélastique.Il est ainsi nécessaire de bien maîtriser les phénomènes à prendre en comptepour la modélisation du comportement mécanique des élastomères.Ce travail de thèse a pour objectif de proposer une modélisation qui prenden compte des phénomènes viscoélastiques non linéaires, comportementaleset géométriques, des élastomères.0.2 Plan du mémoireCe mémoire de thèse est constitué de quatre chapitres :Un premier chapitre bibliographique est consacré à introduire les propriétésmécaniques des élastomères, à savoir l’hyperélasticité et la viscoélasticité.Nous mettons l’accent sur la viscoélasticité non linéaire en terme de non linéaritécomportementale ainsi que géométrique.Dans le deuxième chapitre, une caractérisation expérimentale du comportementen fluage d’un élastomère, à court terme ainsi qu’à long terme,est présentée en premier lieu. Par la suite, un formalisme général original19

modélisant le comportement viscoélastique non linéaire des élastomères estdéveloppé. Dans cette optique, nous nous basons sur une généralisation de laloi de Knauss. Dans une troisième partie du deuxième chapitre, une approchede prévision de courbe maîtresse de fluage à longue durée à partir d’essaisde fluage courts est présentée. On a vérifié par le biais des expériences quedes courbes de fluage à différentes contraintes sont liées par un facteur detranslation qui dépend classiquement de la contrainte et pertinemment dutemps ce qui n’est pas ordinaire par rapport à l’état de l’art. L’idée est baséesur une équivalence physique contrainte/temps. En se basant sur ce résultat,le modèle de Knauss est appliqué avec succès pour prédire le comportementau fluage à longue durée, dans le cadre des petites déformations sur des essaiscourts à différentes charges.L’étude du comportement dynamique des élastomères sous préchage feral’objet d’un troisième chapitre et présente une application du formalisme généraldéveloppé dans le chapitre II. En effet, une modélisation du moduledynamique, d’un élastomère dans le domaine temporel et fréquentiel, en intégrantl’effet de la précharge, est développée. La modélisation est basée surle couplage hyperélasticité-viscoélasticité.Dans un dernier chapitre, une mise en oeuvre des parties antérieures auprofit de l’étude d’une problématique industrielle, est présentée. Dans cecadre, une caractérisation expérimentale et une modélisation du comportementdynamique en cisaillement sous précharge, d’une structure multicouchea été menée. C’est un composite élastomère/métal appelé ”Shim”, utilisé pourl’isolation vibroacoustique dans les systèmes de freinage. Le modèle développépermet de caractériser le comportement fréquentiel du composite en fonctionde la précharge. Une étude comparative avec un modèle éléments finis estdiscutée.Mots clés : Élastomère, hyperélasticité, viscoélasticité non linéaire, grandesdéformations, comportement dynamique, multicouches, caractérisation expérimentale.20

Chapitre 1ETUDE BIBLIOGRAPHIQUECe premier chapitre est consacré à l’étude bibliographique sur le comportementmécanique des matériaux polymères et se compose de trois parties.Dans une première partie introductive, une étude générale des propriétésphysiques des mariaux élastomères d’un point de vue phénoménologique estprésentée. Un grand nombre d’études bibliographiques ont été menées sur lesélastomères. Afin d’en comprendre les mécanismes, nous proposons ici d’endonner les principaux résultats. L’étude des modèles capables de restituerle comportement hyperélastique des élastomères fait l’objet d’une deuxièmepartie. L’étude de la modélisation des phénomènes viscoélastiques de cesmatériaux sera abordée dans la dernière partie de ce premier chapitre. Dansce cadre, l’aspect non linéarité viscoélastique sera notre centre d’intérêt. Lecouplage hyperélasticité/viscoélasticité est considéré comme étant la superpositiond’une réponse statique en grande déformation avec une réponse dynamiqueen petites perturbations.21

ETUDE BIBLIOGRAPHIQUE1.1 propriétés générales des élastomères1.1.1 Qu’est ce que le caoutchouc ?Le caoutchouc naturel et ses homologues synthétiques, les élastomères,sont fortement répandus dans le domaine de l’industrie. La multiplicité desutilisations des élastomères provient de caractéristiques mécaniques très intéressantes:– Capacité à subir de grandes déformations sous faible compressibilité.– Capacité à dissiper de l’énergie, phénomène qui permet d’obtenir despropriétés d’isolation vibratoire et acoustique.Le préfixe "élasto" rappelle les grandes déformations élastiques possibles,tandis que le suffixe "mère" évoque leur nature de polymères, et donc leurconstitution macro moléculaire. A l’état brut, le caoutchouc n’a guère de possibilitésd’emploi pratique. Pour obtenir un produit présentant de meilleurespropriétés mécaniques, le caoutchouc brut doit subir un traitement chimiqueappelé vulcanisation : ce procédé consiste à malaxer du caoutchouc brut, ày ajouter du soufre et à chauffer le mélange. L’ensemble se transforme en unmatériau élastique, stable dans une gamme de température beaucoup pluslarge, et résistant au fluage sous contrainte. Ce procédé de vulcanisation,fut découvert accidentellement par GOODYEAR en 1839 et est encore à labase de l’industrie de fabrication du caoutchouc. La réticulation (pontageentre les chaînes moléculaires) est nécessaire car sans elle le comportementserait de type fluide avec un écoulement libre des molécules les unes parrapport aux autres. Après polymérisation, en présence d’un système réticulant,les macro molécules forment un réseau tridimensionnel sans directionprivilégiée. La capacité du caoutchouc vulcanisé à subir de fortes amplitudesde déformations élastiques est due essentiellement à la nature repliée de ceschaînes : elles peuvent être étirées et s’orienter elles mêmes dans la directionde l’allongement, les liaisons les poussant à revenir à l’état initial quand lacontrainte est relâchée. Le matériau élastomère n’est jamais utilisé seul, maiscomme composant d’un mélange qui peut comporter 10 à 20 composantsdifférents. Certains sont nécessaires pour la vulcanisation (soufre, oxyde dezinc ...), d’autres permettent d’en accélérer le processus. Les caoutchoucs quine contiennent que des agents de mise en oeuvre et des produits chimiquesdestinés à la protection, la coloration et la vulcanisation, sont appelés caoutchoucspure gomme, ou non chargés. Mais la majorité des caoutchoucsutilisés pour les applications mécaniques contiennent une charge : les chargespeuvent améliorer l’élasticité du produit final sans augmenter sa résistance(ce sont des produits à base de carbonate de calcium ou de sulfate de baryum).Par ailleurs, les charges peuvent améliorer la résistance du produit22

1.1 propriétés générales des élastomèresinitial (noir de carbone, oxyde de zinc, carbonate de magnésium ou différentesargiles). Le noir de carbone, qui reste la principale charge renforçantedu caoutchouc, se présente sous la forme de petites particules de carbones(20 nm - 50 nm) mélangées à la gomme naturelle avant vulcanisation. Pourobtenir ces matériaux chargés on effectue la polymérisation en présence descharges : Le polymère constitue alors un réseau continu et les charges formentun agglomérat à l’intérieur du réseau. Le caoutchouc est alors un matériaumultiphasique composé de constituants avec des propriétés mécaniques différentes.1.1.2 Propriétés mécaniquesa. Propriétés élastiquesUne propriété mécanique particulièrement prisée de ces matériaux élastomèresest leur remarquable élasticité, due à leur structure moléculaire. Lecaoutchouc peut subir des grandes déformations (éventuellement de plusieurscentaines de pour cent) et revenir ensuite à sa configuration initiale. La figure1.1 présente le caractère hyperélastique, non linéaire et dissipatif ducomportement mécanique des élastomères.Il faut également évoquer la quasi incompressibilité de ces matériaux (coefficientde Poisson ν ≈ 0, 5) : le module de compressibilité du caoutchoucvarie entre 1000 et 2000 MPa, alors que l’ordre de grandeur du module de cisaillementest d’environ 1 MPa. Cette différence signifie que le caoutchouc nevarie guère de volume, même sous de fortes contraintes. Ainsi généralement,son comportement est considéré comme quasi incompressible. Parmi les caractéristiquesdu caoutchouc on peut également mentionner l’effet Mullins[Mullins L., 1969] : Si l’on applique un chargement cyclique sur un matériauinitialement non précontraint, on observe une diminution de raideur lors despremiers cycles. Il y a stabilisation après 3 à 5 cycles. Si on impose à nouveauun niveau de déformation cyclique plus élevé, on observe à nouveau une diminutionde la contrainte et de l’hystérésis jusqu’ a un nouvel équilibre (Fig.1.1).Ce comportement provient d’une rupture progressive des liaisons moléculaires.Nombreux travaux de recherche ont développés des modélisations de cephénomène [Andrieux F., 1996], [Bikard J. & al., 2001], [Cantournet S. & al., 2001].L’effet Mullins conditionne les procédures d’essai sur éprouvette et pièce encaoutchouc et donc doit être pris en compte par un conditionnement despièces connues sous le nom de ”déverminage”. Signalons que parmi les déformationshomogènes imposées, les déformations de cisaillement peuvent êtreconsidérées comme linéaires ; le module de rigidité au cisaillement est re-23

ETUDE BIBLIOGRAPHIQUEFig. 1.1 – Aspect hyperélastique et dissipatif des élastomères, Effet Mullins.Chargement cyclique sur mélange amortissantlativement indépendant du cisaillement, au moins jusqu’ à des niveaux dedéformation modérés. Il peut alors être considéré comme une constante dumatériau. Par contre, le module d’Young associé à la déformation de tractioncompression est fonction de l’élongation, et les courbes effort déplacement entraction compression sont non linéaires même pour les faibles niveaux dedéformation.b. propriétés dissipativesGrandeurs caractéristiques en comportement linéaireL’énergie dissipée au cours d’un cycle d’hystérésis sous forme de chaleurtraduit les propriétés d’amortissement du matériau. Dans le cas d’oscillationslibres, cet aspect se traduit par une diminution de l’amplitude des vibrationsau cours du temps. Pour caractériser l’amortissement d’une structure, ondéfinit les notions fondamentales d’angle de perte et de module complexe.A partir de la représentation complexe (par transformation de Fourier) deséquations traduisant la contrainte et la déformation, on définit le moduled’Young complexe E ∗ défini en (Annexe A.4) :24

1.1 propriétés générales des élastomèresE ∗ = σ ε = σ 0ε 0e iϕ = E ′ + iE ′′ = E ′ (1 + i.tg(ϕ)) (1.1)|E ∗ | est le module dynamique.|E ∗ | = σ 0ε 0(1.2)– E ′ = |E ∗ |.cosϕ, est la partie réelle du module dynamique. Cette grandeurcaractérise la partie de la réponse en phase avec l’excitation. Onl’appelle également module de conservation ou de stockage("storagemodulus").– E ′′ = |E ∗ |.sinϕ, est la partie imaginaire du module dynamique. Cettegrandeur caractérise la partie de la réponse en quadrature de phase avecl’excitation. On l’appelle également module de perte ("loss modulus")c. Dépendance en températureLa figure 1.2 représente l’évolution schématique du module dynamique etde l’angle de perte en fonction de la température. Le coefficient de cisaillementpeut être considéré de la même manière, la forme des courbes obtenuesest similaire. Les valeurs numériques données ici correspondent à des ordresde grandeur : Elles peuvent entre autres dépendre de l’amplitude du débattement,de la fréquence, ou de la composition du polymère. Toutefois, mêmesi les valeurs numériques varient en fonction de ces paramètres, la formegénérale schématisée ci dessous reste valable pour tous les polymères.Trois zones sont ainsi mises en évidence : Aux basses températures (étatvitreux), le caoutchouc est figé et se comporte comme un verre rigide : les macromoléculesne sont pas mobiles. Les mouvements inter macromoléculairessont ainsi "gelés" et négligeables à l’échelle du temps d’observation. Les mouvementsmoléculaires étant faibles, la dissipation est faible, l’amortissementest donc négligeable. Cet état se caractérise par un module d’Young élevé(de l’ordre de 10 4 MPa) et peu dépendant de la température. Plus la températureaugmente, plus les vibrations moléculaires sont importantes et plusles molécules peuvent bouger librement. Pour des températures élevées, desmouvements moléculaires aisés définissent l’état caoutchoutique, avec un moduled’Young peu élevé (de l’ordre de 1 MPa). Entre ces deux états se situe lazone de transition vitreuse, centrée autour de la température de transition T g .Dans cette zone, une partie des liaisons commence à se rompre, ce qui permetun glissement d’une partie des chaînes les unes par rapport aux autres. Lemodule dynamique diminue alors brutalement. L’amortissement est maximal25

ETUDE BIBLIOGRAPHIQUEFig. 1.2 – Effets de la température sur la rigidité et l’amortissement d’unvulcanisât de caoutchouc naturel chargé. [Saad P., 2003]à la température de transition vitreuse. Dans les conditions d’utilisation industrielle,les élastomères sont généralement employés à la fin de la zone detransition, ou au début de la zone caoutchoutique.d. Dépendance en fréquenceLa figure 1.3 représente le comportement typique du module de rigidité(E ou G) et de l’angle de perte en fonction de la fréquence. Là encore, lesvaleurs numériques données sont approximatives et dépendent très fortementde l’amplitude des déformations et des mélanges d’élastomère. La forme généraledes courbes est toutefois similaire pour tous les élastomères.A basse fréquence, le module dynamique et le coefficient d’amortissementsont faibles. A fréquence nulle, le module dynamique tend vers une valeurlimite qui représente la raideur "statique" : Si le comportement du matériauest celui d’un fluide, cette valeur est nulle. A haute fréquence, le module derigidité devient important et tend vers une valeur asymptotique. Entre cesdeux zones, il existe une fréquence de transition pour laquelle le coefficientd’amortissement est maximal, et prés de laquelle le coefficient d’amortissementet le module de rigidité varient fortement. La comparaison entre lesfigures 1.3 et 1.2 mène à l’observation suivante : une augmentation de températureest équivalente à une diminution en fréquence, du point de vuephénoménologique. Cette caractéristique est une propriété générale valablepour une grande classe de polymères sur une large gamme de température26

1.1 propriétés générales des élastomèresFig. 1.3 – Effets de la fréquence sur la rigidité d’un vulcanisât de caoutchoucnaturel chargé [Saad P., 2003]et de fréquence, et a donné lieu au principe de superposition temps - température(ou fréquence température) de Williams Landel Ferry courammentappelé principe WLF [Ferry J. D., 1980]. Ce principe de superposition permetde considérer qu’un changement de température a sur les propriétésmécaniques le même effet que si l’on appliquait à l’échelle des fréquencesun facteur multiplicatif. Ce principe de superposition peut se justifier de lamanière suivante [Coleman B. D. & al., 1961] : Le module E et le facteur deperte (tang(ϕ)) que l’on observerait via une température de référence T 0 etune fréquence f sont liés aux module et facteur de perte mesurés expérimentalementvia une température T à la même fréquence f par la relation suivante[Ferry J. D., 1980] :⎧⎨⎩E(f, T 0 ) = ρ 0 T 0ρ T E(a T f, T )tan[ϕ(f, T 0 )] = tan[ϕ(a T f, T )](1.3)Où :ρ et ρ 0 sont respectivement les densités du matériau aux températures T27

ETUDE BIBLIOGRAPHIQUEet T 0 . Cette correction est introduite parce qu’en toute rigueur, le volumed’un polymère est fonction de la température. Le module, défini par unité desurface, varie en fonction de la quantité de matériau contenue par unité devolume. Cette correction est toutefois faible, et est le plus souvent négligée.a T est un coefficient multiplicateur qui dépend de la température appelé facteurde translation (”Shift” facteur). La quantité (a T f) est appelée fréquenceréduite.Une conséquence importante de cette relation est que l’on peut obtenirle module et le déphasage sur une large gamme de fréquence à partir d’essaisdans une gamme de fréquence donnée, à différentes températures, enconstruisant les courbes dites "maîtresses" du matériau. Une description détailléesur la construction et l’utilisation de ces courbes peut être trouvéedans les travaux de Coleman B. D. et al. [Coleman B. D. & al., 1961]. Lefacteur de décalage en fréquence a T peut être déterminé température partempérature, de manière à ce que toutes les courbes aux différentes températuresd’essai se superposent à celles de la température de référence. Enpratique, on utilise des fonctions d’approximation pour a T . Plusieurs formessont couramment utilisées dans la littérature. Les plus connues étant l’équationWLF que l’on doit à William Landel Ferry [Ferry J. D., 1980], et la loid’Arrhenius.La méthode des fréquences réduites décrite ci dessus s’avère extrêmementintéressante pour estimer les valeurs des modules en dehors de la gamme defréquence de mesure : en pratique, même en utilisant des méthodes de mesuresdites hautes fréquences, comme les méthodes basées sur la propagationd’ondes, l’intervalle de mesure ne peut guère dépasser les 2 MHz.Il est important de signaler qu’une approche d’équivalence Temps/Contrainteest développé pareillement par [Straganac T. W. et al., 1996].Toutefois, il faut être très vigilant lors de l’utilisation de ce type d’équivalence.En théorie, la méthode des variables réduites ne s’applique qu’auxdonnées respectant les contraintes suivantes [Coleman B. D. & al., 1961] :– Les courbes adjacentes doivent avoir exactement la même forme.– Les mêmes valeurs de a T doivent permettre de superposer toutes lesfonctions viscoélastiques (coefficient d’amortissement, module de conservationet de perte).e. Dépendance en amplitudePour les élastomères chargés, en plus de la rigidification en fréquenceévoquée précédemment, on observe que :– le module dynamique diminue avec l’amplitude de l’excitation imposée.28

1.1 propriétés générales des élastomères– L’amortissement augmente dans un premier temps en fonction de l’amplitude,puis diminue.Ces phénomènes sont nettement visibles sur la figure 1.4. La diminutionde la rigidité en fonction de l’amplitude est souvent appelée "effet Payne"[Payne A. R., 1965].Fig. 1.4 – Variation du module de coulomb en fonction de l’amplitude d’excitationsinusoïdale, pour deux mélanges. Cas d’un essai de cisaillement,[Saad P., 2003]29

ETUDE BIBLIOGRAPHIQUELes mécanismes associés à ce phénomène sont les suivants :Les élastomères sont constitués de longues chaînes macromoléculaires repliéessur elles-mêmes et flexibles. La variation du module dynamique enfonction de l’amplitude est due au frottement des chaînes macromoléculairesavec les particules de chargement. De nombreux auteurs ont observéexpérimentalement et commenté ce phénomène. Les premières explicationsont été fournies par Payne en 1965. Parmi les travaux plus récents, citons[Austrell P. E., 1997], [Coveney V. A. & al.,1999] et [Lion A., 1998]. Le degréde dépendance en amplitude varie en fonction du type et de la quantitéde charges [Harris J. & al., 1987], mais la forme qualitative des courbes restela même. Harris et col. [Harris J. & al., 1987] ont ainsi observé que la dépendanceen amplitude était due à l’ajout de charges de noir de carbone. Si lematériau est chargé, ses propriétés dynamiques deviennent dépendantes del’amplitude de déformation imposée. Leurs observations expérimentales serésument de la manière suivante : la diminution de raideur aux faibles amplitudesest d’autant plus importante que le matériau est chargé en noir decarbone. De même, les propriétés amortissantes sont plus importantes dansle cas où l’élastomère est chargé. Ce sont ces mêmes propriétés que l’on peutvisualiser sur la figure 1.4. Les données présentées sur cette figure concernentdes essais de cisaillement, sur des échantillons d’élastomère. Ce type de comportementest généralement fortement non linéaire. En effet les expériencesde Harris et Stevenson ainsi que celles représentées en figure 1.4 sont faitesdans le cas d’un chargement de cisaillement en petite déformation, qui est lecas de chargement le plus linéaire (par rapport à des chargements de tractioncompression).A la suite de cet aperçu sur les propriétés générales des matériaux élastomères,on s’intéresse dans la partie suivante à la modélisation du comportementmécanique des élastomères.30

1.2 Comportement hyperélastique des Elastomères1.2 Comportement hyperélastique des ElastomèresLe comportement mécanique des élastomères se présente comme une superpositiond’un comportement hyperélastique, étudié dans cette section,avec un comportement viscoélastique dont on s’intéressera par la suite et enmettant l’accent sur l’aspect non linéaire.Dans cette partie, on présente l’approche fondamentale pour la formulationdes lois de comportement des milieux hyperélastiques. Un domainematériel hyper-élastique est également un domaine possédant, en grandesdéformations, un état libre de toute contrainte auquel il revient spontanémenten absence de chargement. Cependant, le travail mis en jeu au coursd’une transformation donnée est indépendante du chemin suivi. Le matériaua une structure élastiquement conservative et les contraintes dérivent d’unpotentiel scalaire. Il n’y a pas de dissipation d’énergie. Son état thermodynamiquepeut être décrit par une énergie libre spécifique qui ne dépend quede la température T et de la déformation.1.2.1 formulation d’une loi de comportement d’un milieuhyperélastiqueEn utilisant le premier et le second principe de la thermodynamique, ontrouve l’inégalité de Clausius-Duhem [Germain P., 1973] :φ =⃗q.−−−−−→ gradρ(ṡ T − ė) E T+ σ : D −T≥ 0 (1.4)avec : ρ : Masse volumique ; S : Entropie ; ė : taux d’énergie interne ; σ :Tenseur des contraintes de Cauchy ; D : Tenseur taux des déformations ; ⃗q :Vecteur flux de chaleur ; T : Température.φ est appelée dissipation et se décompose en une dissipation thermiqueet une dissipation intrinsèque.φ th = − ⃗q.−−−−−→ grad E T; φT intr = ρ(Ṡ T − ė) + σ : D (1.5)Soit : ψ = e − T s ; Ψ est appelée énergie libre spécifique. La dissipationintrinsèque d’énergie devient :φ intr = σ : D − ρ( . ψ +s .T ) (1.6)31

ETUDE BIBLIOGRAPHIQUEDans le cas de comportement réversible, la dissipation intrinsèque estnulle. Par conséquent, on en déduit que le tenseur des contraintes dérive deΨ suivant l’expression suivante [Germain P., 1973] :σ = ρF ∂ψ∂E F t (1.7)Cas d’évolution isotherme : Dans le cas de transformation isotherme,l’énergie libre spécifique ne dépend que du tenseur des déformations de GreenLagrange E. A partir de ψ on définit une fonctionnelle dénommée énergie dedéformation volumique W par.W (E) = ρ 0 ψ(E) (1.8)En utilisant le second tenseur des contraintes de Piola Kirchhoff S et larelation de conservation de la masse, on aura alors :S = ∂W(1.9)∂EObjectivité de l’énergie de déformation volumique :L’énergie de déformation volumique W est une grandeur objective, c’està dire indépendante du référentiel d’observation. W est donc isotrope parrapport à son argument tensoriel. La théorie des fonctions isotropes indiquealors que W peut se ramener à une fonction des trois invariants I 1 , I 2 et I 3du tenseur des déformations de Green Lagrange E ou de Cauchy Green droitC [Holzapfel G. A., 2000].Soit :W (E) = W (I 1 , I 2 , I 3 ) (1.10)Avec :⎧I 1 (C) = tr(C) = C 11 + C 22 + C 33 =λ 2 1 + λ 2 2 + λ 2 3⎪⎨⎪⎩I 2 (C) = 1 2 [tr2 (C) − tr(C 2 )]= C 11 C 22 + C 11 C 33 + C 22 C 33 − C 2 12 − C 2 13 − C 2 23= λ 2 1 λ 2 2 + λ 2 1 λ 2 3 + λ 2 2 λ 2 3I 3 (C) = det(C) = (λ 1 λ 2 λ 3 ) 2C.λ i : Élongation principale suivant la direction i du tenseur des dilatations32

