Mécanique Modélisation du comportement dynamique du couple ...

1.2 Contexte scientifiqueCette équation peut s’écrire :( ∂2∂x − 1 )∂ 2z(x, t) = 02 c 2 ∂t( 2 ∂∂x − 1 ) (∂ ∂c ∂t ∂z + 1 )∂z(x, t) = 0c ∂tet si on pose a = x − ct et b = x + ct, on obtient( ∂∂a) ( ∂∂b)z(a, b) = 0qui se résout en z(a, b) = f(a) + g(b), on peut calculer les déplacements verticaux en toutpoint de la corde à chaque instant t :z(x, t) = f(x − ct) + g(x + ct), (1.2)où f correspond à des ondes cheminant vers les x positifs et g à des ondes rétrogrades.Lorsque la vitesse de propagation des ondes dépend de la fréquence (ondes dispersives),elle est remplacée par la vitesse de phase telle que c = ω où k est le nombrekd’onde. Les déplacements z(x, t) de l’équation 1.2 peuvent alors être réécrits :z(x, t) = f(kx − ωt) + g(kx + ωt).Ainsi, pour l’étude d’une corde précontrainte, simplement appuyée, on fait l’hypothèse d’unmouvement harmonique :z(x, t) = sin(ωt + ω c x).Pour une corde vibrante précontrainte, infiniment souple, l’équation du mouvements’écrit [30] :ρS ∂ 2 z(x, t)∂t 2 − T ∂ 2 z(x, t)∂x 2 = 0,où ρ est la masse volumique de la corde, S sa section, et T l’effort de tension.La vitesse des ondes est égale à :√Tc =ρS(1.3)Pour une poutre d’Euler-Bernoulli précontrainte pour laquelle la rigidité de flexion20