Mécanique Modélisation du comportement dynamique du couple ...

Laboratoire de Tribologie et Dynamique des SystèmesTHÈSEpour obtenir le grade deDOCTEUR DE L’ÉCOLE CENTRALE DE LYONSpécialité : Mécaniqueprésentée et soutenue parJean-Pierre Massatle jeudi 25 octobre 2007Modélisation du comportement dynamique du couplepantographe-caténaire.Application à la détection de défauts dans la caténaire.JuryP r Claude-Henri Lamarque ENTPE Président du juryP r Fabrice Thouverez ECL DirecteurM r Jean-Pierre Lainé ECL Co-directeurP r Noureddine Bouhaddi UFC RapporteurP r Andrea Collina Politecnico di Milano RapporteurP r Étienne Balmès ECP ExaminateurM r Adrien Bobillot SNCF Examinateur

RemerciementsAu moment où j’achève ce travail, je pense nostalgiquement aux longues journées de recherchesque j’ai troquées, pour un temps, contre de longues soirées de rédaction. Mais, jepense avant tout à ceux qui m’ont soutenu et accompagné et je tiens à les remercier...Mes premiers remerciements s’adressent à Fabrice Thouverez et Jean-Pierre Lainé pourm’avoir accueilli au sein de leur laboratoire et m’avoir orienté tout au long de mes recherches.Mes longues discussions avec Jean-Pierre Lainé, dont la patience, la clarté et la compétencesont inébranlables, figurent parmi mes très bons souvenirs de thèse. J’ai également appréciéla gentillesse de chacun des membres du laboratoire à mon égard, notamment de Louis Jezequelet de Jean-Jacques Sinou qui m’ont poussé dans cette grande aventure, et je les enremercie.Ce travail s’est déroulé, pour l’essentiel, au sein de l’équipe Physiques des Systèmes Ferroviairesde la Direction de l’Innovation et de la Recherche de la SNCF, dans une ambiance detravail très agréable grâce à la sympathie de chacun. J’adresse mes sincères remerciementsà Louis-Marie Cléon et à Pierre-Etienne Gautier pour leur disponibilité et leurs conseils.Je tiens à remercier tout particulièrement Adrien Bobillot pour m’avoir guidé vers un compromisréunissant exigences industrielles et recherche universitaire. Par ailleurs, je suis reconnaissantà Adrien de m’avoir fait profiter de ses compétences avec une bienveillance infaillible.Je remercie très sincèrement Noureddine Bouhaddi et Andréa Collina d’avoir lu et examinéattentivement ce mémoire, d’avoir accepté d’en être les rapporteurs. La pertinence de leursremarques m’a permis d’enrichir le contenu de ce travail. Ma reconnaissance va égalementà Claude-Henri Lamarque qui m’a fait l’honneur d’être le président du jury de thèse, ainsiqu’à Etienne Balmès qui a accepté d’examiner et de suivre fréquemment mes recherches.Ce travail, et bien au-delà, je le dois à l’ensemble de ma famille, tout spécialement à mamère et à ma sœur, Martine et Caroline, qui m’ont fourni au quotidien un soutien et uneconfiance sans faille et de ce fait, je ne saurais exprimer ma gratitude seulement par desmots. Je remercie particulièrement mon oncle, Jacques, qui m’a communiqué son goût pourla rigueur et les sciences.J’adresse une pensée particulière à Elise qui m’a supporté chaque jour, tout particulièrementdans les moments difficiles. A chacun, je suis fier aujourd’hui de dédier ce travail.Je ne pourrais terminer ces remerciements sans citer mes collègues et amis doctorants, particulièrementAnne, Abderrahmane, Fredérico, François et Carolina. Cette dernière, pouravoir partagé son bureau avec moi durant ces trois années et pour avoir corrigé ce documentavec une rigueur toute germanique, a le droit à ma profonde reconnaissance. Les nombreux

Remerciementsmoments passés au sein de ce groupe soudé ont largement contribué à faire de cette thèseune étape réussie de ma vie.Je constate que la rédaction des remerciements est un exercice périlleux et je les concluedonc par de sincères excuses à toutes les personnes que j’aurais maladroitement oubliées...II

Table des matières2.2 Calcul statique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 422.2.1 Force de pesanteur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 422.2.2 Déformée statique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 432.2.3 Influence des bras de rappel sur la caténaire . . . . . . . . . . . . . . 472.3 Calcul dynamique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 502.3.1 Utilisation de la base modale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 502.3.2 Intégration temporelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 522.3.3 Stabilité du schéma différences finies centrées . . . . . . . . . . . . . 552.3.4 Force mobile constante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 562.3.5 Amortissement dans la caténaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 582.3.6 Gestion du contact . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 612.3.6.1 Méthode de pénalisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 612.3.6.2 Gestion du contact par équation de contrainte . . . . . . . . 622.4 Gestion des non-linéarités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 652.4.1 Décollement du pantographe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 652.4.2 Unilatéralité des pendules . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 652.5 Exemples d’application . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 662.5.1 Validation de l’intégraion numérique . . . . . . . . . . . . . . . . . . 662.5.2 Prise en compte de l’unilatéralité des pendules . . . . . . . . . . . . . 672.5.3 Influence de la méthode de couplage . . . . . . . . . . . . . . . . . . 672.5.4 Multi-pantographe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 682.6 Introduction de défauts dans le modèle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 682.6.1 La griffe de jonction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 682.6.2 Les pendules manquants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 693 Modèle Elements Finis 71Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 713.1 Description du modèle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 723.1.1 Construction du maillage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 733.1.2 Modélisation en trois dimensions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 743.1.3 Modélisation des bras de rappel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 753.1.4 Éléments de type barre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 763.1.5 Éléments de poutre précontrainte (Euler-Bernoulli) . . . . . . . . . . 783.2 Calcul statique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 803.2.1 Difficultés liées à la simulation d’une poulie avec avalement de fil . . . 833.2.2 Déflexion statique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 843.2.3 Importance de la finesse du maillage . . . . . . . . . . . . . . . . . . 863.2.4 Comportement autour du bras de rappel . . . . . . . . . . . . . . . . 873.2.5 Raideur statique locale de la caténaire . . . . . . . . . . . . . . . . . 883.3 Calcul dynamique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 893.3.1 Modes propres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 893.3.1.1 Plan vertical . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 893.3.1.2 Plan horizontal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 903.3.2 Modèle d’amortissement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 913.3.3 Modèles de pantographes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 943.3.4 Gestion du contact . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 953.3.5 Gestion des non-linéarités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97IV

RésuméAujourd’hui, le captage du courant électrique reste un des verrous technologiques majeurs àl’augmentation de vitesse des trains. Par ailleurs, les incidents y afférant sont à l’origine deplus d’un million de minutes de retard chaque année en Europe. La maîtrise de l’interactionpantographe-caténaire nécessite donc une étude approfondie tant pour la conception des futurscomposants que pour l’évolution de la stratégie de maintenance.Deux objectifs ont guidé les recherches menées dans cette thèse. Le premier était de contribuerau développement d’un outil de simulation fiable, robuste et flexible permettant demieux comprendre les phénomènes mécaniques en jeux et d’analyser les effets des défautsprésents dans la caténaire sur le couplage pantographe-caténaire. Le deuxième objectif étaitde mettre au point des outils de traitement du signal capables d’analyser les mesures enligne, enregistrées à 300 km/h par un pantographe instrumenté, dans le but de détecter,localiser et identifier ces mêmes défauts.La modélisation du comportement dynamique du système pantographe-caténaire s’appuiegénéralement sur la méthode des Éléments Finis. En effet, elle est la seule à offrir la flexibiliténécessaire pour la modélisation en trois dimensions des géométries complexes et variéesdes caténaires. La simulation temporelle du couplage dynamique entre le pantographe et lacaténaire réunit par ailleurs des problématiques complexes : propagation d’ondes, chargesmobiles, périodicité des structures, contact unilatéral et non-linéarités géométriques fortes.Afin de mieux mesurer l’impact de ces différents phénomènes et de spécifier les hypothèsesacceptables, un modèle analytique simple a été développé. Celui-ci offrant un plan de contactparfaitement continu, à l’inverse du modèle Éléments Finis, les effets numériques dus à ladiscrétisation ont pu être mesurés et corrigés par des améliorations simples. La confrontationdes résultats de ces deux modèles complémentaires ainsi qu’une comparaison aux mesures apermis de valider les codes et de déterminer certains paramètres tels que l’amortissement.Enfin, l’introduction de défauts dans la simulation autorise la génération de signatures temporellespropres à chaque défaut présent dans la caténaire, en vue de leur détection.Des méthodes de traitement du signal spécifiques ont en effet été testées, afin non seulementde détecter les défauts, mais de les localiser et de les identifier. Étant donnés l’environnementet les conditions d’essais, ces traitements doivent tenir compte du manque de reproductibilitéet de l’aspect non-déterministe des mesures sur une caténaire soumise aux conditionsclimatiques et à l’usure. Les ondelettes, dotées de qualités intrinsèques pour la détection,ont donné des résultats très encourageants et les dernières avancées de ces méthodes, lesondelettes adaptées, rendent cet outil incontournable dès lors que l’on souhaite discriminerles défauts tout en minimisant le nombre de fausses alertes. Enfin, en créant une bibliothèqueexhaustive de signatures de défauts simulés, l’outil de détection acquerra la robustesse et lafiabilité indispensable à une évolution de la stratégie de maintenance.

RésuméVIII

AbstractNowadays, current collection is one of the blocking points for increasing the train speed.Besides, statistics consolidated over Europe show an average number of one million minutesof delay each year in Europe related to the pantograph-catenary interface. Hence, thepantograph-catenary interaction deserved a deep study in order to improve future componentsdesign as well as maintenance evolution strategy.Two objectives have been the guidelines of this work. The first one was the simulation tooldevelopment. It had to be reliable, robust and flexible in order to allow a better understandingof the mechanical phenomena and in order to analyse the effects of catenary defects onthe pantograph-catenary interaction. The second objective was the signal processing toolsdesign. These tools had to allow a real-time measurement analysis, recorded by an instrumentedpantograph running at 300 kph, in order to detect, localize and identify these defects.Usually, the pantograph-catenary system’s dynamic behaviour is modelled thanks to the finiteelement method. Indeed, it is the only method that can help us modelling complex 3Dgeometries as the catenary geometries. Time dependent simulation of dynamic interactionbetween pantograph and catenary gather also complex problematics : Wave propagation, movingloads, structure’s periodicity, unilateral contact and strong geometrical non-linearities.In order to get a better assessment of the impact of these different phenomena and to specifyacceptable hypothesis, a simple analytical model has been developed. As this model offers acontinuous contact plan, numerical effects induced by discretization have been assessed andcorrected by simple solutions. Results comparison of these two complementary models hasallowed the software validation and parameters identification such as damping. At last, fromthe introduction of defects in the simulation has come out the temporal signature generationsof each defect type in the catenary.Finally, specific signal processing methods have been tested in order to detect defects andto localize and identify them. Regarding the environment and tests conditions, these analysesmust take into account the lack of test reproducibility and non-deterministic aspect ofcatenary measurements related to climatic conditions and wear. The use of wavelets gavevery interesting results for defect detection ; especially the last development in this domaincalled adapted wavelet that makes this tool a major tool as far as defect detection and lowfalse alert rate are concerned. Finally, with the building of a defects signature’s library, thisdetection tool will get the necessary robustness and reliability required for the evolution ofthe maintenance strategy.

AbstractX

IntroductionContexte général :L’alimentation électrique des trains en France et à l’étranger s’effectue via l’interface pantographecaténairequi est à l’heure actuelle le seul système permettant de capter le courant électriqueà des vitesses importantes et dans des conditions de fiabilité maximales. Malgré le soin apportéà la conception de la caténaire et les très nombreux travaux de maintenance effectuéspériodiquement, elle constitue un point faible du transport ferroviaire et est à l’origine denombreux retards. Lorsqu’elle rompt, du fait d’usures liées aux sollicitations répétées ou dufait d’un pantographe engageant son gabarit, il est fréquent que plusieurs kilomètres de lignede contact soient arrachés avant que le train ne s’arrête ou que le pantographe ne cède.S’ensuivent de très fortes perturbations du trafic, que l’on peut chiffrer en nombre de minutesperdues, chacune étant estimée à environ 600 e. Avec plus d’un million de minutesperdues sur la totalité de l’Europe chaque année, le coût global des incidents de captage estconsidérable.Une solution à ce problème pourrait passer par la modification de la politique de maintenance.Jusqu’à récemment, elle reposait sur des cycles préprogrammés dans le temps, aucours desquels la caténaire était inspectée visuellement. Cependant, cette technique est incompatibleavec le niveau d’exploitation actuel des lignes à grande vitesse : aux heures depointe, sur le tronçon Paris-Lyon, par exemple, un train circule toutes les trois minutes. Ilest donc difficile d’améliorer la fiabilité des lignes par des moyens classiques.Afin de répondre à ces nouveaux besoins et de gagner en réactivité, la SNCF s’est dotée entreautres d’une rame TGV équipée de systèmes de mesure dont le rôle est de détecter, identifieret localiser les défauts présents dans l’infrastructure (voie, signalisation et caténaire). Cetoutil de diagnostic est inséré dans le trafic commercial sans le perturber et effectue les tâchesqui nécessitaient habituellement son interruption. Pour optimiser l’efficacité de cet outil, lafréquence des campagnes doit être élevée, ce qui se traduit par une quantité très importantede données à analyser. Elle impose d’utiliser des méthodes avancées de traitement du signalou de traitement d’image pour détecter les défauts automatiquement, si possible, en tempsréel.

IntroductionConcernant la mesure de l’état de la caténaire, le pantographe est instrumenté pour mesurerles caractéristiques mécaniques de leur interaction : forces, accélérations et déplacements.Autrement dit, il s’agit de trouver les défauts dans la caténaire via l’étude du comportementdynamique du couple pantographe-caténaire. Au regard de la longueur totale d’une ligne(plusieurs centaines de kilomètres), la détection d’un défaut (une dizaine de centimètres àquelques mètres) à 83 m/s 1 peut paraître un peu hasardeuse. Il va sans dire qu’une trèsbonne compréhension des phénomènes physiques mis en jeu est indispensable.Pourtant, bien que simple en apparence, le couplage de la caténaire et d’un pantographe mobile,possédant son propre comportement dynamique, implique des phénomènes complexes.Les conditions de fonctionnement du système sont en fait assez mal connues, ce qui expliquepourquoi cette interface constitue aujourd’hui l’un des principaux verrous technologiques àla « très très grande vitesse ».Lorsque la vitesse du pantographe avoisine la vitesse de propagation des ondes dans la caténaire,une instabilité se produit, ce qui conduit à une perte de contact et une rupture ducaptage. A des vitesses plus faibles, des comportements complexes et difficilement maîtrisablesapparaissent également lors de circulations avec plusieurs pantographes simultanémenten contact. Dans le cas de deux pantographes levés, le premier engendre des vibrations dansla caténaire qui sont transmises au suivant, lequel est alors fortement perturbé (arcs électriquesdus aux pertes de contact, pics d’effort, etc.).Les ondes qui sont générées par ce contact mobile se propagent dans toute la structure câbléeet se combinent pour donner des déplacements très complexes. Autrement dit, il est trèsdifficile de connaître la participation de chaque phénomène indépendamment. La simulationest donc un outil d’analyse incontournable pour étudier ce système qui sollicite simultanémentplusieurs phénomènes physiques relativement complexes (contact glissant unilatéral,propagations d’ondes, etc.).Pour ces raisons, la Direction de l’Infrastructure de la SNCF a confié à la Direction del’Innovation et de la Recherche la maîtrise d’œuvre d’un projet consistant à caractériserce système. Pour ce faire, il a été décidé de mener les études sur deux fronts : le premierconsiste à développer un outil de simulation de l’interaction pantographe-caténaire flexible,permettant de modéliser toutes les géométries de caténaires, saines ou avec défauts, et donnantune très bonne corrélation calculs-mesures. Le deuxième consiste à analyser les mesuresen lignes effectuées en présence de défauts pour mettre au point des méthodes de détectionautomatiques, robustes et fiables. Évidemment, ces deux aspects sont intimement liés : lasimulation nécessite des mesures pour être validée et la recherche de défauts suppose une1 83 m/s ≈ 300 km/h2

Introductiontrès bonne connaissance des phénomènes.Cette thèse s’intègre dans ce projet et a contribué à faire progresser les techniques mises enœuvre à la SNCF dans ces deux domaines que sont la simulation mécanique et le traitementdu signal.Contributions de la thèse :Le développement du logiciel industriel de simulation de l’interaction pantographe-caténairea pris place en dehors du cadre de cette thèse. Basé sur la méthode des Éléments Finis(EF), il permet de modéliser la caténaire en trois dimensions avec plusieurs modélisationsdu pantographe et constitue un livrable du projet.Sur cette base, la première contribution de cette thèse a été de développer, parallèlement audéveloppement du logiciel Éléments Finis (EF), un modèle semi-analytique permettant detester plus rapidement et avec une plus grande maîtrise des conditions de calcul les hypothèsesde ce logiciel. Ce modèle a également permis de réaliser un premier jeu de validationdu logiciel EF en préalable aux confrontations calculs-essais, en s’affranchissant à ce stadedu manque de reproductibilité des données mesurées.La deuxième contribution de cette thèse a consisté à spécifier les améliorations du logicielEF à partir de la validation croisée des deux modèles et à les valider en utilisant les donnéesexpérimentales.Enfin, la troisième contribution a consisté à développer des algorithmes de détection de défautspar analyse des mesures dynamiques, en utilisant parfois des méthodes issues d’autresdomaines d’application. Pour ce faire, les résultats de simulation ont été amplement utilisésafin de comprendre la physique du phénomène mais aussi afin de caractériser les défauts parune signature simulée. Les algorithmes développés ont été testés de manière extensive surdes mesures réelles, pour lesquelles les défauts étaient connus et localisés. Ainsi, il a été possibled’associer aux différentes méthodes testées des indicateurs de performance, en termesde capacité à détecter un défaut et en termes de fausses alertes générées par les algorithmes.3

Chapitre 1Contexte et état de l’artIntroductionLe système pantographe-caténaire est simple en apparence mais il met en jeu des phénomènescomplexes qui soulèvent de nombreuses questions.La caténaire est un assemblage de câbles acheminant le courant électrique jusqu’aux trains.Bien que les composants qui la constituent soient simples (câbles, poulies, etc.), le dimensionnementde chacun requiert des calculs relativement complexes pour obtenir une géométrietrès précise. Par ailleurs, les procédures de montage et de réglage d’une caténaire sont lerésultat de plusieurs décennies d’expérience.Le pantographe, lui aussi, a subi de nombreuses évolutions au fil du temps. Bien que plussimple que la caténaire d’un point de vue conception, il s’agit d’une structure tubulaire articuléequi possède sa propre dynamique.Par conséquent, le couplage de ces deux sous-structures met en jeu de nombreux phénomènesphysiques qui se combinent pour donner des comportements inhabituels et complexes.1.1 Contexte industrielEn France, l’électrification des voies ferrées a commencé au début du XXième siècle. Cenouveau moyen de traction remplaça rapidement et avantageusement les locomotives à vapeuren proposant un meilleur rendement, une augmentation de la vitesse et de la chargeremorquée, une flexibilité accrue, une réduction des nuisances, etc. Néanmoins, il nécessitedes infrastructures importantes.Le train collecte le courant électrique soit par un troisième rail, soit par une ligne aériennede traction.

1.1 Contexte industrielLe troisième rail est un rail parallèle aux rails de roulement sur lequel un frotteur relié autrain collecte le courant. Plus dangereux, transportant moins d’énergie et limitant la vitessede circulation à 160 km/h, il est encore utilisé dans les métros urbains mais a progressivementété abandonné sur les grandes lignes. La ligne aérienne de traction consiste à suspendre un filélectrifié, le fil de contact, au dessus du train. Le pantographe, fixé sur le toit d’une motrice,capte le courant en frottant sur ce fil de contact.Le courant électrique alimente les moteurs de traction et revient aux sous-stations par l’intermédiairedes rails de roulement (cf. figure 1.1). La qualité du captage du courant faitl’objet d’une attention particulière étant donné qu’elle conditionne la qualité de la traction.sousstationMCircuit de retourFigure 1.1 – Schéma de circulation du courant électrique.Une bonne régularité du plan de contact (absence de saillies, variation progressive de lahauteur, continuité, etc.) est une condition nécessaire pour assurer la qualité de captageindispensable à l’alimentation continue des moteurs [76].La ligne aérienne de traction électrique et le pantographe sont les deux acteurs principauxintervenant dans l’alimentation électrique d’un train. Ils ont tous deux évolué au cours desgénérations successives et se déclinent sous de nombreuses formes. Dans ce chapitre, nousnous attacherons à résumer les évolutions et à justifier certains choix.Pour estimer la qualité de captage, les experts ont déterminé des critères détaillés dans lasuite du chapitre.1.1.1 La ligne aérienne de traction électriqueUne ligne aérienne de traction électrique doit assurer une continuité électrique et mécaniquepour permettre une qualité de captage optimale. Dans ce travail, nous ne traiterons pas dela partie électrique.Une ligne de contact est composée uniquement d’un fil de contact (FC) suspendu à des poteaux.C’est un câble de faible section par rapport à sa longueur qui est construit à partir6

Chapitre 1.Contexte et état de l’artd’un matériau alliant une bonne conduction électrique et une bonne résistance mécanique.A l’heure actuelle, la majorité des fils de contact est réalisée en alliages de cuivre ou d’étain[26; 71].Sous l’effet de la gravité, un fil tendu entre deux supports décrit une courbe appelée chaînettedont la flèche varie en fonction de la masse linéique et de la longueur séparant les deuxsupports.Pour réduire cette dernière, une tension mécanique est appliquée à chacune des extrémitésdu fil. Néanmoins, les propriétés du matériau ne permettent pas de compenser la flèche parla seule application d’une tension mécanique aux extrémités du fil.Lorsque la vitesse du train dépasse 100 km/h, pour assurer une bonne qualité de captage, lefil de contact doit être presque horizontal afin de minimiser les déplacements du pantographeet ainsi réduire les perturbations dynamiques. Autrement dit, pour améliorer le comportementmécanique du couple pantographe-caténaire, le pantographe doit glisser le long d’unfil de contact le plus régulier possible.Pour corriger la flèche excessive, le fil doit être suspendu régulièrement. Comme l’illustre lafigure 1.2, le fil de contact est rainuré sur toute sa longueur pour pouvoir être suspendu sansque l’attache ne soit en contact avec le pantographe.Attache du Fil deContactFil de ContactRainure du fil deContactBande frottementdu pantographeFigure 1.2 – Coupe du fil de contact et du pantographe.Il existe deux solutions technologiques pour corriger la flèche du fil de contact :– la caténaire rigide est un fil de contact fixé sur un rail rigide [82]. Elle est utilisée dansles installations souterraines où le manque de gabarit rend l’implantation de caténairesconventionnelles difficile. Son installation est facile et rapide, elle demande un faible entre-7

1.1 Contexte industrieltien et propose une augmentation de la fiabilité. Néanmoins, son coût est nettement plusélevé par rapport à une caténaire conventionnelle,– la caténaire souple est un assemblage de câbles qui maintient le fil de contact en positionquasiment horizontale. Conçue et développée en même temps que le troisième rail, la caténairesouple l’a rapidement supplanté, voire même remplacé, pour des raisons de sécuritéet de simplicité.Pour effectuer la description de la caténaire ci-dessous, nous prendrons comme exemple lacaténaire de type 25 kV sans câble Y, utilisées sur les lignes à grande vitesse (sauf Paris-Lyon).1.1.1.1 Le principe de la caténaire soupleL’architecture générale de la caténaire souple est construite autour des éléments suivants :le fil de contact, le câble porteur, les pendules, les bras de rappel, les consoles et les poteaux.Pour corriger la flèche du fil de contact, un câble porteur soutient le poids du fil de contactpar l’intermédiaire de pendules. Les pendules sont des câbles tressés de faible section reliantle fil de contact et le câble porteur (cf. figure 1.3).PoteauAxe pantographeConsoleAntibalançantBras de rappelPendulesFil de contactCâble porteurFigure 1.3 – Représentation de la caténairede type 25 kV sans câble Y.8

Chapitre 1.Contexte et état de l’art1.1.1.2 Les supports de caténaireLes poteaux soutiennent la caténaire et ses fixations. Une portée définit la distance entre deuxpoteaux. Sa longueur varie entre 27 m et 63 m, suivant la topologie et l’exposition aux ventsde travers. En effet, pour les zones fréquemment exposées à des vents latéraux violents,la longueur des portées est réduite pour éviter que le fil de contact ne sorte du gabaritdu pantographe ce qui entraînerait une destruction de la caténaire et un arrachement dupantographe.ConsoleCâble porteurAntibalançantBras de rappelFil de contactFigure 1.4 – Schéma d’une ligne aérienne de traction électrique.Pour que la caténaire soit la plus régulière possible, à la fois géométriquement et mécaniquement(rigidité constante), le passage des poteaux ne doit pas constituer un « point dur ».Pour cela, le système de fixation (console, antibalançant et bras de rappel) reliant la caténaireau poteau autorise un maximum de déplacements tout en permettant un réglage précisde la géométrie.La console regroupe l’ensemble des tubes et isolateurs reliant la caténaire au poteau. Cetassemblage de tubes, souvent en aluminium, est libre en rotation par rapport au poteau, detelle sorte qu’il puisse pivoter lorsque la longueur des conducteurs 1 change en fonction de latempérature. Pour limiter le couplage dynamique entre le câble porteur et le fil de contactau poteau, console, antibalançant et bras de rappel (cf. figure 1.4) sont reliés entre eux pardes liaisons rotulées. Toujours dans le souci d’assurer une régularité maximum, le guidagedu fil de contact est assuré par une pièce très légère (inertie faible), le bras de rappel, pourlimiter le choc reçu par le pantographe.1 conducteurs : câble porteur et fil de contact.9

1.1 Contexte industriel1.1.1.3 Le désaxementComme le montre la figure 1.3, le fil de contact forme un zig-zag autour de l’axe du pantographe.Le désaxement du fil de contact consiste à positionner le fil de contact alternativement depart et d’autre de l’axe du pantographe. Lorsque le train avance, le point de contact balaieainsi toute la largeur des bandes de frottement, ce qui répartit l’usure sur une zone plus large(cf. figure 1.5).tensioncompressiontensioncompressiontensionPointde contactFigure 1.5 – Balayage du point de contact sur le pantographe.Pour les caténaires récentes, le câble porteur est également désaxé de telle sorte que lacaténaire reste dans un plan vertical. Le désaxement du fil de contact est appliqué par lebras de rappel. L’antibalançant travaille alors soit en tension, soit en compression.1.1.1.4 La tension mécanique et le canton de poseUne tension mécanique est appliquée sur les conducteurs pour réduire la flèche du fil decontact et pour augmenter la vitesse de propagation des ondes dans le fil de contact (cf.§1.2.2). Elle peut varier en fonction de la dilatation thermique des câbles, c’est pourquoi,sur les grandes lignes, un système de poulie, appelé appareil tendeur, régule la tension pourassurer une vitesse de propagation des ondes constante.Figure 1.6 – a. (gauche) Appareil tendeur à moufles ; b. (droite) Canton de pose.10

Chapitre 1.Contexte et état de l’artL’appareil tendeur à moufle illustré sur la figure 1.6a, utilisé sur certaines lignes à grandevitesse (LGV) assure une tension constante entre −20°C et +50°C en compensant la dilatationd’environ 700 m de conducteur. Au delà de cette plage de température, les masses seretrouvent en butée.Par conséquent, la caténaire est segmentée en tronçons appelés cantons de pose (cf. figure1.6b. Un appareil tendeur est placé à chaque extrémité du canton. Autrement dit,les cantons régulés en tension par un appareil tendeur à moufle ont une longueur maximumde 1400 m pour garantir une tension constante.1.1.1.5 L’équipement tendeurUne ligne est composée d’une succession de cantons. Le passage d’un canton à un autre, aussiappelé Équipements Tendeur (ET), doit assurer la continuité électrique et mécanique afin degarantir un guidage sans discontinuité du pantographe. Autrement dit, le pantographe doitpasser d’un fil de contact au suivant sans que la géométrie ne varie trop.Le fil de contact du nouveau canton doit toucher le pantographe avant que celui de l’anciencanton ne disparaisse. Le pantographe se retrouve alors en contact avec plusieurs fils decontact sur une zone commune (cf. figure 1.7). Concrètement, les extrémités de cantonZone communeFigure 1.7 – Équipement tendeur de type 25 kV.comportent des portées de relèvement avec des pendules dimensionnés pour assurer une11