1.2 Comportement hyperélastique des ElastomèresDans le cas où les composantes du tenseur C sont indépendantes, lesdérivées de I i par rapport aux différents invariants de C s’écrit :⎧⎪⎨⎪⎩∂I 1∂C = δ∂I 2∂C = I 1 δ − C(1.11)∂I 3= I 3 C −t = I 3 C −1∂CConclusion :La formulation d’une loi de comportement hyperélastique est régie soit parla détermination de l’énergie volumique de déformation W, ou bien par ladonnée des dérivées de W par rapport aux invariants I 1 , I 2 et I 3 de C. Dansle cas d’un matériau incompressible, I 3 vaut 1. Par conséquent W ne dépendque de I 1 et de I 2 .1.2.2 Energie de déformation pour un matériau hyperélastiqueLorsqu’on s’abstient de l’hypothèse des déformations linéarisées, une démarchecommunément admise est d’exprimer l’énergie volumique de déformationsous la forme générale suivante [Peeken H. et al., 1987], appelée méthodede pénalisation :W (C) = Π(I 1 , I 2 ) + ζG 2 (I 3 ) − H(I 3 ) (1.12)Π est une fonction des deux premiers invariants I 1 et I 2 du tenseur des dilatationC.Le dernier terme du second membre est une fonction permettant la prise encompte de la nullité des contraintes à l’état non chargé en vérifiant H(1)=0.Le terme G(I 3 ) dans l’équation précédente est appelé fonction de pénalité,pondérée par le paramètre ξ, permettant la prise en compte de l’incompressibilitédu matériau en vérifiant :G(I 3 ) = 0 ⇒ I 3 = 1 ⇒ Matériau incompressible ⇒ W (I 1 , I 2 ).On note que la réciproque de la dernière implication n’est pas généralementvérifiée (Cas de la thermoélectricité linéaire isotrope). Les formesgénéralement admises pour la fonction G sont :33

ETUDE BIBLIOGRAPHIQUEG(I 3 ) = I 3 − 1 ; G(I 3 ) = 1 2 ln(I 3) (1.13)Tenseur tangent On définit le tenseur tangent du matériau (en référenceà l’élasticité classique) par :D = ∂S∂E = 2 ∂S∂C = W4∂2∂C 2 (1.14)Dans le cas de l’élasticité linéaire, le tenseur tangent est constant, soit[Chevalier Y. & al., 2003] :D = ∂σ∂ε = (λ + 2µ)δ ⊗ δ = E 1 − ν0(1 + ν)(1 − 2ν) δ ⊗ δ (1.15)⊗ désigne produit tensoriel, δ est le tenseur unitéDétermination du module tangent :En élasticité linéaire, le module d’Young tangent à l’origine vaut :E 0 = ∂2 W∂λ 2 (1.16)λ est l’élongation longitudinale en traction simple.1.2.3 lois de comportement hyperélastiquePlusieurs lois de comportement hyperélastique ont été développées dans lalittérature. Ces lois sont généralement introduites par l’expression de l’énergiede déformation volumique W. Chaque loi caractérise le comportementd’un matériau hyperélastique (ou d’une famille de matériau) bien déterminé,pour des conditions de sollicitation ainsi que des niveaux de déformation bienprécises.Les lois de comportement des matériaux isotropes travaillant en grandes déformationsdérivent d’une énergie de déformation W de forme générale admisepar bon nombre d’auteurs :W (I 1 , I 2 , I 3 ) =N∑K n g n (t) H n (I 1 , I 2 , I 3 ) 1+αn (1.17)i=1dans laquelle les fonctions H n qui dépendent des trois invariants, sontimposées tandis que les fonctions g n , dépendant éventuellement du temps,les paramètres K n et α n , caractéristiques de la loi, doivent être déterminés34

1.2 Comportement hyperélastique des Elastomèrespar des essais.Nous citons à titre d’exemple la loi de Rivlin [Rivlin M., 1940] qui est unesérie polynomiale des invariants du tenseur des dilatations C et qui généralisebon nombre de cas particulier d’énergie de déformation.Loi de Mooney-RivlinRivlin a montré que l’énergie de déformation d’un matériau incompressibles’exprimait par un développement en série de fonction des invariants I 1et I 2 du tenseur de Cauchy-Green droit C [Rivlin M., 1940] :W (I 1 , I 2 ) =N∑m,n=0C mn (I 1 − 3) m (I 2 − 3) n (1.18)C mn , m, n et N sont des constantes du matériau.Ces lois sont généralisées à des matériaux compressibles en introduisant letroisième invariant du tenseur de Cauchy-Green droit. Elles s’écrivent alors,en considérant un nombre fini de termes :∑N 1∑N 2∑N 3W (I 1 , I 2 , I 3 ) =A ijk (I 1 − 3) i (I 2 − 3) j (I 3 − 3) ki=0j=0 k=0Si A 000 est nul, alors les contraintes sont nulles à l’état naturel. Lesconstantes A ijk sont indépendantes de l’élongation et sont des caractéristiquesdu matériau.On utilise ces lois en se limitant à quelques termes. On distingue :– La loi néo-hookéenne : W = C 10 (I 1 − 3)– La loi de Mooney : W = C 10 (I 1 − 3) + C 01 (I 2 − 3)(Il est à signaler que la loi de Mooney-Rivlin est une généralisation dela loi de Mooney).– La loi de Tschoegl du 1er ordre :W = C 10 (I 1 − 3) + C 01 (I 2 − 3) + C 20 (I 1 − 3) 2– La loi de Biderman :W = C 10 (I 1 − 3) + C 20 (I 1 − 3) 2 + C 30 (I 1 − 3) 3 + C 01 (I 2 − 3)35

ETUDE BIBLIOGRAPHIQUEOn observe expérimentalement une bonne précision des lois neo-hookéenneset de Mooney-Rivlin dans le cas de caoutchoucs non chargés et pour des niveauxde déformations modérés.Prise en compte de l’incompressibilitéDans le cas de la loi de Mooney par exemple, pour prendre en comptel’incompressibilité ou la quasi-incompressibilité dans la loi de comportement,on peut exprimer l’énergie de déformation sous la forme :( 1W (I 1 , I 2 , I 3 ) = A (I 1 − 3) + B (I 2 − 3) + CI32)− 1 + D (I 3 − 1) 2 (1.19)(Avec, H (I 3 ) = −C1I 2 3(Relativement à la relation 1.12).)− 1 et ξG (I 3 ) 2 = D (I 3 − 1) 2 .Le paramètre D de pénalisation peut être déterminé par l’introductiondu tenseur tangent du matériau [Peeken H. et al., 1987]. La constante C estobtenue à partir de la condition de nullité des contraintes à l’état naturel. Lesecond tenseur des contraintes de Piola-Kirchhoff s’écrit alors :S = 2 (A + BI 1 ) δ − 2BC + 4[D (I 3 − 1) − C I 3 3]I 3 C −1 (1.20)1.2.4 IdentificationPrincipeLe nombre d’essais à réaliser croit avec le nombre de paramètres à déterminer.Il faut souligner par ailleurs que l’incompressibilité est généralementadmise dans leur dépouillement, ce qui réduit le nombre de paramètres inconnus.L’identification des lois de comportement consiste alors à constituer une basede données expérimentale permettant de sélectionner une loi particulière etd’évaluer les constantes de cette loi. Les données expérimentales sont issuesde campagnes d’essais définies selon diverses sollicitations et sont constituéesd’un ensemble de valeurs contraintes-déformations dans des conditions depression et de température proches des conditions réelles d’utilisation dumatériau.Les essais les plus courants sont de quatre types :36

1.2 Comportement hyperélastique des Elastomères– Essais de traction uniaxiale– Essais de compression uniaxiale– Essais de cisaillement simple– Essais biaxiaux en contraintes planes.L’identification se fait ensuite par une technique de moindres carrés àpartir de différentes lois de comportement. La sélection de la loi est obtenueen minimisant le résidu. Dans la thèse de Bechir H. [Bechir H., 1996], uneapproche d’indentication de différentes énergies de déformation volumiquepolynomiales, dans différents cas de sollicitations, est présentée.37

ETUDE BIBLIOGRAPHIQUE1.3 Comportement Visco-élastique des élastomèresLes élastomères présentent des phénomènes dissipatifs que l’on peut traduireglobalement par une viscosité. On entend par un milieu visqueux unmilieu continu dans lequel la dissipation volumique intrinsèque n’est fonctionque du tenseur des vitesses des déformations D ou des vitesses d’autresparamètres [Chevalier Y. & al., 2003]. Une première caractéristique des matériauxviscoélastiques est l’effet de la déformation antérieure sur le comportementde l’état actuel. L’état de contrainte dépend de la déformation ou/etde l’histoire du taux de déformation suivant l’équation suivante :S(t) =•f [ E(τ)] (1.21)0≤τ≤tOù, S et E sont respectivement le second tenseur des contraintes de PiolaKirchhof et le tenseur des déformations de Green Lagrange.Le comportement viscoélastique des élastomères peut être caractérisé pardeux types d’essais classiques :– Essais statiques :Essais de retard à la déformation (ou de fluage) oul’essai de relaxation (Annexe A.1).– Essais dynamiques : Essai vibratoire.Dans cette section, nous introduisons en premier lieu les notions fondamentalesde la viscoélasticité linéaire. par la suite, nous étudions en détail lamodélisation en viscoélasticité non linéaire.1.3.1 Comportement viscoélastique linéaireLa théorie de la viscoélasticité linéaire permet de prendre en compte lephénomène de la dissipation d’énergie au cours du temps tout en conservant laréversibilité de la déformation. D’une façon générale, la loi de comportementd’un matériau viscoélastique linéaire exprime la correspondance fonctionnelleentre l’histoire des contraintes et l’histoire des déformations, linéairement parrapport à la déformation (ou par rapport à la contrainte). A chaque instantt, la contrainte dépend de l’histoire de déformation jusqu’à cet instant.σ(t) =f0≤τ≤t38•[ ε(τ)] (1.22)

1.3 Comportement Visco-élastique des élastomèresOù, σ et ε sont respectivement le tenseur des contraintes de Cauchy etle tenseur des déformations linéarisées. La fonctionnelle f est linéaire parrapport à la déformation. Le comportement d’un matériau viscoélastiquelinéaire peut être défini à partir uniquement de la donnée de l’une de cesfonctions réponse. Les hypothèses de linéarité du comportement, ainsi que leprincipe de superposition de Boltzmann ("Si l’on superpose deux histoires desollicitations, la réponse est la superposition des réponses") permettent alorsd’écrire la réponse à toute histoire de sollicitation à partir de la connaissancedes fonctions de retard ou de relaxation.Lois de comportementUne loi de comportement viscoélastique linéaire s’écrit sous forme d’intégralehéréditaire liant la contrainte et l’hystoire des déformations :σ(t) =∫ t0.R(t − τ) : ε(τ)dτ + R(0 + ) : ε(t) (1.23)Où, R est le tenseur de relaxation. Le dernier terme du second membrede la relation 1.23 représente l’élasticité instantanée.La relation 1.23 traduisant le comportement viscoélastique linéaire peut êtreécrite sous forme de produits de convolution notée * (cas de chargement sanssaut).•En appliquant la transformée de Laplace noté˜:On définit la transformée de Carson par :Avec p complexe. Soit,σ = R ∗ ε (1.24)˜σ(p)˜= p R(p) : ˜ε(p) (1.25)˜˜f(p) = p ˜f(p) (1.26)˜ ˜R(p) = pR(p) (1.27)La loi de comportement viscoélastique linéaire s’écrit alors, dans l’espacede Laplace, suivant une expression similaire à la lois d’élasticité linéaire :39

ETUDE BIBLIOGRAPHIQUE˜σ(p) =˜R(p) :˜ε(p) (1.28)Approche thermodynamiqueUn milieu viscoélastique présente une dissipation intrinsèque non nulle.Cette dissipation est d’origine visqueuse c’est à dire fonction de la vitessede déformation. Si l’on se place dans le cadre de l’hypothèse des petitesdéformations et pour une évolution isotherme, on a [Lemaitre J. & al., 1985] :φ int = σ :•ε −ρ ∂ψ •∂ε : ε ≠ 0 (1.29)Où, φ int est la dissipation intrinsèque et ψ est l’énergie libre spécifique.On peut ensuite faire une partition de la puissance des efforts internes en unepart réversible et une part dissipée. L’expression de ces puissances dépend duchoix de la variable thermodynamique partitionnée. La contrainte totale estpartitionnée en une contrainte élastique et une contrainte anélastique notéesrespectivement σ e et σ an . La contrainte anélastique σ an est définie commeétant la partie de contrainte totale produisant une dissipation intrinsèquenon nulle.Soit :σ e :•ε −ρ ∂ψ •∂ε : ε = 0 (1.30)De telle sorte que la dissipation intrinsèque volumique se réduise à :φ intr = σ an :•ε ≠ 0 (1.31)•Ou encore : φ intr = (σ − σ e ) : ε ≠ 0La nullité de la dissipation intrinsèque liée à la contrainte élastique conduità :σ e = ρ ∂ψ(1.32)∂εEn ce qui concerne la contrainte anélastique, on introduit un potentiel dedissipation ψ diss tel que :σ an = ∂ψ diss•∂ ε(1.33)40

1.3 Comportement Visco-élastique des élastomèresLa relation contrainte déformation s’écrit alors d’une manière générale :σ = ρ ∂ψ∂ε + ∂ψ diss•(1.34)∂ εLe comportement viscoélastique linéaire est défini à partir du même potentielque celui établi pour l’élasticité linéaire, c’est-à-dire :ψ = 12ρ [(λ + 2µ)I2 1 − 4µI 2 ] (1.35)λ, et µ sont les coefficient du Lamé, ρ est la masse volumique. I 1 et I 2sont les deux premiers invariants du tenseur des déformations linéarisées ε.La linéarité des relations contraintes-déformations conduit également à utiliserun potentiel de dissipation quadratique [Lemaitre J. & al., 1985], soit :ψ diss = 1 2 [(λθ λ + 2µθ µ ) I1(2 ••ε) − 4µθ µ I 2 ( ε)] (1.36)Les coefficients θ λ et θ µ sont caractéristiques de la viscosité du matériau.Lemaitre J. et al. [Lemaitre J. & al., 1985] formulent les lois de comportementviscoélastique des modèles rhéologiques en se basant sur une approchethermodynamique basée sur les potentiels de conservation et de dissipation.Modèle rhéologiqueNombreux travaux de recherche ont exploités les modèles rhéologiquespour décrire le comportement viscoélastique des élastomères. Des modèlesrhéologiques classiques ont permis de décrire avec succès le comportement viscoélastique([Amin A. et al., 2002], [Huber N. & al., 2000], [Hausler K. & al., 1995]et [Lemaitre J. & al., 1985]). Le principe d’une approche par modèle rhéologiqueconsiste à modéliser le comportement d’un tel matériau sous unesollicitation donnée et dans une direction précise par un assemblage bien définide ressorts et d’amortisseurs. Cette modélisation ne prend en compte quel’évolution du matériau observée sous une sollicitation donnée et n’est nullementreprésentative de la structure interne du matériau. Des modèles viscoélastiquesgénéralisés basés sur des assemblages, suivant différentes configurations,d’éléments rhéologiques élémentaires, permettent d’affiner la modélisationdu comportement viscoélastique linéaire dans une large marge defréquences (Annexe A.5).Dans cet axe, Dion J. L. [Dion J. L., 1995] décrit le comportement viscoélastiquelinéaire d’un accouplement hydroélastique au moyen de modèle deMaxwell généralisé. Ils proposent une méthode d’identification paramétriquedes comportements rhéologiques.41

ETUDE BIBLIOGRAPHIQUEModèles aux dérivées fractionnairesLes modèles rhéologiques généralisés permettent de lisser les fonctions defluage et de relaxation. L’inconvénient de ce type d’approche est le nombrede paramètres à prendre en compte pour pouvoir représenter correctement lecomportement du matériau. L’utilisation de la dérivée fractionnaire pour lamodélisation des élastomères répond initialement à un souci de réduction dunombre de paramètres de la loi de comportement mécanique du matériau.Bagley R. L. et al. ont également démontré qu’elle avait un fondement thermodynamique[Bagley R.L. et al., 1986].Le principe d’un modèle à dérivée fractionnaire consiste à remplacer dans unmodèle rhéologique l’élément amortisseur par un élément appelé ”Spring-Pot”tel que la loi de comportement correspondante (contrainte/taux de déformation)met en jeu une dérivée non entière du taux de déformation(AnnexeA.6).1.3.2 Comportement viscoélastique non linéaireLes matériaux viscoélastiques présentent des non linéarités qui sont fonctiondes niveaux des déformations et du type de sollicitation. Les non linéaritésgénérées sont de deux types : Une non linéarité comportementale et unenon linéarité géométrique. Différentes approches sont abordées pour étudierle comportement viscoélastique non linéaire des élastomères. On peut citerdeux axes d’étude qui sont traditionnellement abordés. Le premier qui estune description non paramétrique du phénomène présente l’avantage de s’affranchirà la modélisation mais réduit l’information à un intervalle de tempsou de fréquence réduit. Dans ce contexte, on peut citer l’approche par variableinterne basée sur une étude micro structurale. La deuxième approcheest une modélisation paramétrique qui permet l’identification expérimentaledu comportement du matériau dans une très large gamme de temps ou defréquence. Néanmoins, les modèles viscoélastiques non linéaire présentent desdifficultés d’identification mathématique.Dans ce chapitre, on s’intéresse particulièrement à une étude critique demodèles de comportement viscoélastique non linéaire.A. Modèles en grandes déformationApproche fonctionnelleL’approche fonctionnelle s’appuie souvent sur une généralisation empiriquede la loi de comportement en viscoélasticité linéaire. D’une manière assezgénérale, la loi de comportement viscoélastique s’exprime sous forme d’une42

1.3 Comportement Visco-élastique des élastomèresfonctionnelle non linéaire de la forme :S(t) = £τ≤t{F (τ)} (1.37)Où S est le second tenseur des contraintes de Piola Kirchhoff, F est letenseur gradient des déformations et τ la variable temps. Nombreux travauxde recherche sont menés sur l’identification de la fonctionnelle £ dont nouscitons par la suite différents travaux.1. Modèle de VolterraSi on suppose que la fonctionnelle non linéaire £ est continue sur R,on peut l’approcher par application du théorème de Stone-Weierstrass[Pipkin A. C., 1964] au moyen d’une série fonctionnelle de Volterra dela forme :N∑S(t) = s n (t) (1.38)n=1Où les s n sont des séries tensorielles d’intégrales multiples. Dans le casd’un matériau incompressible, Pipkin [Pipkin A. C., 1964] développe lasérie en s n à l’ordre trois sous la forme :S(t) = −p(t)C −1 +∫ t∫ t∫ t•r 1 (t − τ) E(τ)dτ+−∞• •r 2 (t − τ 1 , t − τ 2 ) E(τ 1 ) E(τ 2 )dτ 1 dτ 2 +−∞ −∞∫ t ∫ t ∫ t• • •r 3 (t − τ 1 , t − τ 2 , t − τ 3 )tr[ E(τ 1 ) E(τ 2 )] E(τ 3 )dτ 1 dτ 2 dτ 3 +−∞ −∞ −∞∫ t ∫ t ∫ t• • •−∞ −∞ −∞r 4 (t − τ 1 , t − τ 2 , t − τ 3 ) E(τ 1 ) E(τ 2 ) E(τ 3 )dτ 1 dτ 2 dτ 3 + ..........(1.39)Les r i sont les noyaux de Volterra d’ordre i qui s’identifient expérimentalementet doivent vérifier un comportement viscoélastique. Lesnoyaux constants permettront d’obtenir un comportement purementélastique. Dans la bibliographie, ils existent différentes approches d’identificationdes noyaux r i ([vinh T., 1990] et [Saad P., 2003]). L’approchedéveloppée par Maxime G. [Maxime G., 1976] consiste à linéariser leproblème en projettant les contraintes S i ainsi que les noyaux r i suivantune base de fonctions orthonormales. Cette approche suppose la43

ETUDE BIBLIOGRAPHIQUEconnaissance de l’évolution du tenseur des contraintes S en fonctiondu temps. Un développement du modèle de série de Volterra à l’ordretrois en grandes déformation est bien mené dans la thèse de Saad P.,[Saad P., 2003]. Par ailleurs, le champ des déformations est approchésuivant le principe de Rayleigh-Ritz. Les noyaux de relaxation sont modéliséspar des fonctions exponentielles.– Identification des noyaux par décomposition suivant unebase de fonctions orthonormales :On décompose les composantes du second tenseur des contraintes S ijainsi que les noyaux r i respectivement suivant deux bases de fonctionsorthonormales B 1 et B 2 définies par deux produits scalaires bien définis[Maxime G., 1976]. La détermination des noyaux r i se ramène àla résolution d’un système linéaire. Cette approche de décompositionsuivant une base de fonctions orthonormales permet la linéarisationdu problème. Dans la thèse de Maxime G. [Maxime G., 1976], unemise en oeuvre de cette méthode jusqu’à l’ordre 3 est présentée.– Approximation des noyaux par des fonctions exponentielles :Dans la thèse de Saad P. [Saad P., 2003], un modèle de Volterra estconsidéré à l’ordre trois suivant l’expression suivante :S(t) = −p(t)C −1 ++++∫ t∫ t∫ t•r 1 (t − τ) E(τ)dτ−∞• •r 2 (t − τ 1 , t − τ 2 ) E(τ 1 ) E(τ 2 )dτ 1 dτ 2−∞ −∞∫ t ∫ t ∫ t• • •r 31 (t − τ 1 , t − τ 2 , t − τ 3 )tr[ E(τ 1 ) E(τ 2 )] E(τ 3 )dτ 1 dτ 2 dτ 3−∞ −∞ −∞∫ t ∫ t ∫ t• • •−∞ −∞ −∞r 32 (t − τ 1 , t − τ 2 , t − τ 3 ) E(τ 1 ) E(τ 2 ) E(τ 3 )dτ 1 dτ 2 dτ 3(1.40)Les noyaux de Volterra sont approchés par des modèles exponentiels44

1.3 Comportement Visco-élastique des élastomères⎧⎪⎨⎪⎩∑r 1 (t) = G ∞ + N G k e −φ ktk=1r 2 (t 1 , t 2 ) = l 2 + m 2 e −c 2(t 1 +t 2 )r 31 (t 1 , t 2 , t 3 ) = l 31 + m 31 e −c 31(t 1 +t 2 +t 3 )r 32 (t 1 , t 2 , t 3 ) = l 32 + m 32 e −c 32(t 1 +t 2 +t 3 )(1.41)Les constantes G ∞ , G k , k, c 2 , l 2 , c ij , l ij et m ij sont des constantesdu matériau. Le noyau r 1 correspond au modèle de maxwell généralisé.Dans le cadre de l’étude du comportement dynamique des matériauxviscoélastiques, on s’intéresse généralement à l’étude de la rigiditédynamique. Un exemple d’approche abordé pour déterminer la raideurdynamique consiste à déterminer l’effort non linéaire appliqué,issue d’une loi de comportement non linéaire représentée par un développementen série de Volterra. Le tenseur lagrangien des vitesses dedéformation est exprimé par une approximation de Ritz. La raideurdynamique est déterminée par application du principe des travauxvirtuels [Saad P., 2003]. L’inconvénient de cette approche par sériede Volterra est le nombre de paramètres élevé à déterminer.2. Modèle de Coleman et NollColeman B. D. et al. [Coleman B. D. & al., 1961] suppose qu’un matériauviscoélastique possède une mémoire évanescente dans le sens où laconfiguration actuelle ou récente a plus d’influence sur l’état instantanéede la contrainte que la configuration distante dans le passé. En serestreignant dans le cadre des mouvements lents, Coleman B. D. et al.dérive une loi de comportement qui s’écrit suivant l’équation tensoriellesuivante :σ = pδ + φ B B − ψ B B 2 + C ∗ φ 0 +δ tr[φ 1 ∗ C] + Btr[φ 2 ∗ C] + B 2 tr[φ 3 ∗ C](1.42)Avec,φ k ∗ C = ∫ t−∞ [φ B k1(t − τ)I + φ Bk2 (t − τ)B(t)+φ Bk3 (t − τ)B 2 (t)] dCdτdτ45

