Mécanique Modélisation du comportement dynamique du couple ...

Chapitre 4.Evolution de l’outil de simulation et corrélation des résultatsil conviendrait d’utiliser une matrice de masse non diagonale ce qui augmenterait considérablementle temps de résolution du système donné par l’équation 3.11.De plus, la finesse du maillage améliore visiblement les résultats. Or la stabilité du schémaexplicite est limitée au domaine de fréquence tel que ( ω max ∆t ≤ 2 ) [30] où ω max est lafréquence la plus haute du modèle. En Éléments Finis, elle est associée à la plus grandefréquence d’un élément isolé. Une approximation de la limite de stabilité consiste à évaluerle temps mis par une onde de pression pour parcourir la longueur du plus petit élément dumaillage [51]. Par conséquent, plus la longueur des éléments est petite plus le pas de tempsdoit être fin.En conclusion, le nombre important de pas de temps et l’inversion d’une matrice pleine àchaque pas de temps, se traduirait par des temps de calculs très importants. Aussi, le choixd’un intégrateur implicite semble être judicieux. En effet, ce schéma, inconditionnellementstable permet de travailler avec des pas de temps importants.Dans le cas d’une résolution implicite d’un système linéaire, l’intégrateur temporel effectueune prédiction et une correction des déplacements. Pour un système non-linéaire, déplacement,vitesse et accélération ne sont pas indépendants. L’équation d’équilibre peut êtreréécrite sous la former(u) = Mü + C ˙u + Ku − F = 0où r est le vecteur des résidus. Il s’agit alors de résoudre le système non-linéairer(u n+1 ) = 0en utilisant la prédictionu n+1 prediction = u n + ∆t ˙u n + 1 2 ∆t2 (1 − 2β)ü n˙u n+1 prediction = ˙u n + (1 − γ)∆tü nü n+1 prediction = 0 ,puis, de manière itérative, les corrections des déplacements, solutions de l’équation linéariséeS∆u k = −r(∆u k n+1)où S matrice d’itération s’écritS(u) = K T +γβ∆t CT + 1β∆t 2 M T ,Dans le cas d’un pas de temps constant, celle-ci peut être calculée une fois pour toutes. On107