1.1 Contexte industrielarrivée ou un départ doux du fil de contact dans le plan de contact. Notons que les premièreset dernières portées reliées aux appareils tendeurs ne sont pas pendulées.1.1.1.6 La flècheLa flèche du fil de contact dans une portée est calculée entre le premier pendule et le milieude la portée, comme le montre la figure 1.8. En France, la longueur des pendules est définieflècheFCFigure 1.8 – Visualisation de la flèche artificielle du fil de contactpour que les points d’attache des pendules suivent la trajectoire artificielle d’une chaînettenaturelle présentant une flèche de 1/1000 (ou de 1/2000) de la longueur des portées. Parexemple, pour une portée de 54 m et une flèche de 1/1000, la flèche du fil de contact est de5,4 cm. Cette trajectoire est une description industrielle purement arbitraire qui se justifiepar un retour d’expérience montrant l’amélioration de la qualité du captage.Notons que les caténaires allemandes sont construites avec une flèche nulle aux attachesdes pendules. Autrement dit, le plan de contact est parfaitement horizontal sauf entre lespendules, où le fil de contact forme une chaînette.1.1.1.7 La procédure d’installation de la caténaireLa procédure de montage d’un canton de caténaire est complexe. Dans la réalité, le fil decontact et le câble porteur sont déroulés entre les deux supports situés aux extrémités ducanton. A chacun de ces supports, les conducteurs sont suspendus par l’intermédiaire depoulies. Aucun désaxement n’est imposé à cette étape. Le fil de contact et le câble porteursont sur-tendus durant 72 heures pour améliorer leur résistance mécanique (fluage). Aprèsce laps de temps, ils sont remis à la tension nominale de fonctionnement.Pour éviter que l’ensemble du canton ne se déroule d’un côté ou de l’autre du canton, laconsole située au milieu du canton est fixée par un câble anti-cheminement qui interdit lestranslations du câble suivant l’axe de la voie (cf. figure 1.6).12

Chapitre 1.Contexte et état de l’artEnsuite, le câble porteur est attaché à chaque console par une pince. Par conséquent, lespositions des consoles et des bras de rappel varient selon la dilatation des conducteurs.Ensuite, les pendules sont fixés sur le câble porteur aux positions indiquées par le plan dependulage. La dernière étape consiste à attacher le fil de contact aux bras de rappel, pourimposer le désaxement et fixer les pendules sur le fil de contact.1.1.1.8 Les autres types de caténaireLa caténaire souple existe sous de nombreuses autres déclinaisons. Chaque pays a construitdes caténaires délivrant différents courants électriques (1500 VCC 2 , 3000 VCC, 25 kVCA 350 Hz, 15000 VCA 16Hz 2/3, etc.) pour différents types de matériel roulant. En France, lescaténaires des grandes lignes transportent soit du courant alternatif en 25 kV soit du courantcontinu en 1500 Volts.Une description exhaustive des types de caténaires existantes présente peu d’intérêt pournotre question. Cependant trois grandes variantes, en plus de la caténaire 25 kV sans câbleY décrite ci-dessus, méritent d’être présentées pour compléter la description des caténairesusuelles.– La caténaire 1500 V fut la première caténaire utilisée pour électrifier le réseau du sudde la France. Compte tenu de la puissance absorbée par les moteurs, une caténaire deforte section (>480 mm 2 ) est nécessaire pour limiter son échauffement et pour assurer unetension délivrée voisine de la tension nominale. Habituellement, ces caténaires comportentdeux fils de contact, deux câbles porteurs, et deux niveaux de pendules, comme le montre lafigure 1.9. Trop lourde, cette caténaire est utilisée pour des vitesses moyennes (200 km/h).PendulePendule étrierCâble porteur principalCâble porteur secondaireFils de contactFigure 1.9 – Schéma d’une caténaire de type 1500V2 CC : Courant Continu.3 CA : Courant Alternatif.13

1.1 Contexte industriel– La caténaire 25kV avec câble Y a été développée pour la grande vitesse. Un câble attachéau câble porteur de chaque côté d’un poteau offre une rigidité plus régulière en diminuantl’effet des poteaux.Très difficile à régler et nécessitant de nombreuses opérations de maintenance pour uneamélioration relative du comportement dynamique du couple pantographe-caténaire, elleest progressivement abandonnée en France.– La caténaire Midi est une caténaire sans bras de rappel. Le désaxement du fil de contactest imposé par une déviation excessive et alternée du câble porteur. Peu répandue, cettecaténaire est utilisée dans le sud de la France.1.1.2 Le pantographeLe pantographe est un assemblage de tubes articulés ou non, fixé sur le toit d’une locomotiveau moyen d’isolateurs. Il assure un contact permanent quelque soit la hauteur du fil decontact grâce à son déploiement variable.Aujourd’hui, il est composé d’un grand cadre : un bras articulé composé d’un bras supérieuret d’un bras inférieur (cf. figure 1.10). L’archet est une pièce horizontale assurant leBandes de frottementArchetBoites à ressortCoussin pneumatiqueFigure 1.10 – Pantographe de Faiveley Transport (type Cx).contact avec la caténaire. Il est relié au grand cadre par des suspensions appelées boîtes àressort. Elles permettent à l’archet de pivoter en fonction de la position du point de contactqui change avec le désaxement du fil de contact. Les bandes de frottement, en carbone ouen cuivre, sont des pièces d’usure placées sur l’archet. Elles frottent sur le fil de contact etpermettent ainsi de capter l’énergie.14

Chapitre 1.Contexte et état de l’artPour assurer un captage correct de l’énergie, le pantographe exerce sur la caténaire une pression,appelée « effort statique », fournie par un mécanisme pneumatique.Lorsque le train se déplace, l’effort augmente grâce à la composante aérodynamique notammentengendrée par la présence d’ailerons. Par conséquent le tarage des pantographes esteffectué pour une plage d’utilisation en vitesse relativement précise. Dans le cas de perturbationsaérodynamiques (train croiseur, pont route, tunnel, météo), cette force change etperturbe le captage (cf. [5]).1.1.3 Le captageLa qualité du captage du courant est gage de bon fonctionnement d’une ligne commercialeet dépend du couplage entre le pantographe et la caténaire : si le contact est rompu, l’alimentationélectrique des moteurs est coupée. Or, quand il y a décollement du pantographe,un arc électrique est très souvent généré. C’est pourquoi, le nombre d’arcs par seconde estconsidéré comme un critère objectif de qualité de captage.La qualité du captage dépend également de l’état et du réglage de la caténaire. Si la caténaire 4ou le pantographe 5 comporte un défaut, le captage du courant sera fortement dégradé.Le captage du courant peut également être perturbé par les conditions météorologiques. Unvent traversier fort entraîne un déplacement latéral du fil de contact [10] qui perturbe ladynamique du couple pantographe-caténaire.1.1.4 La détection automatique de défauts dans la caténaireLa SNCF est un des leaders mondiaux en matière de transport ferroviaire à grande vitesse.Elle fut un des précurseurs de la grande vitesse en développant la première génération detrain à grande vitesse (TGV) en 1972. Le choc pétrolier de 1973 accéléra le développementdu TGV alimenté par l’énergie électrique. Aujourd’hui tous les acteurs internationaux de lagrande vitesse ont logiquement suivi cette initiative.Pour le transport des voyageurs à grande vitesse, la SNCF s’est dotée d’un des réseaux delignes à grande vitesse le plus dense au monde. L’augmentation constante de l’utilisation deslignes conduit la SNCF à améliorer sa stratégie de maintenance.En 2005, les retards consécutifs à un problème lié à la caténaire représentaient plus de 2500 hpour un coût d’environ 150 Me. Ces chiffres s’expliquent par des réparations nécessitant desinterventions lourdes qui paralysent le trafic durant de nombreuses heures. Malgré des campagnesde maintenance périodiques, les techniques de maintenance actuelles ne permettent4 Défauts de caténaire : pendule trop court, erreur de tension, fil de contact usé, etc.5 Défauts de pantographe : effort statique trop important, bande de frottement avec encoche, etc.15

1.1 Contexte industrielpas de réduire significativement le nombre de problèmes. Les méthodes de maintenance conditionnelleont déjà prouvé leur efficacité lors des mesures de qualité de la voie. Aussi, la SNCFa-t-elle décidé d’innover et d’apporter de nouvelles solutions technologiques en développantun nouveau train de mesures nommé IRIS320.1.1.4.1 Les outils de détection de défautsLa voiture Mélusine a été la première voiture TGV dédiée à la mesure de l’état des lignesferroviaires françaises. Elle est remplacée par IRIS320 (cf. figure 1.11), le TGV de mesure del’infrastructure de la SNCF. Cet outil sera utilisé sur les principales lignes électrifiées fran-Figure 1.11 – Photo de la rame IRIS320.çaises et tout particulièrement sur le réseau à grande vitesse. Inséré dans le trafic commercial,il effectuera les mesures à vitesse commerciale (300 km/h). L’ensemble de l’infrastructure(voie, signalisation, caténaire, etc.) sera inspecté en un seul passage.Pour la première fois, l’état de la caténaire sera enregistré périodiquement par analysed’images et par analyse des signaux dynamiques. Pour les mesures de la dynamique ducouple pantographe-caténaire, le pantographe servira à la fois à capter le courant et à effectuerles mesures pour détecter les défauts dans la caténaire. De cette manière, les mesurescorrespondent à la situation réelle de captage. Des capteurs de forces, des accéléromètres etdes capteurs de déplacement seront placés sur les différents organes du pantographe.Notons que le pantographe étant placé sur le toit de la motrice, les défauts de voies apparaissentdans les mesures de la caténaire [89]. Autrement dit, si la dynamique de la motriceest fortement perturbée par un défaut de voie, le pantographe sera lui aussi perturbé.Lorsque le pantographe passera sous une zone où la caténaire est dégradée, les mesures dela dynamique du couple pantographe-caténaire seront affectées. Ces zones peuvent être sé-16

Chapitre 1.Contexte et état de l’artparées en deux groupes : les singularités et les défauts.1.1.4.2 Les singularitésLes singularités sont des zones de la caténaire ne correspondant pas à la situation nominalede captage à cause d’un changement de géométrie et d’élasticité de la caténaire :– le pont-route (PRO) (cf. figure 1.12) est un ouvrage d’art permettant la circulation desvéhicules automobiles au dessus de la ligne. Il occasionne un changement de la géométrieet un changement des caractéristiques du câble porteur qui est recouvert d’une couche deprotection électrique,– l’équipement tendeur (ET) (cf. figure 1.7), en plus de la modification importante de lagéométrie, contient une zone de recouvrement où le pantographe doit passer d’un fil decontact à un autre. Durant un laps de temps le pantographe est en contact simultanémentavec deux fils (ou plus),– l’aiguillage cumule les difficultés de l’ET et une courbe correspondant au changement devoie,– etc.Cependant, elles sont nécessaires dans la construction d’une caténaire et sont considéréescomme « saines » d’un point de vue maintenance.Figure 1.12 – Schéma d’un pont route (PR).Pour les mesures dynamiques, singularités et défauts ont un comportement analogue maisils ont des conséquences différentes sur la maintenance. La position des singularités estparfaitement connue et identifiée dans les plans de piquetages 6 , ce qui n’est pas le cas desdéfauts. Par conséquent, du point de vue de la stratégie de maintenance, il est important deséparer et d’identifier les défauts par rapport aux singularités.6 Plans de piquetages : plans de construction de la caténaire représentés en fonction de la position kilométrique(PK).17

1.1 Contexte industrielIl est possible que des défauts soient présents dans les singularités, mais dans cette étude, ladétection de défauts ne sera effectuée que dans les zones de captage nominales en écartantvolontairement les singularités.1.1.4.3 Les défautsLes défauts sont le résultat de l’usure de la ligne due à son exploitation (pendules cassés,pendules détendus, coques sur le fil de contact, etc.) et de son vieillissement (rupture oublocage d’un bras de rappel dû à la corrosion). De plus, des griffes de jonction sont utiliséespour réparer temporairement une rupture ou pour consolider un point faible du fil decontact. Elle a une influence importante sur la qualité du captage et doit être retirée dansun certain délai. Elle sera donc considérée comme un défaut dans la suite du document.Dans ce travail de thèse nous nous concentrons sur deux types de défauts : la griffe de jonctionet le pendule manquant. Les griffes de jonction (cf. figure 1.13) sont des pièces utilisées parles équipes de maintenance pour connecter deux fils de contact lors d’une rupture ou pourrenforcer un point d’usure du fil de contact. C’est une réparation temporaire en attente d’uneintervention plus lourde. A cause de leur raideur, mais surtout à cause de leur masse, ellesdégradent fortement le captage.Figure 1.13 – Photo d’une griffe de jonction (dimensions : 15 cm × 3 cm × 3 cm, masse : 1,2 kg).Rappelons que sous l’effet de la gravité, la géométrie du fil de contact forme de petitesparaboles entre chaque pendule (cf. figure 1.14). Si un pendule est manquant la géométrieest modifiée et la qualité du captage diminue. Ces défauts sont respectivement de typePendule casséou manquantFigure 1.14 – Photo d’un pendule cassé et schéma d’un pendule manquant.« point dur » et défaut de géométrie. Ils sont représentatifs des deux classes de défauts lesplus couramment rencontrés.18

Chapitre 1.Contexte et état de l’art1.2 Contexte scientifiqueD’un point de vue mécanique, la simulation du couple pantographe-caténaire n’est pas triviale.Il s’agit de traiter un problème de contact d’une charge mobile sous une structuresouple quasi périodique. Le couplage des deux systèmes génère des ondes qui sepropagent dans la structure de câble et qui se réfléchissent et se combinent pour donner desdéplacements très complexes, notamment à cause des fortes non-linéarités présentesdans le système.La littérature contient deux articles de référence de Collina et Bruni [12] et Poetschet al. [65] dans lesquels ils présentent les méthodes numériques et expérimentales les pluscouramment utilisées pour la caractérisation de ce système.A. Collina [11; 13], T. Dahlberg [15; 16] et L. Drugge [21; 22] ont largement contribué àl’étude et à l’analyse du comportement du système pantographe-caténaire. Il existe un certainnombre d’études (semi-)analytiques [9; 59; 86] et numériques [28; 34; 47; 72] qui permettentde modéliser la caténaire en une, deux ou trois dimensions ainsi que le pantographe par dessystèmes linéarisés ou des systèmes multicorps [49; 69; 87].1.2.1 Propagation d’ondesLes ondes sont le résultat de la propagation d’une vibration générée par la perturbation del’équilibre d’un milieu matériel. Elles transportent de l’énergie sans véhiculer de matière [36].Il existe plusieurs types d’ondes. Une onde se déplaçant perpendiculairement à la directionde propagation est dite transverse et celle dont le mouvement oscillatoire suit la direction depropagation est dite longitudinale. Par exemple, les ondes acoustiques sont des ondes longitudinalescar les éléments de l’air vibrent dans la même direction que la propagation d’onde.En revanche, dans le cas de la corde vibrante, chaque point de la corde vibre normalementà la direction de propagation de l’onde, l’onde est transversale.Dans ce paragraphe, nous considérerons uniquement le cas de la propagation d’ondesdans les milieux unidimensionnels. La projection de l’équation d’onde suivant la directionde propagation de l’onde, x, donne :∂ 2 z∂x = 1 ∂ 2 z(1.1)2 c 2 ∂t 2où z(x, t) représente les déplacements verticaux et c la vitesse de propagation des ondes.19

1.2 Contexte scientifiqueCette équation peut s’écrire :( ∂2∂x − 1 )∂ 2z(x, t) = 02 c 2 ∂t( 2 ∂∂x − 1 ) (∂ ∂c ∂t ∂z + 1 )∂z(x, t) = 0c ∂tet si on pose a = x − ct et b = x + ct, on obtient( ∂∂a) ( ∂∂b)z(a, b) = 0qui se résout en z(a, b) = f(a) + g(b), on peut calculer les déplacements verticaux en toutpoint de la corde à chaque instant t :z(x, t) = f(x − ct) + g(x + ct), (1.2)où f correspond à des ondes cheminant vers les x positifs et g à des ondes rétrogrades.Lorsque la vitesse de propagation des ondes dépend de la fréquence (ondes dispersives),elle est remplacée par la vitesse de phase telle que c = ω où k est le nombrekd’onde. Les déplacements z(x, t) de l’équation 1.2 peuvent alors être réécrits :z(x, t) = f(kx − ωt) + g(kx + ωt).Ainsi, pour l’étude d’une corde précontrainte, simplement appuyée, on fait l’hypothèse d’unmouvement harmonique :z(x, t) = sin(ωt + ω c x).Pour une corde vibrante précontrainte, infiniment souple, l’équation du mouvements’écrit [30] :ρS ∂ 2 z(x, t)∂t 2 − T ∂ 2 z(x, t)∂x 2 = 0,où ρ est la masse volumique de la corde, S sa section, et T l’effort de tension.La vitesse des ondes est égale à :√Tc =ρS(1.3)Pour une poutre d’Euler-Bernoulli précontrainte pour laquelle la rigidité de flexion20

Chapitre 1.Contexte et état de l’artest prise en compte, l’équation des mouvements s’écrit :ρS ∂ 2 z(x, t)∂t 2 − T ∂ 2 z(x, t)∂x 2 + EI ∂ 4 z(x, t)∂x 4 = 0,où E est le module d’Young de la poutre et I son moment d’inertie.La vitesse de propagation des ondes s’écrit alors√c =√ T2ρS + T 2 + 4EIω 2. (1.4)4ρ 2 S 2Avec ce modèle de poutre, la vitesse de propagation des ondes dans la corde dépend de lafréquence ω. Elle peut ainsi dépasser la vitesse de propagation maximum dans le matériaupour devenir infinie, ce qui n’est pas physiquement réaliste. Pour une meilleure estimation dela vitesse de propagation des ondes de flexion pour les hautes fréquences, les effets d’inertiede rotation et de cisaillement doivent être pris en compte.Pour une poutre de Timoshenko, on abandonne l’hypothèse d’orthogonalité des sectionsdroites par rapport à la fibre neutre pour pouvoir introduire le cisaillement. L’équation dumouvement s’écrit alorsρS ∂ 2 z(x, t)− T ∂ 2 z(x, t)+ EI ∂ 4 z(x, t)− ρI∂t 2 ∂x 2 ∂x 4(1 + E ) ∂ 4 zκG ∂x 2 ∂t + ρ2 I ∂ 4 z2 κG ∂t = 0, 4où G est le module de cisaillement du matériau et κ est le coefficient de correction ducisaillement qui dépend de la forme de la poutre [30]. Les vitesses de propagation s’écrivent :√c =− ( T − ρI ( )1 + ) E κG ω2±√ ( ( ) )T − ρI 1 +EκG ω22 (− 4ρρIκG ω2 − S ) EIω 22ρ ( ρIκG ω2 − S ) . (1.5)La figure 1.15 compare l’évolution des vitesses de propagation des ondes de flexion en fonctionde la fréquence pour les différentes modélisations. Les résultats correspondent à unfil de contact en cuivre d’une caténaire (ρ = 8900 kg/m 3 ; S = 150.10 −6 m 2 ; E =1, 2048.10 11 N/m 2 ; T = 20 kN ; κ = 4/5 ; G = 63, 4.10 9 N/m 2 ).Pour les hautes fréquences, pour la poutre d’Euler-Bernoulli la vitesse tend vers l’infini cequi n’est pas réaliste alors que pour la poutre de Timoshenko, elle tend vers deux valeurslimites, c 1 et c 2 , données parc 1 = limω→∞c =√κGρetc 2 = limω→∞c =√Eρ21

1.2 Contexte scientifiqueoù c 2 est la vitesse des ondes de compression. Pour les basses fréquences, les effets de précontraintesont prédominants.Vitesse de propagation des ondes en fonction de la fréquenceCorde vibranteEuler−BernoulliTimoshenko c 110 4 ω [Hz]10 3Timoshenko c 2c [m/s]10 210 110 010 0 10 2 10 4 10 6Figure 1.15 – Évolution de la vitesse de propagation d’ondes de flexion en fonction de la fréquence et de lamodélisation utilisée.Pour conclure, dans le cas d’une caténaire, pour laquelle les premiers modes se situent endessous de 1 Hz, l’équation de la corde vibrante 1.3 constitue donc une bonne approximationde la vitesse de propagation des ondes de flexion.Lorsque les extrémités de la corde sont maintenues fixes, l’énergie transportée par l’ondese réfléchit et si la dissipation est négligée, elle contient toute l’énergie incidente. La figure 1.16contient une séquence d’images, prises à différents instants, d’une corde tendue sollicitée parune force. On constate que lorsque l’onde arrive sur les points de fixation (t=7 s), elle estentièrement réfléchie avec la même amplitude, la même vitesse mais de signe opposé et déphaséede 180°.Or, les ondes se déplacent indépendamment les unes des autres et lorsque deux d’entre elles,cheminant en sens inverse, se rencontrent, le déplacement résultant correspond à la sommealgébrique des deux ondes. Par conséquent, la somme infinie d’ondes incidentes et d’ondesrétrogrades de même nature (fréquence, amplitude, etc.), produit une onde stationnaire quise caractérise par une vitesse de phase nulle, par des positions fixes ayant des déplacementsnuls (nœuds) et des positions fixes ayant des déplacements maxima (ventres). Ces déplacementssont les modes propres de la structure.Il est intéressant de noter que les modes propres sont le résultat de la combinaisond’ondes progressives. Réciproquement, nous verrons dans la suite de ce documentqu’il est possible de modéliser et de visualiser des phénomènes propagatifs avec22

Chapitre 1.Contexte et état de l’artdes méthodes modales.Force [N]100−10Propagation des ondes dans un fil tendu sollicité par une force fixe1 2 3 4 6 7 8 9temps [s]t=1st=2st=3st=4s20−20 20 40 60 80 100Longueur [m]20−2F (t) 00 20 40 60 80 100Longueur [m]20−220−2F 0(t)0 20 40 60 80 100Longueur [m]0 20 40 60 80 100Longueur [m]t=6st=7st=8st=9s20−220−220−220−20 20 40 60 80 100Longueur [m]0 20 40 60 80 100Longueur [m]0 20 40 60 80 100Longueur [m]0 20 40 60 80 100Longueur [m]Figure 1.16 – Illustration de la propagation d’ondes dans un fil tendu.Par exemple, les résultats de la figure 1.16 ont été obtenus en utilisant une base modale de50 modes d’une corde tendue. De plus, cette figure montre qu’une base modale de petitetaille suffit à décrire correctement la propagation d’ondes dans une structure filaire simple.1.2.2 Charge mobileLe problème de charge mobile a été traité très tôt par S. Timoshenko [80] et C.E. Inglis[38]. Il existe un grand nombre d’études traitant de cette thématique. C’est un axe de rechercheimportant notamment pour l’étude de l’interaction véhicule-sol que ce soit dans lesecteur automobile ou ferroviaire [83].Dans son ouvrage, L. Fryba [25] répertorie et analyse l’effet de différents types de chargesmobiles sur des structures élastiques ou inélastiques. Il donne ainsi une description desconnaissances sur ce sujet entre le début du 19ème siècle et le début des années 1970. Dansles années 1990, K. Knothe [44] et T. Dahlberg [15] se penchèrent eux aussi sur cetteproblématique.Dans son travail, S.N. Veritchev[85] montre que des instabilités peuvent être généréeslorsqu’un véhicule en mouvement rattrape ou dépasse les ondes de propagation qu’il génère.23

1.2 Contexte scientifiqueLa vitesse critique du véhicule est définie par la vitesse des ondes dans le milieu :v critique = c.Pour illustrer la notion de vitesse critique, prenons le cas classique du passage du mur du sonpour un avion. Ce dernier génère des ondes de pression qui se propagent à la vitesse du son.A vitesse critique, les ondes et leur source se déplaçant à la même vitesse, une accumulationd’ondes se crée pour former un front d’ondes contenant beaucoup d’énergie.Ce phénomène est également présent pour une force ou une structure élastique mobile surun fil (ou sur une poutre) précontrainté : S.M. Kim [43] a étudié les effets de différents paramètres,comme la vitesse, la fréquence et l’amortissement sur la déformation d’une poutred’Euler-Bernoulli soumise à une force statique et à une force mobile harmonique.1.2.2.1 Force constanteDans le cas d’une force mobile sur un fil précontraint, les grandeurs de sortie étudiées sontla déformée du fil et la trajectoire du point de contact. Nous avons calculé les déplacementsdu fil précontraint avec les modèles non-amortis de la corde vibrante et de la poutred’Euler-Bernoulli. Les figures 1.18 à 1.20 représentent la déformée d’un fil sur lequel pro-TF 0Tx=v tFigure 1.17 – Schéma d’une charge mobile.gresse uniformément une force constante de F 0 =100 N à différentes vitesses. Chacune d’ellescontient une série de trois images prises à différents instants t.0.250.2Corde vibrantePoutre E−Bpoint de contactTrajectoire du point de contact0.250.2v=0.1c0.250.2Déformée [m]0.150.1Déformée [m]0.150.1Déformée [m]0.150.10.050.050.050000 20 40 60 80 100Longueur [m]0 20 40 60 80 100Longueur [m]0 20 40 60 80 100Longueur [m]Figure 1.18 – Influence d’une force mobile se déplaçant à v = 0, 1c sur un fil tendu.Sur la figure 1.18, la vitesse de la force est inférieure à la vitesse des ondes v < c. On constate24

Chapitre 1.Contexte et état de l’artque la position du point de contact entre la force et le fil correspond au maximum du déplacementvertical du fil.La figure 1.19 illustre le cas pour lequel la vitesse de déplacement de la force est égale à lavitesse de propagation des ondes, v = c. Dans ce cas, la position de la force de contact sesitue au milieu du front d’onde. Le maximum de soulèvement du fil se situe au dessus du0.250.2Corde vibrantePoutre E−Bpoint de contactTrajectoire du point de contact0.250.2v=1c0.250.2Déformée [m]0.150.1Déformée [m]0.150.1Déformée [m]0.150.10.050.050.050000 20 40 60 80 100Longueur [m]0 20 40 60 80 100Longueur [m]0 20 40 60 80 100Longueur [m]Figure 1.19 – Influence d’une force mobile se déplaçant à v = c sur un fil tendu.point de contact.Enfin, pour v > c (cf. figure 1.20), la force précède les ondes qu’elle génère. Dans ce cas, le filn’est pas perturbé par les ondes de propagation lors du passage de la force. Le fil de contactne se déplace qu’après le passage de cette dernière et la trajectoire du point de contact estquasiment une droite et le maximum d’amplitude des déplacements du fil se situe après lepassage de la force.0.140.120.1Corde vibrantePoutre E−Bpoint de contactTrajectoire du point de contact0.140.120.1v=1.5c0.140.120.1Déformée [m]0.080.06Déformée [m]0.080.06Déformée [m]0.080.060.040.040.040.020.020.020000 20 40 60 80 100Longueur [m]0 20 40 60 80 100Longueur [m]0 20 40 60 80 100Longueur [m]Figure 1.20 – Influence d’une force mobile se déplaçant à v = 1, 5c sur un fil tendu.Avec de l’amortissement dans un modèle de fil, L. Sun [77] met en évidence que le déplacementmaximum du fil se produit derrière la charge mobile et il en conclut que le déplacement25

1.2 Contexte scientifiquedynamique atteint son maximum lors de la vitesse critique.Cependant, si on considère que la vitesse critique est atteinte lorsque la force est appliquéedans le front d’onde 7 , on peut alors parler de plage de vitesses critiques.0.250.2Corde vibrantePoutre E−Bpoint de contactTrajectoire du point de contact0.250.2v=0.99c0.250.2Déformée [m]0.150.1Déformée [m]0.150.1Déformée [m]0.150.10.050.050.050000 20 40 60 80 100Longueur [m]0 20 40 60 80 100Longueur [m]0 20 40 60 80 100Longueur [m]0.250.2Corde vibrantePoutre E−Bpoint de contactTrajectoire du point de contact0.250.2v=1.01c0.250.2Déformée [m]0.150.1Déformée [m]0.150.1Déformée [m]0.150.10.050.050.050000 20 40 60 80 100Longueur [m]0 20 40 60 80 100Longueur [m]0 20 40 60 80 100Longueur [m]Figure 1.21 – Illustration de la zone de vitesse critique (haut : v = 0, 99c ; bas : v = 1, 01c).Comme on peut le voir sur la figure 1.21, représentant respectivement v = 0, 99c et v = 1, 01c,le point de contact se déplace le long du front d’onde en fonction de la vitesse.Notons que pour les déplacements du fil de contact ou pour la trajectoire du point de contact,le choix du modèle de fil intervient peu dans le cas d’une force constante mobile.Comme pour le cas du fil précontraint libre (cf. figure 1.16), les ondes propagatives se réfléchissentaux extrémités. Ces dernières reviennent vers la force de contact, ce qui modifiefortement le déplacement vertical du point de contact.On constate sur la figure 1.22 (gauche) que les ondes réfléchies engendrent une trajectoiredu point de contact en dents de scie alors que pour une vitesse de la force supérieure à lavitesse critique (cf. figure 1.22(droite)), la trajectoire de la force de contact est quasimentune ligne droite.7 Le front d’onde est alors quasiment vertical26