ETUDE BIBLIOGRAPHIQUEδ est le tenseur unité, p est une pression, φ B et ψ B sont des fonctionsdes invariants du tenseur de Cauchy Green gauche B. On a 12 fonctionsde relaxation φ Bij , qui se réduisent à 9 par symétrie en i et j=1,2,3. Cest le tenseur de Cauchy Green droit. σ est le tenseur des contraintesde Cauchy. On remarque que ce modèle est purement mécanique dansle sens où on ne prend pas en compte l’effet thermique. Cependant,c’est un modèle qui généralise un certain nombre de modèles viscoélastiquesnon linéaires tels que le modèle de Lianis [Lianis G., 1963]et le modèle de Knauss [0’Dowd N. P. & al., 1995]. Depuis lors, ColemanB. D . [Coleman B. D., 1964] a proposé une théorie thermodynamiquegénéralisée "‘élégante"’ des matériaux viscoélastiques. Sathéorie stipule essentiellement que la contrainte et d’autres quantitésthermodynamiques, telles que l’entropie et la densité d’énergie interne,sont fonction de l’histoire des déformations et de la température etque le matériau est à mémoire évanescente. Les travaux de ValanisK. C. [Valanis K. C., 1966], sont une généralisation du concept de lathermodynamique irréversible classique (qui est associé aux petites perturbationsà partir d’un état d’équilibre) aux grandes déformations desmatériaux viscoélastiques. Valanis K. C. [Valanis K. C., 1966] montreque le phénomène de mémoire évanescente est une conséquence du tauxpositif de production d’entropie.3. Modèle de Knauss et d’O’DowdKnauss W. G. et al. [Knauss W. G. et al., 1981] ont développé un modèletraduisant la viscoélasticité non linéaire basé sur la notion de volumelibre. Une augmentation ou une diminution de la températureambiante affecte fortement le comportement rhéologique des polymères.Ceci peut être expliqué en terme de changement de mobilité des chaînesmacromoléculaires du polymère du à un changement du ”volume libre”.Le modèle de Knauss et d’O’Dowd est issu de la représentation intégraledu comportement anisotrope non linéaire dans un cas général :S =∫ t−∞φ(t − ξ, E) dE dξ (1.43)dξOù φ est un tenseur d’ordre quatre qui présente une fonction de relaxationqui dépend du temps et du tenseur de déformation de GreenLagrange E dont se situe la non linéarité. L’expression précédente, peutêtre considérée comme une forme simplifiée du modèle de Coleman et46

1.3 Comportement Visco-élastique des élastomèresNoll cité précédemment [Coleman B. D. & al., 1961]. En petites déformations,φ peut représenter le tenseur de relaxation en viscoélasticitélinéaire. Nous remarquons que la majorité des modèles viscoélastiquesnon linéaires développés sont à l’origine issus de l’écriture générale 1.43.Cependant, le modèle de Valanis et Landel [Valanis K. C. et al., 1967]généralise le modèle de Knauss et d’O’Dowd en ajoutant au terme intégralede l’équation 1.43 une composante hyperélastique de la contraintequi dérive d’un potentiel de déformation.Sous l’hypothèse du changement de volume libre, la dépendance temporelledu comportement du matériau est modifiée par un facteur a(s).La relation 1.43 traduisant la réponse viscoélastique non linéaire dumatériau s’écrit alors :Avec,S =∫ t−∞φ(t ′ − ξ ′ , E) d(E) dξ (1.44)dξt ′ =∫ t−∞dsa(s); ξ ′ =∫ τ−∞dsa(s)(1.45)Le facteur a(s) peut être écrit en terme de volume libre sous la forme :log(a) = β( 1 f − 1 f 0) (1.46)Où f est le volume libre (fractionnaire), f 0 est le volume libre sous certainesconditions de référence et β est une constante matérielle. Knausset Emri ([Knauss W. G. et al., 1981], [Knauss W. G. et al., 1987]) ontproposé que le volume libre dépend aussi du taux de changement devolume dans le temps suivant la relation :f = f 0 + α∆ ∗ T + δθ (1.47)Où, α est une fonction qui représente l’expansion thermique dépendantdu temps, * désigne l’opérateur produit de convolution, ∆T estla différence de température par rapport aux conditions de référence,δ est une constante du matériau et θ est le taux de dilatation mécanique(dilatation due aux chargement mécanique). Ainsi, suivant cemodèle, l’échelle du temps interne dépend des conditions de chargementmécanique et également du changement du volume induit par la température.L’introduction du temps réduit 1.45 génère une accélération47

ETUDE BIBLIOGRAPHIQUEremarquable du phénomène de relaxation dans le cas des grandes etdes petites déformations. La fonction de relaxation φ est modélisée parune fonction tensorielle en série de Prony qui correspond au modèle deMaxwell généralisé.φ(t ′ − ξ ′ , E) =m∑p=1φp(E)e −( t′ −ξ ′τp ) (1.48)Où φ est un tenseur de rigidité. τ p est un temps de relaxation.Suivant une approche thermodynamique classique, chaque tenseur φdérive de la densité d’énergie de déformation volumique W p suivant larelation :pφ = ∂2 W p∂E 2 (1.49)O’Dowd N.P. et al. [0’Dowd N. P. & al., 1995] ont développé une expressionde W p , basée sur les propriétés macromoléculaires des matériauxpolymères suivant l’expression suivante :W p = NkT33∑i=1{ √npλ i [L −1 ( λ [i√ )+log nL −1 ( λ i √ n)sinh[L −1 ( √ λ in)]]−3(1.50)Où, N est la densité volumique de chaîne macromoléculaire, k estla constante de Boltzmann, n p est le nombre moyen de liaisons parchaîne macromoléculaire, T est la température, λ i est l’extension suivantla direction n˚i (i=1,2,3) et L −1 est la fonction inverse de Langevin[Spathis G., 1997]. Dans les travaux de Knauss et al., [0’Dowd N. P. & al., 1995],un développement numérique de ce modèle et une résolution par laméthode de Newton Raphson est présentée. L’avantage du modèle deKnauss et d’O’Dowd est son aspect ”multi-physique”. En effet, il prenden comte le couplage entre les phénomènes hyperélastiques et cellesviscoélastiques à l’échelle microscopique. Son inconvénient est que certainsparamètres caractérisant l’aspect microscopique sont difficiles àdéterminer de façon exacte et ne peuvent être qu’estimés.4. Modèle Pseudo-linéaire}48

1.3 Comportement Visco-élastique des élastomèresCe modèle définit un tenseur de déformation généralisé G qui permetd’écrire l’énergie libre d’Helmholtz sous la forme quadratique suivante[Hassani S. & al., 1998] :ρ 0 ψ(t) = 1 2∫ t ∫ t•G(E, t 1 ) : R(2t − t 1 − t 2 ) :•G(E, t 2 )dt 1 dt 2 (1.51)00G est une fonction isotrope du tenseur de déformation de Green LagrangeE ; (•) désigne la dérivée totale par rapport au temps. R est letenseur de relaxation. Au tenseur G est associé un tenseur de contraintethermodynamique conjugué T . C.a.d. que §, E, G et T sont liés par ladensité volumique des puissances P :P = S :• •E = T : G (1.52)OùS est le second tenseur des contraintes de Piola Kirchhoff ; E est letenseur des déformations de Green Lagrange.Quelques expressions de mesure de déformations sont proposées dansla littérature. A titre d’exemple nous citons les mesures de Seth quisont exprimées par les relations suivantes :⎧⎪⎨⎪⎩G = 1 m (C m2G = Ln(C)− δ)(1.53)m est un paramètre, C est le tenseur des dilatations et δ est le teneurunité. La loi de comportement dérive du second principe de lathermodynamique suivant l’expression suivante :⎧⎪⎨⎪⎩∫ tT (t) = R(t − τ) :0[− ∫ tS(t) = R(t − τ) :0 −•G(τ)dτ•G(τ)dτ]: ∂G∂E (t) (1.54)L’identification du comportement est équivalente à la détermination deG = f(E), et du tenseur de relaxation R d’ordre 4.49

ETUDE BIBLIOGRAPHIQUEPar utilisation de la relation d’isotropie entre E et G et pour un matériauisotrope incompressible, la loi de comportement s’écrit :[ ∫tS(t) = p(t)C −1 (t)+0•[λ(t − τ)tr(•G(τ))δ + 2µ(t − τ) G(τ)]dτp est un multiplicateur de Lagrange déterminé à partir des conditionsaux limites.Identification du modèle pseudolinéaire :Comme G est une fonction isotrope de E, elle s’écrit sous la formegénérale suivante :]: ∂G∂E (t)(1.55)G = a 0 (I 1 , I 2 , I 3 )δ + a 1 (I 1 , I 2 , I 3 )E + a 2 (I 1 , I 2 , I 3 )E 2 (1.56)Avec a 0 , a 1 et a 2 sont des fonctions des trois invariants I 1 , I 2 et I 3 deE définis par :I i (E) = 1 i tr[Ei ]L’énergie libre d’Helmholtz s’exprime dans le cas d’essai de relaxationpour un matériau isotrope :ψ(t) = 1 2{λ(t) tr 2 (G) + 2µ(t) tr(G 2 )}(1.57)En utilisant la relation 1.56 entre E et G, dans laquelle on néglige leterme du second ordre, et l’expression précédente 1.57 de l’énergie libred’Helmholtz (aux valeurs limites (à t=0 et t=∞)), on peut déterminerles fonctions a 0 et a 1 et par la suite G.Pour un matériau hyperélastique la détermination d’une mesure dedéformation G à partir du modèle pseudolinéaire est simple du faitqu’il est basé uniquement sur la connaissance du comportement d’équilibredu matériau. L’identification des paramètres du modèle se fait aumoyen de l’équivalence en petite déformation. Dans le cas d’un matériaucompressible vérifiant la loi de Mooney, les coefficients a 0 et a 1sont [Hassani S. & al., 1998] :50

1.3 Comportement Visco-élastique des élastomères⎧⎪⎨⎪⎩√a 1 (I 1 , I 2 , I 3 ) =W (I 1 ,I 2 ,I 3 )[C 3 − 4 3 (C 1+C 2 )]I 2 +2(C 1 +C 2 )I 1a 0 (I 1 , I 2 , I 3 ) = 0(1.58)c 1 , c 2 et c 3 sont les constants de Mooney.Pour tester la validité du modèle pseudolinéaire à décrire une largevariété du comportement viscoélastique non linéaire, Hassani S. & al.examinent le comportement d’un matériau inconnu qui est identifiéuniquement à partir de l’énergie libre d’Helmholtz exprimée en développementde Frechet (série de Volterra) par une intégrale multipled’ordre 4 [Hassani S. & al., 1998]. Les noyaux de relaxation sont modéliséspar des séries de fonctions exponentielles. L’identification descoefficients de Lamé du matériau est basée sur la correspondance entrel’énergie libre suivant un développement de Frechet et l’équation 1.57.Le modèle pseudolinéaire donne une bonne corrélation avec les résultatsexpérimentaux [Hassani S. & al., 1998]. Ce dernier, impose une déformationimposée par essai de relaxation à la suite de laquelle est appliquéeune sollicitation uniaxiale (Traction, compression ou cisaillement)ou bien une sollicitation complexe (traction suivie par un cisaillement).Par ailleurs, le modèle viscoélastique pseudolinéaire est vérifié en chargementcyclique suivant lequel est évaluée la dissipation d’énergie parcycle ainsi que le taux de dissipation et le déphasage entre la contrainteet la déformation.L’avantage de ce modèle est qu’il est basé sur des considérations thermodynamiques.En plus il présente peu de paramètres. Cependant, ilne permet pas de prendre en compte des non linéarités d’ordre élevé.5. Modèle de HauslerLes modèles rhéologiques simples peuvent être développés pour décriredes évolutions de comportement non linéaire. Cette approche consisteà l’ajout, aux modèles rhéologiques simples, des fonctions traduisantdes non linéarités. Hausler K. [Hausler K. & al., 1995] décrit phénoménologiquementle comportement du caoutchouc, renforcé avec du noirde carbone, par approche de mécanique des milieux continus. suivantson modèle, le comportement en grandes déformations est formulé parune loi tensorielle généralisant le modèle rhéologique à trois paramètres51

ETUDE BIBLIOGRAPHIQUEsuivant l’expression suivante :•σ d + σ d = m(L σ d +σ d L t )+2nD+2cH+[4qH 2 +4r(D H+H D)+4sD 2 ](1.59)Avec,•σ d : Partie déviatorique du tenseur des contraintes de Cauchy ; S : Ladérivée de S par rapport au temps ; L : Tenseur gradient des vitessesde déformations ; H = 1 (B − δ), où B est le tenseur de Cauchy-Green2gauche ; D : Tenseur taux des déformations ; m, q, r, s sont des paramètresdépendant du matériau. n et c sont supposées des fonctions del’histoire des déformations.L’équation 1.59 sans les termes entre accolade représente le modèlerhéologique à trois paramètres (Fig. 1.5).Fig. 1.5 – Modèle rhéologique à trois paramètres (Modèle de Zener).Le modèle présenté est validé expérimentalement dans le cas de sollicitationen torsion simple pour lequel une approche numérique d’identificationest présentée [Hausler K. & al., 1995]. L’implémentation dansun code élément fini pour résoudre des problèmes tridimensionnels pluscompliqués est possible vu que le modèle proposé à l’avantage d’êtrerelativement simple, par rapport aux formes intégrales. En plus, il estintéressant de remarquer l’aspect 3D de ce modèle. Néanmoins, il présenteun nombre important de paramètres à identifier.B. Modèles en petites déformations1. Modèle de Schapery52

1.3 Comportement Visco-élastique des élastomèresC’est une loi de comportement thermo-viscoélastique non linéaire développéepar Schapery ([Schapery R. A., 1997], [Schapery R. A., 1964],[Schapery R. A., 1966 a ], [Schapery R. A., 1966 b ]). Ce modèle, écrit suivantune simple forme intégrale, est basé sur la théorie de la thermodynamiquedes processus irréversibles qui introduit des variables internestraduisant l’influence de l’histoire de chargement [Lévesque M., 2004].Dans le développement du formalisme thermodynamique, Schaperyutilise les relations d’Onsager basées sur les hypothèses d’équilibre[Onsager L., 1931],. La réponse en déformation suivant le modèle deSchapery s’écrit :∫ε(t) = g 1 [σ(0 + )].ˆσ(0 + td) : J[ψ(t)] + g 1 [σ(t)] J[ψ(t) − ψ(τ)] : [ˆσ(τ)]dτ+dτ0∑+ n D i : J[ψ(t) − ψ(t i )]i=1(1.60)– ε(t) et σ(t) sont respectivement les tenseurs des petites déformationset de contrainte de Cauchy.– J est le module de fluage qui est fonction du temps et si nécessairede la température.– g 1 [σ(t)] est un facteur dépendant de la contrainte qui exprime la nonlinéarité induite par l’effet mémoire. g 1 est égal à 1 à contraintesfaibles (viscoélasticité linéaire) et croit quasi proportionnellementavec la contrainte à haute charge avec une pente qui varie entre 0.04MP a −1 et 0.05 MP a −1 dans le cas des polymères (Fig. 1.6).– ˆσ(t) = σ(t) g 2 [σ(t)], g 2 [σ(t)] est appelé le facteur de durcissementpar la contrainte. g 2 est égal à 1 à faible contrainte (viscoélasticité linéaire)et croit quasi proportionnellement avec la contrainte à chargeélevé avec une pente entre 0.05 MP a −1 et 0.06 MP a −1 dans le casdes polymères (Fig. 1.7).– ψ(t) =∫ t0dsa σ[σ(s)]est un temps réduit– a σ [σ(t)] est le facteur de pondération du temps dépendant de lacontrainte.– D i = g 1 [σ(t + i )].ˆσ(t+ i )−g 1[σ(t − i )].ˆσ(t− i ) est la discontinuité de contrainteen t = t i .La théorie de viscoélasticité non linéaire relative au modèle de Schaperyest utilisée comme référence pour étendre l’approche " essais méca-53

ETUDE BIBLIOGRAPHIQUEFig. 1.6 – Facteur g 1 en fonction de la contrainte, [Zaoutsos S. P. et al., 2000]Fig. 1.7 – Facteur g 2 en fonction de la contrainte, [Zaoutsos S. P. et al., 2000]niques dynamiques et analyse " (Dynamic Mechanical Tests and Analysis(DMTA)) à la caractérisation non linéaire. Par ailleurs, le tempsnécessaire pour déterminer les paramètres non linéaires est substantiellementréduit en utilisant la méthodologie DMTA comparée aux essaisde fluage et de relaxation [Golden H. J., 1996].En intégrant par parties l’équation 1.60, on obtient l’expression suivantedu modèle de Schapery :54

1.3 Comportement Visco-élastique des élastomères∫ tε(t) = J(0 + ) : g 1 [σ(t)].ˆσ(t) + g 1 [σ(t)]•J[ψ(t) − ψ(τ)] : [ˆσ(τ)]dτ0(1.61)Où J ˙ est la dérivée de la fonction de fluage J. Le premier terme del’équation 1.61 représente le comportement élastique instantané et lesecond terme l’effet mémoire. On souligne que le modèle de Schapery estinvariant par rapport au temps et ne peut être utilisé que pour les matériauxnon vieillissant. La caractérisation et la validation expérimentaledu modèle de Schapery ont été effectuées sur les ” stratofilm” (un filmde polyéthylène de faible densité) [Golden H. J., 1996]. Nous devrionsmentionner que le modèle de Schapery est un cas spécial des travaux deKnauss et d’Emri [Knauss W. G. et al., 1981] qui ont noté que l’échellede temps réelle peut être modifiée par un grand nombre de variablesinternes (humidité, dilatation, ...) de manière identique à la température.Ces effets sont généralement associés aux changements du volumelibre du matériau qui offre un paramètre d’unification pour décrire deschangements d’échelle de temps. D’ailleurs, O’ Dowd et al. ont présentéune forme généralisée du modèle de Shapery pour décrire le comportementdes matériaux polymères sous des faibles et fortes déformations[0’Dowd N. P. & al., 1995]. Ils emploient la théorie cinétique d’élasticitécaoutchoutique comme point de départ pour étudier des grandesdéformations et généralisent cette théorie pour inclure les effets de la dépendancepar rapport aux taux de déformation. D’autre part, Straganacet al. [Straganac T. W. et al., 1996] ont fourni une simplification dumodèle de Schapery pour prévoir la réponse en fluage de l’élastomère,dans le cas des déformations finies dues à une charge de pas à pas. Lafonction de fluage J a été obtenue à partir des mesures liées à la réponseviscoélastique linéaire et elle peut être écrite par une expression paramétrique(loi exponentielle, loi de puissance, ...). Par ailleurs, StraganacT. W. et al. [Straganac T. W. et al., 1996] présentent une approched’équivalence Temps/Contrainte, permettant de prévoir la réponse viscoélastiquepour un matériau en service à longue durée en utilisant desmesures d’essais de fluage à court terme. Le modèle de Schapery permetd’identifier expérimentalement le module de relaxation en statique,sans précharge, par un essai de traction simple et en dynamique parun essai vibratoire [Thomas W. S. et al., 1996]. Les propriétés viscoélastiqueslinéaires peuvent être identifiées par des méthodes classiques55

ETUDE BIBLIOGRAPHIQUEd’analyse dynamique. Cependant, ces méthodes n’identifient pas proprementla réponse viscoélastique non linéaire. Golden H. J. proposeune nouvelle approche pour la caractérisation du comportement viscoélastiquenon linéaire par essais dynamiques [Golden H. J., 1996]. Saméthode, est basée sur le modèle viscoélastique non linéaire de Schapery,et validée par des essais en chargement oscillatoire sur des filmsfins en polyéthylène utilisés en fabrication des ballons scientifiques àhautes altitudes. Le besoin de voler pour longtemps à haute altitudeet à charge lourde a nécessité le développement de matériaux à hauteperformance. Plusieurs analyses ont examiné des approches pour caractériserle comportement non linéaire des films fins. Straganac T. W.utilise le modèle de Schapery pour prédire le comportement en fluage[Straganac T. W. et al., 1996]. Dillard D. A. et al. comparent différentsmodèles pour prédire le comportement non linéaire des composites graphite/époxyet déterminent que le modèle de Schapery est le plus généralet le plus adapté au calcul numérique [Dillard D. A. & al., 1987].Smart J. et al. comparent des modèles à intégrales d’ordre 3 pour décrirele comportement non linéaire du polypropylène et du polyvinylchlorideet prouvent que le modèle de Schapery prévoit le comportement encharge et en décharge [Smart J. et al., 1972]. Rand J. L. et al. présenteune description de la viscoélasticité non linéaire en sollicitation axialeet biaxiale en exploitant le modèle de Schapery dans le cas de fluage[Rand J. L. et al., 1995]Thomas W. S. et al. ont exploité le modèle de Schapery pour décrire lecomportement dynamique uniaxial où la contrainte imposée est définiepar :σ(t) = σ m + ∆σ(t)Le modèle viscoélastique non linéaire de Schapery s’écrit[Thomas W. S. et al., 1996] :ε(σ m +∆σ) = ε m +( dε∫ tdσ ) m∆σ+(g 1,m +∆g 1 ) ˆD(ψ − ψ ′ ) d(ĝ 2,m + ∆ĝ 2 )dτ0dτ(1.62)(l’indice m est relatif à la valeur moyenne).L’avantage du modèle de Schapery est qu’il est basé sur un fondementthermodynamique. Par ailleurs, il présente peu de paramètres à déterminer.En plus la fonction de fluage (ou de relaxation) relative à cemodèle présente une expression générale qui peut être développée enfonctions des conditions de sollicitation. Malgré sa large utilisation, ce56

