Mécanique Modélisation du comportement dynamique du couple ...

5.3 Méthodes automatiques de détection de défautsreprésentent l’intensité de la fréquence ν dans un voisinage de l’instant b. Et g ∗ est le conjuguéde g.Définissons des briques d’analyse dans le domaine temporel par g ν,b (t) = g(t − b)e −i2πνt . LaTFCT peut alors s’écrire S c (ν, b) = 〈s, g ν,b 〉 et le passage de cette brique dans le domainefréquentiel donne également une gaussienne :ĝ ν,b (ω) = e −i2πωb ĝ(ω − ν).Ces briques, nommées également « atomes temps-fréquence », sont localisées en temps(autour de b) et en fréquence (autour de ν) et sont toujours de même taille. La figure 5.13représente symboliquement par des rectangles deux atomes localisés respectivement autourde (ν 0 , b 0 ) et (ν 1 , b 1 ). En translatant les atomes, on effectue une analyse complète du signal.Figure 5.13 – Localisation temps-fréquence de la fonction g(t).Afin d’analyser l’ensemble du signal, une zone de recouvrement des atomes est parfois nécessaire.Il existe un conflit entre résolution fréquentielle et résolution temporelle : plus on accroîtla précision en fréquence de l’analyse, plus on perd de localisation temporelle et donc deprécision en temps, et réciproquement.Autrement dit, pour une fenêtre large, la résolution fréquentielle sera élevée mais la localisationtemporelle faible, et, au contraire, pour une fenêtre étroite, la résolution fréquentielleest faible mais la localisation temporelle bonne. Il s’agit donc de trouver le bon compromisentre résolution spatiale et résolution temporelle.Signalons que la transformée de Fourier à court terme fournit une représentation complètedu signal, en ce sens qu’on peut l’inverser à l’aide de la formule suivante :150s(t) = 1‖g‖ 2 ∫ ∞−∞∫ ∞−∞S c (ν, b)g(t − b)e i2πνt dνdb.