Chapitre 1.Contexte et état de l’artv=0.1cv=1cv=1.5cDéplacement dupoint de contact [m]0.10.050.10.050.10.050000 20 40 60 80 100Longueur [m]0 20 40 60 80 100Longueur [m]0 20 40 60 80 100Longueur [m]Figure 1.22 – Trajectoire du point de contact à plusieurs vitesses.Cependant la force constante mobile n’est pas très représentative des phénomènes reliant lepantographe à la caténaire. En effet, le pantographe est une structure élastique possédant sapropre dynamique et, pour mettre en évidence les phénomènes de manière simplifiée, nousallons le représenter par un système masse-ressort.1.2.2.2 Structure élastiqueDans ce paragraphe, nous reprenons la même étude que précédemment en remplaçant laforce constante par une structure élastique. Le pantographe est représenté par un systèmelinéarisé de type masse ressort à un étage dont l’effort moyen sur la caténaire est environ100N. Par ailleurs, considérons un fil précontraint modélisé soit comme une corde vibrante etsoit comme une poutre d’Euler-Bernoulli. Ici, le contact est maintenu ce qui perturbe l’effortTTx=v tFigure 1.23 – Schéma d’une charge mobile.de contact près des conditions aux limites. En effet, les ondes réfléchies par les extrémitésinfluencent fortement le couplage des deux systèmes élastiques.La figure 1.24 représente la trajectoire du point de contact (haut) et la force de contact(bas) pour trois vitesses de la structure élastique (gauche : v = 0, 1 ∗ c ; milieu : v = c ;droite : v = 1, 5 ∗ c).Pour v < c, la trajectoire du point de contact est identique pour les deux modélisations.En revanche, soulignons que la force de contact est sensible aux reflexions d’ondes et que lemodèle de fil change le résultat.Pour v = c, la trajectoire du point de contact n’est plus la même pour les deux modèles eton constate une instabilité de la force de contact de type flottement.27

1.2 Contexte scientifiqueCorde vibrantePoutre E−BCorde vibrantePoutre E−BPoutre E−BCorde vibranteTrajectoire dupoint de contact [m]0.10.050.10.050.10.050000 20 40 60 80 100Longueur [m]0 20 40 60 80 100Longueur [m]0 20 40 60 80 100Longueur [m]Force de contact [N]8006004002000−200−400−600−800v=0.1cCorde vibrantePoutre E−B−10000 20 40 60 80 100Longueur [m]6000400020000−2000−4000−6000v=1cCorde vibrantePoutre E−B0 20 40 60 80 100Longueur [m]80006000400020000−2000−4000−6000−8000v=1.5cPoutre E−BCorde vibrante0 20 40 60 80 100Longueur [m]Figure 1.24 – Représentation de la force de contact et du déplacement du point de contact pour plusieursvitesses de la charge mobile.Pour v > c, les trajectoires du point de contact sont proches, mais l’instabilité de flottementpersiste pour la poutre d’Euler-Bernoulli uniquement. Le paragraphe 1.2.2 a permis demontrer que la vitesse des ondes pour ce modèle tend vers l’infini, ce qui pourrait expliquerce comportement. En effet, la charge mobile rencontre probablement des reflexions d’ondesplus rapides.En conclusion, il est difficile d’expliquer tous les phénomènes mis en jeu dans ce couplage.On peut néanmoins conclure que la rigidité de flexion joue un rôle important.1.2.3 Système périodique ou presqueL. Brillouin [7] propose dans son livre une étude complète de la propagation d’ondes dansles structures périodiques, D.J. Mead [56; 57] a écrit un grand nombre d’articles sur l’influencede la périodicité sur le comportement d’une structure et M.L. Elhabre Bou Obeid[23] a consacré un chapitre de sa thèse aux aspects théoriques de la propagation d’ondes dansles réseaux périodiques. Dans le domaine ferroviaire, on retrouve des périodicités dans la caténaireou dans la voie [63; 78; 85].La caténaire est une structure de câble qui présente une bi-périodicité : les pendules et les28

Chapitre 1.Contexte et état de l’artpoteaux. Contrairement à la voie, la périodicité de la caténaire n’est pas parfaite. C’est àdire que les pendules sont séparés d’une distance multiple de 2,25 m et les poteaux d’unedistance qui oscille entre 25 m et 65 m en fonction de la topologie. Ces variations de distance,à l’échelle d’une caténaire complète, peuvent cependant être considérées comme uneperturbation de la périodicité.Bouzit et Pierre [6] ont étudié les effets d’une petite perturbation de la périodicité surla dynamique d’une poutre périodiquement supportée. Ils montrent que la légère modificationde la longueur d’une portée de la poutre peut altérer le comportement dynamique enlocalisant les vibrations et les ondes dans des zones géométriques restreintes. La figure 1.25illustre ce phénomène en représentant trois modes d’un fil périodiquement supporté avecune perturbation de la périodicité. Pour un couplage dynamique faible entre les différentesω i=40.2227Hz0Amplitude−0.1−0.23.3 6.6 10 13.3 16.6 20 23.3 26.6 30 33.3 36.6 40 43.3 46.6 50 53.3 56.6 60 63.3 66.6 70 73.3 76.6 80 83.3 86.6 90 93.3 96.6Longueur [m]ω i=396.7706HzAmplitude0.20.10−0.1−0.23.3 6.6 10 13.3 16.6 20 23.3 26.6 30 33.3 36.6 40 43.3 46.6 50 53.3 56.6 60 63.3 66.6 70 73.3 76.6 80 83.3 86.6 90 93.3 96.6Longueur [m]x 10 −3ω i =15902.4889Hz4Amplitude20−2−43.3 6.6 10 13.3 16.6 20 23.3 26.6 30 33.3 36.6 40 43.3 46.6 50 53.3 56.6 60 63.3 66.6 70 73.3 76.6 80 83.3 86.6 90 93.3 96.6Longueur [m]Figure 1.25 – Localisation des modes propres d’un fil supporté périodiquement avec une perturbation de lapériodicité.portées de la poutre, les ondes et les vibrations qui se propagent librement dans la structuresont par la suite piégées près de la source d’excitation. R.S. Langley [48] ajoute quel’amortissement peut également être à l’origine d’une concentration des vibrations dans unezone de la structure et d’une atténuation du même ordre de grandeur que la localisation dueaux irrégularités géométriques. Autrement dit, bien qu’une augmentation de l’amortissementréduise la réponse d’une structure périodique monodimensionnelle, l’effet est compensé jusqu’àun certain point par une augmentation de la concentration des vibrations.L. Jezequel [41] a proposé une solution simple pour étudier l’influence d’une force mobile29

1.2 Contexte scientifiquesur une poutre infinie, supportée périodiquement. A partir de ce modèle il a établi la présenced’une vitesse critique de la force de contact. F. Labergri [47] a repris ce modèle en utilisantune charge mobile, plus proche du comportement d’un pantographe et l’a utilisé commeréférence pour la validation du code Éléments Finis PACAT3D.K. Manabe [54] a construit un modèle de poutre périodiquement supportée sur laquellese déplace uniformément une force constante. Il a étudié l’influence de la périodicité sur lastabilité du système et a mis en évidence que la cause de la résonance reste, comme pour lecas sans périodicité, la coïncidence entre la vitesse de la force et la vitesse de propagationde l’énergie cinétique.La périodicité a été beaucoup étudiée pour la voie qui est constituée d’une superposition decouches plus ou moins régulières sur lesquelles est posée une structure périodique composéede traverses qui assurent le maintien des rails. S.N. Veritchev [84] a étudié la stabilitéd’une masse se déplaçant uniformément le long d’une poutre d’Euler-Bernoulli supportéepar une fondation périodique non homogène et fait la démonstration analytique que desinstabilités peuvent apparaître. La position de la zone d’instabilité varie en fonction de lapériode de non homogénéité et du poids de la masse mobile. Plus la périodicité est grandeet la masse légère plus la vitesse à laquelle se produit l’instabilité est grande.1.2.4 Contact unilatéralLa problématique du contact, omniprésente dans les problèmes industriels, a fait l’objet denombreuses études autour de son influence sur le comportement mécanique d’une structure.Raous et al. [68] proposent un état de l’art des méthodes propres aux problèmes de contact.Les phénomènes physiques propres aux problèmes de contact sont fortement non-linéairesce qui rend leur modélisation complexe. Bien qu’indissociable du contact, nous ne traiteronspas ici du problème de frottement.De manière générale, modéliser le contact entre deux solides consiste à déterminer les frontièresde contact (cf. figure 1.26). Un contact entre deux solides se caractérise donc par unesurface, une ligne ou un point de contact pour des solides 3D, par une ligne ou un pointde contact pour le cas 2D et par un point pour les modèles filaires (1D). Dans chacun descas, il est nécessaire de faire une description géométrique du contact (nombre et position despoints de contact) pour déduire les efforts de contact qui sont orientés suivant la normaleà la frontière de contact ⃗n, dans le cas sans frottement. Ces forces de répulsion, calculées àpartir du principe d’action-réaction, correspondent à l’effort nécessaire pour empêcher l’interpénétrationdes deux solides car ce phénomène n’est pas représentatif de la réalité.30

Chapitre 1.Contexte et état de l’artΓ uCorps déformableΓ FΓ u: Déplacements imposésΓ F: Forces imposéesΓ C: Zone de contactΓnC: normale sortante au contactΓtC: tangente au contactΓ CnFondation rigidetFigure 1.26 – Corps élastique en contact sur une fondation solide.Le contact unilatéral suppose qu’aucune force d’attraction n’existe entre les deux solides.A. Signorini [74] fut le premier à proposer des conditions mathématiques du contact unilatéralqui formalisent la non pénétration entre un corps linéairement élastique et une fondationrigide. Comme l’illustre la figure 1.27, où dz est l’interstice, elles supposent que la force deF ndzdz>0 dz

1.2 Contexte scientifiqueF nF n =−k c .dzdzFigure 1.28 – Conditions de Signorini régulariséetolérant une interpénétration des deux solides, elle ne respecte pas les conditions deSignorini mais elle peut être justifiée par la présence d’aspérités dans la surface desobjets en interaction susceptibles de se déformer sous l’action du contactCette méthode est facile à mettre en œuvre quelque soit la méthode d’intégrationtemporelle choisie. En revanche, la valeur de la raideur de contact, qui a une influencedirecte sur les résultats, est difficile à choisir : trop faible, l’interpénétration sera grande,ce qui n’est pas physiquement acceptable et trop grande, elle rigidifie artificiellementle système ce qui nuit au conditionnement mathématique du modèle.La méthode des multiplicateurs de Lagrange [20; 14] permet de respecter la conditionde non-pénétration avec l’introduction de variables supplémentaires (multiplicateursde Lagrange). En interdisant toute interpénétration, elle est souvent préférée à laméthode de pénalisation lorsque l’interstice dz subit des variations très faibles, commepar exemple dans l’étude du crissement des freins.Cette méthode est plus complexe à mettre en place que la méthode de pénalisation etaugmente considérablement la taille des modèles à résoudre notamment pour la gestiondes surfaces de contact pour les solides en trois dimensions.Cependant pour des modèles filaires (1D) comme le système pantographe-caténaire,un seul contact ponctuel existe entre les deux structures dont la position est parfaitementconnue. Autrement dit, un multiplicateur de Lagrange pour chaque pantographe,représentant l’effort de contact, permet de gérer la liaison entre les deux systèmes élastiques.1.2.5 Non-linéarités géométriquesDes non-linéarités fortes sont présentes dans le système pantographe-caténaire. L’unilatéralitédu contact entre ces deux sous-structures, ayant déjà été abordée précédemment, on peutégalement citer les effets non-linéaires géométriques engendrés par la forte précontrainte32

Chapitre 1.Contexte et état de l’artdes câbles et par l’unilatéralité des pendules.Le calcul de l’état statique de la caténaire est fortement non-linéraire étant donné que laraideur de la structure varie en fonction de la tension appliquée aux extrémitésdes câbles et que cette structure filaire, soumise à la gravité, subit de grands déplacements.De plus, en statique, les pendules sont en traction, mais en dynamique, lorsque lepantographe soulève le fil de contact, ils sont en compression. Ces câbles de petite sectionse déforment alors sans transmettre d’effort. A. Collina propose une régularisation de cesefforts sur la figure 1.29.Figure 1.29 – Condition d’unilatéralité améliorée (source : Polimi).Trois niveaux de description peuvent être choisis pour modéliser la caténaire :calcul statique et calcul dynamique non-linéaires. Les matrices (masse et raideur) sontrecalculées pour chaque changement d’état. Cette méthode est particulièrement lourdeet nécessite des temps de calcul très importants,calcul statique non-linéaire et calcul dynamique linéaire tangent. Autrement dit, onconsidère que le problème dynamique peut être linéarisé autour de sa position d’équilibre,calcul statique et calcul dynamique linéaires. Les non-linéarités géométriques sont prisesen compte comme une approximation de type précontrainte.Dans le chapitre 2, nous verrons que le problème précontraint suffit pour obtenir une descriptionprécise de l’état statique et dynamique de la caténaire. Cette approximation donnantde bons résultats pour des structures fortement précontraintes en traction.Le pantographe est un assemblage de tubes reliés par des liaisons mécaniques (rotules, pivots,etc.). Ces systèmes comportent donc également des non-linéarités (butées, frottement,amortissement, etc.). Pour la simulation, on peut utiliser soit des modèles fins comme les33

1.2 Contexte scientifiquesystèmes multicorps, soit des modèles linéarisés comme les systèmes masses-ressorts peuventêtre utilisés. De la même manière que pour la caténaire, nous montrerons dans les chapitressuivants que les modèles linéarisés autour de la position d’équilibre donnent des résultatssatisfaisants.ConclusionLa caténaire est une structure, quasi périodique, de câbles fortement précontraints. Trèssouple, elle permet la propagation d’ondes de flexion de grandes amplitudes qui se réfléchissentsur ses nombreux composants et se combinent pour donner des déplacements trèscomplexes. De plus, par conception, elle contient des non-linéarités qui rendent sa modélisationdifficile.Le pantographe est un système articulé, également non-linéaire, qui possède sa propre dynamiqueet peut être modélisé plus ou moins finement.Le couplage de ces deux sous-structures indépendantes, mobiles l’une par rapport à l’autreconcentre un grand nombre de difficultés avec notamment un contact glissant unilatéral. Deplus, la vitesse de déplacement du pantographe atteint une limite qui dépend des caractéristiquesde la caténaire et de ses réglages (tension mécanique), elle reste aujourd’hui leprincipal facteur limitant de la grande vitesse.Pour apporter des réponses sur le comportement dynamique du système, deux modèles ontété conçus en parallèle. Le premier, SAM, présenté dans le chapitre suivant, est un modèlesimple permettant de bien appréhender les phénomènes physiques mis en jeu. Le deuxième,OSCAR, est un logiciel basé sur la technique standard des Éléments Finis pour répondreaux contraintes industrielles.Pour résoudre certains problèmes numériques et pour palier le manque de reproductibilitédes mesures, une validation croisée des deux logiciels est effectuée dans les chapitres suivants.34

Chapitre 2Modèle semi-analytiqueIntroductionLa simulation du comportement dynamique du couple pantographe-caténaire met en jeu desphénomènes rarement abordés dans les problèmes de mécanique. En effet, le déplacement àgrande vitesse d’une structure élastique sur une structure souple présente des difficultés liéesà l’utilisation de la méthode classique des Éléments Finis. En effet, la discrétisation de lacaténaire soulève des désavantages et perturbe numériquement les résultats. [55].Aussi, pour s’affranchir de ces problèmes, une autre modélisation de la caténaire a été développée.Cette méthode, présentée dans ce chapitre, projette les déplacements successivementsur la base de Rayleigh-Ritz puis sur la base modale [90].La première décompose les déplacements en une somme de fonctions sinusoïdales infinimentdérivables, ce qui leur assure une continuité infinie. La seconde est une base de fonctionsstationnaires, les modes, pour décrire des phénomènes propagatoires. Le nombre importantde modes considérés permet d’obtenir une description très fine des déplacements.Dans ce travail, des méthodes permettant de réaliser le couplage temporel de la caténaireavec un pantographe sont détaillées. Le modèle de caténaire est un modèle 1D où les déplacementsverticaux et la flexion des câbles sont pris en compte. L’introduction des non-linéaritéset de défauts dans la caténaire est également possible et elle est exposée dans ce chapitre.Ce modèle a été développé pour mettre en évidence les limitations de la méthode ÉlémentsFinis dans le cas d’une charge mobile, pour tester des hypothèses avant de les implémenterdans le modèle industriel et pour effectuer une validation croisée avec le logiciel ÉlémentsFinis.

2.1 Description du modèle2.1 Description du modèleDans ce modèle, seule la caténaire de type 25000 Volts sans câble Y est modélisée. Ellecomporte un seul fil de contact, un câble porteur et des pendules verticaux séparés d’unelongueur multiple de 2,25 m. Le fil de contact et le câble porteur sont régulés en tension(tension constante) avec une tension mécanique différente pour le fil de contact (20 kN) et lecâble porteur (14 kN). Ils sont tous les deux desaxés par rapport à l’axe du pantographe cequi entraîne que tous les éléments sont dans le plan vertical. L’architecture de cette caténaireest simple et légère, c’est pourquoi elle est utilisée pour les lignes à grande vitesse (sauf LN1 1 ).Les caractéristiques (positions, masses, etc.) de chacun des composants proviennent des plansde construction de la ligne à grande vitesse entre Paris et Le Mans (LN2) afin de pouvoirvérifier la corrélation calcul/mesure.La caténaire est une structure de câble tridimensionnelle avec un désaxement du fil de contactet du câble porteur. Par conséquent, il existe des couplages entre les déplacements verticauxet latéraux que l’on néglige dans ce modèle. Cette hypothèse peut être justifiée par la prédominancedes mouvements verticaux sur les mouvements latéraux et elle permet de simplifierle modèle à une modélisation 1D qui prend en compte les déplacements verticaux des différentscomposants ainsi que la flexion des conducteurs.xT am pa1m pa2k p2k S1,m AS1k SW,m ASWCâble PorteurPendulesT bk p1m BS1m BSWFil de Contactm pb1m pb2Lk ppm papm pbpT aT bFigure 2.1 – Modèle de caténaireLe fil de contact et le câble porteur sont modélisés par des poutres d’Euler-Bernoulli avecun effort de prétention axial. Le câble porteur est soutenu par des ressorts modélisant l’ensemblepoteau-console qui est très rigide par rapport à la caténaire et dont la raideur estchoisie arbitrairement. Le bras de rappel est modélisé par une simple masse ponctuelle, demême que les griffes d’attache des pendules sur le fil de contact et sur le câble porteur.Les pendules, reliant le fil de contact au câble porteur, sont modélisés par des ressorts dontla raideur dépend de la longueur (k pendule = ES/L). Leur unilatéralité est prise en compteuniquement dans le calcul dynamique.1 LN1 : tronçon Paris-Lyon, cette caténaire comporte également des câbles Y36

Chapitre 2.Modèle semi-analytiqueLes déplacements verticaux du câble porteur et du fil de contact sont notés respectivementz a et z b . Les fils sont encastrés à leurs extrémités sur des supports rigides représentant lespoteaux aux extrémités du canton. Pour répondre aux conditions aux limitesz| 0= z| L= 0 et∂ 2 z∂x 2 ∣ ∣∣∣0= ∂ 2 z∂x 2 ∣ ∣∣∣L= 0 ,les déplacements des fils sont exprimés dans la base de Rayleigh-Ritz (cinématiquementadmissible)z a ( x, t ) =z b ( x, t ) =m∑im∑i( iπxA i (t) sinL( iπxB i (t) sinLoù x est l’abscisse le long de la caténaire, L est la longueur totale de la caténaire et [A i (t)B i (t)] sont les coefficients de Rayleigh-Ritz du câble porteur et du fil de contact. Ils représententl’amplitude du i ème terme.L’équation générale du mouvement de la caténaire à l’instant t,),),m¨z + kz = 0,est projetée dans la base de Rayleigh-Ritz :[ ] [ ] [ÄA ÄN T mN + N T kN = [ M ]¨BB¨B]+ [ K ][AB]= 0. (2.1)Les matrices de masse et de raideur, [ M ] et [ K ], sont déterminées en calculant l’énergiecinétique T , l’énergie de déformation ν pour tous les éléments de la caténaire, puis enappliquant les équations de Lagrange sous la forme [30] :( )d ∂Tdt ∂A ˙ iddt− ∂T∂A i+ ∂ν∂A i= 0,( ) ∂T∂B ˙ − ∂T + ∂ν = 0,i∂B i ∂B ioù 2m (i = 1 . . . 2m) est le nombre de degrés de liberté et ( ˙ ) désigne une dérivée par rapportau temps.Le calcul des modes propres de la caténaire seule, donne les modes propres et les vecteurs37

2.1 Description du modèlepropres :ω i et [ X ] =[AkiB k i].La projection de l’équation 2.1 dans la base modaleX T [ M ] X ¨q i + X T [ K ] Xq i = m i ¨q i + k i q i = 0permet de découpler les équations du mouvement, c’est à dire que m i est diagonale, ce quifacilite les calculs temporels. De plus la base modale peut être tronquée pour réduire lescoûts de calcul.Ce modèle simplifié de la caténaire utilise donc deux bases pour décrire la dynamique dela caténaire. Ces bases sont infiniment continues ce qui confère au modèle des propriétésintéressantes dans l’application d’une charge mobile. D’ailleurs, dans ce modèle, la caténaireest excitée par le passage d’un pantographe, sous la forme d’une force mobile constante oud’un système masses-ressorts.2.1.1 Le câble porteur (CP)Le câble porteur est précontraint à la tension T a et sa rigidité de flexion est notée EI a . Surla figure(2.1) et dans la suite du document, nous lui attribuons la lettre ou l’indice A/a.– Energie cinétique [30] :– Energie de déformationT = 1 21. Energie de précontrainte∫ L0Avecρ a( dzadt[ M a ] = ρ aL2) 2dx = 1 2 ˙ A T [ M a ] ˙ A⎡⎢⎣1 0. . .0 1⎤⎥⎦ν = 1 ∫ L( ) 2 ∂zaT a dx = 1 2 0 ∂x 2 AT [ K a ] A⎡ ⎤Avec [ K a ] = T 1 0aπ 2⎢2L ⎣ i 2 ⎥⎦0 m 238

Chapitre 2.Modèle semi-analytique2. Energie de déformation élastique en flexion∫ L2.1.2 Le fil de contact (FC)ν int = 1 ( ) ∂ 2 2z aEI a dx = 1 2 0 ∂x 2 2 AT [ K aint ] A⎡ ⎤Avec [ K aint ] = EI 1 0aπ 4⎢2L 3 ⎣ i 4 ⎥⎦0 m 4Le fil de contact est contraint à la tension T b et sa rigidité de flexion est notée EI b . Sur lafigure (2.1) et dans la suite du document, nous lui attribuons la lettre ou l’indice B/b.L’énergie cinétique et l’énergie de déformation caractérisant le FC sont calculées de la mêmemanière que pour le câble porteur.– Energie Cinétique[ M b ] = ρ bL2⎡⎢⎣1 0. ..0 1⎤⎥⎦– Énergie de déformation1. Energie de précontrainte⎡[ K b ] = T bπ 2⎢2L ⎣⎤1 0i 2 ⎥⎦0 m 22. Energie de déformation élastique en flexion2.1.3 Les pendules[ K bint ] = EI bπ 42L 3⎡⎢⎣⎤1 0i 4 ⎥⎦0 m 4Pour maîtriser la flèche du fil de contact, le câble porteur soutient ce dernier par l’intermédiairede P pendules. Ils sont répartis le long du canton aux position x p et sont séparés d’unedistance multiple de 2,25 m. Ils sont de longueur variable et, par conséquent, de masse et deraideur bidirectionnelle variable (cf. Tab 2.1). Les masses qui modélisent les griffes d’attache39

2.1 Description du modèlereliant les pendules au FC et au CP ainsi que la moitié du poids du câble du pendule sontrespectivement notées m pap et m pbp .A. Collina [12]longueur [cm] 30 50 70 90Raideur en tension [kN/m] 400 212 194 103Raideur en compression [kN/m] 0.34 0.032 0.024 0.035Tableau 2.1 – Raideur axiale des pendules en fonction de leur longueur.– Énergie cinétiqueT pa = 1 2T pb = 1 2P∑p=1P∑p=1– Energie de déformationm dpz˙2 a = 1 2m dp z˙2 b = 1 2P∑p=1P∑p=1m dpm dpAvec [ M pa ] = [ M pb ] =∑ m (A˙i sin iπx ) 2p= 1 2ȦT [ M pa ]LȦi=1∑ m (B˙i sin iπx ) 2p= 1 2ḂT [ M pb ]LḂi=1⎡sin P∑2 πx psin iπxpLLm dp⎢ . ..⎣sym sin 2 mπx pLp=1jπxpsinL⎤⎥⎦ν p = 1 2P∑k dp ( z b − z a ) 2p=1= 1 2 AT [ K pa ] A + 1 2 BT [ K pb ] B − 1 2 AT [ K pab ] B − 1 2 BT [ K pab ] A} {{ }termes de couplage⎡sin P∑2 πx pLAvec [ K pa ] = [ K pb ] = [ K pab ] = k dp⎢ . ..⎣p=1symsin iπxpLjπxpsinLsin 2 mπx pL⎤⎥⎦2.1.4 Les supportsAu nombre de T, les supports soutiennent toute la caténaire. Ils sont modélisés par une raideuret une masse importantes et jouent un rôle important sur le comportement dynamiquedu CP. En revanche, ils n’influencent le FC que par la présence d’une masse ponctuelle modélisantle bras de rappel. En effet, dans la réalité, ce dernier est relié par une rotule (ouun pivot en 2D) au bras anti-balançant et n’ajoute donc pas de raideur supplémentaire. On40

Chapitre 2.Modèle semi-analytiquenotera x t la position de chaque support le long de la caténaire.– Energie cinétiqueT ta = 1 2T∑t=1m taAvec [ M ta ] =z˙2 a = 1 2T∑t=1⎡T∑m ta⎢⎣t=1m tam∑i=1sin 2 πxtsym(˙ A i sin iπx tL· · · sin iπxtL L. .. .) 2= 1 2ȦT [ M ta ] ˙ AjπxtsinLsin 2 mπxtL⎤⎥⎦T tb = 1 2T∑t=1– Energie de déformationν t = 1 2m tb z˙2 b = 1 2Avec [ M tb ] =T∑t=1m tb⎡T∑m tb⎢⎣t=1T∑k tb zb 2 = 1 2 BT [ K tb ] Bt=1Avec [ K tb ] =⎡T∑k tb⎢⎣t=1(B˙i sin iπx ) 2t= 1 2ḂT [ M tb ]LḂ⎤· · · sin iπxt jπxtsinL L L. .. . ⎥⎦symm∑i=1sin 2 πxtsin 2 mπxtLsin 2 πxt · · · sin iπxtL Lsymsin 2 iπxtLsin jπxtL.sin 2 mπxtL⎤⎥⎦2.1.5 Les matrices globalesLes équations du mouvement du système libre sont écrites en utilisant les équations deLagrange (2.2) avec les énergies cinétiques et les énergies de déformation telles que :[ M ] 2m×2m(ĨB)2m×1+ [ K ] 2m×2m(AB)2m×1= 0 (2.2)Où [ M ] est la matrice de masse et [ K ] est la matrice de raideur, m est le nombre de sinusutilisés.41

2.2 Calcul statique⎡⎤[ M ] 2m×2m= ⎣ [ M a ] + [ M pa ] + [ M ta ] 0⎦ (2.3)0 [ M b ] + [ M pb ] + [ M tb ]⎡⎤[ K ] 2m×2m= ⎣ [ K a ] + [ K a int ] + [ K pa ] + [ K ta ] − [ K pab ]⎦(2.4)− [ K pab ] [ K b ] + [ K b int ] + [ K pb ]2.2 Calcul statiqueLe calcul de la déformée statique du fil de contact joue un rôle très important dans les résultatsde la dynamique du couple pantographe-caténaire car on considère que les déplacementsse font autour de la position d’équilibre statique.Le calcul statique réalisé dans ce modèle propose une des solutions du problème inverse.C’est à dire que l’on part de la géométrie finale pour déterminer la configuration de départ.Le calcul statique est réalisé dans la base de Rayleigh-Ritz car, à ce stade, le passage dansla base modale ne présente aucun intérêt.2.2.1 Force de pesanteurPour introduire les forces de pesanteur dans les équations, il est nécessaire de calculer leurtravail dans la base de Rayleigh-Ritz en reprenant les équations de Lagrange(cf. équation 2.2).– Pesanteur d’un filδW fil =∫ LSi i pair : δW fil = 0Si i impair :La force de pesanteur d’un fil s’écrit :0ρ fil g z b dx = −ρ fil g ∑ iδW fil = 2 ρ fil g ∑ iB iLiπ = BT i F gfil⎧⎨ 0 si i pairF gfil =⎩ 2 ρ fil g L si i impair (i = 1. . .m)iπB iLiπ ( cos(iπ) − 1 )42

