Mécanique Modélisation du comportement dynamique du couple ...

Chapitre 1.Contexte et état de l’artest prise en compte, l’équation des mouvements s’écrit :ρS ∂ 2 z(x, t)∂t 2 − T ∂ 2 z(x, t)∂x 2 + EI ∂ 4 z(x, t)∂x 4 = 0,où E est le module d’Young de la poutre et I son moment d’inertie.La vitesse de propagation des ondes s’écrit alors√c =√ T2ρS + T 2 + 4EIω 2. (1.4)4ρ 2 S 2Avec ce modèle de poutre, la vitesse de propagation des ondes dans la corde dépend de lafréquence ω. Elle peut ainsi dépasser la vitesse de propagation maximum dans le matériaupour devenir infinie, ce qui n’est pas physiquement réaliste. Pour une meilleure estimation dela vitesse de propagation des ondes de flexion pour les hautes fréquences, les effets d’inertiede rotation et de cisaillement doivent être pris en compte.Pour une poutre de Timoshenko, on abandonne l’hypothèse d’orthogonalité des sectionsdroites par rapport à la fibre neutre pour pouvoir introduire le cisaillement. L’équation dumouvement s’écrit alorsρS ∂ 2 z(x, t)− T ∂ 2 z(x, t)+ EI ∂ 4 z(x, t)− ρI∂t 2 ∂x 2 ∂x 4(1 + E ) ∂ 4 zκG ∂x 2 ∂t + ρ2 I ∂ 4 z2 κG ∂t = 0, 4où G est le module de cisaillement du matériau et κ est le coefficient de correction ducisaillement qui dépend de la forme de la poutre [30]. Les vitesses de propagation s’écrivent :√c =− ( T − ρI ( )1 + ) E κG ω2±√ ( ( ) )T − ρI 1 +EκG ω22 (− 4ρρIκG ω2 − S ) EIω 22ρ ( ρIκG ω2 − S ) . (1.5)La figure 1.15 compare l’évolution des vitesses de propagation des ondes de flexion en fonctionde la fréquence pour les différentes modélisations. Les résultats correspondent à unfil de contact en cuivre d’une caténaire (ρ = 8900 kg/m 3 ; S = 150.10 −6 m 2 ; E =1, 2048.10 11 N/m 2 ; T = 20 kN ; κ = 4/5 ; G = 63, 4.10 9 N/m 2 ).Pour les hautes fréquences, pour la poutre d’Euler-Bernoulli la vitesse tend vers l’infini cequi n’est pas réaliste alors que pour la poutre de Timoshenko, elle tend vers deux valeurslimites, c 1 et c 2 , données parc 1 = limω→∞c =√κGρetc 2 = limω→∞c =√Eρ21