Mécanique Modélisation du comportement dynamique du couple ...

Chapitre 2.Modèle semi-analytiqueL’initialisation du calcul temporel se fait avec q i (0) = q stat pour que le système soit à l’équilibreau pas de temps initial.2.3.3 Stabilité du schéma différences finies centréesAfin d’étudier la stabilité du schéma différences finies centrées, prenons l’équation différentiellem¨q + c ˙q + kq = 0 ,et appliquons lui˙q =¨q =q(t + dt) − q(t − dt)2dtq(t + dt) − 2q(t) + q(t − dt)( dt ) 2nous obtenons l’équation discrétisée[1( dt ) 2 m + 1 ][2dt c q(t + dt) + k − 2 ] [( dt ) 2 m 1q(t) +( dt ) 2 m − 1 ]2dt c q(t − dt) = 0 .Soit q n = λ n q 0 solution particulière, qui appliquée à l’équation précédente donne{ [m + dt ]2 c λ 2 + [ k ( dt ) 2 − 2m ] [λ + m + dt ] }2 c q 0 = 0 .√kcAvec ω = et = 2ωζ ,m mon peut également écrire[ 1 + ωζdt ] λ 2 + [ −2 + ω 2 ( dt ) 2 ] λ + [ 1 − ωζdt ] = 0La condition de stabilité de la solution particulière est simple : λ(dt) doit être inférieur ouégal à 1, sinon la solution particulière diverge.λ ≤ 1 ⇒ Stabilitéλ ≥ 1 ⇒ InstabilitéPour déterminer λ, il est nécessaire de calculer le déterminant∆ = ω 2 ( dt ) 2 ( ω 2 ( dt ) 2 − 4 + 4ζ 2 ) ,et son signe définit la stabilité du schéma55