Chapitre 2.Modèle semi-analytiqueLes forces de pesanteur du CP et du FC sont respectivement notées F gfilCP et F gfilF C .– Pesanteur des masses ponctuellesδW masse = ∑ i= m g ∑ im g z b (x masse )= B T i F g masse(B i sin iπx )masseLLa force de pesanteur des masses est :F g masse = m g ∑ isin iπx masseL(i = 1. . .m)Soient F gAp , F gAs et F gBp , F gBs les forces de pesanteur des masses ponctuelles des penduleset des supports sur le CP et le FC.Soit F g sin le vecteur force regroupant les forces de pesanteur sur le CP et sur le FC dans labase de Rayleigh-Ritz :F g sin = −[ ]FgfilCP + F gAp + F gAsF gfilF C + F gBp + F gBs2.2.2 Déformée statiqueL’application des forces de pesanteur sur deux fils horizontaux reliés par des pendules demême longueur permet d’établir la déformée statique de la caténaire dans la base de Rayleigh-Ritz :[AstatB stat]= [ K ] −1 .F g sinDans la base physique la déformée statique s’écrit :z stat = ∑ i[AstatB stat]sin iπxL .On remarque sur la figure 2.2, que la flèche globale est supérieure à 20 cm ce qui ne reflètepas la réalité. L’erreur sur la déformée statique est liée à deux problèmes :– les conducteurs ne sont pas horizontaux et les variations de tensions induites par lesdéflexions ne sont pas prises en compte,43

2.2 Calcul statique0Déformée statique−0.1−0.2flèche [m]−0.3−0.4−0.5Cable porteurFil de contact0 50 100 150 200 250 300 350x [m]Figure 2.2 – Déformée statique. Cas d’une caténaire bi-périodique de 5 portées.– dans le modèle, les pendules sont de longueur constante ce qui ne reflète pas la réalité.C’est en jouant sur la longueur des pendules qu’il est possible d’obtenir une flèche donnéedu fil de contact.Pour calculer un état statique correspondant à la réalité, une stratégie de calcul corrigeantla deuxième hypothèse a été développée. Elle s’appuie sur l’équilibre statique de la caténaire(cf. figure 2.3).T CPT CPg CP-T pendT FC T pendT FCg FCFigure 2.3 – Bilan des forces sur la caténaire à l’état statiqueLa tension T pend dans les pendules correspond au poids du fil de contact qu’il soutient. Pourla calculer en fonction d’une flèche imposée z F Cstat du fil de contact, il est nécessaire derevenir dans la base physiquez = ∑ i[ ]Aisin iπxB iL= N T [AB].44

Chapitre 2.Modèle semi-analytiqueSoient [ K F C ], [ M F C ] et [ F gF C ] 2 les matrices de masse, de raideur et le poids du fil decontact seul dans la base de Rayleigh-Ritz. La déformée du fil de contact aux attaches despendules est définie par[zF Cstatpend]=∑iB i sin iπx pendL= N T pendB stat ,avecN pend = sin iπx pendLla base de Rayleigh-Ritz associée aux pendules.L’état statique du fil de contact seul étant donné par[ K F C ] B stat = F gF C + N pend T pend =⇒ B stat = [ K F C ] −1 F gF C + [ K F C ] −1 N pend T pend ,on obtient par substitution[zF Cstatpend]= NTpend [ K F C ] −1 F gF C + N T pend [ K F C ] −1 N pend T pend .D’oùT pend = [ N T pend [ K F C ] −1 N pend] −1.[[ zb stat pend ] − N T pend [ K F C ] −1 F gF C](2.5)L’équation 2.5 permet de déterminer la tension dans les pendules menant à l’équilibre pourune flèche imposée.200tensions dans les pendulesfleche 1/2000fleche 1/1000tensions [N]15010050526.5 580.5 634.5 688.5 742.5Longueur [m]Figure 2.4 – Comparaison de la tension dans les pendules pour une flèche de 1/1000 et 1/2000.Pour calculer la position du câble porteur, nous procédons de la même manière que pour lefil de contact. Le câble porteur est étudié seul, la gravité et les tensions dans les pendules,2 F gF C = −(F gfilCP + F gAp + F gAs )45

2.2 Calcul statiquecalculées précédemment dans l’équation (2.5), sont appliquées sur le câble pour déterminersa flèche. Soient [ K CP ] la matrice de raideur et [ F gCP ] 3 le poids du câble porteur dans labase de Rayleigh-Ritz (cf. §2.2.1).Dans les singularités, la hauteur de fixation du CP sur les poteaux change. Le fil de contactreste lui à la même hauteur pour garantir la continuité géométrique du plan de contact. Pourdéterminer la longueur des pendules dans ces zones particulières, il est nécessaire de tenircompte de cette variation de l’encombrement. Or dans le modèle, le câble porteur est accrochéà des ressorts modélisant le poteau et la console (cf. figure 2.1). Pour modifier la hauteurdu câble porteur, il faut ajouter une force supplémentaire correspondant à la déformationdu ressort permettant d’obtenir la bonne hauteur de fixation du câble porteur.Posons N supp = sin iπx suppla base de Rayleigh-Ritz associée aux supports. L’état statiquedu câble porteur dans la base de Rayleigh-Ritz s’écritL:⎡⎤A stat = [ K CP ] −1 ⎢⎥⎣ F gCP − N pend T pend + N supp ( ( z supp − z suppnominal ) ∗ k suppi ) ⎦} {{ }hauteur de fixation du CP[ ]AstatLe vecteurcontient une description complète de l’état statique de la caténaireB statdans la base de Rayleigh-Ritz.Cette méthode permet d’imposer une flèche au fil de contact et de retrouver l’effet chaînettecaractéristique du fil de contact. Les résultats des figures 2.5 et 2.6 correspondent à uneflèche parabolique parfaite. Il important de noter que la flèche provenant du logiciel ÉlémentFinis peut également être imposée pour valider l’état statique de la caténaire (cf. §4.3.1).250Déformée statique200fleche [cm]1501005000 49 98 148 203 257 311 365 419 473 527 581 635 689 743 797 851 905 95910131067112 117512291283Longueur [m]Figure 2.5 – Déformée statique d’un canton complet avec des variations de hauteur du câble porteur.La flèche obtenue pour une portée de 54 m est de 5,48 cm au lieu de 5,4 cm ce qui correspondbien à une flèche de 1/1000, et, par conséquent, valide la méthode (cf. figure 2.6).3 F gCP = −(F gfilF C + F gBp + F gBs )46

Chapitre 2.Modèle semi-analytiqueDéformée statique0−1fleche [cm]−2−3−4−5581 635Longueur [m]Figure 2.6 – Zoom sur une portée de la déformée statique du fil de contact de la figure 2.5.Certaines approximations comme la raideur et la tension constante dans les conducteursparaissent être négligeables étant donné la qualité des résultats. Néanmoins, la modélisation1D néglige le couplage entre les déplacements latéraux et verticaux. En effet, selon la tensionet le désaxement du fil de contact, les bras de rappel modifient l’état statique du fil de contactautour des poteaux.2.2.3 Influence des bras de rappel sur la caténaireLa combinaison de l’inclinaison du bras de rappel, de la tension mécanique dans le fil decontact et du désaxement génère une force verticale qui modifie la géométrie statique du filde contact autour des poteaux. La figure 2.7 illustre le montage du bras de rappel.Console + PoteauBras de rappelAβ 2αBm fil.gCâble porteurFil de contactT BF yF zβ 1T BzxyFigure 2.7 – Influence du bras de rappel sur la caténaire47

2.2 Calcul statiqueLa tension mécanique T B dans le fil de contact, projetée sur l’axe y, donne une force latéraleF y (cf. figure 2.8) :(F y = T B sin β 1 + T B sin β 2 avec β = arctanDésaxementLongueur de la portée).AαF yF rzyF yF z x T BT BBmgyFigure 2.8 – Efforts exercés sur le bras de appelLa force verticale F z qui en résulte dépend de l’angle d’inclinaison du bras de rappel :F z = F y sin α, (2.6)et à l’équilibre, elle est égale au poids du fil de contact (cf. figure 2.8) :F z ⃗z = −mg ⃗z ⇔ F y sin α = −mg cos α.Où m = m BR + m F C 4 .Or, le poids du fil de contact soutenu par le bras de rappel dépend de son angle d’inclinaisonα (cf. figure 2.9).F 1F 2>F 1a) b) c)Figure 2.9 – Illustration de la variation de la masse du fil de contact en fonction de la hauteur.La matrice de raideur du tronçon de fil de contact, de longueur L tronçon , entre les deuxpendules entourant le bras de rappel est donnée par⎡π 2[K fil ] = T b⎢2L ⎣ tronçon⎤1 0. . . ⎥⎦ + EI b0 m 2π 42L 3 tronçon4 m BR est la masse du bras de rappel et m F C est la masse du fil de contact⎡⎢⎣⎤1 0. . . ⎥⎦0 m 448

Chapitre 2.Modèle semi-analytiqueLes efforts de gravité sont donnés par( ) iπxBRF gBR = m BR g sin+ 2 ρ F C g L tronçonLi impair π ,où N BR 5 est la base de sinus associée aux bras de rappel.Pour une hauteur z BR donnée, on obtientm F C g = [ z BR ] − N T BR [ K fil ] −1 F gBRN T BR [ K fil ] −1 N BR. (2.7)En faisant évoluer z BR , on obtient l’équilibre donné dans l’équation (2.6).Dans la base de Rayleigh-Ritz ces forces s’écrivent :F zBR = m F C g ∑ isin iπx BRL(i = 1. . .m)Les forces qui en résultent sont ensuite introduites dans le calcul statique précédent :F g sin = −[]F gfilCP + F gAp + F gAsF gfilF C + F gBp + F gBs + F zBRCes corrections des forces de bras de rappel sont déterminées uniquement dans le calculstatique. Par conséquent, dans le calcul dynamique elles restent constantes. Seule une modélisationentièrement tridimensionnelle permet de calculer temporellement l’évolution de cesefforts.250200tensions dans les pendulesSans correction des bras de rappelAvec correction des bras de rappeltensions [N]15010050580.5 634.5 688.5Longueur [m]Figure 2.10 – Tensions dans les pendules pour une flèche de 1/1000 avec ou sans correction des forces dansles bras de rappelL’application des forces de correction dans les bras de rappel a pour conséquence une diminutionde la tension dans les pendules entourant le bras de rappel (cf. figure 2.10) et la5( ) iπxBRN BR = sinL(i = 1. . .50)49

2.3 Calcul dynamiquegéométrie du fil de contact au niveau du bras de rappel est modifiée (cf. figure 2.11).Déformée statique0−1fleche [cm]−2−3−4−5Sans correction du bras de rappelAvec correction du bras de rappel580.5 634.5 688.5Longueur [m]Figure 2.11 – Déformée statique avec et sans correction des forces dans les bras de rappel2.3 Calcul dynamiqueLe calcul dynamique consiste à créer un couplage entre la caténaire et une charge mobilemodélisant le pantographe. Dans cette partie sont présentées les différentes étapes qui ontpermis de réaliser une intégration temporelle donnant des temps de calcul raisonnables.2.3.1 Utilisation de la base modalePlusieurs raisons justifient le passage dans la base modale pour effectuer le calcul dynamique: l’intégration numérique est mieux conditionnée avec une matrice de masse identitém i et une matrice de raideur k i diagonale, les temps de calcul sont largement diminués etenfin, l’amortissement dans la caténaire est facile à introduire.L’équation aux valeurs propres est déduite de l’équation (2.2)det ( [ K ] − ω 2 [ M ] ) = 0.Elle permet de calculer les fréquences propres de la caténaire ω 1 , . . . , ω 2m ,et les vecteurs propres :⎡[ X ] 2m×2m=⎢⎣⎤a 1,1 a 1,2 . . . a 1,i . . . a 1,2m. . . .a m,1 a m,2 . . . a m,i . . . a m,2mb 1,1 b 1,2 . . . b 1,i . . . b 1,2m. . . . ⎥⎦b m,1 b m,2 . . . b m,i . . . b m,2m2m×2m(2.8)50

Chapitre 2.Modèle semi-analytiqueNotons que la déformée modale du i eme mode respectivement pour le CP et pour le FC estdonnée par :φ Ai =φ Bi =m∑j=1m∑j=1a ji sin jπxLb ji sin jπxL0.1ω = 0.903 [Hz]0.1ω = 0.919 [Hz]0.050.0500−0.05−0.05−0.10.1 54.1 117.1180.1243.1306.1369.1432.1Longueur [m]ω = 0.944 [Hz]0.10.050−0.05−0.10.1 54.1 117.1180.1243.1306.1369.1432.1Longueur [m]ω = 1.007 [Hz]0.10.050−0.05−0.10.1 54.1 117.1180.1243.1306.1369.1432.1Longueur [m]ω = 1.169 [Hz]0.10.050−0.05−0.10.1 54.1 117.1180.1243.1306.1369.1432.1Longueur [m]−0.10.1 54.1 117.1180.1243.1306.1369.1432.1Longueur [m]ω = 0.975 [Hz]0.10.050−0.05−0.10.1 54.1 117.1180.1243.1306.1369.1432.1Longueur [m]ω = 1.032 [Hz]0.10.050−0.05−0.10.1 54.1 117.1180.1243.1306.1369.1432.1Longueur [m]ω = 1.169 [Hz]0.10.050−0.05−0.10.1 54.1 117.1180.1243.1306.1369.1432.1Longueur [m]Figure 2.12 – Déformées modales du FC pour les 8 premiers modes (caténaire de Vaires).Considérons les modes de la caténaire comme variables généralisées q i . Les équations demouvement généralisées de la caténaire s’écrivent sous la forme :m i¨q i + k i ˙q i = m i(¨qi + ω 2 i ˙q i)= Qi (t) avec ω i =√kim i(i = 1,2,. . .,2×m) (2.9)Où m i est la matrice de masse généralisée, k i la matrice de raideur généralisée et Q i (t) le51

2.3 Calcul dynamiquevecteur de force généralisé :m i = X T [ M ] Xk i = X T [ K ] Xm i est normalisée telle qu’elle soit la matrice identité. Par conséquent, k i = ω 2 i .L’état statique sert d’initialisation au calcul dynamique. Il est donc nécessaire de calculer ladéformée statique q stat dans la base modale. Or dans les trois bases utilisées, les déplacementss’écrivent :[ ]z stat = N T Astat= N T X q stat ,B statet comme avec X T[ M ] X = Iq stat = X T [ M ][Astat].B statLes forces de pesanteur dans la base modale sont données par :F pes = X T ([ K ][AstatB stat] ). (2.10)Ces forces seront ensuite insérées dans le calcul de la force de contact comme un chargementconstant dans la boucle temporelle.Il est également possible de reconstituer la déformée statique (cf. figure 2.5) telle que :z a stat = ∑ iA stat i sin iπxL= N T A stat= N T Xq stat = q stat φ Az b stat = ∑ B stat i sin iπxL= N T B stati= q stat φ B2.3.2 Intégration temporelleLe pantographe est une structure élastique linéarisée autour de la position d’équilibre. C’estun système masse-ressort d’un ou de trois étages (cf. figure 2.13) dont les caractéristiquesproviennent d’une linéarisation du modèle multicorps ou d’une analyse modale des mesures.52

Chapitre 2.Modèle semi-analytique8 Kg8 Kg10 Ns/mxxx N/m6045 N/mF a= 00-4010 6 N/m9000 N/mF a= 04,63 Kg9,1 Kgx5 Ns/m x 5400 N/mF a= 0,019 V 2560 Ns/m -145 1200 N/mF a= 0,019 V 2x N/m10 6 N/m32 Ns/mCX4,8 Kgxxx N/m1 N/mF s= 70 NF a= 0,002 V 2140 Ns/m (descente)5 Ns/m (montée)GPU23 Kg195-100010 6 N/m1 N/mF s= 70 NF a= 0,002 V 2Figure 2.13 – Modèle masse/ressort trois étages du pantographe. gauche : CX 25kV ; droite : GPU 25kV.La force de contact F (t) entre le pantographe et la caténaire est fonction du temps. Pourréaliser le couplage des deux systèmes, une intégration temporelle est nécessaire.La méthode des différences finies centrées a été choisie. L’ensemble des développementssuivants (non-linéarités, gestion du contact, etc.) est basé sur ce choix. Ce schéma expliciteutilise un pas de temps constant dt, et avec les développements de Taylor au temps tU(t + dt) = U(t) + dt ∂U∣ ∂t ∣ + ( dt ) 2 ∂ 2 U ∣∣∣t+ O(( dt ) 2 ) ,t∂t 2U(t − dt) = U(t) − dt ∂U∣ ∂t ∣ + ( dt ) 2 ∂ 2 U ∣∣∣t+ O(( dt ) 2 ) ,t∂t 2limités à l’ordre 1, on peut exprimer la dérivée première de deux façons∂U∂t ∣ = t∂U∂t ∣ =tU(t + dt) − U(t)dtU(t) − U(t − dt)dt+ O(dt) ,+ O(dt) .En effectuant la moyenne des deux, on obtientU(t + dt) − U(t − dt)˙U(t) =2dtÜ(t) = ˙U(t + dt/2) − ˙U(t − dt/2)dt=U(t + dt) − 2U(t) + U(t − dt)( dt ) 2 . (2.11)53

2.3 Calcul dynamiqueEn première approximation, considérons le pantographe comme le système masse-ressort àun étage de la figure 2.14.F(t)m pk pC pF 0vv statFigure 2.14 – Modélisation du pantographe comme un système masse/ressort un étageL’équation du mouvement du système masse-ressort dans la base physique s’écrit :m p¨v + C p ˙v + k p ( v − v stat ) = −F (t) avec k p v stat = F 0 F 0 : force statiqueLe schéma différences finies centrées permet d’écrirev(t + dt) = a p v(t) + b p v(t − dt) − c p F (t) + c p F 0 (2.12)où les coefficients a p , b p et c p sont donnés para p =()4m p − 2 ( dt ) 2 k pC p dt + 2m p; b p =( )Cp dt − 2m pC p dt + 2m p; c p =()2 ( dt ) 2C p dt + 2m pD’après le principe d’action-réaction, l’équation du mouvement de la caténaire au point decontact dans la base modale s’écrit :m i¨q i + 2ζ i ω i q˙i + k i q i = F (t)φ i (v0t) + F pes . (2.13)L’application du schéma différences finies centrées pour la caténaire donne :q i (t + dt) = a i q i (t) + b i q i (t − dt) + c i F (t)φ i (v 0 t) + c i F pes (2.14)où les coefficients a i , b i et c i sont donnés para i =(2 − ω 2 i ( dt ) 21 + ω i ζ i dt); b i =( −1 + ωi ζ i dt1 + ω i ζ i dt); c i =()( dt ) 2m i ( 1 + ω i ζ i dt )54

Chapitre 2.Modèle semi-analytiqueL’initialisation du calcul temporel se fait avec q i (0) = q stat pour que le système soit à l’équilibreau pas de temps initial.2.3.3 Stabilité du schéma différences finies centréesAfin d’étudier la stabilité du schéma différences finies centrées, prenons l’équation différentiellem¨q + c ˙q + kq = 0 ,et appliquons lui˙q =¨q =q(t + dt) − q(t − dt)2dtq(t + dt) − 2q(t) + q(t − dt)( dt ) 2nous obtenons l’équation discrétisée[1( dt ) 2 m + 1 ][2dt c q(t + dt) + k − 2 ] [( dt ) 2 m 1q(t) +( dt ) 2 m − 1 ]2dt c q(t − dt) = 0 .Soit q n = λ n q 0 solution particulière, qui appliquée à l’équation précédente donne{ [m + dt ]2 c λ 2 + [ k ( dt ) 2 − 2m ] [λ + m + dt ] }2 c q 0 = 0 .√kcAvec ω = et = 2ωζ ,m mon peut également écrire[ 1 + ωζdt ] λ 2 + [ −2 + ω 2 ( dt ) 2 ] λ + [ 1 − ωζdt ] = 0La condition de stabilité de la solution particulière est simple : λ(dt) doit être inférieur ouégal à 1, sinon la solution particulière diverge.λ ≤ 1 ⇒ Stabilitéλ ≥ 1 ⇒ InstabilitéPour déterminer λ, il est nécessaire de calculer le déterminant∆ = ω 2 ( dt ) 2 ( ω 2 ( dt ) 2 − 4 + 4ζ 2 ) ,et son signe définit la stabilité du schéma55

2.3 Calcul dynamique∆ < 0 ⇒ 2 racines complexes conjuguées de module ≤ 1 ⇒ STABLE∆ > 0 ⇒ 2 racines réelles dont une supérieure à 1 ⇒ INSTABLEDans notre cas, la condition de stabilité du schéma différences finies centrées estdt < 2ω m√1 − ζ2avec ω m = max(ω i )Le nombre de sinus choisi pour décomposer les déplacements de la caténaire est lié au nombrede modes du système. Autrement dit, plus la précision du modèle augmente, plus la fréquenceω m est grande et plus le pas de temps dt doit être petit. On remarque également que le tauxd’amortissement ζ est déstabilisant.2.3.4 Force mobile constanteL’étude d’une force mobile constante appliquée sur la caténaire est réalisée analytiquement.L’intérêt de cette étude est de vérifier que l’intégration numérique n’influence pas les résultats.Le pantographe est modélisé comme une force mobile constante F 0 se déplaçant à la vitessev 0 . Le point de contact se situe à l’abscisse x = v 0 t.Dans la base physique l’équation du mouvement s’écrit :mü + ku = F 0 .Dans la base sinuoïdale :[Ä]][ABN T mN¨B[Ä]+ N T kN]= N T F 0[AB[ M ]¨B+ [ K ]= F sinAvec⎛F sin =⎜⎝0.0F 0 sin πv 0tL.F 0 sin mπv 0tL⎞⎟⎠2m×2m56

Chapitre 2.Modèle semi-analytiqueet enfin, dans la base modaleX T MX ¨q i + X T KX q i = X T F sin[0m i ¨q i + k i q i = F 0φ B (v 0 t)]2m×1(2.15)Q i (t) est la force généralisée exercée sur la caténaire correspondant au i eme mode.L’ajout de la gravité dans l’équation 2.15 donne :[0m i ¨q i + k i q i = F 0φ B (v 0 t)]+ F pes ,où F pes est la force de gravité sur la caténaire dans la base modale donnée dans l’équation 2.10.Soit la solution particulière :m i¨q i + k i q i = F 0m∑k=1b k,i sin αt + F pes avec α = kπv 0L(k = 1,. . .,m) (2.16)La transformée de Laplace permet d’écrirem i(S 2 Q − Sq i (0) − ˙q i (0) ) + k i Q − k i q i (0) = F 0m∑k=1b k,iαS 2 + α 2 + F pesS .Avec les conditions aux limites (q i (0) = q stat ; ˙q i (0) = 0), on peut écrirem i ( S 2 Q − Sq stat ) + k i Q − k i q stat = F 0m∑Q ( S 2 + ω 2 i ) − q stat ( S + ω 2 i ) = F 0m iQ = F 0m ik=1b k,i∑ mb k,ik=1∑ mb k,ik=1+ F pesm i1S ( S 2 + ω 2 i )αS 2 + α 2 + F pesS ,αS 2 + α 2 + F pesSm i,α( S 2 + α 2 ) ( S 2 + ω 2 i )+q statS + ω 2 iS 2 + ω 2 i.La transformée inverse de Laplace permet de déterminer l’équation analytique des déplace-57

2.3 Calcul dynamiquements dans la base modale q i (t)q i (t) =m∑k=1( ) [F 0 α 1b k,im i ωi 2 − α2 α sin αt − 1 ]sin ω i tω i+ F pesm i ω 2 i( 1 − cos ( ω i t ) )(2.17)+q stat ( ω i sin ( ω i t ) + cos ( ω i t ) ) .Après avoir projeté la force dans la base de Rayleigh-Ritz puis dans la base modale, ladernière étape consiste à reconstituer les déplacements de la caténaire z a et z b dans la basephysique :z a (x, t) =z b (x, t) =m∑q i (t)i=1m∑q i (t)i=1m∑( ) jπxa ji sinLm∑( ) jπxb ji sinLj=1j=1La comparaison des résultats ci-dessus et de l’intégration numérique (cf. §2.3.2) est donnéedans le paragraphe 2.5.1.2.3.5 Amortissement dans la caténaireLa caténaire est un système amorti. Aussi, le modèle doit également inclure de l’amortissement.L’équation du mouvement dans la base de Rayleigh-Ritz donnée par l’équation 2.2s’écrit alors :[ M ] 2m×2m(ĨB)2m×1+ [ C ] 2m×2m( ˙ AḂ)2m×1+ [ K ] 2m×2m(ABCette formulation du problème n’est pas avantageuse pour deux raisons. La première est queles matrices [ M ], [ C ] et [ K ] sont de taille (2m × 2m), et, pour un nombre élevé de modes(m sinus = 2m modes), le calcul nécessite beaucoup de ressources matérielles. La deuxièmeest que nous ne disposons pas des valeurs expérimentales pour caractériser l’amortissementréel des éléments de caténaire.)2m×1= 0.Le passage dans la base modale propose une solution simple pour introduire de l’amortisse-58

Chapitre 2.Modèle semi-analytiquement dans le modèle :X T MX ¨q i + X T CX q˙i + X T KX q i = 0m i ¨q i + c i q˙i + k i q i = 0¨q i + 2ζ i ω i q˙i + ωi 2 q i = 0 avec ζ i = c iet ω i =2ω i m ioù ζ i est l’amortissement visqueux modal de la caténaire.√kim iHabituellement pris constant, il donne une bonne corrélation avec les essais. Cependant,cela sous-entendrait que la caténaire est un système homogène présentant les mêmes caractéristiquesd’amortissement en tout point, ce qui n’est pas très réaliste. Il est en effet peuprobable que la dissipation soit la même pour tous les composants de la caténaire.Chaque composant de la caténaire possède un amortissement différent qui dépend de sagéométrie (longueur, section, etc.) et de sa construction (câbles tressés, poutres, matériaux,etc.).Dans ce modèle d’amortissement, les composants sont regroupés par type (pendules, fil decontact, câble porteur, supports) et un facteur de perte différent est attribué à chacun pourdéfinir un amortissement hystérétique. Pour cela, nous multiplions les différentes matricesde raideur des sous-structures par un coefficient (1 + i η) où η est le facteur de perte dechaque sous-structure. Nous notons [ K ] la matrice de raideur de la caténaire dans la basede Rayleigh-Ritz, [ K F C ], [ K CP ], [ K pend ] et [ K supp ] les matrices de raideur propres au filde contact, au câble porteur, aux pendules, et aux supports :[ K F C ] ∗ = [ K F C ] (1 + i η F C ) ,[ K CP ] ∗ = [ K CP ] (1 + i η CP ) ,[ K pend ] ∗ = [ K pend ] (1 + i η pend ) ,[ K supp ] ∗ = [ K supp ] (1 + i η supp ) ,ce qui donne pour la raideur globale⎡⎤[ K ] ∗ 2m×2m = ⎣ [ K CP ] ∗ + [ K pend ] ∗ + [ K supp ] ∗ − [ K pend ] ∗⎦ .− [ K pend ] ∗ [ K F C ] ∗ + [ K pend ] ∗où [ K ] ∗ 2m×2mest la matrice de rigidité complexe.La matrice de raideur dans la base modale est également complexe. D’après l’hypothèse de59

2.3 Calcul dynamiqueBasille, on peut négliger les termes de couplages :¯k = diag ( X T [ K ] ∗ 2m×2m X ) ,on peut donc écrire ¯k sous la forme¯k i = k i (1 + i η i ) ,oùk i = R(¯k) = ω 2 iη i = I(¯k)/R(¯k)où η i est l’amortissement structural modal (affecté à chaque mode). Pour revenir à l’amortissementmodal visqueux, on utiliseζ i = η i /2 ,pour un mode i, à la fréquence ω i , donné. Désormais, ζ i est un amortissement modal visqueuxvariable, dépendant des taux de pertes affectés à chaque sous-structure de la caténaire.Force [N]400200Pas d’amortissementMesureSimulationζ i[%]100400634.5 688.5ζ =1% i−10.04200 400Force [N]2000400634.5 688.5ζ i=1% à 3Hzζ i[%]0.0201200 400Force [N]Force [N]20004002000634.5 688.5Amortissement structural634.5 688.5Longueur [m]ζ i[%]ζ i[%]0.500.040.030.020.01200 400200 400ω i[Hz]Figure 2.15 – Illustration de l’influence du modèle d’amortissement sur la force de contact filtrée à 50Hz.60