1.3 Comportement Visco-élastique des élastomèresmodèle est valable uniquement en petites déformations.2. Modèle de Yang et col.Le comportement visco-hyperélastique d’un matériau peut être décomposéen une composante quasi-statique hyperélastique σ he , obtenuepar approche énergétique, et en une réponse due à la viscoélasticité σ ve, exprimée en fonction de l’histoire de déformation [Yang L. M., 2000] :σ = σ he + σ ve (1.63)σ he = −p he δ + 2( ∂W∂I 1+ I 1∂W∂I 2)B − 2 ∂W∂I 2B 2 (1.64)σ ve = −p ve δ + F (t) Ω t } {C(τ) F t (t) (1.65)0t} ∫Ω{C(τ)t=00[A 4 + A 5 (I 2 − 3)] exp(− t − τ ) E(τ)dτ (1.66)A 6Avec,δ : Tenseur unité. E : Tenseur des déformations de Green Lagrange. F :Tenseur gradient de transformation. p : Pression due à l’incompressibilité.t : Temps. A 4 , A 5 et A 6 sont des constantes caractéristiques dumatériau.Dans le cas d’un essai de traction simple d’élongation principale λ, cemodèle s’écrit sous la forme suivante [Yang L. M., 2000] :.σ 11 = 2λ(1 − 1 )[Aλ −3 1 λ + A 2 + A 3 [I 1 − 3 + λ(I 2 − 3)]]+12λ∫ t0λ −2 [A 4 + A 5 (I 2 − 3)] exp(− t−τA 6) . λ dτ(1.67)La première composante de cette réponse représente la contrainte hyperélastiqueσ he exprimée par une énergie de déformation volumiqueW relative à une loi polynomiale d’ordre 1. La figure 1.8 représente lerecalage expérimental du modèle visco-hyperélastique à différents tauxde déformation pour le caoutchouc type (SHA30) [Yang L. M., 2000].La composante de contrainte due à la viscoélasticité (relation 1.66) estanalogue au modèle rhéologique de Maxwell caractérisé par un ressort57

ETUDE BIBLIOGRAPHIQUEFig. 1.8 – Comparaison entre modèle viscohyperélastique et expérience àdifférents taux de déformation, [Yang L. M., 2000]de module E en série avec un amortisseur de viscosité µ. Soit :E = A 4 + A 5 (I 2 − 3), µ = A 6 [A 4 + A 5 (I 2 − 3)]A 4 est la composante linéaire du module du ressort. Le coefficient A 5décrit l’effet de la déformation sur le module tangent non linéaire duressort. A 6 représente le temps de relaxation.Le modèle de Yang et al. a été implanté dans le code élément finiDYNA 3D pour simuler le comportement sous choc d’un élastomère[Yang L. M., 2000]. Ce modèle présente une écriture analytique simpleavec peu de paramètres. Néanmoins, il est clair que plusieurs tempsde relaxation sont nécessaires pour décrire le comportement viscoélastiquecomplet d’un matériau (dans un domaine de sollicitation large).Chaque temps de relaxation correspond à un mode de mouvementmicro-structural.3. Modèle de LianisSeong B. L. & al. [Seong B. L. et al., 2000] ont développé une loi decomportement viscoélastique non linéaire suivant une formulation intégrale,basée sur le modèle de Lianis [Lianis G., 1963], et spécifique aucaoutchouc Styrène - butadiène. Dans des conditions isotherme, SeongB. L. & al. développent ce modèle sous la forme suivante :58

1.3 Comportement Visco-élastique des élastomèresσ(t) = −p(t)δ + {a +b + I(I 1 −2) 2 1 [c + d(I 2 − 3) ]} B − [c + d(I 2 − 3)]B 2 +∫ t2 [P 0 (t − τ) + (I 2 − 3)Q 0 (t − τ)] C •t (τ)dτ+−∞∫ t−∞[P 1 (t − τ) + Q 1 (t−τ)(I 1 −2) 2 ](B••C t (τ) + C t (τ)B]dτ(1.68)Avec,p : Pression hydrostatique d’incompressibilité. δ : Tenseur unité. a,b, c et d : Constantes dépendantes des propriétés du matériau et quisont déterminées expérimentalement. B : Tenseur des déformations deCauchy Green gauche. C : Tenseur des déformations de Cauchy Greendroit. I 1 , I 2 , : Premier et second invariants de B. P 0 , Q 0 , P 1 et Q 1 :Fonctions dépendantes des propriétés du matériau.Le terme temporaire de ce modèle, traduisant un comportement viscoélastiquenon linéaire, peut être considéré comme un cas particulierd’une formulation intégrale de premier ordre en série de Volterraoù les noyaux de relaxation sont fonctions des invariants de déformation.Ainsi, on a un couplage entre les phénomènes hyperélastiques etviscoélastiques. Cependant, ce modèle présente un nombre importantde paramètres. Seong B. L. et al., [Seong B. L. et al., 2000] exploitentce modèle pour décrire le comportement mécanique des plots utilisésdans le système de suspension automobile. Ils présentent une approched’identification expérimentale des paramètres du modèle dans le cas desollicitation en mode couplé de traction torsion.4. Modèle intégral factorisé :(modèle type K-BKZ)Le modèle K-BKZ factorisé consiste à introduire la non linéarité dansl’équation intégrale du tenseur des contraintes σ par le biais d’une fonctionscalaire h(I 1 , I 2 ), dite d’amortissement, qui ne dépend que des invariantsI 1 et I 2 d’un tenseur des déformations particulier appelé tenseurde Finger noté C −1t (τ) [Bird R. B. et al., 1987]. Ainsi suivant cemodèle, le module de relaxation R est exprimé en un produit d’unefonction du temps M(t) par une fonction de la déformation h(I 1 , I 2 ) :59

ETUDE BIBLIOGRAPHIQUEAvec,M(t) = n ∑i=1I 1 = tr[C −1tσ(t) =∫ t−∞{M (t − τ)h(I 1 , I 2 )} C −1t (τ)dτ (1.69)E i e − tτ i , (modèle de Maxwell généralisée)(τ)], I 2 = tr[C t (τ)]En cisaillement simple d’angle δ, le tenseur de Finger s’écrit [Cartault M. & al., 2001] :⎡⎤1 + [γ t (τ)] 2 SY MCt −1 (τ) =⎢ γ t (τ) 1⎥⎣⎦0 0 1Avec, γ t (τ) = γ(t) − γ(τ) ; γ(t) = tan[(δ(t)](1.70)Généralement, le modèle K-BKZ est exploité dans la modélisation desécoulements fluides lors de la mise en forme des élastomères. La fonctionh décrit l’influence de la déformation sur la disparition des jonctions duréseau polymérique. L’aptitude de ce modèle simple à décrire le comportementen écoulement fluide des élastomères chargés a été étudiéepar Cartault M. et al. [Cartault M. & al., 2001].5. Modèle de BOUDEWIJNC’est un modèle exprimé suivant la forme intégrale de la viscoélasticitélinéaire, en utilisant une expression non linéaire d’un tenseur des déformationsK qui s’écrit en traction simple sous la forme suivante,[Boudewijn J. et al., 1986] :⎡K(t − τ) =⎢⎣λ 2 (t)λ 2 (t−τ)0λ(t−τ)λ 2 (t)0 0SY Mλ(t−τ)λ(t)⎤⎥⎦(1.71)Où λ est l’élongation principale. La loi de comportement viscoélastiques’écrit :60

1.3 Comportement Visco-élastique des élastomèresσ(t) = −p 0 δ + R e : K(t) +∫ t•R(t) : K(t − τ)dτ (1.72)−∞Avec : p 0 : Pression hydrostatique d’incompressibilité, δ est le tenseurunité, R : Tenseur de. relaxation. R e : Tenseur de relaxation à l’équilibre.L’avantage de ce modèle est qu’il présente peu de paramètres à déterminer.6. Modèle à variables internesUne autre démarche de modélisation consiste à une approche par variablesinternes qui utilise la méthode de l’état local ([Sidoroff F., 1974],[LAIARINANDRASANA L. & al., 2003], [Lion A., 1997], [Lion A., 1996]).La méthode de l’état local a été utilisée pour étendre aux grandes déformationsles comportements décrits par des variables d’état commepar exemple les modèles rhéologiques. Le passage aux grandes déformationsse fait en utilisant la notion d’état intermédiaire introduit parSidoroff. L’idée générale est de postuler l’existence d’un état intermédiaireC i pour passer de l’état de référence C 0 à l’état actuel C t . Letenseur gradient des déformation F se décompose alors suivant unepartie élastique F e et une partie anélastique F a , F = F e F a . L’énergielibre s’écrira alors :W = W (C) + W (C e ) + W (C a ). (1.73)C est le tenseur des dilatations.Ainsi, la modélisation passe par le choix adéquat des différents potentiels.Avec ce type de modélisation on pourrait envisager une dissipationlinéaire. Les lois de comportement associées aux modèles rhéologiquesclassiques en viscoélasticité linéaire peuvent être obtenues à l’aide dece formalisme. Cela est largement discuté dans les travaux de CossonP. [Cosson P., 1995]. Toutefois, si en petites déformations la décompositiondu gradient des déformations F conduit à une décompositionadditive des déformations, ce n’est plus le cas en grandes déformations.La principale limitation provient de l’identification du modèle. Pourdécrire un comportement complexe, il faut multiplier le nombre de variablesinternes, ce qui rend la démarche d’identification assez lourde.61

ETUDE BIBLIOGRAPHIQUEDe plus, la formulation fonctionnelle semble plus intuitive puisqu’il estplus difficile dans l’approche par variables internes de donner une significationphysique à ces variables. Parmi les modèles viscoélastiquesnon linéaires établis par l’approche à variables internes nous citons lemodèle décrit par Spathis G. [Spathis G., 1997].Modèle de SpathisEn adoptant l’idée de variable de contraintes internes comme la manifestationde la résistance de chaînes moléculaires, Spathis G. [Spathis G., 1997]développe un modèle viscoélastique non linéaire suivant lequel une réponseen contrainte est la somme de deux réponses. La première réponsecorrespond au comportement élastique et par conséquent peut être calculéeau moyen d’une énergie de déformation volumique, tandis quela seconde réponse constitue la contrainte interne moléculaire qui estresponsable des phénomènes de relaxation. Pour un matériau isotropeincompressible une loi constitutive pour les élastomères a été proposéepar Spathis G. suivant l’équation suivante :σ − σ int =3∑i=1λ i∂W∂λ i(n i ⊗ n i ) − pδ (1.74)Avec :σ : Tenseur des contraintes de Cauchy, σ int : Tenseur des contraintesinternes, W : Énergie de déformation volumique, p : Pression hydrostatique,λ i : Élongation principale suivant la direction n i , δ : Tenseurunité.Le tenseur des contraintes internes σ int est déterminé à partir de larésolution de l’équation différentielle suivante :•σ int − σ int A + A σ int = 2 3 h a•D dev − C r σ int (1.75)Où,•D dev : Partie déviatorique du tenseur taux des déformations, A : Partieantisymétrique du tenseur gradient des vitesses, h a : Module de durcissementdu matériau responsable au développement des contraintes•internes, C r : Coefficient de relaxation, σ int est le taux d’évolution dutenseur des contraintes internes.62

1.4 ConclusionLe coefficient de recouvrement C r exprime la tendance des chaînes moléculairesde se relaxer dans une configuration d’équilibre. le coefficient derésistance h a est proportionnel à la constante d’élasticité du matériau enpetites déformations et est fortement dépendant de l’élongation principaledans le cas de grandes déformations. Spathis G. [Spathis G., 1997]a développé une identification numérique de ce modèle en se basant surdes essais cycliques de traction et de cisaillement simple. Une comparaisonde ces résultats avec un modèle intégrale est présentée.1.4 ConclusionL’étude bibliographique présentée dans ce premier chapitre a permis depasser en revue les approches de modélisation du comportement des élastomèresdans le cas des aspects hyperélasticité et dissipatifs non linéaires. Elleconstitue les éléments de base pour l’étude du comportement mécanique desélastomères.L’étude bibliographique met en évidence une grande diversité des sujets liésau matériaux élastomères tant sur l’aspect constitution, élaboration que d’unpoint de vue des propriétés mécaniques.En premier lieu, les propriétés physicochimiques et mécaniques généralesdes élastomères ont été évoquées, à savoir :- Leur aptitude à subir des grandes déformations caractérisées par l’hyperélasticité.- Leurs grande capacité d’amortissement caractérisée par la viscoélasticité.Dans ce cadre, l’accent a été mis sur l’aspect non linéaire.- Leur comportement qui dépend fortement de la température, de la fréquence,et de l’amplitude.Ces propriétés montrent que la modélisation du comportement thermomécaniquedes élastomères fait appel à des phénomènes multi-physiques.Cette bibliographie n’est bien entendu pas exhaustive. Nous n’avons notammentpas abordé les modèles de prise en compte de l’endommagement, ni lescouplages effets mécaniques/effets thermiques. Des propositions de modélisationde l’endommagement, principalement de l’effet Mullins, peuvent êtretrouvées par exemple dans les travaux d’Andrieux F. [Andrieux F., 1996]et , et de Miehe C. et al. [Miehe C. et al., 2000]. Quant au couplage avecles effets thermiques, il est largement discutée dans les travaux de Meo S.[Meo S., 2000].Dans ce travail nous nous sommes intéressé au comportement mécaniquedissipatif et non linéaire des élastomères tant sur le plan modélisation que63

ETUDE BIBLIOGRAPHIQUEsur le plan recalage par des essais. Nous avons développé une généralisationdu modèle hyper-viscoélastique de Knauss qui englobe une large partie desmodèles existants sous une forme simple et maniable.Dans le chapitre suivant, on s’intéresse en première partie à la caractérisationexpérimentale en fluage d’un élastomère. Un formalisme général,basé sur une généralisation de la loi de Knauss (§ 1.3.2.A.3), modélisant lecomportement viscoélastique non linéaire des élastomères, est présenté endeuxième partie. Dans une troisième partie du second chapitre, on développeune approche de prévision du comportement en fluage à longue durée à partird’essais de courtes durée. L’approche, basée sur une généralisation du modèlede Knauss, est appliquée en petite déformation en se basant sur le modèlede Schapery. Une validation par le biais d’essais de fluage est présentée.64

Chapitre 2MODELE GENERAL ET PREVISIONDU COMPORTEMENT A LONGUEDUREE D’UN ELASTOMEREETUDE EXPERIMENTALE, MODELISATION etIDENTIFICATIONDans une première partie de ce chapitre une caractérisation expérimentaledu comportement en fluage d’un élastomère, à court terme ainsi qu’àlong terme, est présentée.Par la suite, un formalisme général original modélisant le comportement viscoélastiquenon linéaire des élastomères est développé. Dans cette optique,nous nous basons sur une généralisation de la loi de Knauss (§ 1.3.2.A.3,[Knauss W. G. et al., 1981], [Knauss W. G. et al., 1987]). Dans une troisièmepartie, à partir d’essais de fluage à courte durée, dans le cadre des petitesdéformations, le modèle de Knauss permet de prévoir le comportement mécaniqueà longue durée. Le modèle de Knauss généralisé se transforme alors enmodèle de Schapery généralisé dans lequel le facteur multiplicatif du tempsdépend explicitement du temps. Ce modèle est appliqué avec succès sur desessais courts à différentes charges pour prédire le comportement au fluage àlongue durée.65

MODELE GENERAL ET PREVISION A LONGUE DUREE2.1 ExpérimentationNous avons procédé à la caractérisation du comportement viscoélastiquepar le biais d’essais de fluage. Dans ce but, nous avons commencé par adapterun dispositif expérimental de montage d’éprouvette en élastomère sur unemachine de fluage destinée aux matériaux métalliques. En effet, la fixationdes éprouvettes métalliques se fait par un système de filetage qui n’est pasenvisageable pour la fixation d’éprouvette en élastomère.2.1.1 Dispositif expérimentalDans le but de mettre au point des essais de fluage, on a fait l’étude, laconception et la fabrication d’un dispositif de montage d’éprouvette élastomèresur une machine de fluage. La machine de fluage, qui se trouve à l’ENIT(Tunis), était destinée aux éprouvettes métalliques (fig. 2.1) qui se montentpar filetage. Elle est munie d’un système de mesure de déplacement (capteur+ carte d’acquisition + logiciel).Le système de montage élaboré est présenté suivant la figure 2.2. L’annexeA.7 présente le système de montage mise au point suivant la figure A.9. Cesystème se compose de quatre types de pièces : un mors de fixation, uneplaque, une bride et une tige de guidage. Le dossier technique du dispositifde montage élaboré est présenté dans l’annexe A.7 (Figures A.9, A.10, A.11et A.12).Fig. 2.1 – Machine de fluage (ENIT)66

2.2 Résultats expérimentauxFig. 2.2 – Machine de fluage, Dispositif de montage d’éprouvetteFig. 2.3 – Éprouvette "Haltère - H2" normalisée pour essais de fluage (Dimensionen mm). Epaisseur=2,5 mm, longueur utile =20mm2.1.2 EprouvetteL’éprouvette utilisée est schématisée dans la figure 2.3. C’est une éprouvettenormalisée qui est utilisée pour effectuer des essais de fluage à différentescharges et qui est faite d’un élastomère synthétique vulcanisé . Satempérature de transition vitreuse est approximativement 248˚K. Ce matériauest employé dans des plaques multicouches traditionnelles incorporantdes matériaux visco-hyperélastiques. Ce dernier est confiné entre les couchesmétalliques minces et travaille comme une couche amortissante.2.2 Résultats expérimentauxLa figure 2.4 présente des courbes de fluage réalisées à différentes chargesallant de 0,5 MPa à 2,5 MPa. Ces courbes montrent la déformation élastiqueinstantanée au début de l’essai. Ces déformations élastiques augmentent avecla charge. On remarque que l’état de déformation n’est pas linéairement proportionnelavec l’état de contrainte ce qui traduit une non linéarité compor-67

MODELE GENERAL ET PREVISION A LONGUE DUREEtementale.Par ailleurs, on constate suivant les courbes de fluage obtenues (Fig. 2.4),deux stades classiques de déformation : un stade primaire logarithmique etun second stade linéaire.Fig. 2.4 – Courbes de fluage à différentes charges - Déformation totaleEn plus des essais relatifs à la figure 2.4, on a réalisé un essai de longuedurée (115 jours, Fig. 2.5) . L’objectif étant de trouver une corrélation entreles courbes de courtes durée et celle à longue durée.4.10 Nous signalons pas mal de difficultés rencontrées pour mener ces essaisde fluage (adaptation de la machine de fluage, coupure intempéstive de courant,plantage possible de logiciel de pilotage et d’acquisition). Ces difficultéssont dues au longue durée de dépouillement qui nécessite une alimentationcontinue de tout l’appareillage en courant électrique.68

2.3 Modèle général en viscoélasticité non linéaireFig. 2.5 – Courbes de fluage à différentes charges à courte durée et unecourbe à longue durée - Déformation totale2.3 Modèle général en viscoélasticité non linéaireNous proposons le modèle viscoélastique non linéaire suivant lié aux essaisde fluage, défini par l’intégrale d’hérédité suivante :E(t) =∫ t−∞Λ[S(τ), ψ(t), ψ(τ)] : ∂Sdτ dτ + ∆Λ[S, ψ(t), ψ(t 0)] (2.1)Dans laquelle :– E(t) est le tenseur des déformations de Green-Lagrange.– E = 1/2[C − I] ; C est le tenseur de Cauchy-Green droit.– Λ est un tenseur d’ordre 4.– S(t) est le tenseur des contraintes de Piola-Kirchhoff.– t est le temps actuel. C’est l’instant présent durant lequel on observele phénomène.– τ est le temps historique qui traduit l’histoire du matériau jusqu’à l’instantt et intervient dans l’effet mémoire.– ψ(t) =∫ t−∞dsα S [S(s),t,s]est le temps réduit. (Modification du temps par le69

MODELE GENERAL ET PREVISION A LONGUE DUREEbiais du volume réduit §1.3.2.A.3, [Knauss W. G. et al., 1981],[Knauss W. G. et al., 1987]).– ψ(τ) est le temps historique réduit.– α s est le facteur de pondération du temps en fonction de la contrainte.α s [0, t, s] est nul si la contrainte est nulle.– ∆Λ[S, ψ(t), ψ(t 0 )] Traduit le saut de déformation en t = t 0 .∆Λ[S, ψ(t), ψ(t 0 )] = Λ[S(t 0 +), ψ(t), ψ(t 0 +)] : S(t 0 +)−Λ[S(t 0 −), ψ(t), ψ(t 0 −)] : S(t 0 −)(2.2)La fonction Λ est causale c’est-à-dire que :Λ[S(τ), ψ(t), ψ(τ)] = 0 si ψ(t) < ψ(τ)Fig. 2.6 – Saut de déformationEn supposant S(−∞) = 0 et en l’absence de saut de déformation, uneintégration par partie de la relation 2.1 montre que :E(t) = Λ[S(t), ψ(t), ψ(t − )] : S(t) −∫ t−∞∂Λ[S(τ),ψ(t),ψ(τ)]∂τ: S(τ)dτ (2.3)dans le second membre de l’équation 2.3, le premier et le deuxième termereprésentent respectivement l’élasticité instantanée et l’effet mémoire.70

2.3 Modèle général en viscoélasticité non linéaireRemarque :S’il y’a plusieurs discontinuités en t 0 , t 1 , ...t n , ∆Λ est une somme de sautsdéfinie par la relation 2.2. Si les fonctions, en particulier S(t) sont causales(S(t) = 0, si t = 0), l’intégrale est à prendre entre 0 et t. La loi de comportementpeut également exprimer l’état des contraintes de Piola-Kirchhoff enfonction des déformations par une relation de type :avec,S(t) =∫ t−∞Φ[E(τ), ψ(t), ψ(τ)] : ∂E∂τ dτ + ∆Φ[E, ψ(t), ψ(t 0)] (2.4)∆Φ[E, ψ(t), ψ(t 0 )] = Φ[E(t 0 +), ψ(t), ψ(t 0 +)] : S(t 0 +)−Φ[E(t 0 −), ψ(t), ψ(t 0 −)] : S(t 0 −)Avec de même par intégration par partie :S(t) = Φ[E(t), ψ(t), ψ(t − )] : E(t) −∫ t−∞∂Φ[E(τ), ψ(t), ψ(τ)]dτ: E(τ)dτ (2.5)dans le second membre de l’équation 2.5, le premier et le deuxième termereprésentent respectivement l’élasticité instantanée et l’effet mémoire.2.3.1 Invariance dans le temps(Non vieillissement du matériau)Supposons que le matériau ne vieillit pas, les fonctions de relaxation Φ(idem pour les fonctions de fluage, relation 2.3) sont invariantes par translationsur le temps et donc la fonction de relaxation Φ dépend explicitementdu temps par la différence, ψ(t) − ψ(τ) :S(t) = Φ[E(t), ψ(t) − ψ(t − )] : E(t) −∫ t−∞La déformation étant causale : E(t)=0 si t

MODELE GENERAL ET PREVISION A LONGUE DUREEPosons E ′ (t) = E(t − t 0 ), la contrainte est donc la suivante :S ′ (t) = Φ[E ′ (t), 0 + ]E ′ (t) −∫ t0∂Φ[E ′ (τ), ψ ′ (t) − ψ ′ (τ)]dτ: E ′ (τ)dτ (2.7)ψ ′ (t) =∫ t0dsα S [S ′ (s),t−s]avec S ′ (s) = S(s − t 0 )Par changement de variable : s − t 0 = θ, on aψ ′ (t) =t−t ∫ 0−t 0t−tdθ= ∫ 0α S [S(θ),t−t 0 −θ]0dθ+ ∫0α S [S(θ),t−t 0 −θ]−t 0= α S0 = Cons tan tela contrainte étant causale S(θ) = 0, pour θ < 0dθα S [0,t−t 0 −θ]α s [0, t − t 0 − θ] = α 0 est constant dans la deuxième intégrale.Finalement, on a :ψ ′ (t) = ψ(t − t 0 ) + t 0α S0(2.8)En prenant en compte la causalité de la fonction de relaxation Φ, il vientdonc d’après les deux relations 2.7 et 2.8 :∫S ′ (t) = Φ[E(t−t 0 ), 0 + t] : E(t−t 0 )−Posons s = τ − t 0⇒∫ t0t−t ∫ 0• dτ = • ds =−t 00∂Φ[E(t−t 0 ),ψ(t−t 0 )−ψ(τ−t 0 )]dτt−t ∫ 0Les fonctions étant causales, il vient finalement :0• ds: E(τ −t 0 )dτS ′ (t)= Φ[E(t − t 0 ), 0 + ] : E(t − t 0 ) −= S(t − t 0 )t−t ∫ 00∂Φ[E(t−t 0 ),ψ(t−t 0 )−ψ(s)]∂sCe qui établit l’invariance du modèle dans le temps.: E(s)ds(2.9)72

