Mécanique Modélisation du comportement dynamique du couple ...

Chapitre 2.Modèle semi-analytiqueLes déplacements verticaux du câble porteur et du fil de contact sont notés respectivementz a et z b . Les fils sont encastrés à leurs extrémités sur des supports rigides représentant lespoteaux aux extrémités du canton. Pour répondre aux conditions aux limitesz| 0= z| L= 0 et∂ 2 z∂x 2 ∣ ∣∣∣0= ∂ 2 z∂x 2 ∣ ∣∣∣L= 0 ,les déplacements des fils sont exprimés dans la base de Rayleigh-Ritz (cinématiquementadmissible)z a ( x, t ) =z b ( x, t ) =m∑im∑i( iπxA i (t) sinL( iπxB i (t) sinLoù x est l’abscisse le long de la caténaire, L est la longueur totale de la caténaire et [A i (t)B i (t)] sont les coefficients de Rayleigh-Ritz du câble porteur et du fil de contact. Ils représententl’amplitude du i ème terme.L’équation générale du mouvement de la caténaire à l’instant t,),),m¨z + kz = 0,est projetée dans la base de Rayleigh-Ritz :[ ] [ ] [ÄA ÄN T mN + N T kN = [ M ]¨BB¨B]+ [ K ][AB]= 0. (2.1)Les matrices de masse et de raideur, [ M ] et [ K ], sont déterminées en calculant l’énergiecinétique T , l’énergie de déformation ν pour tous les éléments de la caténaire, puis enappliquant les équations de Lagrange sous la forme [30] :( )d ∂Tdt ∂A ˙ iddt− ∂T∂A i+ ∂ν∂A i= 0,( ) ∂T∂B ˙ − ∂T + ∂ν = 0,i∂B i ∂B ioù 2m (i = 1 . . . 2m) est le nombre de degrés de liberté et ( ˙ ) désigne une dérivée par rapportau temps.Le calcul des modes propres de la caténaire seule, donne les modes propres et les vecteurs37