Chapitre 2.Modèle semi-analytiqueLes résultats obtenus avec de l’amortissement sont en effet plus proches de ceux obtenuslors des essais. La figure 2.15 illustre l’importance du modèle d’amortissement utilisé surles résultats de force de contact. Afin de bien comprendre la différence entre les différentsmodèles, la figure 2.15 présente l’amortissement modal visqueux ζ i en fonction de la fréquenceω i .2.3.6 Gestion du contactL’état du pantographe et de la caténaire est désormais connu au pas de temps (t + dt). Ilreste donc à formaliser le contact qui lie les deux systèmes. Deux méthodes différentes ontété testées avec ce modèle :– la méthode de couplage par raideur de contact (ou contact pénalisé),– la méthode de couplage par équation de contrainte (ou multiplicateurs de Lagrange).La deuxième méthode consiste à introduire une équation supplémentaire de couplage. Elle aété développée pour étudier l’influence de la valeur de la raideur de pénalité sur les résultatsdynamiques.2.3.6.1 Méthode de pénalisationAvec la méthode de pénalisation, gérer le contact consiste à fixer une raideur de contactarbitraire K couplage suffisamment importante pour empêcher les deux systèmes de s’interpénétrer.Dans cette méthode, la force de contact F (t + dt) est déduite des déplacements :q i (t + dt) = a i q i (t) + b i q i (t − dt) + c i F (t)φ i (v 0 t) + c i F pes Dépl. du FC dans la base modalez b (t + dt) = ∑ i q i(t + dt)φ Bi (v 0 · (t + dt)) Dépl. du FC dans la base physiquev(t + dt) = a p v(t) + b p v(t − dt) − c p F (t) + c p F 0 Dépl. du pantographe dans la base physique⇓F (t + dt) = −K couplage ( z b (t + dt) − v(t + dt) ) − C couplage ( z˙b (t + dt) − v˙3 (t + dt) )L’introduction d’une raideur arbitraire présente deux défauts. En effet, n’ayant pas d’existencephysique, et bien qu’elle joue un rôle important sur les résultats (cf. §4.3.2.3), elle estdifficilement quantifiable. D’autre part, l’utilisation d’une raideur de grand module conduità une fréquence maximum ω max élevée ce qui nuit à la stabilité du schéma d’intégration (cf.§2.3.3). Un amortisseur peut être mis en parallèle de la raideur de contact pour éventuelle-61

2.3 Calcul dynamiquement limiter la surestimation de ces oscillations.2.3.6.2 Gestion du contact par équation de contrainteCette méthode utilise une équation de contrainte pour assurer le couplage des deux systèmes(cf. figure 2.16) :z b (x = v 0 .t, t) − v(t) = 0. (2.18)En remplaçant l’expression de q i (t + dt) et v(t + dt), par leur expression en différences finies(eq. 2.14) et (eq. 2.12),[ z b − v ] t+dt= ∑ i q i(t + dt)φ Bi (v0 · (t + dt)) − v(t + dt)= ∑ i [ a iq i (t) + b i q i (t − dt) + c i ( F (t)φ Bi (v 0 t) + F pes ) ] φ Bi (v0 · (t + dt))−a p v(t) + b p v(t − dt) − c p F (t) + c p F 0 ,= 0ce qui nous permet de déduire l’effort de contact au temps t( a p v(t) + b p v(t − dt) + c p F 0 ) − ∑ [ { a i q i (t) + b i q i (t − dt) } φ Bi (v 0 · (t + dt)) + c i F pes ]iF (t) =c p + ∑ . (2.19)[ c i φ Bi (v 0 t)φ Bi (v 0 · (t + dt)) ]iOn peut alors calculer les déplacements à l’instant (t + dt) avecq i (t + dt) = a i q i (t) + b i q i (t − dt) + c i F (t)φ i (v 0 t) + c i F pes ,z(t + dt) = ∑ q i (t + dt)φ Bi (v 0 · (t + dt)),iv(t + dt) = a p v(t) + b p v(t − dt) − c p F (t) + c p F 0 .Pour un système masse-ressort à trois étages, le vecteur v(t) contient les déplacementsv 1 (t), v 2 (t) et v 3 (t) au temps t des trois masses comme illustré sur la figure 2.16 :v(t) =⎡⎢⎣v 1 (t)v 2 (t)v 3 (t)⎤⎥⎦ .62

Chapitre 2.Modèle semi-analytiqueK 1v 2v 3K 3M 1F 2M 2F 3M 3F(t)X 2X 3F 1X 1v 1K 2C 1C 2C 3Figure 2.16 – Illustration du couplage par la méthode de pénalisation pour un système masse-ressort à 3étagesL’équation du mouvement d’un système masses-ressorts à trois étages s’écrit :⎡⎢⎣⎤ ⎡M 1 0 00 M 2 0 ⎥ ⎢⎦ ⎣0 0 M 3¨v 1 (t)¨v 2 (t)¨v 3 (t)⎤ ⎡⎥⎦ + ⎢⎣⎤ ⎡C 1 + C 2 −C 2 0−C 2 C 2 + C 3 −C 3⎥ ⎢⎦ ⎣0 −C 3 C 3˙v 1 (t)˙v 2 (t)˙v 3 (t)⎤⎥⎦+⎡⎢⎣⎤ ⎡K 1 + K 2 −K 2 0−K 2 K 2 + K 3 −K 3⎥ ⎢⎦ ⎣0 −K 3 K 3v 1 (t)v 2 (t)v 3 (t)⎤ ⎡⎥⎦ = ⎢⎣F 1F 2F 3 − F (t) ,⎤⎥⎦Si on applique le schéma des différences finies centrées, on trouve :⎡[ A ] ⎢⎣v 1 (t + dt)v 2 (t + dt)v 3 (t + dt)⎤ ⎡⎥⎦ + [ B ] ⎢⎣v 1 (t)v 2 (t)v 3 (t)⎤ ⎡⎥⎦ + [ C ] ⎢⎣où les matrices [ A ], [ B ] et [ C ] sont données dans l’annexe C.⎤ ⎡⎤v 1 (t − dt)F 1v 2 (t − dt) ⎥⎦ = 2 ( dt )2 ⎢⎣ F 2⎥⎦v 3 (t − dt)}F 3 − F (t){{ }F pLes déplacements des trois masses du pantographe dans la base physique au temps (t + dt)sont donnés par :⎢⎣v(t + dt) = a p v(t) + b p v(t − dt) + c p⎡F 1F 2F 3} {{ }⎡V 1=V⎢ 2⎣V 3⎤⎥⎦⎤ ⎡⎥⎦ −c p⎢⎣00F (t)⎤⎥⎦ , (2.20)63

2.3 Calcul dynamiqueavecap = − [ A ] −1 [ B ] ,bp = − [ A ] −1 [ C ]cp = [ A ] −1 2 ( dt ) 2 .Contrairement à la méthode de pénalisation, l’équation 2.20 n’est pas suffisante pour déterminerle contact à l’instant (t+dt) par équation de contrainte. Récrite sous la forme⎡⎢⎣v 1 (t + dt)v 2 (t + dt)v 3 (t + dt)⎤ ⎡⎥⎦ + F (t) ⎢⎣00A −1 2 ( dt ) 2⎤ ⎡⎥⎦ = ⎢⎣V 1V 2V 3⎤⎥⎦ (2.21)l’équation (2.20) donne trois équations et quatre inconnues v 1 (t + dt), v 2 (t + dt), v 3 (t + dt) etF (t). L’équation manquante est fournie par la condition de couplage (2.18) du pantographeavec la caténaire qui s’écrit[ z b − v 3 ] t+dt= ∑ iq i (t + dt)φ Bi (v0 · (t + dt)) − v 3 (t + dt) = 0 .En remplaçant q i (t + dt) par l’équation 2.14 et en isolant les inconnues F (t) et v 3 (t + dt)dans le membre de gauche on obtientF (t)b ii − v 3 (t + dt) = − ∑ ia ii φ Bi (v0 · (t + dt)) . (2.22)oùa ii = a i q i (t) + b i q i (t − dt) et b ii = ∑ ic i φ Bi (v0 · (t))φ Bi (v0 · (t + dt))Les équations (2.21) et (2.22) peuvent être écrites sous forme matricielle. Les inconnuesv 1 (t + dt), v 2 (t + dt), v 3 (t + dt) et F (t) sont obtenues par inversion de matrice :⎡v 1 (t + dt)v 2 (t + dt)⎢⎣ v 3 (t + dt)F (t)⎤ ⎡⎤1 0 0 00 1 0 0=⎥ ⎢⎦ ⎣0 0 1 A −1 2 ( dt ) 2 ⎥⎦0 0 −1 b ii−1 ⎡⎢⎣V 1V 2V 3− ∑ i a iiφ Bi (v0 · (t + dt))⎤⎥⎦64

Chapitre 2.Modèle semi-analytique2.4 Gestion des non-linéaritésAfin de pouvoir comparer le modèle aux résultats expérimentaux, les non-linéarités ducontact et des pendules sont incluses dans le modèle.2.4.1 Décollement du pantographeLe pantographe n’étant pas fixé au fil de contact, il peut exercer uniquement un effort depression sur ce dernier. Etant donné que la caténaire comporte des singularités et des défauts,il est fréquent que le pantographe décolle de la caténaire. Pour modéliser ce phénomène, ilsuffit d’annuler la force de contact F (t) lorsqu’elle devient négative :F (t) = 0 si F (t) < 02.4.2 Unilatéralité des pendulesLes déplacements du CP et du FC sont calculés à partir des modes du canton complet. Or,les pendules sont modélisés par des ressorts bidirectionnels, c’est à dire que la raideur decompression est la même que la raideur de traction. Cependant, pour des câbles de faiblesection, l’expérience montre que la raideur de compression est négligeable devant la raideurde traction. Il est donc important de prendre en compte l’unilatéralité des pendules dans lemodèle.Pour s’affranchir des effets induits par la compression des pendules, des forces compensatricesaux noeuds de chaque pendule sont ajoutées (cf. figure 2.17).T CPT CPT CPT CPFg CP-T pendFg CPF compT FCT FC-F compT FC T pendT FCFg FCFg FCF(t)Figure 2.17 – Illustration des forces de compensation. Gauche : État statique ; Droite : Couplage dynamiqueLa condition d’unilatéralité des pendules est liée à l’état statique de la caténaire et elle s’écrit((z a − z as ) − (z b − z bs )) < ou > allong,où z as et z bs sont les positions statiques du câble porteur et du fil de contact aux noeuds despendules et « allong » correspond à l’allongement de chaque pendule dû à l’effort T pend .65

2.5 Exemples d’applicationLe pantographe applique une force verticale qui soulève le fil de contact ce qui relâche latension T pend dans les pendules. Dans un premier temps, n’ayant plus à supporter le poids dufil de contact remonte, ce qui maintient les pendules en tension. Dans un deuxième temps,les pendules sont complètement en compression. Les efforts de compensation F comp doiventdonc compenser T pend et l’effet bilatéral du ressort :((z a − z as ) − (z b − z bs )) > −allong ⇒ F comp = 0((z a − z as ) − (z b − z bs )) < −allong ⇒ F comp = k comp ((z a − z as ) − (z b − z bs )) + T pendAvec k comp = k p traction − k p compression . La raideur en traction k p traction et la raideur en compressionk p compression des pendules sont données par :k p traction = E pendS pendL pend,k p compression = 0 .L’équation de mouvement dans la base modale s’écrit alors :m i¨q i + C i ˙q i + k i q i = F (t)φ i (v 0 t) + F pes + ∑ φ Ap (x p )F comp − ∑ φ Bp (x p )F comppp} {{ } } {{ }F ApF BpAvec φ Ap et φ Bp les déformées modales aux noeuds des pendules et x p la position de chaquependule. Reprenons l’équation (2.18) en introduisant :Il en découle :F (t) =q i (t + dt) = a i q i (t) + b i q i (t − dt) + c i { F (t)φ i (v 0 t) + F pes + F Ap + F Bp }( a p v(t) + b p v(t − dt) + c p F 0 ) − ∑ ic p + ∑ i[ { a i q i (t) + b i q i (t − dt) + c i (F pes + F Ap + F Bp ) } φ Bi (v 0 (t + dt)) ][ c i φ Bi (v 0 t)φ Bi (v 0 (t + dt)) ]2.5 Exemples d’application2.5.1 Validation de l’intégraion numériqueDans le paragraphe 2.3.4, nous montrons qu’il est possible d’étudier une force constanteanalytiquement. Pour vérifier que l’intégration numérique n’influence pas les résultats, nouscomparons sur la figure 2.18 la trajectoire du point de contact avec les deux méthodes.Les trajectoires sont très proches ce qui montre que l’intégration numérique ne perturbe pas66

Chapitre 2.Modèle semi-analytique0.070.06Déplacements [m]0.050.040.030.020.01117.1 180.1 243.1 306.1 369.1 432.1Longueur [m]Figure 2.18 – Trajectoire du point de contact pour une force constante.les résultats.2.5.2 Prise en compte de l’unilatéralité des pendulesLa force de contact est très sensible à l’unilatéralité des pendules comme le montre la figure2.19500400Force de contact (filtrée à 50Hz) avec et sans correction de l’unilatéralité des pendulesAvec CorrectionSans CorrectionForce [N]3002001000634.5 688.5Longueur [m]Figure 2.19 – Force de contact filtrée à 50 Hz avec et sans la correction des pendules.A chaque passage de pendule, un pic de force apparaît suite au choc dû à la variation de larigidité de la caténaire.2.5.3 Influence de la méthode de couplageLa force de contact est directement liée au modèle de couplage utilisé. Comme illustré dans lafigure 2.20, les deux solutions proposées dans ce chapitre donnent des résultats très proches.Pour une force de contact filtrée à 50 Hz, la différence entre les signaux est négligeable. Parconséquent, l’utilisation d’une raideur de pénalité ne détériore pas la qualité des résultats. Laméthode de couplage par équation de contrainte servira à déterminer la valeur de la raideurde pénalité à utiliser (cf. §4.3.2.3).67

2.6 Introduction de défauts dans le modèle400350300Force de contact (filtrée à 50Hz) calculée avec les deux modèles de gestion du contactEquation de contrainteRaideur de pénalitéForce [N]250200150100500634.5 688.5Longueur [m]Figure 2.20 – Comparaison de la force de contact calculée avec les deux méthodes de couplage.2.5.4 Multi-pantographeLe code permet d’effectuer une simulation avec plusieurs pantographes (plusieurs points decontact). Le deuxième pantographe arrive sur une caténaire déjà perturbée, ce qui expliqueForce [N]400350300250200150100500Force de contact (filtrée à 50Hz) en unité multiple634.5 688.5Longueur [m]Pantographe avantPantographe arrièreFigure 2.21 – Force de contact dans le pantographe avant et arrière d’une unité multiple.que les fluctuations de la force de contact sont plus importantes.2.6 Introduction de défauts dans le modèlePour valider les signatures de défauts fournies par le modèle Eléments finis, des défauts ontété introduits dans le modèle semi-analytique. La griffe de jonction et le pendule manquantont été modélisés.2.6.1 La griffe de jonctionLa griffe de jonction est modélisée par une masse ponctuelle supplémentaire à la positionx griffe . Elle est introduite dans le calcul statique. La force de pesanteur des griffes dans la68

Chapitre 2.Modèle semi-analytiquebase de Rayleigh-Ritz est :F g griffe = m g ∑ isin iπx griffeL(i = 1. . .m)Les efforts statiques F pes , utilisés à chaque pas de temps dans le calcul dynamique, incluentla présence de la griffe :F pes = −X T [2.6.2 Les pendules manquants]F gfilCP + F gAp + F gAsF gfilF C + F gBp + F gBs + F g griffeLa différence existant entre un pendule manquant et un pendule cassé réside dans la présencede la masse ponctuelle modélisant la griffe d’attache du fil de contact.Dans ce modèle, les deux modélisations sont possibles. Pour ce faire, la géométrie estconstruite avec le ressort modélisant le pendule, puis il est supprimé virtuellement en donnantune valeur nulle à la raideur de ce pendule. Comme le montre la figure 2.22, les conséquencesd’un pendule manquant sont importantes sur la flèche statique et sur la force de contact.Déformée statiquefleche [cm]10−1−2−3−4−5−6796.5 850.5 904.5x [m]Fil de contactForce [N]350300250200150100Force de contact filtrée à 50HzMesuresSAM50796.5 850.5 904.5x [m]Figure 2.22 – Influence d’un pendule manquant sur la déformée statique du fil de contact et sur la force decontact.ConclusionCe modèle utilise une géométrie mono-dimensionnelle de la caténaire construite à partirde données réelles. Les déplacements de chaque composant sont décrits dans la base de69

2.6 Introduction de défauts dans le modèleRayleigh-Ritz. Ils sont ainsi infiniment dérivables ce qui fournit la régularité nécessaire àl’étude de l’interaction avec une structure élastique mobile. Cette dernière est un modèlelinéarisé d’un pantographe sous forme d’un système masse-ressort à trois étages. Les calculsstatiques et dynamiques sont linéarisés autour de la position d’équilibre statique, ce qui signifieque la tension mécanique est prise en compte sous forme de précontraintes dans les câbles.Un calcul inverse permet d’obtenir une description statique précise de la caténaire complèteen imposant la position de certains points du fil de contact. De plus, les couplages tridimensionnelsau niveau des bras de rappel sont corrigés.Pour simplifier le calcul dynamique et pour alléger son coût, les déplacements sont projetéssur la base modale de la caténaire calculée à l’aide des équations de Lagrange. Il est importantde souligner qu’à condition d’utiliser un nombre de modes suffisant, l’utilisation d’unebase de fonctions stationnaires permet de décrire des phénomènes propagatifs complexescomportant de nombreuses réflexions et combinaisons d’ondes. D’ailleurs, les résultats sontau delà de toute attente, notamment pour la corrélation calculs-essais.En proposant une très bonne régularité, cette méthode a permis de tester de nombreuseshypothèses, d’identifier facilement les phénomènes physiques mis en jeu et elle servira deréférence pour la validation des résultats. Deux modèles de contact ont été comparés, lapénalisation et les multiplicateurs de Lagrange, un modèle d’amortissement structural a étédéveloppé pour définir un amortissement différent à chaque groupe de composant de la caténaire.Néanmoins, cette méthode est difficilement adaptable à des géométries plus complexes ou àune modélisation en trois dimensions de la caténaire. Pour cela, la méthode Éléments Finis,plus flexible, répond mieux aux exigences industrielles bien que F. Labergri [47] ait misen évidence que la discrétisation du fil de contact crée des perturbations numériques dans lecas d’une charge mobile sur une structure souple.70

Chapitre 3Modèle Elements FinisIntroductionAu premier abord la modélisation d’une caténaire ne semble pas particulièrement complexe.En effet, elle est composée d’éléments simples (câbles, fils, tubes, etc.) pour lesquels lesphénomènes vibratoires sont connus.Mais la caténaire est en fait un assemblage complexe, et non-linéaire, qui utilise la tensionet la longueur des câbles pour atteindre une géométrie précise en trois dimensions. En effet,le désaxement du fil de contact, en couplant les mouvements verticaux et latéraux, rend lamodélisation dynamique de la caténaire plus complexe.Un modèle différent est nécessaire pour chaque type de caténaire : l’ajout d’un câble supplémentaire,comme le câble Y par exemple, peut complètement modifier les caractéristiquesde la caténaire en terme de régularité, de poids et de raideur statique locale.La méthode des Éléments Finis offre la flexibilité nécessaire pour la construction de maillagestridimensionnels. Le logiciel OSCAR 1 utilise la méthode des Éléments Finis pour modéliserle comportement dynamique de la caténaire.Dans un premier temps, dans ce chapitre, nous présenterons la construction des modèles, lecalcul statique et le calcul dynamique.1 OSCAR : Outil de Simulation du CAptage pour la Reconnaissance des défauts.

3.1 Description du modèle3.1 Description du modèleL’objectif est de développer un logiciel capable de simuler le comportement dynamique detoutes les caténaires existantes et à venir. Il sera utilisé pour développer de nouvelles caténairesmais également pour mieux connaître le fonctionnement des caténaires actuellementen service.Pour reproduire les conditions réelles d’exploitation, la caténaire doit contenir des lignesdroites, des courbes, des singularités (ponts routes, équipements tendeurs, etc.), des défauts(griffe, pendule manquant, etc.) et des conditions météorologiques variables. Le logiciel fournirades signatures de défauts correspondant à une identité mécanique de chaque défaut.Le modèle comporte tous les éléments de la caténaire intervenant significativement dans lecomportement dynamique : le(s) fil(s) de contact, le(s) câble(s) porteur, les pendules, lesbras de rappel (cf. figure 3.1). Suivant la configuration de la caténaire, les antibalançants etles câbles Y sont représentés.En revanche, on fait l’hypothèse que les poteaux et la console, très rigides, interviennent peudans l’interaction avec le pantographe. Aussi, pour ne pas alourdir le modèle inutilement, ilsne sont pas pris en compte dans la dynamique du système.Figure 3.1 – Maillages 3D dans le modèle Éléments Finis.Deux types d’élément sont utilisés dans les maillages, les éléments de barre (cf. §3.1.4) et leséléments de câble (cf. §3.1.5).Les éléments de barre ne transmettent que les efforts de traction-compression. Ces élémentssont utilisés pour modéliser les pendules, les bras de rappel et les anti-balançants pourlesquels les moments transmis sont nuls à cause de leur système d’attache par rotule.Les éléments de câble sont utilisés pour modéliser le(s) fil(s) de contact, le(s) câble(s) porteur,les câbles Y ou tout autre câble sous tension mécanique (précontraint) dans lequel sepropagent les ondes de flexion générées par le passage du train.Le couplage avec une force mobile est assuré par une raideur de pénalité. C’est un contact72

Chapitre 3.Modèle Elements Finisunilatéral qui autorise des décollements entre le fil de contact et l’archet du pantographe.Plusieurs niveaux de précision existent pour le modèle pantographe, le modèle le plus simpleétant le masse-ressort à trois étages et le plus complexe le modèle multicorps. Pour reproduireles conditions de mesure, les mouvements de la base du pantographe peuvent suivredes mouvements de caisse mesurés ou simulés par des outils de dynamique ferroviaire. Demême, pour simuler les passages en courbes, la trajectoire du pantographe suit la voie et soninclinaison respecte le dévers.3.1.1 Construction du maillageLa construction du maillage Éléments Finis d’une caténaire utilise les caractéristiques dechaque composant (masse, longueur, section, position, etc.). L’axe x du maillage tridimensionnelest placé selon l’axe de la voie, l’axe y correspond à la direction latérale, et l’axez représente les déplacements verticaux. Autrement dit, en ligne droite, le train se déplacesuivant x, le désaxement de la caténaire est suivant y et le soulèvement du fil de contactsuivant z.Une hiérarchie précise doit être respectée pour construire un maillage. Prenons l’exempled’une caténaire 25 kV sans Y :1. Bras de rappel. Les deux nœuds du bras de rappel sont créés et reliés par un élémentbarre. Le désaxement du fil de contact est imposé par les nœuds et ces derniersrespectent l’alternance suivant y :zyxFigure 3.2 – Construction des bras de rappelNB : les échelles y et z sont amplifiées pour une meilleur visualisation.2. Fil de contact. Un nœud est créé à chaque liaison entre le fil de contact et uncomposant (pendules, bras de rappel, etc.). Le fil de contact est horizontal sauf dansles zones de changement de canton (portées de relèvement) où la hauteur des nœudsest interpolée linéairement. Un élément de câble relie tous les nœuds,73

3.1 Description du modèleVue 3DzxzyPortée de relèvementVue de cotéxFigure 3.3 – Construction du fil de contact3. Pendules. Les pendules sont ajoutés sur le fil de contact en créant les noeuds correspondantaux attaches sur le câble porteur,Pont routezyxFigure 3.4 – Construction des pendules4. Câbles porteur. Les noeuds correspondant aux attaches des consoles sont créés et unélément les relie aux nœuds des pendules pour former le câble porteur.zyxFigure 3.5 – Construction du câble porteur.3.1.2 Modélisation en trois dimensionsLes composants de la caténaire sont simples (câbles, poutres ou tubes) et sont modélisés pardes Éléments Finis 1D. En revanche, la géométrie de la caténaire est entièrement tridimen-74

Chapitre 3.Modèle Elements Finissionnelle. La différence entre le modèle Éléments Finis (EF) et les codes précédents est lamodélisation du désaxement comme on peut le voir sur la figure 3.6.yxFigure 3.6 – Représentation du désaxement de la caténaire dans le modèle EF (vue de dessus).Bien que les déplacements verticaux jouent un rôle prépondérant dans l’interaction avec lepantographe, il est nécessaire de modéliser la caténaire en trois dimensions pour pouvoir étudierdes phénomènes tels que le couplage des mouvements verticaux et latéraux, l’influencedes vents traversiers sur la dynamique de la caténaire, ou encore l’influence des variationsde la température ambiante sur la géométrie statique de la caténaire.3.1.3 Modélisation des bras de rappelLa modélisation en 3D de la caténaire est particulièrement utile pour l’étude des couplagesentre mouvements verticaux et mouvements transversaux. Ce couplage est accentué par lesbras de rappel qui, à cause de leur inclinaison et sous l’effet combiné du désaxement et dela tension du fil de contact (cf. figure 2.7), génèrent des forces verticales F z et transversalesF y sur le fil de contact tel que décrit dans le paragraphe 2.2.3.Dans un modèle EF entièrement tridimensionnel, il n’est plus nécessaire d’utiliser des forcescorrigeant l’effet de la tension sur la géométrie de la caténaire. Les bras de rappel sont soumisà des efforts de tension imposés par le désaxement du fil de contact. La position d’équilibrestatique entre la composante verticale de la force de tension et les efforts de gravité des filsde contact et des griffes est calculée dans le code.On peut constater sur la figure 3.7 que les effets de couplage en milieu de portée sont importants.En effet, mis à part le passage du pantographe occasionnant de grands déplacements,l’amplitude des déplacements est du même ordre de grandeur pour les deux directions.La modélisation 3D permet de modéliser une caténaire fidèle à la réalité. Avec un modèle depantographe comportant un élément modélisant le basculement de l’archet du pantographe,on peut modéliser séparément les forces à gauche et à droite, dues au désaxement, dans lespetits plongeurs.La formulation des éléments utilisés dans le modèle EF tient compte de la précontrainte deséléments. L’énergie de déformation associée à la tension est calculée en considérant le travail75

3.1 Description du modèleZ0.04Trajectoire d’un point dans le plan YZ0.020Z [m]-0.02-0.04Y-0.06-0.08-0.08 -0.06 -0.04 -0.02 0 0.02 0.04 0.06 0.08Y [m]Figure 3.7 – Trajectoire d’un point du fil de contact dans le plan YZ.de traction d’un élément dx qui se déforme en ds à cause du déplacement selon z :dW = T ( ds − dx ) ,avecds 2 = dx 2 + dz 2 soit ds = dx√1 +( ) (2 ∂z≈ dx 1 + 1 ( ) ) 2 ∂z,∂x2 ∂xd’oùdW = T 1 2( ) 2 ∂zdx,∂xet doncE e T = 1 2∫ L3.1.4 Éléments de type barre0T( ) 2 ∂zdx.∂xPour les éléments utilisés pour modéliser les pendules, le bras de rappel et les anti-balançants,les termes de flexion sont négligés. Comme le montre la figure 3.8, ce sont des éléments à 6 degrésde liberté (3 par nœud) : les déplacements longitudinaux u, verticaux w et transversaux76

Chapitre 3.Modèle Elements Finisv. On interpole linéairement le champ des déplacements sur un élément par :⎡⎢⎣u(x, t)w(x, t)v(x, t)⎤⎥⎦ = N e(x)q e (t).où la matrice des degrés de liberté de l’élément e est donnée par[qe T (t) = u 1 (t) w 1 (t) v 1 (t) u 2 (t) w 2 (t) v 2 (t)],et la matrice des fonctions de forme de l’élément e par :⎡ ⎤ ⎡⎤N u (r) 1 − r 0 0 r 0 0N e (r) = ⎢⎣ N w (r) ⎥⎦ = ⎢⎣ 0 1 − r 0 0 r 0 ⎥⎦ .N v (r) 0 0 1 − r 0 0 rpour r = x Let où L est la longueur de l’élément.w 1w 2u 1u 2v 1v 20 1 r=x/LFigure 3.8 – Connecteurs de l’élément de fil.L’énergie cinétique T et l’énergie de déformation ν int s’écrivent alors :oùT = 1 2ν int = 1 2∫ L0∫ L0( ) 2 ∂wρS = 1 ∂t 2 ˙qT e M e ˙q e ,( ) 2 ∂uES dx = 1 ∂x 2 qT e K e q e ,∂w∂x = 1 ∂N iL ∂r {q i}.77

3.1 Description du modèleOn peut également écrire la matrice de masse élémentaire M e associée à l’élément e∫ LM e = ρSNe T N e dx0⎡2 0 0 1 0 02 0 0 1 0= ρSL2 0 0 162 0 0⎢⎣ sym 2 02⎤.⎥⎦La matrice de raideur élémentaire K e s’écrit :K e =∫ L0= ESLES dN uT dN udx dx dx⎡1 0 0 −1 0 00 0 0 0 00 0 0 01 0 0⎢⎣ sym 0 00⎤.⎥⎦3.1.5 Éléments de poutre précontrainte (Euler-Bernoulli)Les éléments de type poutre sont des éléments utilisés pour modéliser le(s) fil(s) de contact,le(s) câble(s) porteur(s) et les câbles Y. Ils ont 12 degrés de liberté : 3 degrés de liberté detranslation et 3 degré de liberté de rotation par nœud comme le montre la figure 3.9. LaTw 1w 2ψ 1ψu 21u 2v 1v 2T0 1 r=x/LFigure 3.9 – Degrés de liberté des connecteurs de l’élément de câble précontraint.matrice des degrés de liberté d’intérêt de l’éléments e est donnée par[qe T =u 1 w 1 ψ 1 v 1 u 2 w 2 ψ 2 v 2].Pour assurer la continuité de la flèche w et de la rotation de section droite ψ = ∂w∂x , les78