2.3 Modèle général en viscoélasticité non linéaire2.3.2 Cas particuliersModèle d’ O’Down et KnaussDans ce modèle, il n’ya pas de pondération du temps par la contrainte.La non linéarité est géométrique et comportementale avec invariance dansle temps. En vertu de la relation 2.5, la loi de comportement s’écrit encontrainte :S(t) = Φ[E(t), 0 + ] : E(t) −∫ t0∂Φ[E(τ), t − τ]dτ: E(τ)dτ (2.10)L’objectif du modèle est de lier la fonction Φ, que l’on peut baptiser "fonction de relaxation " aux lois de l’hyperélasticité et à l’énergie volumiquede déformation W. En général, W dépend des trois invariants I i (C) (i=1, 2, 3)du tenseur de Cauchy-Green droit C. La fonction Φ est définie formellementà chaque instant à partir du tenseur des contraintes de Cauchy C par larelation :Φ = ∂[Jσ]dEJ = det(F ) ; (J=1 : Milieu incompressible)= ∂[Jσ]dF F −1 (2.11)Φ s’exprime également, dans le cas d’un matériau incompressible, à l’aidedu tenseur de Piola Kirchhoff S.F est le tenseur gradient.Φ = ∂[F S F t ]dE(2.12)Sachant que S = ∂W , la fonction de relaxation Φ s’exprime à l’aide de∂El’énergie volumique de déformation W par la relation :Φ = ∂ ∂W[F F t ] (2.13)dE dED’un point de vue indiciel, nous pouvons écrire :Φ ijkl = ∂(S pqF ip F jq )dE kl= ∂(Jσ ij)dE kl(2.14)73

MODELE GENERAL ET PREVISION A LONGUE DUREEEn petites déformation F = δ , et doncΦ = ∂2 W∂E 2est le tenseur tangent à l’origine.Modèle de Schapery– On se place dans le cas des petites déformations (S = σ (Tenseur descontraintes de Cauchy) et E = ɛ (partie symétrique du tenseur desdéformation de Green Lagrange)).– Λ[S(t), ψ(t)] = J[ψ(t)], est la fonction de retard à la déformation.En utilisant la relation 2.3, la réponse en déformation peut s’écrire alorssous la forme :ε(t) = g 2 (σ + ) σ(t) : J(0 + ) +•∫ t0•J[ψ(t) − ψ(τ)] : σ(τ)g 2 (σ(τ))dτ (2.15)– J est la dérivée de la fonction par rapport à son argument– Le facteur multiplicatif α σ ne dépend pas explicitement du temps.– g 2 (σ) est une non linéarité comportementale (continue à support positif),c’est un facteur de durcissement.- Dans le modèle de Schapery on pondère le comportement par une nonlinéarité de mémoire, g 1 (σ), intervenant également sur l’élasticité instantanée.∫ tε(t) = g 1 (σ(t))g 2 (σ(t))σ(t) : J(0 + ) + g 1 (σ(t))0•J[ψ(t) − ψ(τ)] : σ(τ)g 2 (σ)dτ(2.16)En viscoélasticité linéaire classique, on a g 1 = g 2 = 1 (d’après les figure1.6 et 1.7). D’autre part, en utilisant la relation 2.8 :ψ(t) = t ⇒ α(σ, t) = 1Dans le paragraphe suivant, nous développons une généralisation du modèlede Schapery pour la modélisation et l’identification du comportement àlongue durée à partir d’essais à court terme.74

2.4 Prévision du comportement à longue durée2.4 Prévision du comportement à longue durée2.4.1 ModélisationDans le cas d’essais de fluage à faible contrainte (g 1 = g 2 = 1), la réponse,unidimensionnelle, suivant le modèle de Schapery (Eq. 2.16) s’écrit :ε(t) = σ.J[ψ(t)] (2.17)ψ(t) =∫ t0dsa σ [σ(s)] =ta σ (σ) = t(2.18)a σ(a σ est une fonction de la contrainte).soit :ε(t) = σ.J[ ta σ] (2.19)On en déduit la déformation réduite ΦΦ(t) = ε(t)σ= J[ ta σ] (2.20)Si nous prenons deux points appartenant à deux courbes de fluage à deuxcontraintes σ 0 et σ n , on a :Si Φ(t 0 , σ 0 ) = Φ(t n , σ n ) ⇒ J[ t 0a σ0] = J[ t na σn] ⇒ t 0a σ0On en déduit que :0ù := t na σn(2.21)log(t 0 ) = log(t n ) + log[λ(σ n )] (2.22)λ(σ n ) = a σ 0a σn(2.23)λ(σ n ) est le facteur de translation constant en échelle logarithmique, entrela déformation réduite Φ(σ 0 , t 0 ) et Φ(σ, t n ). La courbe basse à la contrainte σ 0peut être considérée comme une courbe maîtresse ou de référence. Le facteurde translation λ(σ n ) ”stress Shift factor” est analogue au facteur multiplicateurfonction de la température développé dans le cadre du principe d’équivalencetemps/température de Williams Landel Ferry ([Ferry J. D., 1980]).L’évolution du facteur de translation est déterminée par la superposition des75

MODELE GENERAL ET PREVISION A LONGUE DUREEmesures à différentes charges σ 0 , σ 1 , σ 2 , .., σ n , ..., σ N . Ainsi, suivant cette approche,la déformation réduite (ou module de fluage) Φ vérifie l’équivalencesuivante :t 0Φ(t 0 , σ 0 ) = Φ(λ(σ n ) , σ n) (2.24)Cette approche permet la prédiction du comportement à longue durée àpartir d’essais à court terme, et donc permet d’éviter les essais de longues duréesqui sont coûteux . Le facteur λ(σ n ) se détermine expérimentalement enutilisant des courbes de fluage réalisées à différentes charges. Afin de déterminerle facteur de translation λ(σ n ), les courbes de fluage sont transforméesen représentation semi-logarithmique (Fig. 2.7). Suivant cette représentation,on constate qu’on peut passer d’une courbe de fluage à une autre moyennantun facteur de translation du temps.Fig. 2.7 – Courbes de fluage à différentes contraintes - Déformation totaleEn utilisant les courbes de fluage à courte durée (Fig. 2.7), on a pu prolongerla courbe correspondant à une contrainte de 2,5 MPa en utilisant lefacteur de translation liant ces courbes à courtes durée Fig. 2.8. Par ailleurs,pour vérifier cette approche, on a réalisé l’essai de fluage à la contrainte deréférence jusqu’à une longue durée de 115 jours (courbes rose foncée). On aconstaté une divergence entre la courbe maîtresse théorique (courbe violette,point B 2 ) et la courbe expérimentale (courbe rose foncée, point C 2 , Fig.2.8).Cette divergence est due au fait qu’on a considéré que le facteur de translationest constant dans le temps suivant le modèle original de Schapery. Lerapport de la mesure de C 2 B 2 par rapport à la mesure de A 2 C 2 , traduit l’er-76

2.4 Prévision du comportement à longue duréeFig. 2.8 – Courbe maitresse de fluage à une contrainte=2.5 MPa. (6. 10 5 s =7 jours; 10 7 s = 115 jours)reur entre la courbe maîtresse théorique et celle expérimentale. Ce rapportest supérieur à 1000 %.La figure 2.9 présente l’évolution des facteurs de translation en fonction dutemps entre la courbe expérimentale à 2,5 MPa considérée comme référenceet les courbes aux contraintes 0,5 MPa ; 1MPa et 1,5 MPa. Nous remarquonsbien que le facteur de translation est constant par rapport aux temps jusqu’aune certaine durée, à partir de laquelle il décroît.Nous envisageons par la suite une généralisation du modèle de Schaperypour introduire la dépendance du facteur de translation par rapportau temps.2.4.2 Généralisation du modèle de SchaperyLes suggestion de généralisation de Knauss et d’Emeris [Knauss W. G. et al., 1981]illustrent que le temps réduit actuel est définie instantanément par l’équationdifférentielle suivante :dψ =dta σ [σ(t)](2.25)Nous supposons que le temps actuel réduit est une superposition du temps77

MODELE GENERAL ET PREVISION A LONGUE DUREEFig. 2.9 – Évolution du facteur de translation horizontal en fonction dutemps entre une courbe de référence à 2.5 MPa et les courbes à 0.5 MPa ; à1 MPa et à 1,5 MPa - Valeurs expérimentalesactuel dψ 0 (pondéré par la contrainte) et du temps historique dψ h (pondérépar la contrainte et le temps) :dψ = dψ 0 + dψ h (2.26)Ces effets peuvent également être associés aux changements de 2 genresde volumes libres pour les matériaux en caoutchouc :– Le volume libre associé à l’échelle moléculaire (niveau microscopiquede la matrice) qui est généré par dψ 0 .– Le volume libre associé à l’échelle macroscopique telle que des discontinuitéscomme séparation des phases (niveau microscopique de noir decarbone) qui tient compte de la visco-élasticité de la matrice. Ceci estproduit par dψ h .Dans le modèle de Schapery, le temps est alors dilaté ou contracté artificiellementen employant le facteur de translation qui dépend de la contrainteet du temps. Au lieu de l’équation 2.18 nous tenons compte de l’équation2.26 et le temps réduit est défini par la relation suivante :78

2.4 Prévision du comportement à longue duréeψ(t) =∫ t0dsα σ [σ(s), t − s](2.27)Où, α σ (σ, t) est le facteur de contrainte généralisé dépendant du temps.α σ (0, t) = cste ∀t, quand la contrainte est nulle. Notons que le temps actueldψ 0 et le temps historique dψ h sont des solutions aux équations intégrodifférentiellessuivantes :⎧⎨dψ h =⎩dψ 0 =∫ t0[∂dtα σ [σ(t), 0]1α σ[σ(t),t−s]∂t(2.28)] ⎫⎬ds dt (2.29)⎭Les relations 2.16 et 2.27 donnent la fonction de fluage J décrite parl’équation suivante :∫ tε(σ 0 , t) = g 1 [σ 0 ].g 2 [σ 0 ].σ 0 .J[0dsα σ [σ 0 , t − s] ] (2.30)Supposons que le facteur de pondération général α σ (σ, t) soit défini commeproduit du facteur de pondération classique a σ (σ) par une fonction du temps, alors le facteur de contrainte généralisé est donné par :11+f(σ,t)α σ [σ(s), t − s] =a σ [σ(s)]1 + f[σ(s), t − s)](2.31)Le temps réduit ψ(t) peut être alors exprimé en fonction de la fonctionde contrainte F suivant l’équation suivante :ψ(t) = t + F (σ 0, 0) − F (σ 0 , t)a σ (σ 0 )(2.32)Où, F (σ, t) est la primitive de f(σ, t) par rapport au temps.Finalement, quand la contrainte est un echelon unité, fonction Heaviside,la fonction de fluage 2.30, en tenant compte de la relation 2.32, mène àl’équation suivante :ε(σ 0 , t) = g 1 [σ 0 ].g 2 [σ 0 ].σ 0 .J[ t + F (σ 0, 0) − F (σ 0 , t)] (2.33)a σ (σ 0 )79

MODELE GENERAL ET PREVISION A LONGUE DUREE2.4.3 Prévision du comportement à longue duréea σ[σ(s)]Pour identifier le facteur de pondération généralisé ( ) dans le1+f[σ(s),t−s]modèle de Schapery généralisé, une approche spécifique a été développée.L’idée est qu’une augmentation du temps est équivalente à une augmentationde la contrainte. Dans un contexte analogue, les propriétés de fluagemesurées à une charge et à un moment donné peuvent correspondre aux propriétésde fluage sous une autre charge et à un autre temps en appliquantune dépendance par rapport à la contrainte du facteur de translation.L’expression du facteur de translation est déterminée par la superpositiondes mesures à différentes contraintes σ 0 , σ 1 , σ 2 , σ n , ..., σ N . L’objectif est dedéterminer le facteur de translation a σ (σ n ), et la fontion F (σ, t) en supposantque, g 1 [σ 0 ].g 2 [σ 0 ] = 1, à faible contrainte et F (σ, 0) = 0. Alors l’équation 2.33devient :ε(σ n , t) = σ n .J[ t − F n(t)] , n = 0, 1, 2, ..., N (2.34)a σ (σ n )Où, F n (t) = F (σ n , t)A partir de la déformation de fluage , la fonction réduite de fluage, Φ(σ n , t)est tracée en fonction du temps actuel à divers niveaux de contrainte, n= 0, 1, 2,..., N.Avec :Φ(σ n , t) = ε(σ n, t)σ nEn tenant en compte l’équation 2.34, la déformation réduite de fluage estdonné par la relation suivante :Φ(σ n , t) = J[ t + F n(t)a σ (σ n ) ] (2.35)Les propriétés mesurées à une précharge sont équivalentes à ceux sousune deuxième précharge moyennant une dilatation ou une contraction d’uneéchelle de temps.Une schématisation de cette idée est présentée sur la figure 2.10.En utilisant les différents facteurs de translation entre une courbe à unecontrainte de référence σ 0 , et d’autres courbes à différents contraintes σ n , unecourbe maîtresse du module de fluage peut être tracée. Nous utilisons le facteurde translation entre les courbes de fluage à courte durée pour construire(ou compléter) une courbe maîtresse à long terme. Cette courbe maîtresse80

2.4 Prévision du comportement à longue duréeFig. 2.10 – Résultats expérimentaux : déformation de fluage réduite en fonctiondu temps. (Mesures à diverses précharges 0

MODELE GENERAL ET PREVISION A LONGUE DUREEéchelle logarithmique.Soit A 1 un point d’une courbe de fluage à une contrainte σ n et de coordonnée(t n , Φ(t n , σ n )) et B 1 un point d’une courbe de fluage à unecontrainte σ 0 et de coordonnée (t 0 , Φ(t 0 , σ 0 )) tel que :Φ(t n , σ n ) = Φ(t 0 , σ 0 ), (Fig.2.11)En prenant une fonction F n nulle et en tenant en compte la relation2.36, nous obtenons ce qui suit :A 1 B 1 = log(t 0 ) − log(t n ) = log[λ(σ n )] = log[ζ(σ n , t n )]Où, ζ(σ n , t n ) représente une fonction générale du facteur de translationdépendant dans le cas général de deux variables : la contrainte et letemps.Cependant, dans ce domaine 1, le facteur de translation horizontal estindépendant du temps et peut être exprimé par la relation suivante :ζ(σ n , t n ) = λ(σ n ) (2.37)– Zone 2 : t min < t < t max : Nous utilisons le facteur de translationconstant λ n pour compléter la courbe maîtresse, à une contrainteσ 0 , dans un intervalle de temps (courbe verte en petit trait caché(Fig.2.11)). Une différence remarquable peut être dénotée entre la courbeconstruite au moyen du facteur de translation constant et la courbeexpérimentale. Ainsi, le facteur de translation qu’on note ζ(σ, t), dépendantdu temps en plus de la contrainte dans ce cas, peut être décritpar la relation suivante :A 2 C 2 = log(t ′ 0) − log(t ′ n) = log[ζ(σ n , t ′ n)] (2.38)En utilisant le facteur de translation horizontal dépendant du temps,F 0 (t 0 ) = 0 et l’équation d’équilibre 2.36 :log(t ′ 0) = log(t ′ n − F n (t ′ n)) + log[λ(σ n )] (2.39)On en déduit à partir des relations 2.38 et 2.39 :{log[ζ(σ n , t ′ n)] = log λ(σ n )[1 − F }n(t ′ n))]t ′ n(2.40)A partir de laquelle, le facteur horizontal dépendant du temps ζ(σ n , t ′ n)est défini à l’instant t ′ n et à la contrainte σ n par la relation suivante :82

2.4 Prévision du comportement à longue duréeζ(σ n , t ′ n) = λ(σ n )[1 − F n(t ′ n))] (2.41)t ′ nFig. 2.11 – Courbe maîtresse : Courbe classique théorique à facteur de translationconstant et courbe réelle (Schéma de principe).Ainsi, les courbes de fluage ne présentent pas le même facteur de translationpour tous les intervalles de temps. Une divergence peut être dénotéeà long terme entre la courbe construite par le biais du facteur de translationclassique (constant) et la courbe expérimentale. Nous mentionnons que l’erreurE entre ces deux courbes peut être caractérisée par le quotient E = C 2B 2A 2 C 2.Par conséquent, le facteur de translation est non seulement une fonction dela contrainte mais peut être également une fonction du temps ce qui confirmeainsi l’utilisation du modèle généralisé de Schapery.En résumé, l’utilisation du modèle de Schapery généralisé, utilisé pourprévoir le comportement à long terme des matériaux, est synthétisé parla relation 2.42 exprimant le facteur de translation dépendant du temps etpar la figure 2.9 présentant différentes courbes expérimentales à différentescontraintes qui permettent de déterminer la fonction F n (t), n = 1, 2, ..., N.83

MODELE GENERAL ET PREVISION A LONGUE DUREE{ ζ(σn , t) = λ(σ n ) , t < t minζ(σ n , t) = λ(σ n )[1 − Fn(t))(2.42)] , tt min < t < t maxDes essais de fluage d’un élastomère à différentes charges sont présentésdans la figure 2.4. Tous les résultats expérimentaux sont obtenus pendant 160heures à diverses contraintes allant de 0.5 MPa à 2.5 MPa. Pour mieux observerla relation de translation entre les courbes de fluage en utilisant le facteurde translation, ces courbes sont transformées en échelle semi-logarithmique(fig.2.7).Un essai de fluage à long terme est réalisé à une charge de référence de 2.5MPa et avec une durée d’environ 115 jours (Fig.2.5). Cette courbe est considéréecomme une courbe maîtresse et peut être construite en utilisant unesuperposition Temps/Contrainte en utilisant une expression convenable dufacteur de translation et les courbes de fluage à court terme. Ainsi, cette approchenous permet de compléter la courbe maîtresse sur un large intervallede temps. Cette courbe maîtresse décrit le comportement à long terme du matériau.On remarque une différence importante à long terme entre la courbeconstruite théoriquement du facteur de translation classique (constant) etla courbe expérimentale à une charge de 2.5 MPa. Nous mentionnons qu’alongue durée, l’erreur E entre ces deux courbes dépasse les 1600 % (Fig. 2.8).E est l’erreur sur le facteur de translation classique (constant) :E = C 2B 2A 2 C 2(2.43)Cependant le facteur de translation diminue avec le temps à longue durée.Nous devons noter que le facteur de translation est considéré après la réponseinstantanée dans les courbes de fluage.Pour présenter un facteur de translation quasi-constant à courte durée età très long terme avec un domaine de transition qui est illustré sur le schéma2.12, nous choisissons la relation 2.44 qui est cohérente avec l’équation 2.42du facteur de translation :ζ(σ n , t) = λ(σ n )[1 − 2 t−bnarctan(ean t )] (2.44)πOù, la fonction F n (t), dans la relation 2.42, est choisie suivant l’expressionsuivante :F n (t) = F(σ n , t) = 2 t−bnt arctan(ean t )πa n et b n sont des constantes qui dépendent de la contrainte et sont déterminéesà partir des courbes du facteur ζ(σ n , t) à différentes contraintes.84

2.5 ConclusionsLa fonction est déterminée à partir du recalage d’un réseau de courbe à différentescontraintes des facteurs de translation horizontaux dépendants dutemps (voir Fig. 2.12).Fig. 2.12 – Recalage du facteur de translation horizontal dépendant du tempspour une courbe de fluage de référence à 2.5 MPa et les courbes de fluageà 0.5 MPa, 1MPa et 1.5 MPa ; σ=0.5 MPa : λ=397.9 ; a= 1.8 ; b=15970.6 ;σ=1 MPa : λ = 132.4 ; a = 1.46 ; b = 16281.9 ; σ=1.5 MPa : λ = 37.22 ; a=1.14 ; b= 26233.8La figure 2.13 présente la courbe maitresse expérimentale et théoriquesuivant notre modèle. Sur la même figure on a la courbe maitresse théoriqueen supposant un coéfficient de translation constant dans le temps. Nous observonsune divergence remarquable entre la courbe maitresse théorique àcoefficient de translation constant et celle suivant notre modèle.2.5 ConclusionsCette partie comprend en premier lieu un volet expérimental qui concernela caractérisation du comportement en fluage d’un élastomère. Des essais defluage à différentes charges ont été réalisés.En seconde partie, un formalisme général, et original, prenant en compteles non linéarités comportementales et géométriques a été construit à partird’une généralisation du modèle de Knauss. Ce dernier généralise bon nombre85

MODELE GENERAL ET PREVISION A LONGUE DUREEFig. 2.13 – Courbe maitresse théorique et expérimentalede modèles fonctionnels viscoélastiques non linéaires en prenant en comptel’hyperélasticité instantanée. Il présente les avantages suivants : possibilitéd’analyser les matériaux non vieillissants (invariance dans le temps) et peutêtre écrit avec un faible nombre de paramètres comparé à d’autres modèles.Ce formalisme général a été exploité, dans le cas du modèle de Schapery, pourprédire le comportement à longue durée des élastomères. Dans ce contexte,une approche d’équivalence Temps/Contrainte est développée en vue de prévoirla réponse viscoélastique pour un matériau en service à longue durée enutilisant des mesures obtenues à partir des essais de fluage à court terme.Classiquement, cette approche d’équivalence introduit un facteur de translationdépendant uniquement de la contrainte. On a pu vérifier, par le biais d’essaisde fluage réalisés, que la facteur de translation ne dépend de la contrainteuniquement à courte durée (t ≈ 3h). Mais à longue durée, on a constaté unedépendance du facteur de translation par rapport au temps en plus de la dépendancepar rapport à la contrainte. Ceci peut être expliqué théoriquementpar la présence de 2 échelles de volumes libres : Une échelle moléculaire etune échelle relatif à la dimension des inclusions [Knauss W. G. et al., 1981].Ainsi, une diminution du facteur de translation au cours du temps a étéobservée à longue durée. Ce résultat pertinent sur le facteur de translation,que nous avons modélisé, n’est pas classique par rapport à l’état de l’art. Ona pu calculer le comportement de fluage jusqu’à 115 jours en utilisant des86

2.5 Conclusionsessais de fluage pendant 7 jours. Cette approche a exigé le développementd’une expression convenable pour le facteur de translation dépendant de lacontrainte et pertinemment du temps. Nous avons constaté une bonne corrélationentre une courbe maîtresse à longue durée (état de contrainte imposé)et le modèle proposé.L’utilisation du modèle général en viscoélasticité non linéaire, développédans ce chapitre, pour la modélisation du comportement dynamique en petitesdéformations sous précharge fera l’objet du chapitre suivant.87

