Mécanique Modélisation du comportement dynamique du couple ...

2.3 Calcul dynamiqueavecap = − [ A ] −1 [ B ] ,bp = − [ A ] −1 [ C ]cp = [ A ] −1 2 ( dt ) 2 .Contrairement à la méthode de pénalisation, l’équation 2.20 n’est pas suffisante pour déterminerle contact à l’instant (t+dt) par équation de contrainte. Récrite sous la forme⎡⎢⎣v 1 (t + dt)v 2 (t + dt)v 3 (t + dt)⎤ ⎡⎥⎦ + F (t) ⎢⎣00A −1 2 ( dt ) 2⎤ ⎡⎥⎦ = ⎢⎣V 1V 2V 3⎤⎥⎦ (2.21)l’équation (2.20) donne trois équations et quatre inconnues v 1 (t + dt), v 2 (t + dt), v 3 (t + dt) etF (t). L’équation manquante est fournie par la condition de couplage (2.18) du pantographeavec la caténaire qui s’écrit[ z b − v 3 ] t+dt= ∑ iq i (t + dt)φ Bi (v0 · (t + dt)) − v 3 (t + dt) = 0 .En remplaçant q i (t + dt) par l’équation 2.14 et en isolant les inconnues F (t) et v 3 (t + dt)dans le membre de gauche on obtientF (t)b ii − v 3 (t + dt) = − ∑ ia ii φ Bi (v0 · (t + dt)) . (2.22)oùa ii = a i q i (t) + b i q i (t − dt) et b ii = ∑ ic i φ Bi (v0 · (t))φ Bi (v0 · (t + dt))Les équations (2.21) et (2.22) peuvent être écrites sous forme matricielle. Les inconnuesv 1 (t + dt), v 2 (t + dt), v 3 (t + dt) et F (t) sont obtenues par inversion de matrice :⎡v 1 (t + dt)v 2 (t + dt)⎢⎣ v 3 (t + dt)F (t)⎤ ⎡⎤1 0 0 00 1 0 0=⎥ ⎢⎦ ⎣0 0 1 A −1 2 ( dt ) 2 ⎥⎦0 0 −1 b ii−1 ⎡⎢⎣V 1V 2V 3− ∑ i a iiφ Bi (v0 · (t + dt))⎤⎥⎦64