Chapitre 3.Modèle Elements Finisfonctions de formes doivent être de degré trois. La matrice des fonctions de forme s’écrit :⎡ ⎤ ⎡⎤N u (r) 1 − r 0 0 0 r 0 0 0N e (r) = ⎢⎣ N w (r) ⎥⎦ = ⎢⎣ 0 N w1 N w2 0 0 N w3 N w4 0 ⎥⎦ .N v (r) 0 0 0 1 − r 0 0 0 rLes fonctions de forme N wisont définies par le polynômes d’Hermites de degré 3 tels queN w1 = 1 − 3r 2 + 2r 3 N w2 = L(r − 2r 2 + r 3 ) (3.1)N w3 = 3r 2 − 2r 3 N w4 = L(−r 2 + r 3 ) avec r = x L . (3.2)L’interpolation des déplacements suivant l’axe z s’écrit alors :w(r) = N w1 (r).w 1 + N w2 (r).ψ 1 + N w3 (r).w 2 + N w4 (r).ψ 2 . (3.3)L’énergie cinétique T et l’énergie de déformation ν int peuvent s’écrire :T = 1 2ν int = 1 2∫ L0∫ L0( ) 2 ∂wρS ,∂t( ) 2 ∂uES + T∂x[ ( ) 2 ( ) ] 2 ( ) ∂w ∂v∂ 2 2w+ + EI dx,∂x ∂x∂x 2où la matrice de masse élémentaire M e associée à l’élément e s’écrit :∫ 1M e = ρSNe T N e Ldr0⎡140 0 0 0 70 0 0 0156 22 L 0 0 54 −13 L 04 L 2 0 0 13 L −3 L 2 0= ρSL140 0 0 0 70420140 0 0 0156 −22 L 0⎢⎣sym 4 L 2 0140⎤⎥⎦79

3.2 Calcul statiqueet où la matrice de raideur élémentaire K e s’écrit :K e =∫ L0= ESLESL⎡⎢⎣dN T u dN udr dr dr+ ∫ L0TL[ T dNw dN wdr dr+ dN vT ]dN vdrdr dr(3.4)∫ LEI d 2 N T w d 2 N w+0 L 3 dr 2 dr dr 2⎤ ⎡1 0 0 0 −1 0 0 00 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 036 3 L 0 0 −36 3 L 00 0 0 0 0 04 L 2 0 0 −3 L −L 2 00 0 0 0 0+ T30 0 0 0 −301 0 0 030 L0 0 0 00 0 036 −3 L 0sym 0 0 ⎥ ⎢⎦ ⎣ sym 4 L 2 0030⎡⎤0 0 0 0 0 0 0 06 3 L 0 0 −6 3 L 02 L 2 0 0 −3 L L 2 0+ 2 EI0 0 0 0 0L0 0 0 06 −3 L 0⎢⎣ sym 2 L 2 0 ⎥⎦0⎤⎥⎦3.2 Calcul statiqueLe calcul de la géométrie statique de la caténaire est une étape très importante de la simulation.En effet, le calcul statique conditionne directement la corrélation calculs-essais.Le calcul de la déformée statique dépend fortement de la procédure de montage suivie dansla réalité.Dans le modèle EF, la procédure statique calcule une géométrie correspondant à l’applicationdes tensions et de la gravité sur le maillage. Contrairement au modèle semi-analytique duchapitre 2 où la flèche du fil de contact est imposée pour déterminer les longueurs des pendules,le modèle EF utilise toutes les données géométriques de la caténaire (encombrement,désaxement, pendulage, etc.) pour vérifier que dans les conditions de charge réelle (tensionet gravité), on retrouve la flèche visée.80

Chapitre 3.Modèle Elements FinisL’utilisation des Éléments Finis pour le calcul de la géométrie statique de la caténaire et saprise en compte dans le calcul dynamique présente trois difficultés essentielles :1. le remaillage du modèle pour suivre la déformée statique [47], rend le plan de contactdiscontinue (facétisé) ce qui induit des perturbations importantes dans le calcul dynamique,2. la raideur de la caténaire évolue en fonction des déplacements. Par conséquent, le calculstatique est non-linéaire,3. la procédure de montage fait intervenir des opérations manuelles de changement deconditions aux limites.Examinons chacune d’entre elles et voyons comment les surmonter :1. Sous l’effet de la gravité et de la tension combinées, un câble tendu entre deux supportsrigides décrit une flèche. Son maillage EF est alors représenté comme une suite facétiséede poutres droites, constituant ainsi des discontinuités de pente dans le maillage. La simulationd’une force mobile sous le fil de contact entraîne des perturbations engendréespar ces discontinuités.Pour éviter ces problèmes numériques, le modèle EF ne subit pas de remmaillage suivantla géométrie statique. Autrement dit, le maillage du fil de contact reste droit.Le maillage ne comporte ainsi aucune discontinuité géométrique qui pourrait créer desperturbations artificielles liées aux passages d’un élément à un autre.Cependant, pour que la géométrie statique soit prise en compte dans les calculs dynamiques,les déplacements tiennent compte de la déformée statique tels queq(t) = q Statique + q Dynamique . (3.5)Le terme q Statique est la déformée statique de la caténaire. L’utilisation d’éléments detype poutre précontraintes donne des déplacements statiques exacts aux nœuds et lesdéplacements inter-nœuds, calculés avec les fonctions d’interpolation d’Hermite, sontde continuité C 1 (cf. paragraphe 3.1.5).Avec l’hypothèse des petits déplacements, le calcul dynamique se fait autour de laposition d’équilibre statique. De même que les déplacements statiques, les déplacementsdynamiques q Dynamique sont calculés avec les fonctions d’interpolation d’Hermite etsont par conséquent de continuité C 1 .Donc les déplacements q(t) sont de continuité C 1 ce qui, en assurant la continuité dela pente entre les éléments, réduit fortement l’influence de la discrétisation sur les ré-81

3.2 Calcul statiquesultats dynamiques.2. La raideur des éléments câbles évolue avec la tension appliquée. Autrement dit, la misesous tension du maillage rend le calcul statique fortement non-linéaire. Pour réduireles variations de géométrie, l’application des efforts de gravité et de tension se faitprogressivement en n étapes.A chaque cas de chargement, la matrice de raideur est calculée en fonction de la géométrie.Ensuite, les déplacements sont recalculés à partir de cette nouvelle matrice deraideur. Ces étapes sont reproduites jusqu’au chargement final de la caténaire, donnantainsi la matrice de raideur [ ]K Statique . A chaque étape de chargement, la convergencedu calcul est vérifiée telle quesi q Statique = [ K Statique] −1∗ F alors||q Statiquen+1 − q Statiquen ||||q Statiquen+1 ||< 10 −9 .(3.6)3. Enfin, dans le modèle EF, le déplacement statique q Statique est calculé en prenant encompte les conditions aux limites suivantes :– glissement horizontal possible du câble porteur au niveau des poteaux,– rotule pour les extrémités externes des bras de rappel,– blocage horizontal du câble porteur au niveau du point d’anticheminement (cf. figure1.6),– application d’une tension sur le câble porteur (forces ponctuelles appliquées sur lesnœuds extrêmes du fil),– application d’une tension sur le fil de contact (forces ponctuelles appliquées sur lesnœuds extrêmes du fil),– gravité : le chargement de gravité est calculé avec une matrice de masse consistantede façon à obtenir une bonne courbure des éléments de poutre cubique.Après avoir vérifié la convergence du calcul, les conditions aux limites évoluent– blocage du câble porteur au niveau des poteaux selon l’axe de la voie,– blocage des nœuds de fin de câble porteur,– le fil de contact est maintenu par une pénalisation globale de décalage horizontal des deuxextrémités.La matrice de raideur [ ]K Dynamique , correspondant à ces nouvelles conditions aux limites,est utilisée pour le calcul dynamique.82

Chapitre 3.Modèle Elements FinisLe chargement statique { F 0 stat } est calculé tel que{ F 0 stat } = [ K Dynamique] {qStatique}, (3.7)puis est appliqué dans le calcul dynamique un changement constant pour maintenir la caténaireautour de sa position d’équilibre statique.3.2.1 Difficultés liées à la simulation d’une poulie avec avalementde filDans la réalité, la procédure d’installation de la caténaire inclut une reprise de l’élongationdes câbles par des poulies. Or, il est très difficile de modéliser le passage d’un câble discrétiséen Éléments Finis sur une poulie : lors de l’avalement du câble, les éléments ou les nœudsen contact avec la poulie changent (cf. figure 3.10).Dans ce modèle EF, seule la partie entre les deux poulies est modélisée. Par conséquent, avecl’avalement du fil, le nombre d’élément du modèle varie ce qui nécessiterait un remaillagedes conducteurs.a) b)TFigure 3.10 – Illustration des difficultés de simulation d’une poulie avec avalement de câble en EF. a)situation réelle ; b) FC discrétisé.Etant donné que dans ce modèle EF, les portées non-pendulées, de début et de fin de canton,ne sont pas modélisées, l’application de la tension est réalisée sur un élément fictif horizontal.Le nœud entre cet élément et le premier élément de conducteur est contraint à suivre unetrajectoire tangente à la poulie (cf. figure 3.11).TTa) b)Figure 3.11 – Illustration de la méthode utilisée dans le modèle EF pour simuler la poulie de fin de canton.83

3.2 Calcul statiqueEn effet, dans le modèle EF, le calcul statique utilise des conducteurs de longueur constantepour simplifier la procédure, c’est à dire sans reprise de l’élongation des câbles. De ce fait,l’application de la tension sur les conducteurs provoque une dilatation globale suivant x desportées de part et d’autre du point d’anticheminement (cf. figure 3.12).Figure 3.12 – Illustration de la dilatation de la caténaire suivant x dans le calcul statique.Pour que chaque composant (poteaux, pendules, etc.) ait la bonne position dans le calculdynamique, il est nécessaire d’ignorer cette dilatation en annulant les déplacements suivantl’axe x :q Statique (ddls x ) = 0.Le maillage ainsi obtenu donne le résultat montré sur la figure 3.13.Figure 3.13 – Représentation de la déformée statique sur le maillage avec correction de la dilatation de lacaténaire suivant x.3.2.2 Déflexion statiqueLa flèche statique du fil de contact des lignes à grande vitesse est de 1/1000 ou de 1/2000suivant les générations. Pour une portée (cf. figure 1.8) de 54 m, la flèche entre le premierpendule et le milieu de la portée doit être, respectivement, de 5,4 cm ou de 2,7 cm. Nousne disposons pas de mesures suffisamment précises pour vérifier expérimentalement la flècheréelle. Le modèle EF, en respectant la procédure réelle de mise en place, permet d’obtenirces flèches.84

Chapitre 3.Modèle Elements FinisLa figure 3.14 montre la déformée statique du fil de contact pour un canton complet avec unélément entre chaque pendule dans le maillage du fil de contact.580560Deflection [cm]540520500480107.2 161.5 211.5261310.5360409.5459513567621675729783837886.5 940.5 994.5 1048.5 10981148 1197.8Longueur [m]Figure 3.14 – Représentation de la géométrie statique de la caténaire sur le canton complet.Cette représentation permet d’étudier le comportement statique global du canton et de vérifierqu’il n’y a pas d’anomalie. Soulignons que dans cette représentation, la déformée du filde contact est une interpolation linéaire des déplacements entre les pendules.Pour étudier plus précisément le comportement du fil de contact, il est nécessaire de regarderce qui se passe sur une portée. La figure 3.15 représente la déformée statique du fil de contactd’une portée de 54 m avec les interpolations linéaires entre les pendules en vert (où lescroix vertes représentent les positions des attaches des pendules sur le fil de contact) etl’interpolation utilisant les fonctions de formes du modèle en bleu.Deflection [cm]10−1−2−3−4−5−6560 570 580 590 600 610 620 630Portée 12, Longueur [m]Figure 3.15 – Représentation de la géométrie statique de la caténaire sur une portée avec un élément entrechaque pendule.La déformée est parabolique et la flèche calculée est de 5,05 cm au lieu de 5,4 cm. Cette sousestimationest due aux propriétés intrinsèques de la méthode Éléments Finis qui a tendanceà rigidifier artificiellement les structures.Les tensions dans les pendules correspondant à l’état statique précédent sont tracées dansla figure 3.16. Elles seront utiles pour comparer les résultats des deux modèles dans le para-85

3.2 Calcul statiqueTension [N]18016014012010080604020Tension [N]1601401201008060161.5211.5261310.5360409.5459 513 567 621 675 729 783 837886.5940.5994.51048.510981148Position [m]409.5 459 513Position [m]Figure 3.16 – Tensions dans les pendules correspondant aux calcul statique précédent.graphe 4.3.1.2.3.2.3 Importance de la finesse du maillageLors de la construction du maillage, les conducteurs sont discrétisés avec un seul élémententre chaque pendule. La figure 3.17 met en évidence que cette discrétisation est trop grossièrepour décrire une déformée statique correcte. La finesse de discrétisation fait varier la rigiditéapparente des conducteurs.Autrement dit, une poutre, sous son poids propre, discrétisée avec un grand nombre d’élémentsdonnera une flèche plus importante qu’une poutre discrétisée avec un petit nombred’éléments. La modélisation Éléments Finis donne un résultat exact aux nœuds, mais l’interpolationinter-nœuds n’est pas forcément représentative de la réalité. Comme le montrela figure 3.17 (qui est un zoom de la figure 3.15), le fil de contact entre les deux pendulescentraux remonte malgré la gravité.Deflection [cm]−4.3−4.4−4.5−4.6−4.7−4.8−4.9−5586 588 590 592 594 596 598 600 602Portée 12, Longueur [m]Deflection [cm]10−1−2−3−4−5−6560 570 580 590 600 610 620 630Portée 12, Longueur [m]Figure 3.17 – Zoom sur la déformée statique du fil de contact entre les deux pendules centraux avec unmaillage contenant un élément entre chaque pendule.Une solution pour réduire ces erreurs est de diminuer la distance entre les nœuds, c’est à direaugmenter le nombre d’éléments : le fil sera plus souple et l’erreur d’interpolation réduite.On constate sur la figure 3.18 que l’erreur sur la flèche diminue (5,29 cm au lieu des 5,4 cmthéoriques, soit une réduction de près de 70% de l’erreur) et que l’effet chaînette entre chaquependule apparaît. Étant donné qu’il est difficile d’effectuer une validation expérimentaledes résultats, les valeurs obtenues pour la flèche sont considérées comme satisfaisantes. Enrevanche, il est intéressant de remarquer que la finesse du maillage est un paramètre jouantsignificativement sur la déformée statique.86

Chapitre 3.Modèle Elements FinisDeflection [cm]10−1−2−3−4−5−6560 570 580 590 600 610 620 630Portée 12, Longueur [m]Figure 3.18 – Déformée statique de la même portée que sur la figure 3.15 mais avec 6 éléments entre chaquependules.Pour conclure, il est nécessaire de travailler avec un maillage suffisamment fin pour obtenirune description réaliste des déplacements.3.2.4 Comportement autour du bras de rappelDans le modèle EF, la modélisation entièrement 3D de la caténaire permet de modéliser lesbras de rappel sans faire appel à des forces compensatrices. De ce fait, l’orientation des brasde rappel tient compte du désaxement et de la tension dans le fil de contact.Rappelons que les bras de rappel sont rotulés et que par conséquent, l’essentiel du poids dufil de contact est soutenu par les pendules de chaque coté du poteau. Néanmoins, commeexpliqué dans le paragraphe 2.2.3, la combinaison de l’inclinaison du bras de rappel, de latension, de la gravité et du désaxement génère une force verticale qui explique que le filde contact relève au niveau du poteau. Sur la figure 3.19, on note que le fil de contact est0.50Deflection [cm]−0.5−1−1.5−2−2.5544.5 598.5 652.5Longueur [m]Figure 3.19 – Relèvement du fil de contact au bras de rappel (Les positions des bras de rappel sont indiquéespar des traits verticaux).soulevé par le bras de rappel à la position 598,5 m.87

3.2 Calcul statique3.2.5 Raideur statique locale de la caténairePour garantir une bonne qualité de captage, la force de contact entre l’archet du pantographeet le fil de contact doit être la plus régulière possible. Un des paramètres influençantdirectement la force de contact est la raideur statique locale.C’est un critère de conception des caténaires ; par exemple, l’ajout d’un câble Y est une destechniques utilisées pour diminuer les variations de raideur statique locale afin de proposerau pantographe un environnement le plus régulier possible.Elle est calculée en balayant la caténaire avec un pantographe se déplaçant à très faibleallure. Le déplacement relatif du point de contact par rapport à la position d’équilibrestatique permet d’obtenir la raideur statique locale apparente de la caténaire en calculantRaideur statique locale =∆zF contact.La figure 3.20 met en évidence les points durs de la caténaire et comme on pouvait le supposerles parties les plus souples du canton sont les milieux de portée (loin des poteaux) et, plusparticulièrement, les zones entre les pendules.x 10 −45Sans câbles YAvec câbles YSouplesse [m/N]43210566.9 620.9Position [m]Figure 3.20 – Souplesse d’une caténaire avec et sans câble Y.La raideur statique locale de deux caténaires différentes est représentée en figure 3.20 : unecaténaire avec câble Y et l’autre sans. Les composants des deux caténaires sont strictementles mêmes, seules les géométries (position et nombre de pendules) changent. Notons que si laraideur statique locale moyenne de la caténaire est plus grande pour la caténaire avec câbleY, cette raideur statique locale est plus constante.Le résultats de la figure 3.21 montre la raideur statique locale d’une caténaire sans Y dansune zone de changement de canton. Cette singularité comporte une zone de changement defil de contact dans laquelle le pantographe peut être en contact avec deux fils. Connues pour88

Chapitre 3.Modèle Elements FinisContact force [N]Elasticity [mm/N]3002001000.40.201157 1210 1211 1264 1319Length [m]1157 1210 1211 1264 1319Length [m]Figure 3.21 – Maillage d’un changement de canton ; Force de contact dans le changement de canton ; Raideurstatique locale du changement de canton.être critiques, ces zones représentent une forte augmentation de la raideur apparente de lacaténaire. Le pantographe doit franchir une zone beaucoup plus rigide générant ainsi desperturbations importantes du comportement dynamique du couple pantographe-caténaire.3.3 Calcul dynamique3.3.1 Modes propresIl est possible de calculer les modes propres de la caténaire à partir des matrices de masseet de raideur du modèle.Figure 3.22 – Représentation d’un mode en trois dimensions.3.3.1.1 Plan verticalSi l’on considère les modes uniquement dans le plan vertical, on retrouve pour chaque portéeles premiers modes de poutre.89

3.3 Calcul dynamique0.1ω = 0.871 [Hz]0.1ω = 0.892 [Hz]0.050.0500−0.05−0.05−0.10.1 54.1 117.1180.1243.1306.1369.1432.1Longueur [m]ω = 0.917 [Hz]0.10.050−0.05−0.10.1 54.1 117.1180.1243.1306.1369.1432.1Longueur [m]ω = 1.005 [Hz]0.10.050−0.05−0.10.1 54.1 117.1180.1243.1306.1369.1432.1Longueur [m]ω = 1.172 [Hz]0.10.050−0.05−0.10.1 54.1 117.1180.1243.1306.1369.1432.1Longueur [m]−0.10.1 54.1 117.1180.1243.1306.1369.1432.1Longueur [m]ω = 0.980 [Hz]0.10.050−0.05−0.10.1 54.1 117.1180.1243.1306.1369.1432.1Longueur [m]ω = 1.032 [Hz]0.10.050−0.05−0.10.1 54.1 117.1180.1243.1306.1369.1432.1Longueur [m]ω = 1.172 [Hz]0.10.050−0.05−0.10.1 54.1 117.1180.1243.1306.1369.1432.1Longueur [m]Figure 3.23 – Huits premiers modes dans le plan vertical de la caténaire de Vaires calculés avec le modèleEF.Les modes d’ordre supérieur sont composés des deuxièmes modes de poutre, etc. Notons quedans le calcul des modes, les non-linéarités dues à la compression des pendules ne sont pasprises en compte.3.3.1.2 Plan horizontalLa densité modale est très importante à basse fréquence. En effet, des modes horizontauxs’intercalent entre les modes verticaux. Il existe même un couplage entre modes verticaux etmodes horizontaux. C’est à dire que les modes verticaux comportent également des composanteshorizontales (cf. figure 3.22).Comme pour les modes verticaux, on retrouve les premiers modes de poutre, puis lesdeuxièmes, etc. (cf. figure 3.24).90

Chapitre 3.Modèle Elements Finis0.05ω = 0.941 [Hz]0.05ω = 0.950 [Hz]00−0.050.1 54.1 117.1180.1243.1306.1369.1432.1Longueur [m]ω = 0.955 [Hz]0.05−0.050.1 54.1 117.1180.1243.1306.1369.1432.1Longueur [m]ω = 0.955 [Hz]0.0500−0.050.1 54.1 117.1180.1243.1306.1369.1432.1Longueur [m]ω = 0.967 [Hz]0.05−0.050.1 54.1 117.1180.1243.1306.1369.1432.1Longueur [m]ω = 0.969 [Hz]0.0500−0.050.1 54.1 117.1180.1243.1306.1369.1432.1Longueur [m]−0.050.1 54.1 117.1180.1243.1306.1369.1432.1Longueur [m]Figure 3.24 – Six premiers modes dans le plan horizontal de la caténaire de Vaires calculés avec le modèleEF.3.3.2 Modèle d’amortissementDans le modèle EF, le modèle d’amortissement de type Rayleigh a été adopté. Il est basé surla définition d’une matrice d’amortissement C, combinaison linéaire de la matrice de raideurstatique locale K et de la matrice de masse M.C = αM + βK (3.8)Pour identifier α et β, on utilise une mesure de soulèvement d’un bras de rappel, illustrée surla figure 3.25. C’est une mesure réalisée à poste fixe qui mesure les mouvements verticauxdes bras de rappel ainsi que les conditions météorologiques. Elle peut être divisée en deuxparties délimitées par le passage du pantographe qui génère un pic important.s o u l e v e m e n t [ m ]0 . 0 8Passage du pantographe0 . 0 60 . 0 40 . 0 20- 0 . 0 20 5 1 0 1 5 2 0 2 5t [ s ]Figure 3.25 – Mesure de soulèvement d’un bras de rappel à 300 km/h sur la ligne LN2.91

3.3 Calcul dynamiqueLa première partie met en évidence les ondes qui précèdent l’arrivée du pantographe. Ladeuxième contient les oscillations libres de la caténaire dont la décroissance est déterminéepar son amortissement.D’après Poetsch et al. [65], il est de 1% sur le premier mode (environ 1 Hz). Pourdéterminer les coefficients α et β correspondants, projetons l’équation du mouvementMẌ + CẊ + KX = F,sur la bases des modes propres pour obtenirX T i MX i Ẍ+ X T i CX i Ẋ +X T i KX i X = X T i F¨q i +2ζ i ω i q˙i +ωi 2 X = Xi T F,où ζ i est l’amortissement modal de la caténaire. Par identification, et avec l’équation (3.8),on peut écrireX T i CX i = αX T i MX i + βX T i KX i = 2ζ i ω i ,ce qui équivaut à un amortissement modalζ i =α2ω i+ β 2 ω iEn première approximation, on considère α = 0 ou encoreβ = 2ζ iω i.Ainsi pour obtenir un amortissement de 1% à 1Hz, β vaut 0, 0033.La grande densité modale autour de 1Hz est probablement à l’origine du phénomène de battement: une réponse sur deux fréquences très proches est souvent à l’origine d’une modulationpar phénomène de battement.Ce phénomène n’est pas pris en compte pour déterminer l’amortissement du signal qui estassimilé à un signal mono-fréquentiel dont la réponse est donnée par :A(t) = A 0 e −2πf 0ζ 0 t cos(−2πf 0 t + φ 0 ).Pour suivre cette réponse, la fréquence principale est donnée par le nombre d’oscillationsentre deux maxima de la modulation, séparés de ∆t = t 2 − t 1 (cf. figure 3.26),92f 0 = N oscillations,∆t

Chapitre 3.Modèle Elements Finis0.080.06signal mono−fréquentielsoulèvementSoulèvement [m]0.04A(t 1)A(t 2)0.020−0.02−0.04t−0.061t 20 5 10 15 20 25 30 35Temps [s]Figurerappel.3.26 – Illustration du calcul de l’amortissement de la caténaire avec les soulèvements aux bras deet l’amortissement est déterminé parζ = ln ( A ( t 2 ) /A ( t 1 ) ).−2πf 0 ∆tEn imposant en entrée β = 0.0033 dans le code EF, on obtient en sortie, avec cette méthodeβ = 0, 0036, ce qui valide la méthode.L’application de cette méthode aux données expérimentales montre que β = 0, 0033 n’estpas réaliste. En effet, une moyenne sur quatre mesures de soulèvement donne un facteurd’amortissement de β = 0, 001755 qui correspond à un 0,55% d’amortissement à 1 Hz.Notons enfin que cette méthode est difficilement automatisable car les mesures sont bruitéeset il est parfois difficile de détecter automatiquement (sans intervention humaine) lesmaxima de modulation. De plus, choisir un amortissement proportionnel à la raideur a pourconséquence de rapidement sur-amortir les hautes fréquences car l’amortissement croit linéairementavec la fréquence.Le modèle de Rayleigh complet permet de mieux paramétrer l’amortissement dans les bassesfréquences et propose une plage fréquentielle où l’amortissement modal ζ est presque constant(cf. figure 3.27) pour améliorer la corrélation calculs/essais. Pour déterminer α et β, les soulèvementsne sont plus considérés comme des signaux mono-fréquentiels. A l’aide d’une Transforméede Fourier à Court Terme (cf.§5.3.3.1) [3], on définit une série de points représentantl’amortissement en fonction de la fréquence. Les coefficients de Rayleighα = 9, 26.10 −2 et β = 0, 0738,93

3.3 Calcul dynamiquesemblent donner une bonne corrélation calcul/essais. Cependant, cette méthode donne des ré-10.8ζ=9,26.10 −2 [M] + 0,0738 [K]ζ=0,0738 [K]ζ [%]0.60.40.2amortisssement constant010 −1 10 0 10 1ω [Hz]Figure 3.27 – Améliorations du modèle de Rayleigh completsultats variables et propose seulement un ordre de grandeur pour les coefficients de Rayleigh.Pour conclure, la caténaire est un système dans lequel l’amortissement joue un rôle essentieldans les résultats du couplage avec le pantographe. Le modèle de Rayleigh est une solutionclassique qui, dans ce cas de figure, ne propose pas une solution optimale.En effet, l’amortissement est surestimé pour les hautes fréquences, c’est pourquoi un modèlede Rayleigh amélioré est proposé dans le paragraphe 4.1.5.3.3.3 Modèles de pantographesLe modèle le plus simple est un système masses-ressorts à deux étages qui est uniquementutilisé pour la vérification de la norme EN50318.Le modèle le plus utilisé dans le modèle EF est le modèle masses-ressorts à trois étages. Lafigure 3.28 montre les modèles de pantographe de type Cx et GPU.8 Kg8 Kg10 Ns/mxxx N/m6045 N/mF a= 00-4010 6 N/m9000 N/mF a= 04,63 Kg9,1 Kgx5 Ns/m x 5400 N/mF a= 0,019 V 2560 Ns/m -145 1200 N/mF a= 0,019 V 2x N/m10 6 N/m32 Ns/mCX4,8 Kgxxx N/m1 N/mF s= 70 NF a= 0,002 V 2140 Ns/m (descente)5 Ns/m (montée)23 KgGPU19510 6 N/m-10001 N/mF s= 70 NF a= 0,002 V 2Figure 3.28 – Modèle 3 masses/ressorts des pantographes de type Cx et GPU.La modélisation du pantographe en multicorps flexible représente la description la plus fine94