MODELE GENERAL ET PREVISION A LONGUE DUREE88

Chapitre 3COUPLAGE VISCOELASTICITEHYPERELASTICITECe chapitre constitue une application du formalisme général développédans le chapitre 2 et qui est basé sur le modèle de Knauss ([Knauss W. G. et al., 1981],[Knauss W. G. et al., 1987]) liant les fonctions de relaxation à l’énergie volumiquede déformation (relation 2.13). L’objectif est de déterminer le modulede relaxation tangent autour d’une précharge. L’approche constitue une linéarisationautour d’une précharge statique.Deux cas d’applications sont abordés : Traction-compression sous préchargede compression ; et cisaillement sous précharge de compression.89

COUPLAGE VISCOELASTICITE HYPERELASTICITE3.1 Modèle d’ O’Down et Knauss généralisé3.1.1 Sollicitation autour d’une préchargeNous reprenons le modèle général du comportement viscoélastique nonlinéaire développé dans le chapitre 1 suivant la relation 2.10 :S(t) = Φ[E(t), 0 + ] : E(t) +∫ t0∂Φ[E(τ), t − τ]dτ: E(τ)dτSoit ⃗ X les coordonnées d’un point P à l’état initial non déformé (configurationde référence) et ⃗x les coordonnées de ce point après déformation(configuration actuelle). Soit δ⃗u un petit déplacement caractérisant une petiteperturbation autour de la position ⃗x. On pose ⃗x ′ la nouvelle position dupoint P après une petite perturbation autour de ⃗x (Fig. 3.1).Fig. 3.1 – Petite déformation autour d’une configuration actuelle (déformée)Soit :F = ∂⃗xdX ⃗ , le tenseur gradient de transformation.F ′ = ∂⃗x∂X ⃗ + ∂(δ⃗u)∂X⃗∂(δ⃗u)⇒ δF = F + δF =∂X⃗= ∂(δ⃗u)∂⃗xδF est le tenseur tangent associé à la position ⃗x ′En posant δη = ∂(δ⃗u)∂⃗x , il vient : δF = δη F (3.1)∂⃗x∂ ⃗ X90

3.1 Modèle d’ O’Down et Knauss généraliséLe tenseur des déformations de Green Lagrange E est défini par :il vient donc par dérivation :E = 1 2 (t F F − δ)dE = 1 2 [t δF F + t F δF ]Si nous considérons le tenseur E ′ en position ⃗x ′ :E ′ = 1 2 [(t F + t (δF ))(F + δF ) − δ] = E + 1 2 [t F δF + t δF F + t δF δF ]Au premier ordre près et d’après la relation 3.1 on a :Si nous posons,E ′ = E + 1 2 [t F δη F + t F t δη F ]ε = 1 2 [δη + t δη]tenseur des petites déformations autour de la position déformée ⃗x engrandes déformations, il vient au premier ordre près :E ′ = E + t F ε F (3.2)3.1.2 Prise en compte du comportement du matériauConsidérons un déplacement menant à une position ⃗x 0 stabilisée et unevariation autour de cette position statique. D’après la relation 3.2, le tenseurdes déformations de Green Lagrange E a pour expression (au premier ordreprès) :Avec,E = E 0 + t F 0 ε(t) F} {{ } 0 = E 0 + η(t) (3.3)η(t)E 0 et F 0 sont figés indépendants du temps.η(t) = t F 0 ε(t) F 0 (3.4)91

COUPLAGE VISCOELASTICITE HYPERELASTICITED’après la relation 2.10, la loi de comportement s’écrit :S(t) = Φ[E 0 + η(t), 0 + ] : (E 0 + η(t)) −{} 0= Φ[E 0 , 0 + ] + ∂Φ[E0, 0 + ]η(t)dE{: (E 0 + η(t))−∫ t0∂dτΦ[E 0 , t − τ] + ∂ΦdE : [E 0, t − τ]η(τ)∫ t∂Φ[E 0 +η(τ),t−τ]dτ}[E 0 + η(τ)]dτOù encore :{}S(t) = Φ[E 0 , 0 + ] + ∂Φ[E0, 0 + ]η(t) : (E 0 + η(t))−dE{∫ t∂Φ[E dτ 0, t − τ] + ∂Φ[E0, t − τ] ∂η(τ) + ∂2 Φ[EdE dτ0, t − τ]η(τ)dτdE0: [E 0 + η(τ)]dτ(3.5)}: [E 0 + η(τ)]dτSachant que ||η||

3.1 Modèle d’ O’Down et Knauss généraliséD’après la relation 2.14, Φ est déduite de l’énergie de déformation W :Φ ijpq η pq =∂σ ijF 0,kp F 0,lqdE} 0,pq{{ }R ijklε klSoit :R ijkl =∂σ ijdE 0,pqF 0,kp F 0,lq = φ ijpq F kp F lq (3.9)R ijkl est le module de relaxation tangent à la précharge E 0 ,Soit :Φ[E 0 , t] : η(t) = R[E 0 , t] : ε(t) (3.10)E(E 0 , t) étant le module de relaxation tangent (tenseur de rang 4), à laprécharge E 0 et au temps t. Nous rappelons que :Dans ce cas,⎧S 0 (t) =⎪⎨⎪⎩{Jσ = F ∂WdEt FΦ[E 0 , t] + ∂RdE [E 0, t]ε(0 + )S 1 (t) = R[E 0 , 0 + ] : ε(t) −∫ t0•}: E 0R[E 0 , t − τ] : ε(τ)dτ(3.11)Avec,S 0 (t) : Contraintes statique (transitoire) qui tend vers une valeur constanteau cours du temps (asymptote des modules de relaxation).S 1 (t) : Contrainte dynamique qui traduit l’évolution au cours du temps autourde cette contrainte statique.Finalement la relation 3.11 traduit un comportement viscoélastique linéaireau cours du temps. Dans le domaine fréquentiel, la contrainte dynamiquecomplexe s’exprime par la relation :˜˜S 1 (ω) = R[E 0 , ω] : ˜ε(ω) (3.12)ω étant la pulsation. Le module tangent complexe à la précharge E 0 peutêtre étudié sous modèle rhéologique et sous modèle hyperélastique.93

COUPLAGE VISCOELASTICITE HYPERELASTICITE3.2 Modèle paramétrique en viscoélasticité nonlinéaire :En hyperélasticité, les énergies de déformation volumique sont dans lamajeure partie des cas prises sous la forme suivante :W (I 1 , I 2 , I 3 ) =N∑n=1K n H 1+αnn (I 1 , I 2 , I 3 ) (3.13)H n (I 1 , I 2 , I 3 ) : Fonctions connues et déterminées par les 3 invariants I 1 ,I 2 et I 3 du tenseur des dilatation C, α n est un coefficient donné, K n est uncoefficient multiplicateur donné.Par exemple, dans le cas de la loi de Mooney nous avons :N=2, K 1 =A, K 2 = B, H 1 = I 1 − 3, H 2 = I 2 − 3 et α n = 0.En viscoélasticité non linéaire, nous proposons l’écriture de l’énergie dedéformation sous la forme :W (I 1 , I 2 , I 3 ) =N∑n=1K n g n (t) H 1+αnn (I 1 , I 2 , I 3 ) (3.14)g n (t) étant une fonction donnée du temps.Par ailleurs, la relation entre le second tenseur des contrainte de Piola-Kirchhoff S et l’énergie de déformation volumique W s’écrit [Holzapfel G. A., 2000] :S = 2δ ∂W + 2(I 1 δ − C) ∂W−1 ∂W+ 2I 3 C (3.15)∂I 1 ∂I 2 ∂I 30En utilisant la relation entre le second tenseur des contrainte de Piola-Kirchhoff S et le tenseur des contraintes de Cauchy σ, Jσ = F S t F ,nous pouvons écrire :Avec,Jσ = Φ 1 (F ) ∂W∂I 1+ Φ 2 (F ) ∂W∂I 2+ Φ 3 (F ) ∂W∂I 3(3.16)⎧⎪⎨⎪⎩Φ 1 (F ) = 2F t FΦ 2 (F ) = 2(I 1 F t F − B 2 ) = 2B(I 1 − B)Φ 3 (F ) = 2I 3 δ94

3.3 Module tangent( B est le tenseur des dilatations de Cauchy-Green gauche)).Si nous exprimons la fonction Φ sous sa forme générale en utilisant les relations3.16 et 2.11, nous avons l’expression générale suivante :Φ = ∂[Jσ]dE+2Q 11 (F ) ∂2 W∂I 2 1= Q 1(F ) ∂W∂I 1+ Q 2 (F ) ∂W∂I 2+ 2Q 22 (F ) ∂2 W∂I 2 2+ Q 3 (F ) ∂W∂I 3+ 2Q 33 (F ) ∂2 W∂I 2 3+2Q 12 (F ) ∂2 W∂I 1 ∂I 2+ 2Q 13 (F ) ∂2 W∂I 1 ∂I 3+ 2Q 23 (F ) ∂2 W∂I 2 ∂I 3(3.17)Les fonctions Q i et Q ij ont des formes intrinsèques dépendant du tenseurgradient de la déformation :⎧Q ⎪⎨ i = ∂Φ i; i = 1, 2, 3dE⎪⎩Q ii = 1 2 Φ i ∂I idE; i = 1, 2, 3Q ij = 1[Φ 2 i ∂I j+ Φ j ∂I i] ; ij = 12, 13, 23dE3.3 Expressions du module tangentLa relation 3.17 s’écrit aussi de manière concise :Φ =3∑i=1Q i (F ) ∂W∂I i+i=1dE3∑{ 3∑}Q ij (F ) ∂2 W∂I i ∂I jj=1(3.18)En considérant que l’énergie volumique de déformation ait la forme donnéepar 3.14, on a :⎧⎪⎨⎪⎩∂W∂I p∂ 2 W∂I p∂I q= N ∑n=1= N ∑K n g n (t)(1 + α n )H αnnn=1{K n g n (t)(1 + α n )∂Hn∂I pα n H αn−1 ∂H n ∂H nn ∂I p ∂I q+ H αnn}∂2 H n∂I p∂I q(3.19)La fonction de relaxation donnée par la relation 3.18 prend alors la formegénérale suivante :Φ(E, t) =N∑K n g n (t)P (I 1 , I 2 , I 3 ) (3.20)n=195

COUPLAGE VISCOELASTICITE HYPERELASTICITEDans laquelle :P (I 1 , I 2 , I 3 ) = 3 ∑3∑p=1p=1 q=1Q p (1 + α n )H αnn⎧3∑ ⎨ {⎩ (1 + α n)∂Hn∂I p+⎫} ⎬α n H αn−1 ∂H n ∂H nn ∂I p ∂I q+ H αnn∂2 H n∂I p∂I qQ pq⎭Enfin, d’après la relation générale 3.9, entre la fonction de relaxationet le module tangent, et l’expression 3.20 de la fonction de relaxation, lemodule tangent du matériau, à la déformation donnée par F , le gradient dedéformation, a pour expression :R ijkl (E, t) =N∑K n g n (t)P ijpq F kp F lq (3.21)n=1Que l’on peut écrire de manière plus concise :0ù,R(t, F ) =N∑K n g n (t) χ(F ) (3.22)n=1χ ijkl= P ijpq F kp F lqDans le cas du module complexe autour de la sollicitation F 0R(ω, F 0 ) =N∑K n ˜g n (ω) χ(F 0 ) (3.23)n=1Le tenseur du 4ème ordre P (dans la fonction de relaxation ) ou le tenseurdu 4ème ordre χ (pour le module tangent) peuvent être exprimé à l’aide dutenseur gradient de la transformation considérée. Les fonctions g n (t) sontdes fonctions classiques de modèles rhéologiques (fonctions exponentiellesdécroissantes par exemple).Nous allons examiner deux cas particuliers de cette étude généralisée :– Précharge d’extension : Sollicitation harmonique d’extension.– Précharge d’extension : Sollicitation harmonique de cisaillement96

3.3 Module tangent3.3.1 Précharge d’extension - Sollicitation harmoniqueen extensionSoit (0, ⃗x, ⃗y, ⃗z) une base orthonormé directe. Considérons un barreau incompressibletravaillant en extension dans la direction ⃗x. Le matériau estdéfini par une énergie de déformation W (I 1 , I 2 ) dans le cas d’un matériauincompressible. Désignons par λ l’élongation dans la direction 1. Si la déformationest homogène, le tenseur gradient F a alors pour expression :⎡⎤λ⎢ SY M ⎥F =⎢⎣01 √λ0 01 √λEt le tenseur de Cauchy-Green droit C vaut donc :⎡⎤C =⎢⎣λ 201λDont les invariants ont pour valeurs :SY M0 01λ⎥⎦⎥⎦I 1 (C) = λ 2 + 2 λ ; I 2(C) = 2λ + 1 λ 2 ; I 3 (C) = 1 = J 2 (3.24)Le tenseur des déformations de Green Lagrange E vaut :⎡⎤λ 2 − 1E = 1 2 (C − δ) = 1 SY M12 ⎢ 0λ⎣− 1⎥⎦10 0 − 1 λEn utilisant la relation 3.15, le seconf tenseur de Piola-Kirchhoff S a pourexpression :⎡2(1 − 1 )( ∂Wλ 3 ∂I 1+ 1 ∂W⎤λ ∂I 1)SY MS =⎢ 0 0⎥⎣⎦0 0 097

COUPLAGE VISCOELASTICITE HYPERELASTICITEDonc, on peut en déduire l’expression du tenseur des contraintes de Cauchyσ sous la forme de l’équation 3.16 :⎡2(λ 2 − 1 ) ⎤ ⎡2(λ − 1 )λ λ SY M2 Jσ = σ =⎢ 0 0∂WSY M⎥ +⎣⎦ ∂I 1⎢ 0 0⎣0 0 0} {{ }0 0 0} {{ }⎤⎥⎦∂W∂I 2φ 1φ 2Soit,D’après la relation 2.11 :Jσ 11 = σ 11 = σ = 2(λ 2 − 1 λ )(∂W + 1 ∂W) (3.25)∂I 1 λ ∂I 2⎧⎪⎨⎪⎩Φ 1111 = 1 ∂σλ ∂λΦ 1122 = Φ 1133 = √ λ ∂σ∂( 1∂λ√λ) = √ λ[−2λ √ λ ∂σ] = −2λ2∂σ∂λ(3.26)Compte tenu des relations 3.26 :Avec :⎧Φ 1111 =Q 1 1111 ∂W∂I 1+2Q 111111 ∂2 W∂I 2 1+ Q 2 1111 ∂W∂I 2++ 2Q 221111 ∂2 W∂I 2 2Q 1 1111 = 2(2 + 1 λ 3 ) ; Q 2 1111 = 2( 1 λ + 2 λ 4 )+ 2Q 121111 ∂2 W∂I 1 ∂I 2(3.27)⎪⎨Q 111111 = 4( λ3 −1) 2 ; Q 22λ 2 1111 = 4 ( λ3 −1) 2 = Q11λ 2 λ 21111(3.28)λ 2⎪⎩ Q 121111 = 8 ( λ3 −1) 2 λ λ 2Pour obtenir les composantes de Q i 1122 = Q i 1133 et Q ij1122 = Q ij1133, ilsuffit de multiplier les valeurs des relations 3.28 par (−2λ 3 ).Expression des modules tangentsD’après la relation 3.9 , le module tangent à pour valeur :98

3.3 Module tangentR 1111 = Φ 11pq F 1p F 1q = λ 2 Φ 1111Soit :R 1111 = 2(2λ 2 + 1 λ ) ∂W∂I 1+4λ 2 ( λ3 −1λ 2) 2 ∂2 W∂I 2 1Relation qui s’écrit aussi :+ 2(λ + 2 λ 2 ) ∂W+ 4( λ3 −1λ 2∂I 2+) 2 ∂2 W∂I 2 2+ 8λ( λ3 −1) 2 ∂2 W(3.29)λ 2 ∂I 1 ∂I 2R 1111 = E 1 =2∑p=1χ p (λ) ∂W∂I p+2∑p=12∑q=1χ pq (λ)∂2 W∂I p ∂I q(3.30)Avec, E 1 est le module d’Young dans la direction 1 (car nous sommes encontraintes uniaxiales), et :⎧χ 1 (λ) = 2(2λ 2 + 1 ) λ⎪⎨⎪⎩χ 2 (λ) = 2(λ + 2 λ 2 )χ 11 (λ) = 4λ 2 ( λ3 −1λ 2 ) 2χ 12 (λ) = χ 21 (λ) = 4λ( λ3 −1λ 2 ) 2 (3.31)χ 22 (λ) = 4( λ3 −1) 2λ 2Dans le cas d’un modèle paramétrique donné par la relation 3.14, il vient :E(λ, t) =N∑n=1Avec en vertu des relations 3.19 :K n g n (t) (1 + α n ) H αn−1n (I 1 , I 2 ) P n (λ) (3.32)P n (λ)Exemple :∑= 2 χ ρ (λ)H n (I 1 , I 2 ) ∂Hnp=1{∑+ 2 2∑χ pq (λ)p=1 p=1∂I p+α n∂H n∂I p99∂H n∂I q∂+ H 2 H nn ∂I p∂I q} (3.33)

COUPLAGE VISCOELASTICITE HYPERELASTICITE– Loi de Mooney Rivlin :Dans le cas de la loi de Mooney, la relation 3.14 donne :N=2, H 1 = I 1 − 3, H 2 = I 2 − 3 et α n = 0Les dérivées secondes sont nulles et K 1 = A = Constante, K 2 = B =Constante.Une application de la relation 3.30 donne :E 1 (λ, t) = A g 1 (t) χ 1 (λ) + B g 2 (t) χ 2 (λ)– Loi de Gent-Thomas : ([Gent A. N. & al., 1958], [Beda T. & al., 2003])L’énergie de déformation de Gent-Thomas s’écrit ([Gent A. N. & al., 1958],[Beda T. & al., 2003]) :W = A g 1 (t) (I 1 − 3) + B g 2 (t) ln( I 23 ) (3.34)A et B sont deux constantes caractéristiques du matériau.Soit,N=2, H 1 = I 1 − 3, H 2 = log (I 23), α n = 0, K 1 = A = Constante,K 3 = B = ConstanteE 1 (λ, t) = Ag 1 (t)χ 1 (λ) + Bg 2 (t)χ 2 (λ) 1 I 23.3.2 Précharge de compression - Sollicitation harmoniqueen cisaillementSoit une sollicitation harmonique en cisaillement superposée avec uneprécharge de compression. On décompose le chargement en une précharge decompression ⃗ F 0 superposée avec un champ de cisaillement caractérisé par undéplacement ⃗ U y (t) (Fig. 3.2).Soit (X, Y, Z) les coordonnées d’un point M à l’état non chargé. (x 1 , y 1 , z 1 )les nouvelles coordonnées après la compression. (x, y, z) les coordonnées finalesaprès cisaillement. On pose γ(t) la tangente de l’angle de cisaillementβ(t).On a :⎧⎨⎩x 1 = 1y 1 = 1z 1 = λZ√λX√λYet⎧⎨⎩x = x 1y = y 1 + γz 1z = z 1⇒⎧⎨⎩x = √ 1λXy = √ 1λY + γλZz = λZ(3.35)100

3.3 Module tangentFig. 3.2 – Superposition du chargement : (a) Précharge de Compression -(b) CisaillementLe tenseur gradient de déformation F , associé à l’état final, a alors pourexpression :⎡ 1⎤√λ0 0F =1⎢ 0 √λ γλ⎥⎣⎦0 0 λLe tenseur des dilatations C s’écrit :⎡C =⎢⎣1λ01λSY M0 γ √ λ λ 2 (γ 2 + 1)⎤⎥⎦0n en déduit les invariants I 1 et I 2 de C⎧⎨⎩I 1 = F 2 11 + F 2 22 + F 2 33 + F 2 23 = 2 λ + λ2 (γ 2 + 1)I 2 = F 2 11 F 2 22 + F 2 11 F 2 33 + F 2 22 F 2 33 + F 2 11 F 2 23 = 1 λ 2 + λ(γ 2 + 2)(3.36)Le tenseur des déformations de Green Lagrange vaut :⎡1− 1 λE = 1 2 (C − δ) = 1 SY M12 ⎢0 − 1 λ⎣0 γ √ λ λ 2 + γ 2 λ 2 − 1⎤⎥⎦101

COUPLAGE VISCOELASTICITE HYPERELASTICITEEn utilisant la relation 3.15, le tenseur des contraintes de Cauchy σ s’écriten fonction de l’énergie de déformation volumique W et du tenseur de déformationde Cauchy gauche B comme suit :σ = 2[ ∂W∂I 1+ I 1∂W∂I 2]B − 2 ∂W∂I 2B 2 + pδ (3.37)Où δ est le tenseur unité et p est la pression hydrostatique.Compte tenue des relations 2.11 et 3.9, le tenseur tangent R s’écrit :R ijkl = ∂(Jσ ij)∂F kpF lp (3.38)On s’intéresse dans cette section particulièrement au module de cisaillementtangent R 2323 . La relation 3.38 permet de déduire le module de cisaillementtangent R 2323 dans le cas de sollicitation de cisaillement harmoniquesous précharge de compression :R 2323 = ∂(Jσ 23)∂F 23F 33 (3.39)En exprimant les composantes du tenseur B en fonction des celles dutenseur F et en utilisant les relations 3.37 et 3.39, on détermine le modulede cisaillement tangent R 2323 suivant l’expression suivante :R 2333 = Q 1∂W∂I 1+ Q 2∂W∂I 2+ Q 11∂ 2 W∂I 2 1+ Q 22∂ 2 W∂I 2 2+ Q 12∂ 2 W∂I 1 ∂I 2(3.40)Avec :⎧⎪⎨⎪⎩Q 1 = 2F332Q 2 = 2F33 2 [F11 2 + F22 2 + F33 2 + 3F23 2 − 2F 23 F 33 ]Q 11 = 4F33 2 F232Q 22 = 4F11 2 F33 2 F23 3 (F11 2 + F22 2 + F33 2 + F23 2 − F 23 F 33 )Q 12 = 4F33 2 F23 2 [2F11 2 + F22 2 + F33 2 + F23 2 − F 23 F 33 ](3.41)En fonction de l’élongation de la précharge de compression λ et de latangente de l’angle de cisaillement γ, les fonctions Q i et Q ij s’écrivent :102

3.3 Module tangent⎧Q 1 = 2 λ 2⎪⎨Q 2 = 2 λ [2 + λ 3 (1 + 3γ 2Q 11 = 4 γ 2 λ 4− 2γ)](3.42)Q 22 = 4 γ 2 λ 2 [2 + λ 3 + γ 2 λ 3 (1 − λ 2 )]⎪⎩Q 12 = 4 γ 2 λ 3 [3 + λ 3 (1 + γ 2 − γ)]– Cas de l’énergie de déformation de Gent-ThomasL’énergie de déformation de Gent-Thomas s’écrit suivant la relation 3.34 :W = A g 1 (t) (I 1 − 3) + B g 2 (t) ln( I 23 )Dans ce cas, d’après la relation 3.40 le module de cisaillement tangents’écrit :R 2323 = A Q 1 g 1 (t) + B [ Q 2− Q 22] g 2 (t) (3.43)I 2Le module de cisaillement dynamique sous précharge de compression estune fonction des trois variables : L’élongation de compression λ, le cisaillementγ et le temps t. Le module de cisaillement tangent s’écrit :R 2323 (λ, t) = limγ→0[R 2323 (λ, γ, t)] (3.44)les relations 3.43 et 3.44 donnent l’expression suivante du module de cisaillementtangent :R 2323 (λ, t) = 2A λ 2 g 1 (t) + 2B λ3 (2 + λ 3 )1 + 2λ 3 g 2 (t) (3.45)D’après la relation 3.45, le module de cisaillement dynamique tangents’écrit dans le domaine fréquentiel par :˜R 2323 (λ, ω) = 2A λ 2 ˜g 1 (ω) + 2B λ3 (2 + λ 3 )1 + 2λ 3 ˜g 2 (ω) (3.46)Où, ω est la pulsation. ˜g 1 (ω) et ˜g 2 (ω) sont les transformées de Fourrierrespectivement de g 1 (t) et g 2 (t).103I 2 2

