Mécanique Modélisation du comportement dynamique du couple ...

Chapitre 2.Modèle semi-analytiquement dans le modèle :X T MX ¨q i + X T CX q˙i + X T KX q i = 0m i ¨q i + c i q˙i + k i q i = 0¨q i + 2ζ i ω i q˙i + ωi 2 q i = 0 avec ζ i = c iet ω i =2ω i m ioù ζ i est l’amortissement visqueux modal de la caténaire.√kim iHabituellement pris constant, il donne une bonne corrélation avec les essais. Cependant,cela sous-entendrait que la caténaire est un système homogène présentant les mêmes caractéristiquesd’amortissement en tout point, ce qui n’est pas très réaliste. Il est en effet peuprobable que la dissipation soit la même pour tous les composants de la caténaire.Chaque composant de la caténaire possède un amortissement différent qui dépend de sagéométrie (longueur, section, etc.) et de sa construction (câbles tressés, poutres, matériaux,etc.).Dans ce modèle d’amortissement, les composants sont regroupés par type (pendules, fil decontact, câble porteur, supports) et un facteur de perte différent est attribué à chacun pourdéfinir un amortissement hystérétique. Pour cela, nous multiplions les différentes matricesde raideur des sous-structures par un coefficient (1 + i η) où η est le facteur de perte dechaque sous-structure. Nous notons [ K ] la matrice de raideur de la caténaire dans la basede Rayleigh-Ritz, [ K F C ], [ K CP ], [ K pend ] et [ K supp ] les matrices de raideur propres au filde contact, au câble porteur, aux pendules, et aux supports :[ K F C ] ∗ = [ K F C ] (1 + i η F C ) ,[ K CP ] ∗ = [ K CP ] (1 + i η CP ) ,[ K pend ] ∗ = [ K pend ] (1 + i η pend ) ,[ K supp ] ∗ = [ K supp ] (1 + i η supp ) ,ce qui donne pour la raideur globale⎡⎤[ K ] ∗ 2m×2m = ⎣ [ K CP ] ∗ + [ K pend ] ∗ + [ K supp ] ∗ − [ K pend ] ∗⎦ .− [ K pend ] ∗ [ K F C ] ∗ + [ K pend ] ∗où [ K ] ∗ 2m×2mest la matrice de rigidité complexe.La matrice de raideur dans la base modale est également complexe. D’après l’hypothèse de59