Chapitre 3.Modèle Elements Finisdu pantographe. Elle permettra notamment d’étudier la flexion des barres composant le cadredu pantographe et sera, à terme, utilisée pour développer un pantographe asservi. L’étude,menée par F. Rauter [69], consiste à interfacer le modèle EF (pour la modélisation EF dela caténaire) avec DAP 2 (pour la modélisation multicorps du pantographe). Le pantographemulticorps n’a pas été utilisé dans le cadre de cette thèse.Une modélisation intermédiaire de pantographe consiste en un modèle masses-ressorts avecune bande de frottement, présenté dans la figure 3.29 qui permet également de modéliserles non-linéarités de liaison. Les deux premiers étages sont les mêmes que pour le système4Kg4500N/m4Kg4500N/mF aéro=09,1KgF aéro=0,019v 21200N/m60Ns/m23Kg1N/mF s=70N ; F aéro=0,002v 2140Ns/m (descente)5Ns/m (montée)Figure 3.29 – Modèle masses-ressorts d’un pantographe avec bande de frottement.masses-ressorts classique. En revanche, la partie supérieure modélise plus finement la bandede frottement ce qui permet de simuler le déplacement alternatif du point de contact degauche à droite, dû au désaxement de la caténaire. Ce modèle présente plusieurs avantages.Le premier est qu’il reste simple à modéliser et nécessite peu de changement dans le code. Ledeuxième avantage est qu’il permet d’exploiter pleinement la modélisation 3D de la caténaireen calculant indépendamment les forces dans les petits plongeurs gauches et droites.Pour obtenir une représentation réaliste du pantographe, le modèle EF applique sur chaquemasses des forces fictives, dont la somme est égale à l’effort statique F 0 .3.3.4 Gestion du contactPour assurer le couplage entre le fil de contact et le pantographe, on vérifie que la force issuedu principe d’action-réaction est appliquée sur les deux systèmes. A chaque instant t, pourdéterminer cette force, plusieurs étapes sont nécessaires :1. Calcul de la position x Contact du point de contact sur le canton en fonction de lavitesse du train,2 DAP : Logiciel multicorps développé par L’université de Lisbonne (IST)95

3.3 Calcul dynamique2. Détermination du nombre de point de contact entre le pantographe et la caténaire,3. Identification de l’élément du fil de contact sur lequel se trouve le point de contact,– calcul de la position x du point de contact sur l’élément courant,– calcul du soulèvement exact de la caténaire au point de contact à l’aide des fonctiond’interpolation d’Hermites,4. Calcul de la distance d’interpénétration dz Contact entre les deux systèmes :dz Contact = z Caténaire au point de Contact − Rayon Caténaire − z Pantooù les variables sont décrites sur la figure 3.30.Fil de contactRayon Caténairez Caténaire au point de contactK ContactC Contactz Pantov 0PantoFigure 3.30 – Illustration du calcul de la force dans le modèle EF.5. Calcul de la force de contact par une méthode de pénalité. La raideur de pénalitéempêche l’interpénétration du pantographe et du fil de contact. La force de contact estcalculée par{FContact = −K Contact .dz Contact + C Contact . ˙ dz Contact si dz < 0F Contact = 0 si dz ≥ 0où K Contact = 50000N/m est la raideur de contact (cf. §4.3.2.3). Un amortisseurC Contact est ajouté pour réduire la surestimation des oscillations engendrées par laraideur de contact.6. Répartition de la force sur les deux nœuds de fil de contact entourant le point decontact :F Élément= b ∗ F Contactoù b est une matrice de passage96

Chapitre 3.Modèle Elements Finis7. Distribution de cette force sur l’ensemble du maillage :F Maillage = F Maillage + F Élément∗ Toù T est une matrice de passageCes calculs sont réalisés à chaque pas de temps dans l’intégrateur temporel. Pour optimiserle temps de calcul, cette routine a été développée en langage C et introduite dans le modèleEF.3.3.5 Gestion des non-linéaritésLa caténaire est une structure souple se déformant lors du passage du pantographe. Troistypes de non-linéarités sont présentes dans le système pantographe-caténaire : l’unilatéralitédes pendules, l’unilatéralité du contact, et les butées dans le pantographe. Il est nécessaired’introduire ces non-linéarités dans le modèle numérique pour obtenir un comportementreproduisant au mieux la réalité.3.3.5.1 Unilatéralité des pendulesLe câble porteur soutient le poids du fil de contact par l’intermédiaire des pendules pourréduire la flèche de ce dernier. Par conséquent, les pendules travaillent la majorité du tempsen traction. Néanmoins, lors du passage du pantographe ils se retrouvent en compressionentre le fil de contact et le câble porteur. Ces câbles de petite section se déforment alorsfacilement et ne transmettent qu’un effort très faible, voire nul. Cette unilatéralité doit êtreprise en compte. Pour cela, des forces compensatrices sont ajoutées dès que les pendules sontcomprimés.Les matrices d’observation c pendules et de commandabilité b pendules sont utilisées pour lagestion des pendules. A chaque pas de temps, l’état des pendules est recalculé :1. Les forces dans tous les pendules sont données parF pendules = EAL ∆z pendules = c pendules .u pendules ,} {{ }écriture matricielleLe vecteur F pendules est composé de forces de compression ou de traction selon lesigne de ∆z pendules .2. On considère que les pendules ne transmettent pas de forces de compression, c’est àdire que le pantographe ne voit que le poids du fil de contact et de ses griffes. La97

3.3 Calcul dynamiquecondition d’unilatéralité des pendules s’écrit :si ∆z pendules > 0 alors F pendules = 0. (3.9)3. Le vecteur des forces compensatrices, appliquées aux degrés de liberté concernés, estdonné parF compensatrices = −b pendules .F pendulesEn revanche les efforts dûs à l’amortissement dans les pendules ne sont pas compensés. Autrementdit, l’unilatéralité des pendules n’est pas parfaite. De plus, la condition d’unilatéralitédonnée dans l’équation 3.9 ne reflète pas exactement la réalité. En effet, le relâchement dependule est progressif (cf. figure 1.29). Le modèle EF intègre cette amélioration du comportementdes pendules mais les résultats présentés dans cette thèse ne l’utilisent pas.3.3.5.2 Décollement du pantographeLorsqu’il rencontre des points particulièrement rigides ou un défaut de la géométrie, le pantographepeut décoller c’est à dire qu’un découplage des deux systèmes se produit. Cetteperte de contact se traduit par un effort de contact nul :Si dz Contact > 0 alors F Contact = 03.3.5.3 Non-linéarités du pantographeDes non-linéarités sont également incluses dans les modèles de pantographe, comme des butéesen translation et des valeurs d’amortissement différentes lorsque le pantographe monteou lorsqu’il descend par exemple (cf. figure 3.28).3.3.6 Intégration temporelleL’utilisation de la méthode Éléments Finis pour l’analyse dynamique de systèmes nonlinéaires,tel que le système pantographe-caténaire, nécessite l’utilisation d’algorithmes d’intégrationpas à pas pour résoudre l’équation d’équilibreMü + C ˙u + Ku = F. (3.10)Il existe deux types d’intégrateurs temporels : les intégrateurs explicites et les intégrateursimplicites.98

Chapitre 3.Modèle Elements FinisLe code Éléments Finis utilise la méthode explicite des différences finis. Les intégrateursexplicites sont faciles à implémenter car le résultat de l’équation 3.10 au pas de temps t + ∆test calculé en fonction des quantités connues à l’instant t. De plus, gérer les non-linéaritésne constitue pas de difficultés particulières par rapport à la situation linéaire.Les accélérations ü n+1 , à l’instant t + ∆t, sont calculées sans itération sur la non linéarité[30], à partir des prédictions explicites des déplacements u n+1 et des vitesses ˙u n+1 :ü n+1 = M −1 (C ˙u n+1 + Ku n+1 − F n+1 ) (3.11)Pour résoudre ce système, la matrice de masse est inversée à chaque pas de temps. Il estdonc judicieux de travailler avec une matrice de masse diagonale (facilement inversible) enutilisant une formulation en masse concentrée.La limite de stabilité du schéma d’intégration explicite, pour un système non-amorti, estdonnée par la plus grande valeur propre du système :∆t < 2ω max.Par conséquent, l’inconvénient des schémas explicites est la nécessité d’utiliser des pas detemps suffisamment petits pour satisfaire la stabilité du schéma d’intégration temporelle.Notons que la finesse du maillage conditionne le pas de temps maximum. Or, dans le casde la caténaire, la finesse du maillage joue un rôle important sur les résultats (cf. paragraphe§4.1.2). Les pas de temps mis en jeu sont donc nécessairement très faibles ce qui nuitaux temps de calcul.3.4 Introduction de défauts dans le modèleDes défauts sont inclus dans les modèles de caténaire utilisés dans le modèle EF. La simulationdes situations perturbées servira à la fabrication de signatures de défauts utilisées pourla détection de défauts en service opérationnel.Deux types de défauts et deux types de singularités ont été implémentés dans ce modèle :respectivement, la griffe de jonction et le pendule manquant ainsi que le changement decanton et le pont route. Pour le changement de canton, le modèle EF gère le changement defil de contact avec une détection du nombre de fils en contact avec la partie supérieure del’archet.99

3.4 Introduction de défauts dans le modèle3.4.1 La griffe de jonctionRappelons qu’une griffe de jonction est un élément de faible longueur (15 cm) (par rapportà la vitesse de passage d’un train (80 m/s)) et très rigide par rapport au fil de contact.La masse relativement importante de ce composant génère un choc sur le pantographe. Parconséquent, une griffe est toujours montée près d’un pendule (moins d’une dizaine de centimètres)pour limiter son influence sur le captage.Deux modélisations de la griffe de contact ont été testées. La première suppose que seule lamasse d’une griffe influence le comportement dynamique de la caténaire et que la rigiditésupplémentaire apportée par la griffe est négligeable. Une masse ponctuelle est ajoutée sur unnoeud déjà existant dans le maillage et proche de l’attache des pendules ou du bras de rappel.La deuxième modélisation consiste à ajouter un nouvel élément correspondant aux propriétésde la griffe de jonction (masse, inertie, raideur, etc.) et de contraindre ses nœuds à suivreceux du fil de contact. Pour cela, la discrétisation du fil de contact doit tenir compte de laposition et de la taille de la griffe.La figure 3.31 compare les forces de contact obtenues pour une modélisation de la griffe parune masse ponctuelle et par un élément spécifique.300250Pas de défautElément spécifiqueMasse ponctuelleForce [N]20015010050544.5 598.5 652.5Longueur [m]Figure 3.31 – Influence du modèle de griffe sur la force de contact.On constate que la différence entre les résultats des deux modélisations de la griffe ne justifiepas l’ajout d’un élément spécifique pour la griffe. D’ailleurs, on peut constater sur lafigure 3.32 qu’une griffe de jonction modifie très peu la raideur statique locale de la caténaire,ce qui justifie une modélisation de la griffe de jonction par une simple masse ponctuelle.3.4.2 Les pendules manquantsPour modéliser le pendule manquant, on enlève l’élément le modélisant du maillage. Onmodélise le pendule décroché en conservant les masses ponctuelles correspondant aux griffes100

Chapitre 3.Modèle Elements Finis4Pas de défautElément spécifiqueMasse ponctuelle2.22Elasticité [m/N]32105 x 10−4 Longueur [m]x 10 −4Pas de défautElément spécifiqueMasse ponctuelleGriffe544.5 598.5 652.5Elasticité [m/N]1.81.61.41.2598.5Longueur [m]GriffeFigure 3.32 – Influence du modèle de griffe sur la raideur statique locale.d’attache des pendules.Le pendule manquant modifie la flèche statique du fil de contact et la raideur statique localede la caténaire (cf. figure 3.33).Deflection [cm]Tension (N)510509508507506505Déformée statiquependule manquant504495 544.5 598.5 652.5 706.5Position [m]18016014012010080604020Tensions dans les pendulespendule manquant0495 544.5 598.5 652.5 706.5Position (m)Force [N]Elasticité [m/N]240220200180160140120pendule manquantForce de contact filtrée à 20Hz598.5 652.5Longueur [m]ElasticitéPas de défautPendule cassé5 x 10−4 Pas de défautPendule cassé4321pendule manquant0544.5 598.5 652.5Longueur [m]Figure 3.33 – Conséquences d’un pendule manquant sur la statique et la dynamique de la caténaire.Notons que le maillage est d’abord construit avec l’élément, puis ce dernier est supprimépour conserver une finesse de maillage constante. En effet, pour comparer une situation avecet sans défaut, il est important que le maillage reste le même.3.4.3 Les perturbations climatiquesIl est possible d’inclure des variations de conditions climatiques dans le modèle EF. En effet,l’influence de la température et du vent est encore mal connue mais les conséquences sontparfois critiques :– les températures élevées entraînent une dilatation du fil de contact et les poids utiliséspour réguler la tension du fil de contact, en touchant le sol, ne jouent plus leur rôle,101

3.4 Introduction de défauts dans le modèle– sous l’effet d’une forte rafale de vent, le fil de contact peut sortir du gabarit de l’archet etentraîner ainsi un arrachement du pantographe ou du fil de contact.Ces phénomènes modifient la géométrie statique de la caténaire ainsi que son comportementdynamique.ConclusionCe modèle utilise la méthode Éléments Finis pour simuler le comportement dynamique ducouple pantographe-caténaire. La flexibilité de cette méthode permet de générer un maillageen trois dimensions de la caténaire pour répondre aux exigences industrielles. Il est construità partir de la position, des dimensions et des caractéristiques du matériau de chaque élémentqui la compose.Étant donné les fortes contraintes de tension dans la caténaire, la formulation de chaqueélément de câble tient compte de la précontrainte. Le calcul statique applique le chargementde manière itérative sur le maillage en recalculant la matrice de raideur à chaque étape pourprendre en compte les non-linéarités géométriques de la caténaire.Le pantographe est modélisé soit par un modèle masses-ressorts soit par un modèle multicorpset peut intégrer des non-linéarités. Le contact unilatéral entre ce dernier et le fil decontact est assuré par une pénalisation et l’unilatéralité des pendules est gérée par l’ajout deforces compensatrices qui annulent leur bilatéralité. Le calcul dynamique est réalisé par unintégrateur explicite qui utilise une matrice de raideur linéaire tangente et un pas de tempsconstant. Ce choix sera modifié par la suite au bénéfice d’un intégrateur implicite.En donnant la possibilité d’introduire des défauts dans différents types de caténaire, cemodèle répond aux besoins industriels. Cependant, l’utilisation des EF pour modéliser lecouplage d’une structure souple sur laquelle se déplace une charge mobile nécessite quelquesprécautions étant donné que les résultats sont fortement liés à la régularité du modèle.Par conséquent, il reste à valider les résultats obtenus, d’une part avec le logiciel semianalytiqueet d’autre part avec les mesures.102

Chapitre 4Evolution de l’outil de simulation etcorrélation des résultatsIntroductionDeux outils de simulation du comportement dynamique de la caténaire, construits sur desméthodes différentes, sont disponibles. Le premier propose une description parfaitementcontinue des déplacements du fil de contact mais il est difficilement adaptable à toutesles géométries des caténaires. Le deuxième, construit sur la méthode des Éléments Finis, estbeaucoup plus flexible et répond mieux aux exigences industrielles. Cependant, F. Labergri[47] a montré que la discrétisation du fil de contact en Éléments Finis est à l’originede perturbations numériques qui interagissent fortement avec le comportement dynamiquenaturel du couple pantographe-caténaire. C’est pourquoi des évolutions, spécifiques au problèmed’une structure élastique mobile sur une structure souple discrétisée, ont été apportéesau code Éléments Finis.Dans un premier temps, on utilise le fil tendu comme cas test. Ce cas d’école est le seul pourlequel les deux codes sont strictement comparables. Ainsi, les problèmes peuvent être mis enévidence et des propositions d’évolution qui les minimisent sont proposées.Dans un deuxième temps, les résultats en statique et en dynamique des deux codes sontcomparés en utilisant les modèles complets de caténaire. Cette validation croisée permet des’affranchir des problèmes liés aux mesures en ligne (manque de reproductibilité, bruit, etc.).Pour le calcul dynamique, des outils de comparaison de signaux ont été empruntés à d’autressecteurs ou développés spécifiquement pour cette application dans le but de quantifier la ressemblanceou la dissemblance de deux résultats temporels complexes. En effet, omniprésentedans certains domaines, comme la reconnaissance de la parole par exemple, cette problématiqueest peu habituelle en mécanique où l’étude des résultats fréquentiels est souventpréférée.

4.1 Évolution du code Éléments FinisEnfin, la dernière étape de validation des codes étudie la corrélation calculs-essais. Bien quepeu nombreuses, les mesures ont été utilisées pour confirmer les ordres de grandeur et lecomportement général des résultats.4.1 Évolution du code Éléments FinisLa discrétisation de la caténaire sur laquelle se déplace le pantographe, perturbe les résultatsdynamiques. Dans ce paragraphe, des solutions sont proposées pour minimiser ces perturbations.Ce problème de discontinuité n’existe pas dans le modèle semi-analytique. En effet, les déplacements,décrits par une somme de sinusoïdes, sont infiniment dérivables ce qui assureune continuité des déplacements, de la pente, de la courbure, etc. A ce titre, cette solutionservira d’ailleurs de référence pour constater les améliorations.Les deux modèles ne disposant pas du même niveau de description de la caténaire (3D pourle modèle Éléments Finis (EF) et 1D pour le modèle analytique), un cas test de poutreprétendue sur appuis simples est utilisé pour pouvoir effectuer une comparaison des résultats.De plus, les modèles de caténaire complets sont trop complexes pour tester facilementl’influence de chaque phénomène. En effet, les non-linéarités, les réflexions d’ondes sur lesdifférents composants, le nombre important de composants, le couplage transversal-vertical(pour le modèle EF), sont autant de phénomènes difficiles à isoler.Ce modèle utilise un fil simple d’une longueur de 100 m sur lequel une tension mécaniquede 20 kN est appliquée aux extrémités. Les effets de la gravité sont négligés. Le pantographeutilisé est un pantographe masses-ressorts à trois étages se déplaçant à 80 m/s (288 km/h)dont l’effort statique f 0 est de 200 N. Le couplage est unidirectionnel et autorise les décollements.Néanmoins les conditions de fonctionnement ne font pas apparaître de décollementet ne sollicitent donc pas cette non-linéarité.Un code Éléments Finis simplifié [3] a été développé spécifiquement pour cette étude dans lebut de lever les incertitudes sur les développements complexes du modèle EF complet (calculstatique complexe, écriture optimisée pour réduire les temps de calcul, etc.).Le modèle simplifié est construit d’après les hypothèses suivantes :– seuls les déplacements verticaux z et les rotations suivant y sont autorisés. La flexion etla tension du fil sont prises en compte,104

Chapitre 4.Evolution de l’outil de simulation et corrélation des résultats– l’interpolation des déplacements suivant z utilise le polynôme d’Hermite de degré 3 (cf.équation 3.3),– gestion du contact par une raideur de pénalisation unilatérale de module K Contact =50000 N/m,– intégration temporelle par un schéma de Newmark implicite identique à celui du modèlecomplet.4.1.1 Modélisation de la masseIl est courant de concentrer la masse des éléments sur les nœuds des maillages EF. Autrementdit, la masse de l’élément n’est pas répartie par les fonctions de forme sur toute salongueur mais elle est appliquée sur les degrés de liberté. Par une approximation qui négligeles couplages entre les degrés de liberté, cette solution rend la matrice de masse diagonale.Cette opération permet, dans le cas d’un algorithme temporel nécessitant l’inversion de lamatrice de masse à chaque pas de temps (ce qui est le cas des algorithmes explicites), deréduire considérablement le temps de calcul.Dans le cas d’une charge mobile se déplaçant sur un fil discrétisé, les discontinuités dues aupassage d’un élément à un autre sont importantes comme le montre la figure 4.1.160014001200ConcentréeConsistanteForce [N]1000800600400200010 20 30 40 50 60 70 80 90Longueur [m]Figure 4.1 – Comparaison des effets d’une modélisation en masse concentrée ou en masse consistante surl’effort de contact pour un fil simple tendu.L’utilisation de la masse concentrée dégrade fortement l’effort de contact par rapport àla masse consistante avec laquelle les niveaux des oscillations dues aux discontinuités sontréduits.Cette solution a été complètement abandonnée au profit de la formulation en masse consistanteet d’un algorithme de Newmark implicite (cf. 2.3.2).105

4.1 Évolution du code Éléments Finis4.1.2 Finesse du maillageLorsque le pantographe se situe entre deux nœuds du fil de contact, le déplacement de cedernier est interpolé par les fonctions de forme de l’élément poutre. Ces éléments assurentune continuité C 1 aux nœuds.Pour un maillage grossier 1 , l’interpolation des déplacements peut être assez éloignée de laphysique et générer des erreurs importantes. En réduisant la distance entre les nœuds, l’erreursur les déplacements est réduite. La figure 4.2 illustre l’importance de la finesse du maillagesur les résultats de la force, un maillage grossier induisant des perturbations parasites.16001400120040 éléments400 élémentsForce [N]1000800600400200010 20 30 40 50 60 70 80 90Longueur [m]Figure 4.2 – Comparaison de la force de contact pour un maillage fin et un maillage grossier.En conclusion, avec un maillage suffisamment fin, le modèle EF converge et les perturbationsdues au passage d’éléments sont atténuées. Cette solution est très simple à mettre en oeuvredans le logiciel complet en divisant n fois la longueur des éléments du FC entre chaque pendule.Néanmoins, elle devient rapidement coûteuse en temps de calcul et en espace mémoirecar le nombre de degrés de liberté augmente très vite.Il est à noter que le niveau de discrétisation nécessaire dépend de la fréquence d’étude : filtréeà 20 Hz, la force de contact converge avec seulement 3 éléments entre chaque pendule maispour des fréquences plus élevées, un modèle plus fin peut s’avérer nécessaire. Cette remarques’applique tout particulièrement lors de la simulation de défauts dans la caténaire.4.1.3 Intégration temporelleLe modèle EF utilisait dans un premier temps un schéma explicite pour simplifier la priseen compte des non-linéarités. Néanmoins, pour le système pantographe-caténaire, ce choixn’est pas le plus adapté.Tout d’abord, comme présenté dans le paragraphe §4.1.1, l’utilisation d’une formulationconcentrée de la masse est à proscrire dans les applications de charge mobile. Autrement dit,1 maillage grossier : 40 éléments pour décrire un fil tendu de 100m106

Chapitre 4.Evolution de l’outil de simulation et corrélation des résultatsil conviendrait d’utiliser une matrice de masse non diagonale ce qui augmenterait considérablementle temps de résolution du système donné par l’équation 3.11.De plus, la finesse du maillage améliore visiblement les résultats. Or la stabilité du schémaexplicite est limitée au domaine de fréquence tel que ( ω max ∆t ≤ 2 ) [30] où ω max est lafréquence la plus haute du modèle. En Éléments Finis, elle est associée à la plus grandefréquence d’un élément isolé. Une approximation de la limite de stabilité consiste à évaluerle temps mis par une onde de pression pour parcourir la longueur du plus petit élément dumaillage [51]. Par conséquent, plus la longueur des éléments est petite plus le pas de tempsdoit être fin.En conclusion, le nombre important de pas de temps et l’inversion d’une matrice pleine àchaque pas de temps, se traduirait par des temps de calculs très importants. Aussi, le choixd’un intégrateur implicite semble être judicieux. En effet, ce schéma, inconditionnellementstable permet de travailler avec des pas de temps importants.Dans le cas d’une résolution implicite d’un système linéaire, l’intégrateur temporel effectueune prédiction et une correction des déplacements. Pour un système non-linéaire, déplacement,vitesse et accélération ne sont pas indépendants. L’équation d’équilibre peut êtreréécrite sous la former(u) = Mü + C ˙u + Ku − F = 0où r est le vecteur des résidus. Il s’agit alors de résoudre le système non-linéairer(u n+1 ) = 0en utilisant la prédictionu n+1 prediction = u n + ∆t ˙u n + 1 2 ∆t2 (1 − 2β)ü n˙u n+1 prediction = ˙u n + (1 − γ)∆tü nü n+1 prediction = 0 ,puis, de manière itérative, les corrections des déplacements, solutions de l’équation linéariséeS∆u k = −r(∆u k n+1)où S matrice d’itération s’écritS(u) = K T +γβ∆t CT + 1β∆t 2 M T ,Dans le cas d’un pas de temps constant, celle-ci peut être calculée une fois pour toutes. On107

4.1 Évolution du code Éléments Finisconsidère que la solution est convergée lorsque la norme du résidu passe en dessous d’uncertain seuil.La procédure de calcul associée à la méthode implicite d’intégration temporelle de Newmarkest résumée par l’organigramme de l’annexe D.Le schéma implicite remplace avantageusement le schéma explicite choisi initialement. Eneffet, dans le cas de matrice de masse consistante, il permet de travailler avec des pas detemps plus grands (de l’ordre de 10 −3 s) tout en vérifiant la convergence du résultat. Lestemps de calcul sont nettement diminués par rapport à un schéma explicite qui inversait lamatrice de masse à chaque pas de temps et qui nécessitait un pas de temps très petit (del’ordre de 10 −6 s) pour obtenir la convergence.4.1.4 Continuité géométrique des élémentsConsidérons un pantographe se déplaçant sur une caténaire infiniment rigide. L’accélérationverticale de ce dernier est fortement liée à la courbure du fil dans le plan vertical par :a panto = ∂ 2 z Caténaire∂t 2= v 2 ∂ 2 z Caténaire∂x 2= v 2 ∗ Courbure.Par conséquent, une discontinuité de courbure peut induire un choc numérique sur le pantographe.Bien qu’en réalité la caténaire soit souple, une discontinuité de courbure perturbemalgré tout l’effort de contact.Le modèle semi-analytique est utilisé pour vérifier cette hypothèse. En effet, les déplacementsy étant décrits par une somme de sinusoïdes, la continuité de la courbure est assurée :m∑( ) iπxSi z ( x, t ) = B i (t) sinLi∂ 2 z ( x, t )m∑( ) 2 ( )iπ iπxalors= − B∂x 2 i (t) sinL LDans le cas du fil simple, les formes de la courbure et de la force de contact sont fortementliées. La figure 4.3 illustre ce résultat.Dans le modèle EF, les déplacements verticaux z sont interpolés par les polynômes d’Hermitecubiques (cf. équations 3.2) et la condition de continuité C i , donnée par108z (i)el1(1) = z(i)el2 (0),i

Chapitre 4.Evolution de l’outil de simulation et corrélation des résultats4000Force de contact vs. CourbureForce de contact [N/m]2000−0.4−0.2Courbure [N/m/s 2 ]00 10 20 30 40 50 60 70 80 900100Longueur [m]Figure 4.3 – Illustration de l’influence de la courbure sur la force de contact.peut s’écrireN (i)w 1(r).z 1 + N (i)w 2(r).ψ 1 + N (i)w 3(r).z 2 + N (i)w 4(r).ψ 2 =N (i)w 1(r).z 2 + N (i)w 2(r).ψ 2 + N (i)w 3(r).z 3 + N (i)w 4(r).ψ 3 ,Ce qui donne par identification⎧⎪⎨⎪⎩N (i)w 1 (1) = 0N (i)w 2 (1) = 0N (i)w 3 (1) =N (i)w 4 (1) =N (i)w 3 (0) = 0N (i)w 4 (0) = 0N (i)w 1 (0)N (i)w 2 (0)Ces polynômes assurent seulement une continuité C 1 , autrement dit la continuité de la penteau passage des éléments, et non pas la continuité C 2 nécessaire pour assurer la continuité dela courbure. La figure 4.4 illustre les discontinuités de courbure dans le modèle EF.Il est possible d’obtenir une continuité C 2 en ajoutant, en plus des translations et des rotations,un degré de liberté de courbure à chaque nœud. Dans le modèle EF simplifié, denouvelles fonctions de formes ont ainsi été calculées pour inclure ce degré de liberté [3].Avec 6 degrés de liberté par élément, les fonctions d’interpolation doivent être construites109

4.1 Évolution du code Éléments FinisDéplacement0.20.150.10.051 2 3 4 5 6 7 8 9 1011121314151617181920212223242526272829303132333435363738390.50−0.5−1x 10 −31Pente1 2 3 4 5 6 7 8 9 101112131415161718192021222324252627282930313233343536373839x 10 −5Courbure50−51 2 3 4 5 6 7 8 9 101112131415161718192021222324252627282930313233343536373839n° de l’elementFigure 4.4 – Courbure obtenue avec le modèle EF à un temps t donné.avec des polynômes d’ordre 5 et sont définies par (cf. annexe E) :⎡N C2 = C −1T φ =⎢⎣− 6 x5l 5+− 3 x5l 4− x515 x4l 42 l + 3 x436 x 5−l 5− 3 x5l 4−10 x3l 3 + 1+ 8 x4 l 3 − 6 x3l 2+2 l − 3 x32 2 l15 x4l 4+ 7 x4l 3+x+ x210 x3l 3− 4 x3l 2x 52 l 3 − x4l 2 + x32 l2⎤.⎥⎦Elles sont testées dans le code Éléments Finis simplifiés. La figure 4.5 illustre les améliorationsapportées par l’utilisation d’éléments C 2 . Le fil est discrétisé en 40 éléments. Avec l’utilisationdes éléments C 2 , les fluctuations sont réduites par rapport aux éléments assurant seulementune continuité C 1 . Pour obtenir des fluctuations équivalentes avec la formulation classiquedes éléments, le maillage doit être raffiné par deux. Néanmoins, inclure un degré de libertésupplémentaire de courbure dans l’architecture du modèle EF demande des modificationslourdes et le gain ne justifie pas de tels développements.110