COUPLAGE VISCOELASTICITE HYPERELASTICITEEn vue d’avoir un comportement asymptotique des fonctions de pondérationg i (t) traduisant un comportement rhéologique, on choisit des fonctionsde pondération g i (t) exponentielles.Soit :{g 1 (t) = a 1 + b 1 e − tt 1g 2 (t) = a 2 + b 2 e − tt 2(3.47)a 1 , b 1 , a 2 et b 2 sont deux constantes du matériau. τ 1 et τ 2 sont deux tempsde relaxation.Soit :˜R 2323 (λ, ω) = 2Aλ 2 ( a 1jω + b 1jω + 1 t 1)+2B λ3 (2 + λ 3 )1 + 2λ 3 ( a 2jω + b 2jω + 1 t 2) (3.48)(j 2 = −1)Les temps de relaxation t 1 et t 2 peuvent être calculés en identifiant des résultatsexpérimentaux du module dynamique avec la relation 3.48 en absencede précharge (λ = 1).3.4 ConclusionDans ce chapitre, une étude du comportement mécanique en petite déformationautour d’une précharge statique est présentée. L’objectif étant lecalcul du module de relaxation tangent. Le formalisme développé est basé surun couplage hyperélasticité viscoélasticité. Ce couplage est exprimé par la loide Knauss généralisée liant les fonctions de relaxation à l’énergie volumiquede déformation. Par une approche de linéarisation autour d’une précharge,le modèle visco-hyperélastique non linéaire est formulé par une loi similaireà la viscoélasticité linéaire.Deux cas d’applications sont abordés : Traction-compression sous préchargede compression ; et cisaillement sous précharge de compression.104

Chapitre 4APPLICATION AUMULTICOUCHE ”SHIM”Identification du comportement dynamique D’une structuremulticouche élastomère/acierCe dernier chapitre de la thèse, constitue une mise en oeuvre des partiesantérieures, concernant la caractérisation mécanique d’un élastomère, auprofit de l’étude d’un problème industriel qui concerne la caractérisation expérimentaleet la modélisation du comportement dynamique en cisaillementsous précharge d’une structure multicouche élastomère/métal appelée ”Shim”.Cette structure est utilisée dans un système de freinage pour l’isolation vibroacoustique.En première partie, nous présentons la problématique posée.Par la suite, une approche expérimentale de caractérisation sera décrite. Enfin, nous aborderons l’aspect modélisation analytique du comportement dynamiqued’une structure multicouche travaillant en cisaillement sous excitationharmonique sous précharge. Une étude comparative avec un modèleéléments finis est discutée.105

APPLICATION AU MULTICOUCHE ”SHIM”4.1 Problématique poséeLe problème concerne une structure multicouches (élastomères/acier),montée dans le système de freinage automobile pour l’isolation vibroacoustique.Ce multicouche, appelé Shim, est utilisé comme pièce intermédiaireamortissante disposée entre la plaquette de frein et le piston dans un systèmede freinage automobile. La structure objet de notre étude est solidaireau dos de la plaquette de frein. Le freinage se réalise au moyen de l’action d’unpiston sur la plaque stratifiée ”Shim”, objet de notre étude et solidaire au patin. le ”Shim” a pour but l’amortissement des vibrations dus aux contraintesde freinage, et il est considérablement soumis aux efforts de cisaillement et decompression alterné. Ainsi on propose dans cette partie une étude de caractérisationet de modélisation des propriétés dynamiques (module dynamiquecomplexe) de la structure multicouche, en se basant sur des essais expérimentaux,de cisaillement harmonique en petite amplitude et à fréquence variablesous différentes précharge de compression. Dans la figure 4.1 est présentée uneschématisation d’un système de freinage automobile. La structure du Shimobjet de notre étude est formée d’un empilement de plusieurs couches élastomères/métalschématisé suivant la figure 4.2. L’épaisseur de chaque coucheest de l’ordre de 2/10 de millimètre. La figure 4.3 décrit l’ensemble (Étrier,patin et shim). La face du patin coté piston, sur laquelle est fixé le ”Shim”est présentée dans la figure 4.3.c.Fig. 4.1 – Système de freinage automobile106

4.1 Problématique poséeFig. 4.2 – Structure d’un Shim(a)(b)(c)(d)Fig. 4.3 – Éléments de freinage automobile : (a)Étrier+patin ; (b) Etrier +patin (démontés) ; (c) Face du patin coté piston ; (d) structure du ”Shim”107

APPLICATION AU MULTICOUCHE ”SHIM”4.2 Dispositif expérimental et essais4.2.1 Dispositif expérimentalPour caractériser le comportement dynamique en cisaillement sous préchargedu Shim, on a utilisé une machine MTS-INSTRON, de charge 2,5tonnes, spéciale pour les matériaux élastomères. La machine, qui se trouve auLaboratoire d’Ingénierie des Systèmes Mécaniques et des Matériaux (LISMMA)à l’Institut Supérieure de Mécanique de Paris (ISMEP), est équipée d’un dispositifpour le traitement des données expérimentales (Capteur de force, capteurde déplacement, Analyseur FFT, Logiciels) (Fig. 4.4). Pour appliquerdes essais de cisaillement à la structure multicouche, un dispositif expérimentalsimple a été conçue et réalisé (Fig. 4.5 et 4.6).Fig. 4.4 – Dispositif d’essais sur élastomères (ISMEP-Paris)Nous signalons que dans le système de montage suivant la figure 4.7, aulieu d’utiliser un seul shim on a utilisé quatre ensembles de Shim, dont chacunreprésente un empilement de 3 Shims (12 Shims au total), dont le but est dediminuer la rigidité du système et d’augmenter sa souplesse afin de pouvoirtravailler à haute fréquence. Ceci sera pris en compte pour le calcul de larigidité d’un seul Shim. La figure 4.8 présente un modèle rhéologique simpledu montage (chaque ressort représente un Shim).K eq = K i3(4.1)108

4.2 Dispositif expérimental et essaisFig. 4.5 – Dispositif de fixation des plaques multicouches ”Shim”Fig. 4.6 – Dispositif de fixation des plaques multicouches ”Shim”. Montagedes capteurs de mesure.109

APPLICATION AU MULTICOUCHE ”SHIM”Fig. 4.7 – Système de fixation des plaques multicouches ”Shims” (l’épaisseurdes ”Shims” ne respecte pas l’échelle du schéma et est dilatée)Fig. 4.8 – Modèles rhéologiques simples du montage des 12 ”Shims” .(K i représente la raideur d’un Shim)4.2.2 Résultats et constatationsLes essais expérimentaux qui ont été réalisés portent sur la caractérisationde module dynamique en cisaillement sous précharge des ”Shims”. Ona procédé à une campagne d’essais pour la mesures du module de cisaillementet de l’amortissement du ”Shims” en fonction des différentes paramètres(amplitude d’excitation, fréquence et précharge de compression). L’essai decisaillement harmonique sous précharge simule les sollicitations de cisaillementet de compression couplées auxquelles sont soumis les Shims lors dufreinage. Le déplacement imposé au cours de l’essai est de la forme :U(t) = U 0 sin(ωt) (4.2)Où, ω est la pulsation de l’excitation. Ce déplacement harmonique de110

4.3 Modélisationcisaillement imposé génère une force harmonique de cisaillement F expriméepar :F (t) = F 0 sin(ωt + ϕ), (4.3)Où ϕ est la phase caractérisant l’amortissement du système.En observant les courbes des figures 4.9 et 4.10, caractérisant le comportementdynamique en cisaillement d’un Shim, on constate que le moduledynamique augmente avec la précharge et aussi avec la fréquence. Mais parrapport à l’augmentation de l’amplitude d’excitation, on constate un comportementinverse de la rigidité caractérisé par sa diminution, c’est l’effetPayne (Fig. 4.11), [Payne A. R., 1965]. Par ailleurs, on remarque que l’amortissementcaractérisé par la phase ϕ augmente avec la précharge mais on neconstate aucune dépendance significative vis à vis de l’amplitude (Fig. 4.10et Fig. 4.11). Par ailleurs, nous signalons sur la figure 4.10 des irrégularités(des sauts) dues au glissment au niveau d’interface de montage.Fig. 4.9 – Module de cisaillement en fonction de la fréquence à différentesprécharges pour un Shim4.3 ModélisationLes Shims sont sollicités aux sollicitations superposées de compressionstatique et de cisaillement harmonique. Dans cette partie, on va étudier la111

APPLICATION AU MULTICOUCHE ”SHIM”Fig. 4.10 – Module de cisaillement en fonction de la fréquence à différentesprécharges - Essai d’amplitude 0,1 mm sur plotFig. 4.11 – Module de cisaillement fonction de la fréquence à différentesamplitudes - Essais à une précharge de 500 N sur plot112

4.3 Modélisationmodélisation du comportement mécanique des Shims sollicités au cisaillementsous précharge de compression. L’objectif est de modéliser le modulede cisaillement dynamique du Shim.Vue la complexité de la modélisation globale du comportement non linéairedu composite stratifié, nous abordons le problème par une approche unidimensionnellede matériau élastique isotrope sous sollicitations couplées decompression statique et de cisaillement harmonique. Par la suite, nous enrichissonsnotre modélisation par la prise en compte de la viscoélasticité nonlinéaire en exploitant les résultats déjà établis sur le comportement mécaniquede l’élastomère.Soit une structure Shim composée de 5 couches (3 couches élastomères + 2couches métalliques) suivant la figure 4.12 .Fig. 4.12 – Structure ”Shim” à 5 couchesLes différentes couches du Shim sont supposées soumises au cisaillementharmonique suivant la direction Y ⃗ couplée avec une précharge de compressionsuivant la direction Z. ⃗ le comportement élastique linéaire isotrope du shims’écrit par les deux relations suivantes :{σ E (z, t) = 2µ E ε E (z, t) + λ E tr(ε E ) δ(4.4)σ V E (z, t) = 2µ V E ε V E (z, t) + λ E tr(ε V E ) δL’indice (E) est relatif au métal (élastique) et l’indice (VE) est relatif àl’élastomère (viscoélasique).λ et µ sont les coefficients de Lamé.113

APPLICATION AU MULTICOUCHE ”SHIM”On postule que les tenseurs des contraintes de Cauchy et des déformationslinéarisés ont la forme suivante :⎡⎤ ⎡⎤σ 11 = σ0SY MSY Mσ E =⎢ 0 σ 22 = σ⎥ ; ε =⎢ 0 0⎥⎣⎦ ⎣⎦0 τ σ 33 0 ε 32 ε 33(4.5)Nous postulons un champ de déplacement, défini par les deux fonctionsf(z) et g(z) inconnues, sous la forme suivante :−→ U (z, t) = f(z) sin(ωt) ⃗y + g(z) ⃗z (4.6)où ω est la pulsation appliquée. f(z) traduit la précharge de compression.En utilisant l’équation du mouvement appliquée au champ des contraintesdonné par la relation 4.5, on montre que f et g doivent vérifier les équationssuivantes :⎧⎨⎩∂ 2 f k (z)∂z 2 + q 2 k f k(z) = 0 ⇒ f k (z) = A k e iq k z + B k e −iq k zg k (z) = C k z + D k(4.7)où,qk 2 = ρ kw 2µ k; ρ k est la masse volumique du matériau de la couche n˚k. A k , B k ,C k et D k sont des constantes. (l’indice k fait référence à la couche n˚k)D’après les relations 4.4, 4.6 et 4.7, on en déduit les champs des contrainteset des déformations :⎧⎨⎩σ (k)11 = σ (k)22 = λ k C kσ (k)33 = (2µ k + λ k ) C kτ (k) (z, t) = i µ k q k sin(wt) (A k e iqkz − B k e −iqkz )⎧⎨ U y (k) (z, t) = sin(wt) (A k e iqkz + B k e −iqkz )⎩(4.8)U z (k) = C k z + D k(4.9)i est le nombre imaginaire pur (i 2 = −1). Les constantes A k , B k , C ket D k sont déterminées en utilisant les conditions aux limites ainsi que desconditions d’interface qui s’écrivent :114

4.3 Modélisation⎧u y (z (n) ) = U⎪⎨σ (n)33 (z (n) ) = Pu (1)y (0, t) = 0u (1)z (0, t) = 0(4.10)⎪⎩⃗u (k) (z (k,k+1) , t) = ⃗u (k+1) (z (k,k+1) , t)[σ (k) (z (k,k+1) , t)].⃗z = σ (k+1) (z (k,k+1) , t).⃗zz k,k+1 est la coordonnée suivant z de l’interface entre les couches d’indices(k) et (k+1). P est la précharge. (1) est l’indice relatif à la couche inférieureencastrée. (n) est l’indice relatif à la couche supérieure soumise aux déplacementde cisaillement harmonique imposé.Le système d’équation 4.10 représente 20 inconnues pour cinq couches (A 1 ,B 1 , C 1 , D 1 , A 2 , B 2 , C 2 , D 2 , ..., A 5 B 5 , C 5 et D 5 ) et 20 équations (4 conditionsaux limites + 16 conditions d’interface). La résolution de ce système donneles constantes A k , B k , C k et D k caractérisant les champs des déplacementsen chaque couche (k). Ce qui permet de calculer le module de cisaillement‖G‖ ou la rigidité au cisaillement K.G = τ (5) (z (5) )γ= µ 5 q 5 sin(wt) ‖A 5 e iq 5 z 5− B 5 e −iq 5 z 5‖Uh(4.11)K = F U = GS h(4.12)z (5) représente la coordonnée de la couche supérieure du shim (la hauteurdu shim). h et S sont respectivement l’épaisseur et la surface du shim.4.3.1 Modélisation par matrice de transfertDans chaque couche (k) d’épaisseur (d k ) on pose :∑k−1z = d i + ξ ; 0 ≤ ζ ≤ d k (4.13)i=1Donc nous prenons comme variable de coordonnée interne ζ dans la couche(k).115

APPLICATION AU MULTICOUCHE ”SHIM”En utilisant les relations 4.8 et 4.9, les solutions des champs des contrainteset des déformations peuvent être formulées en coordonnées locales commesuit (Les valeurs des (d k ) rentrent dans les constantes A k et B k caractérisantla couche (k)) :⎧⎨⎩U (k)y (t, ξ) = sin(ωt) (A k e iq kξ + B k e −iq kξ )τ (k) (t, ξ) = iµ k q k sin(ωt) (A k e iq kξ − B k e −iq kξ )(4.14)Le système 4.14 peut s’écrire suivant l’équation matricielle suivante (poursin(ωt) = 1) :⃗Y (k) (ξ) = [M (k) (t, ξ)] ⃗ P (k) (4.15)Avec,⎛⃗Y (k) (ξ) = ⎝ U y(k) (ξ)τ (k) (ξ)⎞⎛⎠ ; P ⃗ (k) = ⎝⎞A k + B k⎠A k − B k⎡[M (k) (ξ)] = ⎣cos(q kξ) i sin(q kξ)−(µq) ksin (q kξ) i (µq) kcos (q kξ)⎤⎦De même, pour les paramètres caractérisant la compression on a :⃗Z (k) (ξ) = [N (k) (ξ)] ⃗ Q (k)Avec,⎛⃗Z k (ξ) = ⎝ U z(k)τ (k)⎞⎡⎠ ; [N (k) (ξ)] = ⎣ξ 1(λ k + 2µ k ) 0⎤⎛⎦ ; Q ⃗ (k) = ⎝⎞C k⎠D kL’équation 4.15 donne :⎧⎨ ⃗Y (k) (d k ) = [M (k) (d k )] P ⃗ (k)⎩Par ailleurs, au niveau d’une interface, on a :⃗Y (k) (0) = [M (k) (0)] ⃗ P (k) (4.16)⃗Y (k) (0) = ⃗ Y (k−1) (d k−1 ) (4.17)116

4.3 ModélisationLes équations 4.16 et 4.17 donnent :Avec,⃗Y (k) (d k ) = [α (k) ] ⃗ Y (k−1) (d k−1 ) (4.18)⎡[α k ] = [M (k) (d k )] [M (k) (0)] −1 = ⎣Soit :cos(q kd k )sin(q k d k )(µq) k−(µq) ksin(q kd k ) cos(q kd k )⎤⎦ (4.19)⃗Y n (d n ) = [α n ]......[α 1 ] ⃗ Y 1 (0) = [α] ⃗ Y 0 (0) (4.20)Avec,[α] = [α n ].[α n−1 ]....[α 2 ].[α 1 ] (4.21)⎛⃗Y (n) (d n ) = ⎝ U y(n)τ (n)⎞⎛⎠ ; Y ⃗ (0) (0) = ⎝0τ (0) (0)⎞⎠ (4.22)et τ (n) sont respectivement le déplacement de cisaillement imposé etla contrainte induite (de cisaillement) sur la face supérieure de la couche derang n. L’indice (0) est relatif à la surface encastrée de la couche inférieure.Les équations 4.20 et 4.22 permettent de déduire le module de cisaillementglobal G du Shim (ou la raideur global K). Soit :U (n)yK = S α 22α 12⇒ G = α 22α 12h (4.23)h et S sont respectivement l’épaisseur et la section transversale du shim.De même, pour les paramètres caractérisant la compression on a :⎡⃗Z k (d k ) = [β (k) ] Z ⃗ k−1 (d k−1 ) ; Avec β k = ⎣On en déduit :1d kλ k +2µ k0 1⎤⎦ (4.24)⃗Z n (d n ) = [β n β n−1 ..... β 1 ] ⃗ Z 0 (0) = [β] ⃗ Z 0 (0) (4.25)Avec :117

APPLICATION AU MULTICOUCHE ”SHIM”[β] = β n . β n−1 ..... β 1⎛⃗Z n (d n ) = ⎝U (n)z (d n )σ (n)33 (d n )⎞⎛⎠ ; Z0 ⃗ (0) = ⎝0σ (0)33⎞⎠On en déduit finalement le module de rigidité de compression K Comp oule module d’Young E :K Comp = S β 22β 12⇒ E = h β 22β 12(4.26)4.3.2 Influence de la non linéarité des couches viscohyperélastiquesMaintenant, on s’intéresse à étudier l’influence de la non linéarité comportementaleinduite par les couches viscoélastiques sur le comportement dynamiquedu multicouche. Compte tenu du modèle de Gent-Thomas (relation3.34) et en utilisant les résultats du paragraphe §3.3.2, on a les expressionssuivantes du module de cisaillement tangent respectivement dans le domainetemporel et fréquentiel (relations 3.45 et 3.48) :R 2323 (λ, t) = 2A λ 2 g 1 (t) + 2B λ3 (2 + λ 3 )1 + 2λ 3 g 2 (t)˜R 2323 (λ, ω) = 2Aλ 2 ( a 1jω + b 1jω + 1 t 1) + 2B λ3 (2 + λ 3 )1 + 2λ 3 ( a 2jω + b 2jω + 1 t 2)Avec{g 1 (t) = a 1 + b 1 e − tt 1g 2 (t) = a 2 + b 2 e − tt 2Où,t 1 et t 2 sont deux temps de relaxation. A, a 1 , b 1 , t 1 , B, a 2 , b 2 , t 2 sontdes constantes qui peuvent être calculé par un calcul de minimisation parmoindres carrés en recalant par des résultats expérimentaux .En développant la relation 3.48, le module dynamique s’écrit :118

4.3 Modélisation˜R 0 (ω) = 2[2 jA b 1 t 11+ω 2 t 2 1[λ 2 + B b 2 t 21+ω 2 t 2 2λ 3 (2+λ 3 )1+2λ 3 ]−A λ 2 ( a 1ω+ b 1 t 2 1 ω ) + B λ3 (2+λ 3 )( a 1+ω 2 t 2 11+2λ 3 2ω+ b 2 t 2 2 ω )1+ω 2 t 2 2](4.27)Identification du modèleLa figure 4.13 présente le recalage du modèle analytique avec les essaisexpérimentaux du module dynamique en fonction de la fréquence à différentesprécharges. Nous constatons une bonne corrélation entre les résultatsexpérimentaux et le modèle théorique (recalé) avec une erreur inférieure à4%.Fig. 4.13 – Recalage du module de cisaillement dynamique : modèle analytiqueet expériences, A=299,47 MPa ; B=42,8283 MPa ; a 1 = 51,44 ; a 2 =11,56 ; b 1 =-37,5996 b 2 =-2,4658 ; t 1 =0,0005 s ; t 2 =0,0360 s119

APPLICATION AU MULTICOUCHE ”SHIM”Comparaison avec un calcul éléments finisDans le but de tester la fiabilité de notre modèle, on a simulé le problèmede cisaillement harmonique sous précharge dans le code Abaqus. On a choisiparmi les modèles hyperélastiques intégrés dans Abaqus celui qui recale aumieux le comportement expérimental du matériau en traction simple (Fig.4.14). On a trouvé que le modèle polynomial d’ordre 2 décrit le mieux lecomportement du matériaux. Le modèle viscoélastique choisi, dans Abaqus,correspond au modèle de Maxwell généralisé dont les paramètres sont recalésau moyen d’essais de fluage présentés dans le chapitre §2.La figure 4.15 présente le maillage de la structure (On a affiné le maillagedans les domaines caoutchoutiques). Un élément quadratique plan à 9 noeudsa été choisi. On a testé deux méthodes d’intégration : intégration hybride etréduite. On a constaté une convergence plus facile avec la méthode hybride.Un résultat de simulation de la structure, dans le cas de déformations planesen cisaillement harmonique sous précharge, est illustrée dans la figure 4.16.On remarque suivant la figure 4.17 une différence remarquable entre les résultatsexpérimentaux et les résultats donnés par Abaqus. Ceci peut êtreexpliqué par la complexité du modèle utilisée dans Abaqus (Hyperélasticité+ viscoélasticité + précharge + dynamique). Nous signalons que cette complexitéde modélisation dans le code Abaqus, nous a généré des difficultés deconvergence. Ainsi, à moindre coût, notre modèle permet d’appréhender aumieux l’identification du module de cisaillement dynamique du Shim (Fig.4.13).Aptitude du modèle à simuler des effets de masseLe modèle développé présente un phénomène d’anti-résonance à hautefréquences ([1700Hz, 2200Hz]) (Fig. 4.18). Ce phénomène d’anti-résonanceest du à des effets de masse qui sont générés par les couches métalliques. Uneétude comparative avec le modèle de ressort en série est présentée dans lafigure 4.19 présentant que un modèle simple de ressorts en série ne permetpas de présenter ces effets de masse dus aux couches métalliques.120

4.3 ModélisationFig. 4.14 – Identification de l’énergie de déformation volumique - RésultatsAbaqusFig. 4.15 – Maillage du Shim121

APPLICATION AU MULTICOUCHE ”SHIM”Fig. 4.16 – Simulation du shim en cisaillement harmonique sous préchargede compression (contrainte de Von Mises en MPa)Fig. 4.17 – Comparaison entre résultats expérimentaux et des résultats Abaqus122

