Mécanique Modélisation du comportement dynamique du couple ...

Chapitre 2.Modèle semi-analytique8 Kg8 Kg10 Ns/mxxx N/m6045 N/mF a= 00-4010 6 N/m9000 N/mF a= 04,63 Kg9,1 Kgx5 Ns/m x 5400 N/mF a= 0,019 V 2560 Ns/m -145 1200 N/mF a= 0,019 V 2x N/m10 6 N/m32 Ns/mCX4,8 Kgxxx N/m1 N/mF s= 70 NF a= 0,002 V 2140 Ns/m (descente)5 Ns/m (montée)GPU23 Kg195-100010 6 N/m1 N/mF s= 70 NF a= 0,002 V 2Figure 2.13 – Modèle masse/ressort trois étages du pantographe. gauche : CX 25kV ; droite : GPU 25kV.La force de contact F (t) entre le pantographe et la caténaire est fonction du temps. Pourréaliser le couplage des deux systèmes, une intégration temporelle est nécessaire.La méthode des différences finies centrées a été choisie. L’ensemble des développementssuivants (non-linéarités, gestion du contact, etc.) est basé sur ce choix. Ce schéma expliciteutilise un pas de temps constant dt, et avec les développements de Taylor au temps tU(t + dt) = U(t) + dt ∂U∣ ∂t ∣ + ( dt ) 2 ∂ 2 U ∣∣∣t+ O(( dt ) 2 ) ,t∂t 2U(t − dt) = U(t) − dt ∂U∣ ∂t ∣ + ( dt ) 2 ∂ 2 U ∣∣∣t+ O(( dt ) 2 ) ,t∂t 2limités à l’ordre 1, on peut exprimer la dérivée première de deux façons∂U∂t ∣ = t∂U∂t ∣ =tU(t + dt) − U(t)dtU(t) − U(t − dt)dt+ O(dt) ,+ O(dt) .En effectuant la moyenne des deux, on obtientU(t + dt) − U(t − dt)˙U(t) =2dtÜ(t) = ˙U(t + dt/2) − ˙U(t − dt/2)dt=U(t + dt) − 2U(t) + U(t − dt)( dt ) 2 . (2.11)53