Mécanique Modélisation du comportement dynamique du couple ...

Chapitre 2.Modèle semi-analytiqueK 1v 2v 3K 3M 1F 2M 2F 3M 3F(t)X 2X 3F 1X 1v 1K 2C 1C 2C 3Figure 2.16 – Illustration du couplage par la méthode de pénalisation pour un système masse-ressort à 3étagesL’équation du mouvement d’un système masses-ressorts à trois étages s’écrit :⎡⎢⎣⎤ ⎡M 1 0 00 M 2 0 ⎥ ⎢⎦ ⎣0 0 M 3¨v 1 (t)¨v 2 (t)¨v 3 (t)⎤ ⎡⎥⎦ + ⎢⎣⎤ ⎡C 1 + C 2 −C 2 0−C 2 C 2 + C 3 −C 3⎥ ⎢⎦ ⎣0 −C 3 C 3˙v 1 (t)˙v 2 (t)˙v 3 (t)⎤⎥⎦+⎡⎢⎣⎤ ⎡K 1 + K 2 −K 2 0−K 2 K 2 + K 3 −K 3⎥ ⎢⎦ ⎣0 −K 3 K 3v 1 (t)v 2 (t)v 3 (t)⎤ ⎡⎥⎦ = ⎢⎣F 1F 2F 3 − F (t) ,⎤⎥⎦Si on applique le schéma des différences finies centrées, on trouve :⎡[ A ] ⎢⎣v 1 (t + dt)v 2 (t + dt)v 3 (t + dt)⎤ ⎡⎥⎦ + [ B ] ⎢⎣v 1 (t)v 2 (t)v 3 (t)⎤ ⎡⎥⎦ + [ C ] ⎢⎣où les matrices [ A ], [ B ] et [ C ] sont données dans l’annexe C.⎤ ⎡⎤v 1 (t − dt)F 1v 2 (t − dt) ⎥⎦ = 2 ( dt )2 ⎢⎣ F 2⎥⎦v 3 (t − dt)}F 3 − F (t){{ }F pLes déplacements des trois masses du pantographe dans la base physique au temps (t + dt)sont donnés par :⎢⎣v(t + dt) = a p v(t) + b p v(t − dt) + c p⎡F 1F 2F 3} {{ }⎡V 1=V⎢ 2⎣V 3⎤⎥⎦⎤ ⎡⎥⎦ −c p⎢⎣00F (t)⎤⎥⎦ , (2.20)63