Mécanique Modélisation du comportement dynamique du couple ...

Chapitre 5.Détection des défautsLa famille d’ondelette ainsi obtenue est définie par :ψ m,n = a 0 −m/2 ψ ( a 0 −m t − n b 0)et la transformée discrète en ondelettes d’un signal s(t) est donnée par∫−m/2C(m, n) = a 0s(t) ψ ( a 0 −m t − n b 0)dt.Les paramètres de discrétisation les plus couramment utilisés sont donnés par une variationdyadique du facteur d’échelle :a = 2 m et b = n2 m ⇔ ψ m,n = 2 −m/2 ψ ( 2 −m t − n ) .Une Analyse MultiRésolution (AMR) permet d’extraire d’un signal s(t) différents niveauxd’observation. En effet, comme pour le cameraman effectuant un zoom sur une zone d’intérêtpour obtenir de plus en plus de détails, l’AMR permet la décomposition d’un signal endifférents niveaux de détails.Pour cela, le signal est projeté sur une suite de sous-espaces vectoriels fermés de L 2 (R)vérifiant plusieurs conditions [64] :1. (V j ) j∈Zconstitue une suite d’espaces emboîtés :∀j ∈ Z, V j+1 ⊂ V j . (5.5)Autrement dit, la projection d’un signal sur V j+1 constitue nécessairement une moinsbonne approximation de ce signal que la projection sur V j et réciproquement l’approximationsur V jV j+1 .contient toute l’information nécessaire pour calculer l’approximation2. lim V j = 0 et lim V j est dense dans L 2 (R). C’est à dire que quand j tend vers ∞, onj→∞ j→−∞perd toutes les informations sur le signal, alors que quand j tend vers −∞, l’approximationest asymptotiquement égale au signal.3. Une fonction s(t) appartient à V j si et seulement si sa dilatée s(t/2) appartient à V j+1 .j est appelé niveau de résolution car on passe de V jfacteur d’échelle.à V j+1 en multipliant par 2 le4. Il existe ϕ(t) ∈ L 2 (R), appelée fonction d’échelle ou ondelette père telle que{2 −m/2 ϕ ( 2 −m t − n ) , n ∈ Z }constitue une base W j , orthonormale de V j . La projection orthogonale du signal sur le157