4.4 ConclusionFig. 4.18 – Module de cisaillemnt du Shim. Prévision du modèle analytiqueà haute fréquence4.4 ConclusionCe chapitre présente une application du formalisme analytique développédans le chapitre 3. Une modélisation du comportement dynamique des multicouchesvisco-hyperélastique travaillant en cisaillement harmonique sousprécharge de compression est présentée. Un formalisme, basé sur les matricesde transfert, a été développé pour lier les propriétés mécaniques des différentescouches du shim. Le modèle développé est validé expérimentalementau moyen d’essais de cisaillement harmonique sous précharge, faisant l’objetd’un protocole expérimental. Par ailleurs, une comparaison par rapportà un calcul élément fini a été menée. Ainsi, à moindre coût, notre modèlepermet d’appréhender au mieux l’identification du module de cisaillementdynamique du Shim (Fig. 4.13).En plus, le modèle développé permet la prévision d’effets de masse à hautefréquence. Par ailleurs, ce modèle présente l’avantage d’être développé par123

APPLICATION AU MULTICOUCHE ”SHIM”Fig. 4.19 – Comparaison : Modèle analytique / Modèle de ressorts en sérieapproche énergétique.124

CONCLUSION GENERALEET PERSPECTIVESL’objectif final de ce travail de recherche visait à apporter une contributionsur la modélisation du comportement viscoélastique non linéaire desstructures hyper-viscoélastiques.l’étude bibliographique met en évidence une grande diversité des sujets liésau matériaux élastomères tant sur l’aspect constitution, élaboration que d’unpoint de vue des propriétés mécaniques. Dans ce travail on s’est intéressé particulièrementà la viscoélasticité non linéaire vue que ce thème de recherchereste à nos jours non classique et présente des difficultés d’aspects analytiqueset numériques.La thèse comporte trois grandes étapes :– Caractérisation expérimentale en fluage, développement de formalismeanalytique général et application pour la prévision du comportement àlongue durée.– Le couplage des phénomènes hyperélastiques et viscoélastiques : Influencede la précharge sur le comportement viscoélastique.– Caractérisation expérimentale et modélisation du comportement dynamiqueen cisaillement sous précharge des multicouches hyper-viscoélastiquesminces.Les sujets développées dans ces trois parties sont complémentaires pourl’étude du comportement mécanique non linéaire d’une structure hyper-viscoélastiquedans différents cas de service et sous différents points de vue.125

APPLICATION AU MULTICOUCHE ”SHIM”Première étape : Caractérisation en fluage, Développement demodèle général et prévision à longue duréeCette partie comprend en premier lieu un volet expérimental qui concernela caractérisation du comportement en fluage d’un élastomère. Des essais defluage à différentes charges ont été réalisés.En seconde partie, un formalisme général, et original, prenant en compteles non linéarités comportementales et géométriques a été construit à partird’une généralisation du modèle de Knauss. Ce dernier généralise bon nombrede modèles fonctionnels viscoélastiques non linéaires en prenant en comptel’hyperélasticité instantanée. Il présente les avantages suivants : possibilitéd’analyser les matériaux non vieillissants (invariance dans le temps) et peutêtre écrit avec un faible nombre de paramètres comparé à d’autres modèles.Ce formalisme général a été exploité, en premier lieu dans le cas du modèlede Schapery, pour prédire le comportement à longue durée des élastomères.Dans ce contexte, une approche d’équivalence Temps/Contrainte est développée.L’idée consiste à prévoir la réponse viscoélastique en fluage, pour unmatériau en service à longue durée, en utilisant des mesures obtenues à courtterme. Classiquement, cette approche d’équivalence introduit un facteur detranslation dépendant uniquement de la contrainte. On a pu vérifier, par lebiais d’essais de fluage réalisés, que la facteur de translation ne dépend dela contrainte uniquement à courte durée (t ≈ 3h). Mais à longue durée, on aconstaté une dépendance du facteur de translation par rapport au temps enplus de la dépendance par rapport à la contrainte. Ceci peut être expliquéthéoriquement par la présence de 2 échelles de volumes libres : - Une échellemoléculaire et une échelle relative à la dimension des inclusions.Ainsi, une diminution du facteur de translation au cours du temps a étéobservée à longue durée. Ce résultat pertinent sur le facteur de translation,que nous avons modélisé, n’est pas classique par rapport à l’état de l’art. Ona pu calculer le comportement de fluage jusqu’à 115 jours en utilisant desessais de fluage pendant 7 jours. Cette approche a exigé le développementd’une expression convenable pour le facteur de translation dépendant de lacontrainte et pertinemment du temps. Nous avons constaté une bonne corrélationentre une courbe maîtresse à longue durée (état de contrainte imposé)et le modèle proposé.Deuxième étape : Couplage hyperélasticité-viscoélasticitéL’étude du comportement mécanique des élastomères sous précharge, basésur le couplage Hyperélasticité-Viscoélasticité, a été une seconde applicationdu formalisme général développé en première partie. L’objectif est de calculer126

4.4 Conclusionle module de relaxation tangent autour d’une précharge. L’approche constitueune linéarisation autour d’une précharge statique.Dans ce cadre, un modèle paramétrique en viscoélasticité non linéaire a étédéveloppé. Ce modèle paramétrique est basé sur l’expression de l’énergie dedéformation qui met en jeu une dépendance temporelle traduisant le couplagehyperélasticité viscoélasticité. Ce formalisme présente l’avantage d’êtresystématiquement causal, puisque le modèle est exprimé initialement dans ledomaine temporel.Deux cas d’applications ont été abordées : - Traction-compression sous préchargede compression ; - Cisaillement sous précharge de compression.Troisième étape : Application à la prévision du comportementdynamique des multicouches minces hyper-viscoélastiquesUne application de cette étude à la prédiction du comportement dynamiquedes multicouches utilisés dans l’isolation vibroacoustique dans les systèmesde freinage automobile a été menée. On a développé un protocoleexpérimental de caractérisation dynamique sous précharge. Un formalismebasé sur la notion de matrice de transfert liant le comportement mécaniquedes différentes couches a été développé. Ce formalisme nous permet de déduireaisément le module de cisaillement dynamique global d’une structuremulticouche en connaissant les propriétés de chaque couche.Par la suite, nous nous sommes intéressés à étudier l’influence de la nonlinéarité comportementale induite par les couches viscoélastiques sur le comportementdynamique global du multicouche. Nous avons pu décrire l’aspectnon linéaire dans un formalisme fréquentiel qui prend en compte l’effet dela précharge. En outre, le modèle développé présente des effets de masse àhaute fréquence. Une comparaison avec un simple modèle de ressorts en sériea montré que la différence dépasse 10% à partir d’une fréquence de l’ordre de3500 Hz pour les structures étudiées. Ce qui démontre la nécessité de prendreen compte les effets de masse tels qu’ils sont proposés dans le modèle développé.Comparé à une modélisation élément fini, notre modèle analytique présenteune moindre coût en terme de temps et de complexité.PerspectivesLe développement du modèle général, présenté dans cette thèse, dans uncode éléments finis serait de grande utilité pour simuler le comportementdans le cas des chargements et des géométries complexes.Par ailleurs, il sera intéressant d’extrapoler le modèle de Schapery, utilisée127

APPLICATION AU MULTICOUCHE ”SHIM”classiquement en quasi statique, en régime fréquentiel dans le but de dimensionnementet de conception vibratoire.En outre, la prise en compte des phénomènes d’interfaces dans le calcul desmulticouches visco-hyperélastiques ainsi que des phénomènes thermiques permetde prendre en compte d’autres non linéarités qui sont non négligeablesdans le cas de fortes sollicitations.Finalement, il est judicieux de signaler que la modélisation du comportementviscoélastique des élastomères reste toujours un domaine ouvert vu qu’ilest confronté à des limitations expérimentales, théoriques et numériques.128

BIBLIOGRAPHIE129

APPLICATION AU MULTICOUCHE ”SHIM”130

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Annexe AANNEXESA.1 Expériences fondamentales en viscoélasticitéLa caractérisation expérimentale du comportement viscoélstique d’un élastomèrese fait généralement au moyen de deux essais : l’essais de retard (oude fluage) et l’essai de relaxation.A.1.1Expérience de retard ou de fluageCet essai est effectué à l’instant t 0 avec une sollicitation d’amplitudeconstante σ 0 . Partant de l’état de charge nul (Fig. A.1), on applique à l’instantt = t 0 , et on maintient pour t > t 0 , un échelon de contrainte d’amplitudeσ 0 c’est à dire :σ(t) = σ 0 Y (t − t 0 )(A.1)Où Y désigne la fonction d’Heaviside. La déformation est nulle pour t < t 0 .Elle subit pour t = t 0 un saut correspondant à l’élasticité instantanée dumatériau qui croit en fonction de t pour t ≥ t 0 (Fig. A.1).A.1.2Expérience de relaxationOn applique sur le matériau l’expérience duale de celle de retard en imposantà l’instant t 0 un échelon de déformation constant d’amplitude ɛ 0 (Fig.A.2 ).ε(t) = ε 0 Y (t − t 0 )(A.2)141

ANNEXESFig. A.1 – Expérience de retard à l’instant t 0 ; a) Echelon de contrainte ; b)Réponse en déformationLa réponse en contrainte est nulle pour t < t 0 , celle-ci subit un saut pourt = t 0 correspondant à l’élasticité instantanée du matériau, puis décroît enfonction du temps. Le phénomène de décroissance de la contrainte à déformationconstante s’appelle la relaxation. c’est l’une des propriétés caractérisantla viscoélasticité des élastomères.Fig. A.2 – Expérience de relaxation à l’instant t 0 ; a) Échelon de déformation ;b) Réponse en contrainte142

A.2 Identification des fonctions g 1 et g 2 à haute contrainteA.2 Identification des fonctions g 1 et g 2 à hautecontrainteg 1 et g 2 sont les fonctions de contrainte dans le modèle de Schapery (§1.3.2.B.1)Cas où les courbes de fluage ne sont pas parallèles à longue durée :Dans le cas de chargement à haute contrainte, les fonctions de contrainteg 1 (σ) et g 2 (σ) ne vaux plus 1 [Zaoutsos S. P. et al., 2000]. D’après l’équation2.16, on a dans le cas de fluage :ε(t) = J(0 + ).g 1 [σ n (t)].σ n (t).g 2 [σ n (t)] ⇒ J(σ n, t n )J(σ 0 , t 0 ) = g 1(σ n ).g 2 (σ n )g 1 (σ 0 ).g 2 (σ 0 ) = g 1(σ n ).g 2 (σ n )(A.3)(Pour la courbe de référence, généralement la contrainte est faible, ce quipermet de prendre g 1 (σ 0 ) = g 2 (σ 0 ) = 1).On se place sur la zone où les courbes ne sont plus parallèles : On choisitsur la courbe C 0 de référence N temps : t 0,1 , t 0,2 , t 0,N , auxquels correspondentsur la courbe C n , N temps : t n,1 , t n,2 , t n,N (Figure 2.11).t n,i est tel qu’il faut se translater de (log(λ n (σ n )) à partir du point φ(σ 0 , t 0,i )pour se placer sur la courbe C n au point φ(σ n , t n,i ).Φ(σ n,t n,i )Φ(σ 0 ,t 0,i ) = g 1(σ n ).g 2 (σ n ), i=1,...,N.En posant : log(g 1 (σ n )) = X 1 , log(g 2 (σ n )) = X2 , et log[ Φ(σn,t n,i)] = b Φ(σ 0 ,t 0,i ) iOn obtient un ensemble de N équations linéaires :⎧X 1 + X 2 = b 1⎪⎨ X 1 + X 2 = b 2− − −−(A.4)− − −− ⎪⎩X 1 + X 2 = b NQue l’on résout par les moindres carrées afin d’identifier les fonctions g 1 etg 2 .143

ANNEXESA.3 Intégration d’un modèle rhéologique dansle modèle de SchaperyLe modèle rhéologique à trois paramètres est le plus simple qui caractérisecorrectement le comportement viscoélastique des élastomères [Amin A. et al., 2002].Fig. A.3 – Modèle rhéologique à trois paramètresLa fonction de fluage correspondante s’écrit :J(t) = J ∞ (1 − k J e −tτ J )(A.5)Où J ∞ , k J et τ J sont des constantes positives qui peuvent être écrites enfonction des paramètres rhéologiques E 1 , E 2 et η.J ∞ = 1 E 2; k J = E 1E 1 +E 2< 1; τ J = η(E 1+E 2 )E 1 E 2τ 0 est le temps de fluage.Dans le modèle de Schapery, le temps est artificiellement dilaté au moyen dufacteur de translation qui dépend de la contrainte et du temps. Le facteurde translation dépendant du temps est introduit par le biais du temps réduitdéfini par la relation 2.27 :ψ(t) =∫ t0dsα σ[σ(s),t−s]Où α σ [0, t] = cste, ∀t .La fonction de fluage J s’écrit suivant l’équation 2.30 :ε(σ 0 , t) = g 1 [σ 0 ].g 2 [σ 0 ].σ 0 .J[∫ t0ds]α σ[σ 0 ,t−s]On suppose que le coefficient de translation classique est pondéré par unefonction poids11+Kf[(σ(s),t−s)]similaire à l’equation 2.31. Soit :α σ [σ(s), t − s] =a σ [σ(s)]1 + Kf[(σ(s), t − s)]144(A.6)

A.3 Intégration d’un modèle rhéologique dans le modèle de SchaperyAvec K est une constante permettant de faire le lien avec le modèle rhéologiqueà trois paramètre (Relation A.5).Ainsi, le temps réduit ψ(t) (équation 2.27), s’écrit :ψ(t) = t + KF (σ 0, 0) − KF (σ 0 , t)a σ (σ 0 )(A.7)Où F(t) est la primitive de f(t).Finalement, en prenant en compte l’équation 2.30, la réponse en fluages’écrit :ε(σ 0 , t) = g 1 [σ 0 ].g 2 [σ 0 ].σ 0 .J[ t + KF (σ 0, 0) − KF (σ 0 , t)] (A.8)a σ (σ 0 )En choisissant F(0)=0, et en supposant qu’on est dans le cas de faiblescontraintes, on modélise le module de fluage dans le cas du modèle de Schaperypar une loi exponentielle comme suit :J( t − KF (σ 0, t)) = ε(σ 0, t)= [ t − KF (σ 0, t)].A.t n−1a σ (σ 0 ) σ 0 a σ (σ 0 )(A.9)Avec A et n deux constantes.Soit, F (t) = t e −tτ .Ainsi, on peut écrire le module de fluage relatif au modèle de Schapery (relationA.9), sous la forme suivante :J( t − KF (σ 0, t)) = J ∞ [1 − K exp − t τ ].tna σ (σ n )(A.10)Ceci correspond au module de fluage du modèle de Zener, pondéré par lafunction t n . La figure A.4 présente une comparaison entre le modèle de Shaperygénéralisé (relation A.10) et les résultats expérimentaux à une contraintede 2.5 MPa. On observe que la différence entre la courbe expérimentale etcelle du modèle de Schapery généralisé est de 2% à 10h. A partir de 75h, lesdeux courbes sont quasi confondues.145

ANNEXESFig. A.4 – Recalage du modèle de Schapery généralisé basé sur une fonctionde fluage suivant le modèle Zener ; σ = 2.5 MPa (- model ; . experience)(E 2 =0.820 MPa ; k=0.345 ; τ=0.034 ; n=0.021)146

A.4 Module complexeA.4 Module complexePour caractériser l’amortissement d’une structure, on définit les notionsfondamentales d’angle de perte et de module complexe. Considérons le casoù un système est soumis à des déformations sinusoïdales cycliques :ε(t) = ε 0 sin(ωt)(A.11)Si on estime que la contrainte transmise répond de façon sinusoïdale avecun déphasage ϕ, appelé angle de perte, on peut écrire :σ(t) = σ 0 sin(ωt + ϕ)(A.12)Généralement, cette hypothèse, dite de premier harmonique, n’est passuffisante. Typiquement, la réponse en contrainte contient des harmoniquesd’ordre supérieur, et la réponse réelle est du type :σ(t) = ∑ kσ k sin(k ωt + ϕ K ) (A.13)Dans le cas de l’hypothèse de premier harmonique, l’énergie dissipée aucours d’un cycle correspond à l’aire de l’ellipse représentée en figure A.5 ets’exprime comme suit :∮E d =σ(t)dε = ω σ 0 ε 0∮cos(ωt) sin(ωt + ϕ)dt = πσ 0 ε 0 sin(ϕ)(A.14)A partir de la représentation complexe (par transformation de Fourier) deséquations précédentes traduisant la contrainte et la déformation, on définitle module d’Young complexe E ∗ définit par :E ∗ = σ ε = σ 0ε 0e iϕ = E ′ + iE ′′ = E ′ (1 + i.tg(ϕ))(A.15)|E ∗ | = σ 0(A.16)ε 0|E ∗ | est le module dynamiqueE ′ = |E ∗ |.cosϕ, est la partie réelle du module dynamique. Cette grandeurcaractérise la partie de la réponse en phase avec l’excitation. On l’appelleégalement module de conservation ou de stockage("storage modulus") : Eneffet, il caractérise une mesure de l’énergie emmagasinée et restituée au coursd’un cycle.E ′′ = |E ∗ |.sinϕ, est la partie imaginaire du module dynamique. Cettegrandeur caractérise la partie de la réponse en quadrature de phase avec147

ANNEXESFig. A.5 – Courbe Contrainte/Déformation. Cycle d’hystérésisl’excitation. On l’appelle également module de perte ("loss modulus") : Ilcaractérise une mesure de l’énergie dissipée sous forme de chaleur pendantun cycle. Les caractéristiques de l’amortissement sont donc E” ou ϕ. Unraisonnement similaire peut être fait pour introduire le module de cisaillementcomplexe G. En ce qui concerne le caoutchouc, l’amortissement estprincipalement dû à un réarrangement moléculaire au niveau de la structureinterne du matériau : Les chaînes moléculaires glissent les unes par rapportaux autres, entraînant un frottement générateur de perte d’énergie. Deuxprincipaux types de mécanismes sont évoqués pour expliquer ces propriétésamortissantes [Austrell P. E., 1997] :- Un mécanisme d’origine visqueuse, reposant sur la résistance à la réorganisationdes chaînes moléculaires. Celle ci ne peut pas se produire instantanément,et génère ainsi une dépendance en temps de type viscoélastique.- Le second mécanisme proposé est précisément dû aux charges. L’amortissementest d’autant plus important que le matériau est chargé : L’accroissementde l’amortissement serait alors dû à une résistance dans les interfacescaoutchouc/carbone et carbone/carbone. Il faut aussi noter que toutes cesgrandeurs caractéristiques (module d’Young E ou de Coulomb G complexes)peuvent avoir une dépendance non linéaire significative avec la température,148

A.4 Module complexeFig. A.6 – Module dynamique dans le plan complexela fréquence, ou encore l’amplitude de l’excitation imposée.149

ANNEXESA.5 Modèle rhéologique généraliséUn modèle rhéologique généralisé est l’assemblage en série ou en parallèlede n cellules rhéologiques composées chaqu’une d’un ressort en série avec unamortisseur. La figure A.7 présente le modèle rhéologique généralisé d’ordren en parallèle.Fig. A.7 – Modèle rhéologique de Maxwell GénéraliséUn modèle rhéologique peut être écrit dans un cas général suivant l’équationdifférentielle suivante :Dσp 0 σ + p 1Dt + p D 2 σ2Dt + ....... + p D n σ2 nDt = q Dε0ε + q n1Dt + q D 2 ε2Dt + ....... + q D n ε2 nDt n(A.17)p i et q i sont des constantes fonctions des paramètres rhéologiques dechaque élément n˚i.Par une décomposition en éléments simples et une transformée de Laplaceinverse, la fonction de relaxation R(t) ainsi que la fonction de fluage J(t)s’écrivent dans le cas unidimensionnel par :{R(t) = E ∞ + E 1 e − tτ 1J(t) = J 0 + J 1 e − tt 1+ ...................... + E n e − tτn+ ...................... + J n e − ttn(A.18)Les τ i et t i sont dénommés respectivement temps de relaxation et tempsde fluage.150

A.5 Modèle rhéologique généraliséDans le domaine fréquentiel, ce comportement se traduit par le module complexeR* sous la forme :R ∗ (ω) = q 0 + iωq 1 + ............... + (iω) n q np 0 + iωp 1 + ............... + (iω) n p n(A.19)Spectre de relaxationLes modèles rhéologiques généralisés sont définis à partir de n coefficients depondération R i ou J i et de n temps caractéristiques. Une généralisation decette représentation est décrite par une distribution continue de temps derelaxation ou de fluage suivant la relation suivante :R(t) = R 0 +∫+∞E(τ)e − t τ dτ(A.20)0La fonction E(τ) est un spectre continu du temps de relaxation. Ce typede comportement ne peut pas être représenté par un nombre fini d’élémentsrhéologiques.Remarque : Principe de causalité :Le principe de causalité applicable à tout phénomène physique, postule simplementqu’un effet ne peut précéder sa cause. Mathématiquement, une fonctionphysique est dite causale si elle a une valeur nulle pour des temps négatifs.De ce fait, les fonctions de relaxation et de fluage doivent être causales.151

ANNEXESA.6 Modèles aux dérivées fractionnairesLe principe d’un modèle à dérivée fractionnaire consiste à remplacer dansun modèle rhéologique l’élément amortisseur par un élément appelé "‘Spring-Pot"’ schématisé suivant la figure A.8Fig. A.8 – Elément "‘Spring-Pot"’La loi de comportement du "‘Spring-Pot"’ introduit l’opérateur différentielnon entier D suivant la loi de comportement unidimensionnel suivante :c est une constanteσ(t) = cD α [ɛ(t)] 0 ≤ α ≤ 1 (A.21)On trouvera une étude bibliographique détaillée des origines et des domainesd’application de la dérivation non entière à la modélisation du comportementmécanique des élastomères dans la thèse de SOULA M. [Soula M.,1996].De même, une étude des différents modèles rhéologiques fractionnaires estmenée dans la thèse de Cosson P. [Cosson P., 1995].Similaire au modèle rhéologique généralisé, un modèle à dérivée fractionnairepeut être écrit suivant la relation unidimensionnelle suivante[Bagley R.L. et al., 1986] :n∑b k D α k(σ) = E 1 ε +n∑a k D β k(ε)σ(t) +(A.22)k=10ù a i b i et E 1 sont des constantes du matériau.Des observations expérimentales, ont toutefois conclu que les modèles à 3paramètres et à 5 paramètres permettent déjà une très bonne représentativitédu module dynamique des élastomères ([Soula M.,1996], [Bagley R.L. et al., 1986],k=1152

A.6 Modèles aux dérivées fractionnaireset [Koeller K. C.,1984]). Les modèles viscoélastiques décrites précédemmentsont des approches simplistes du comportement réel des élastomères. Leslois introduites sont valables dans des conditions particulières de sollicitations(petites déformations, faible vitesse de déformation, ...). En réalité, lecomportement mécanique des élastomères présente des non linéarités comportementaleset géométriques qui ne peuvent être prises en compte que parl’introduction des fonctions non linéaires liant la contrainte à la déformation.153

ANNEXESA.7 Dispositif de montage d’éprouvette élastomèrepour essais de fluageFig. A.9 – Dispositif de montage d’éprouvette élastomère - Dessin d’ensembledu dispositif de montage élaboré -154

A.7 Dispositif de montage d’éprouvetteFig. A.10 – Chape155

ANNEXESd’alignement.pdfFig. A.11 – Bride d’alignement156

A.7 Dispositif de montage d’éprouvetteFig. A.12 – Plaque de fixation157