Chapitre 4.Evolution de l’outil de simulation et corrélation des résultatsFc [N]1000800600400200Effort de contact, 40 éléments, vitesse de 80 m/sContinuité C 1Continuité C 2Continuité C 1−− nombre d’éléments × 2002.557.51012.51517.52022.52527.53032.53537.54042.54547.5052.557.56062.56567.57072.57577.58082.58587.59092.59597.5100Distance [m]Fc [N]Effort de contact, 40 éléments, vitesse de 80 m/s26024022020018016014012010015 17.5 20 22.5Distance [m]Figure 4.5 – Comparaison de la force de contact obtenue avec des éléments C 1 et C 2 . Gauche : zoom sur laforce de contact.4.1.5 Modèle d’amortissementDans le paragraphe 3.3.2, on a vu que l’amortissement était surestimé dans les hautes fréquences.On propose ici d’introduire un amortissement différent en fonction de chaque composant,comme dans le modèle semi-analytique présenté dans le paragraphe 2.3.5, car a prioril’amortissement dans un pendule est différent de celui du fil de contact. Toujours construitsur la base du modèle de Rayleigh, un coefficient différent est attribué à chaque type decomposant (fil de contact, câble porteur, pendules, bras de rappel, câbles Y) :C = ∑ iα i M i + β i K i (4.1)où i correspond à l’indice du composant de la caténaire.Pour construire la matrice d’amortissement C, les matrices de masse M i et de raideur K i dechaque groupe sont construites indépendamment et pondérées par un coefficient d’amortissement,respectivement α i et β i .Ensuite, elles sont ré-assemblées pour donner la matrice d’amortissement du système global.Ce modèle présente l’avantage de différencier le comportement de chaque élément ce qui permetde déterminer un amortissement numérique de la caténaire plus précis et donnant unebonne corrélation calculs-essais. Par exemple, les ondes précédant l’arrivée du pantographe,visibles dans les mesures de soulèvement des bras de rappel, sont alors mieux décrites.Cependant, déterminer la valeur des coefficients n’est pas une tâche facile. Dans le cas dela caténaire de type 25 kV sans câble Y, une optimisation sur 8 paramètres (quatre α i etquatre β i ) a été effectuée [32]. La fonction coût utilisée pour cette optimisation représentantla distance entre les résultats calculés et mesurés est composée de la force de contact (cf.§4.2.4) et de l’écart sur le soulèvement maximum au bras de rappelD = DF L(Force de contact) +(100 × Soul )max,mes − Soul max,calcSoul max,mes111

4.2 Outils de comparaison de signauxα βFil de contact 0 1,0091E-04Câble porteur 0 8,1600E-04Pendules 0 1,3156E-06Bras de rappel 0 0Tableau 4.1 – Coefficients de Rayleigh utilisés dans le modèle EF, obtenus par une procédure d’optimisation.Il est important de noter que l’amortissement dans le modèle analytique, pour lequel unevaleur différente d’amortissement modal est attribuée à chaque mode (cf. figure4.23a), esttrès différent de l’amortissement utilisé dans le modèle EF. En effet, bien que plus précis quele modèle de Rayleigh classique, ce modèle ne supprime pas la surestimation de l’amortissementpour les hautes fréquences (cf. figure 4.23b).Notons que l’amortissement dans la caténaire est particulièrement important dans les simulationsoù deux pantographes circulent simultanément sur la même caténaire. En effet, ledeuxième pantographe arrive sur la caténaire déjà mise en mouvement par le premier pantographe.Dans ce cas, l’amortissement dans la caténaire conditionne directement le comportementdynamique du couple pantographe-caténaire.Pour conclure, le modèle d’amortissement utilisé dans le modèle EF est un modèle de Rayleighamélioré pour lequel des coefficients d’amortissement différents sont attribués à chaquegroupe de composants. Plus général, ce modèle est également plus complexe à paramétrer etles valeurs sont difficilement justifiables physiquement même si les tendances sont prévisibles(peu d’amortissement dans le fil de contact par exemple).4.1.6 ConclusionLes modifications apportées au code EF ont sensiblement amélioré les résultats de simulation.Par conséquent le code Éléments Finis OSCAR, développé à la SNCF les intègre toutes saufla continuité géométrique des éléments qui nécessitait une refonte complète du code.4.2 Outils de comparaison de signauxLa validation des résultats de simulation soulève le problème de l’évaluation de la ressemblancede deux signaux temporels. En effet, l’étude de l’influence d’un paramètre (amortissement,raideur de pénalité, etc.), l’évaluation de la corrélation calculs-essais nécessite desgrandeurs physiques facilement interprétables.Cependant, les observations qui permettent d’affirmer facilement que deux signaux « se ressemblent», ou qu’ils sont « bien corrélés », sont souvent difficiles à quantifier par des critères.112

Chapitre 4.Evolution de l’outil de simulation et corrélation des résultats4.2.1 Quelques mesures simplesDans certaines applications, une mesure simple suffit à évaluer la distance entre deux signauxtemporels. Les plus couramment utilisées ont été rassemblées par F. Porikli [66]. Soientdeux signaux de dimension N :référence N×n = [r 1 , r 2 , . . . , r n ] et signal N×m = [s 1 , s 2 , . . . , s m ].La distance la plus connue est la distance Euclidienne. Entre deux points r i et s j , elle estdéfinie généralement par∑d(r i , s j ) = √ N ( )rk 2,i − s k j(4.2)k=1où k représente x et y dans le cas d’un signal 2D (N = 2).La distance Euclidienne cumulée entre deux signaux consiste à effectuer la somme des différencesterme à terme (i = j et k = y car r x i − s x j = 0) :d(r i , s i ) = ∑ √ ( r i − s i ) 2 .Cette estimation tend vers zéro pour deux signaux similaires.Comme l’illustre la figure 4.6, si deux signaux de forme relativement proche sont déphasés,c’est à dire décalés suivant l’axe X, cette distance ne reflète pas la ressemblance. On constate0.50−0.5RéférenceSignalDifférence terme à terme0 10 20 30 40 50 60Figure 4.6 – Illustration de la notion de distance Euclidienne.que la distance Euclidienne cumulée n’est pas nulle bien que la référence et le signal soienttrès proches.Une autre mesure de la ressemblance de deux signaux est la corrélation qui s’écrit :corrélation =〈référence, signal〉||référence|| ∗ ||signal||(4.3)où la notation 〈β 1 , β 2 〉 désigne de façon formelle le produit scalaire de deux signaux β 1 (t) et113

4.2 Outils de comparaison de signauxβ 2 (t) :〈β 1 , β 2 〉 =∫ ∞−∞β 1 (t)β ∗ 2(t)dtβ2 ∗ est le complexe conjugué de β 2 . La corrélation vaut 1 lorsque les deux signaux sont lesmêmes.Dans ce cas encore, un simple déphasage entre la référence et le signal induit une erreurimportante.Partant de ce constat, une synchronisation temporelle des signaux est indispensable avant decalculer la distance euclidienne ou la corrélation de deux signaux temporels. Ceci impliquel’alignement des signaux sur certains points, les extrema par exemples, par une dilatation ouune compression d’un ou des deux signaux. Afin de quantifier ces déformations horizontales,une « distance horizontale » est définie.Seul un critère combinant la distance horizontale et la distance verticale (la somme ou leproduit) représente un bon estimateur de la ressemblance de deux signaux temporels.Dans la littérature, on retrouve fréquemment cette notion d’alignement temporel des signaux,sous le terme de « time-warping », tout particulièrement dans les problématiques dereconnaissance de la parole. Les mesures de distances et la problématique d’alignement sontégalement étudiées pour la reconnaissance de formes ou de visages [1; 2; 8; 33; 70]. D’autresréférences sont recensées dans L. Younes [88], Glasbey et Mardia [31] et Lester etArridge [50].Il existe deux grandes classes de méthodes permettant le recalage de signaux :– le recalage discret ou alignement par landmarks– le recalage continu ou alignement global4.2.2 Recalage discret par landmarksLes landmarks sont des points caractéristiques d’un signal. Il peut s’agir des extrema, desinflexions, etc. Le recalage par landmarks consiste à déterminer des transformations quipermettent de déformer les signaux afin de superposer les landmarks. Comme l’expliqueBigot [4] dans sa thèse, l’alignement des signaux par les landmarks suit les étapes suivantes :1. définition des points caractéristiques qui serviront de landmarks,2. choix des landmarks en évitant de choisir des points fortement liés au bruit,3. détermination des paires de landmarks se correspondant (en supprimant les landmarksen trop),114

Chapitre 4.Evolution de l’outil de simulation et corrélation des résultats4. calcul des transformations qui alignent les landmarks,5. déformation des signaux.Difficilement automatisable, le choix des landmarks représente la première difficulté. Ils sontsouvent déterminés manuellement ce qui rend ce recalage non-universel. De plus, la qualitédes résultats est liée aux transformations utilisées pour déformer les signaux. Un recalagelinéaire donne souvent de moins bons résultats qu’un recalage non-linéaire particulièrementdans le cas de signaux complexes.J.P. Bianchi [3] a montré que pour un signal simple les résultats sont relativement bons bienqu’ils soient fortement liés aux choix des landmarks. Aussi, dans notre cas, pour le recalagedes simulations sur les mesures, il est nécessaire de filtrer les hautes fréquences pour enleverle bruit, les phénomènes transitoires, etc.J. Bigot [4] propose, pour le domaine bio-médical, une méthode qui permet de déterminerautomatiquement les landmarks d’une image. Cette méthode est basée sur la détection descontours de l’image par une décomposition en ondelettes ce qui la rend robuste au bruit.De plus la mise en correspondance des landmarks est réalisée par un algorithme complexe(Thin Plate Spline - Robust Point Matching) donnant de meilleurs résultats qu’une simplesuperposition des landmarks les plus proches. Cette méthode donne d’excellents résultatspour une image.Une adaptation de ces techniques aux signaux 1D que nous étudions donnerait sans aucundoute des résultats également très bons. Néanmoins, très lourdes à développer, ces méthodesont été laissées de coté au bénéfice de méthodes continues.4.2.3 Recalage continu : algorithmes DTW et COWLe recalage continu n’effectue pas un recalage des signaux à partir d’une transformationétablie sur quelques points particuliers. Le recalage du signal se fait par dilatation ou compressionde portions du signal considérées dans leur globalité.Parmi les nombreuses méthodes disponibles dans la littérature, dans ce travail, les méthodesDTW 2 et COW 3 ont été retenues pour leur efficacité.Initialement développée pour la reconnaissance de la parole [39] –et ensuite reprise dansdiverses applications (le Data mining [45], la reconnaissance de mouvements [29], etc.)– laméthode DTW est utilisée pour le recalage de signaux.2 DTW : Dynamic Time Warping3 COW : Correlation Optimized Warping115

4.2 Outils de comparaison de signauxLorsqu’un locuteur prononce deux fois un même mot, l’enregistrement n’est jamais exactementle même à cause des différences non-linéaires dans le temps (rythme). Pour identifierle mot prononcé parmi une bibliothèque de références, il est nécessaire d’aligner les axestemporels du signal enregistré et de la référence.La méthode DTW consiste à déformer globalement et non-linéairement le signal enregistré,selon l’axe temporel, afin de minimiser la distance euclidienne (cf. équation 4.2) entre lesignal et la référence.Techniquement, la distance euclidienne d(r i , s j ), donnée dans l’équation (4.2), entre les valeursde chacun des points des deux signaux est placée dans une matrice comme l’illustre lafigure 4.7. La transformation non-linéaire de recalage est déduite du chemin minimisant la4Signal32101 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 141514131211109876543214Référence20matrice DTW1514131211109876543211 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14Figure 4.7 – Algorithme DTW - Matrice de calcul.distance cumulée. Le cheminW = [ w 1 , w 2 , . . . , w k , . . . , w K ] avec max(m, n) ≤ K < m + n − 1,est calculé en respectant les propriétés de monotonie, de continuité et de non déformationdes extrémités, c’est à dire que le chemin passe nécessairement par les points opposés de ladiagonale de la matrice. La méthode de comparaison dynamique consiste à choisir, parmitous les chemins physiquement possibles, celui pour lequel la distance totale [42] :⎧ √ ∑K⎫⎨k=1DT W (Référence, Signal) = minw ⎬k⎩ K ⎭ ,est la plus faible et représente le chemin le plus court. La ressemblance idéale se traduit doncpar une diagonale.116

Chapitre 4.Evolution de l’outil de simulation et corrélation des résultatsL’algorithme quantifie les variations entre les deux signaux selon l’axe Y par un décalage ouune déformation du signal selon l’axe x (ou t). Par conséquent, cette méthode est sensibleaux variations de hauteur des pics.N.P.V. Nielsen [62] et V. Pravdova [67] utilisent la méthode COW, ne présentant pasce défaut, pour analyser des chromatogrammes. Si la méthode reste globalement la mêmeque pour DTW, le critère d’optimisation n’est plus la distance mais la corrélation. Les signauxà comparer sont fragmentés en un nombre N de tronçons. Les tronçons du signal àrecaler sont alors dilatés ou contractés par une interpolation linéaire (dans une plage fixée)afin de maximiser la corrélation avec le tronçon correspondant dans le signal de référence.Une procédure itérative, partant de l’extrémité droite du signal, permet de déterminer ladéformation linéaire par morceau qui maximise la corrélation cumulée.L’algorithme COW présente des avantages par rapport à l’algorithme DTW, notamment ens’affranchissant des problèmes liés à l’amplitude des extrema. De plus, bien que les déformationslinéaires peuvent parfois poser quelques problèmes, les résultats obtenus avec COWsont globalement meilleurs pour les applications considérées.La faculté des sciences de la vie de Copenhague met à disposition des données et des algorithmesdéveloppés par G. Tomasi [81] et T. Skov [75] permettant de facilement tester lesdeux méthodes.La figure 4.8 utilise ces données pour comparer les performances des deux méthodes sur deschromatogrammes. Sur la figure 4.8, on retrouve de haut en bas :FID302010Données BrutesRéférenceSignal00 50 100 150 200 250 300 350 400 4503020Référencesgn. DTW #11000 50 100 150 200 250 300 350 400 4503020Référencesgn. DTW #21000 50 100 150 200 250 300 350 400 4503020Référencesgn. COW1000 50 100 150 200 250 300 350 400 450temps [s]Figure 4.8 – Recalage temporel de chromatogrammes avec les méthodes DTW et COW.117

4.2 Outils de comparaison de signaux1. les signaux bruts à recaler,2. un recalage par DTW avec un jeu de paramètres où apparaissent des aberrations(notamment à t=325 s) provenant de la différence entre les maxima,3. un recalage par DTW avec un jeu de paramètres ne donnant pas d’aberration,4. un recalage par COW.Les résultats obtenus par la méthode COW sont bons. En revanche, ceux obtenus par la méthodeDTW sont sensibles au choix des paramètres. Cette méthode est donc moins robuste.L’application de la méthode COW à des signaux plus complexes, comme la force de contactpar exemple, donne de bons résultats dans le cas où les signaux à recaler sont relativementproches (cf. figure 4.9).C O W R é f é r e n c e e n b l e u , s i g n a l à r e c a l e r e n v e r t3 0 02 0 01 0 08 2 0 8 4 0 8 6 0 8 8 0 9 0 0 9 2 0 9 4 0 9 6 0 9 8 0 1 0 0 0S i g n a l r e c a l é3 0 02 0 01 0 08 2 0 8 4 0 8 6 0 8 8 0 9 0 0 9 2 0 9 4 0 9 6 0 9 8 0 1 0 0 0 1 0 2 0Figure 4.9 – Recalage des résultats du modèle analytique sur les mesures par la méthode COW.En revanche lorsque les deux signaux sont relativement éloignés, comme sur la figure 4.10par exemple, les résultats ne sont pas satisfaisants. En effet, l’alignement des maxima estC O W R é f é r e n c e e n b l e u , s i g n a l à r e c a l e r e n v e r t2 5 02 0 01 5 01 0 02 5 02 0 01 5 01 0 05 0 1 0 0 1 5 0 2 0 0 2 5 0 3 0 0 3 5 0 4 0 0 4 5 0 5 0 0S i g n a l r e c a l é5 0 1 0 0 1 5 0 2 0 0 2 5 0 3 0 0 3 5 0 4 0 0 4 5 0 5 0 0Figure 4.10 – Recalage des résultats d’OSCAR (première version) sur les mesures par la méthode COW.amélioré mais certaines correspondances ne sont pas celles que l’on pourrait effectuer ma-118

Chapitre 4.Evolution de l’outil de simulation et corrélation des résultatsnuellement. C’est à dire que certain recalages ne sont pas effectués dans le bon sens.Pour conclure, ces méthodes, dérivées d’autres domaines et utilisées en l’état, donnent desrésultats très intéressants, compte tenu de la spécificité de nos signaux.4.2.4 Distance de Fourier localeLes méthodes DTW et COW sont des méthodes génériques qui effectuent un recalage temporelsans tenir compte des caractéristiques des signaux à recaler.Dans notre cas, il s’agit de recaler les signaux temporels simulés (force de contact, accélérationdans les petits plongeurs, etc.) sur les mesures. Or, comme le montre la figure 4.11, lecontenu fréquentiel de ces signaux est très proche mais avec des déphasages qui peuvent êtreimportants.5040SpectreMesureSimulationAmplitude30201000 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20Fréquence [Hz]5040Daigramme de phaseMesureSimulation30Phase201000 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20Fréquence [Hz]Figure 4.11 – Comparaison du spectre de la mesure et de la simulation et de la phase de la mesure et de lasimulation.Une méthode qui utilise cette caractéristique a été mise au point [3] pour effectuer un recalagetemporel et évaluer la distance horizontale séparant les deux signaux spécifiques.Le principe de cette méthode est d’utiliser la transformée de Fourier pour passer dans ledomaine fréquentiel. Le signal est alors décomposé en fréquences pures (le spectre) et endéphasages (le diagramme de phase). Autrement dit, le signal est assimilé à une somme desinus de fréquences pures plus ou moins déphasés.119

4.2 Outils de comparaison de signauxRappelons que la transformée de Fourier peut être inversée et que dans le domaine fréquentiel,l’information temporelle du signal est exclusivement contenue dans la phase. Par conséquentpour aligner temporellement deux signaux, il suffit de remplacer la phase du signal parla phase de la référence et d’effectuer une transformée de Fourier inverse. Le signal ainsiobtenu est déformé mais pas de manière élastique comme dans les méthodes précédentes.Cette méthode est très performante lorsque les spectres sont très proches.300250SIgnal originalMesureSimulationForce [N]200150688.5 742.5 796.5 850.5Longueur [m]300250Signal RecaléMesureSimulation RecaléeForce [N]200150688.5 742.5 796.5 850.5Longueur [m]Figure 4.12 – Recalage de la simulation sur la mesure par remplacement des phases dans leur globalité.En revanche, lorsque les spectres sont moins bien corrélés, le recalage global ne donne passatisfaction. En effet, étant donné que les déphasages ne sont pas constants (certains extremasont en avance sur la référence et d’autres en retard) le choix d’un recalage global n’est pasforcément judicieux.Une méthode plus fine consiste à découper spatialement les signaux à l’aide d’une fenêtre deHanning afin de réduire la zone d’étude. Comme pour la méthode globale, la transformée deFourier est calculée pour chaque fenêtre et les phases sont ajustées fenêtre par fenêtre (cf.figure 4.13).Comme pour la Transformée de Fourier à Court Terme (cf. §5.3.3.1), les fenêtres balaientl’ensemble du signal. Il est ainsi possible de représenter le déphasage dans le plan tempsfréquences. La figure 4.14 représente un phasogramme associé à la distance horizontale.Codé en dégradé de couleur, le déphasage entre le signal et la référence peut être positif(rouge : en avance) ou négatif (bleu : en retard). Le spectre global représenté sur la gauche120

Chapitre 4.Evolution de l’outil de simulation et corrélation des résultats3 5 03 0 0R é f é r e n c eM e s u r eF o r c e [ N ]2 5 02 0 01 5 0X e 2i f ref − dec 1 0 01 8 0 0 2 0 0 0 2 2 0 0 2 4 0 0 2 6 0 0 2 8 0 0 3 0 0 0 3 2 0 0 3 4 0 0 3 6 0 0n ° p o i n tS i g n a l a v a n t r e c a l a g e3 5 03 0 0A v a n t r e c a l a g e3 5 03 0 0S i g n a l a p r è s r e c a l a g eA p r è s r e c a l a g eF o r c e [ N ]2 5 02 0 01 5 0F o r c e [ N ]2 5 02 0 01 5 01 0 01 8 0 0 2 0 0 0 2 2 0 0 2 4 0 0 2 6 0 0 2 8 0 0 3 0 0 0 3 2 0 0 3 4 0 0 3 6 0 0n ° p o i n t1 0 01 8 0 0 2 0 0 0 2 2 0 0 2 4 0 0 2 6 0 0 2 8 0 0 3 0 0 0 3 2 0 0 3 4 0 0 3 6 0 0n ° p o i n tFigure 4.13 – Principe de base du recalage par DFL.00Déphasage [rad] entre signal (simulation) et référence (mesure)3Spectre global51015Fréquence [Hz]51015210−1−220−0.5 0 0.520 −3300 400 500 600 700 800 900 1000 1100Longueur [m]Figure 4.14 – Phasogramme associé à la distance horizontale.du phasogramme permet de mettre en évidence les bandes de fréquences de grande énergie(jaune-rouge) donc pertinentes à étudier.En additionnant correctement les portions de signal recalé, on obtient le signal global recalédonné dans la figure 4.15.La distance horizontale associée à la déformation du signal est calculée en moyennant, surla totalité de l’espace temps-fréquences, les valeurs absolues des déphasages (en radians) parl’amplitude du spectre local du signal de référence. On accorde ainsi plus d’importance auxdéphasages des fréquences de plus haute énergie. De plus, prendre la moyenne permet derendre la distance indépendante de la fréquence d’échantillonnage du signal.Le signal est désormais recalé temporellement sur la référence. La distance Euclidienne estalors pertinente pour quantifier la distance verticale séparant le signal de la référence. Cetteméthode présente néanmoins un désavantage : en recalant les phases du signal sur celles121

4.3 Validation numérique300250Signal originalMesureSimulationForce [N]200150100688.5 742.5 796.5 850.5Longueur [m]300250Signal recaléMesureSimulation RecaléeForce [N]200150100688.5 742.5 796.5 850.5Longueur [m]Figure 4.15 – Recalage de l’effort de contact simulé sur la mesure par la méthode DFL.de la référence, en plus de la déformation temporelle, le signal subit une déformation desamplitudes. Autrement dit la différence Euclidienne, calculée après recalage, inclut les effetsdu recalage. Ceci dit, en définissant la DFL comme le produit de la distance horizontale parla distance verticale, cette distance devient une mesure robuste et objective permettant dequantifier la ressemblance de deux signaux temporels.Donnant de meilleurs résultats que les méthodes générales tout en étant moins sensible àla ressemblance des signaux que la méthode globale, la méthode de recalage par Distancede Fourier Locale donne de très bons résultats même pour des signaux éloignés. De plusla distance permet de quantifier facilement la ressemblance de deux signaux temporels. Parconséquent, elle est utilisée pour la comparaison des simulations et des mesures. En effet,au début du développement d’OSCAR, lorsque la corrélation entre simulations et mesuresn’était pas bonne, cette méthode avait été très utile pour quantifier l’effet des différents paramètrestels que la raideur de pénalité, l’amortissement, etc.4.3 Validation numériqueAu début de cette thèse très peu de mesures dynamiques étaient disponibles et aucunen’étaient réellement exploitables pour valider les résultats obtenus par l’outil de simulationOSCAR. D’autre part, les mesures étant réalisées en situation réelle, certains paramètresperturbent les mesures (météorologie, usures de la caténaire, modification de la géométrie122

Chapitre 4.Evolution de l’outil de simulation et corrélation des résultatsde la caténaire par les opérations de maintenance, etc).Par conséquent, bien qu’initialement développé pour tester des hypothèses en vue d’améliorerla modélisation par Éléments Finis, le modèle semi-analytique (SAM) a été complétépour obtenir un modèle comparable à celui d’OSCAR afin de pouvoir réaliser une validationcroisée. En effet, ces deux logiciels sont basés sur des méthodes différentes (décompositiondes déplacements en série de sinus pour SAM et méthode EF pour OSCAR), mais avec desniveaux de description de la caténaire assez proches.Une validation croisée des résultats est donc possible en amont d’une validation expérimentale.Cette étude permet de s’affranchir des phénomènes extérieurs non maîtrisés.4.3.1 Validation de l’état statiqueLa première étape de validation est le calcul statique. Étant donné le peu de mesures disponibles,la validation croisée des logiciels s’est révélée être un outil précieux.SAM et OSCAR n’utilisent pas la même méthode pour le calcul statique (cf. §2.2 et §3.2).OSCAR calcule une déformée statique à partir de la géométrie connue de la caténaire. C’està dire qu’il utilise les données géométriques de chaque composant pour reconstituer l’étatstatique de la caténaire. SAM calcule les données géométriques des composants (la longueurdes pendules en particulier) pour obtenir un état statique imposé. Autrement dit, il est possibled’imposer au fil de contact une géométrie du fil de contact en un certain nombre depoints.Par conséquent, deux validations du calcul statique peuvent être effectuées. La premièrecompare les résultats obtenus par les codes de simulation pour le calcul de la déflexion du filde contact pour une flèche théorique. La deuxième consiste à imposer la flèche calculée parOSCAR dans SAM et de comparer les résultats obtenus.4.3.1.1 Validation de la déformée statiqueDans cette étape de validation, une flèche de 1/1000 est imposée aux deux codes. Dans OS-CAR, le pendulage (issu des tableaux de pendulage de la SNCF) correspond à une flèche de1/1000 et dans SAM la flèche est calculée pour que les points d’attache des pendules soientsur une parabole (cf. annexe B).La figure 4.16 illustre les résultats du calcul statique obtenus par les deux codes de simulation.On remarque que la flèche calculée est très proche de la flèche théorique. Cette figure estun zoom sur une portée de 54 m où la flèche théorique devrait être de 5,4 cm (représentée123

4.3 Validation numériquepar un trait discontinu). La tension dans les pendules, tout en étant très proche, n’est pasparfaitement identique dans les deux logiciels.10−1Déformée statiqueSAMOSCARflèche théorique200180160140tensions dans les pendulesSAMOSCARDéflection [cm]−2−3Tension [N]12010080−460−54020−6580.5 634.5Longueur [m]0580.5 634.5Longueur [m]Figure 4.16 – Comparaison de la déflection du fil de contact calculée par OSCAR et SAM pour une flèchede 1/1000.Notons que pour SAM la flèche obtenue est légèrement supérieure à la flèche théorique. Deuxexplications peuvent justifier ce phénomène. Le premier est que la flèche analytique d’un filtendu n’est pas décrite par une parabole mais par un cosinus hyperbolique comme le montrel’annexe B. Cependant, l’erreur d’approximation est trop faible pour justifier l’erreur sur laflèche.La deuxième explication est que la définition de la flèche théorique est ambiguë. En effet, laflèche théorique correspond à la différence de hauteur (distance verticale) entre l’attache dupremier pendule après le poteau et le milieu de la portée. Or, dans le cas d’une portée de54 m, il n’existe pas de un pendule au milieu de la portée. Autrement dit, le fil de contactforme une flèche entre les deux pendules médians. Cette petite déflection justifie que la flèchestatique calculée dans SAM soit trop importante.4.3.1.2 Tension dans les pendulesPour comparer les deux codes, les données d’entrée doivent être les mêmes. En imposantdans SAM la position des attaches des pendules calculées par OSCAR, il est possible devérifier que les deux codes donnent les mêmes résultats. On constate que la déformée ob-10−1Déformée statiqueSAMOSCARflèche théorique200180160140tensions dans les pendulesSAMOSCARTension (N)−2−3Tension [N]12010080−460−54020−6580.5 634.5Position (m)0580.5 634.5Longueur [m]Figure 4.17 – Comparaison de la déflection du fil de contact calculée par OSCAR et SAM pour une flèchede 1/1000.124

Chapitre 4.Evolution de l’outil de simulation et corrélation des résultatstenue avec SAM est la même que celle d’OSCAR. Or, si les deux codes donnent la mêmedéformée du fil de contact, les tensions dans les pendules doivent également être les mêmes.La figure 4.17 montre que pour une déformée identique les tensions dans les pendules sontégalement identiques. Par conséquent on considère que le calcul statique est correct grâce àla validation croisée des deux méthodes.Notons qu’autour du bras de rappel la tension dans les pendules varie légèrement. Cettevariation s’explique par la différence de modélisation séparant OSCAR (3D) et le modèleanalytique (1D avec une correction du modèle de bras de rappel).4.3.2 Validation des résultats dynamiquesAprès avoir vérifié que les deux codes donnent le même résultat statique, il est nécessaire devérifier la corrélation des résultats dynamiques.4.3.2.1 ModesPour comparer les modes du code Éléments Finis φ EF et ceux du modèle semi-analytiqueφ SAM , on utilise le critère de MAC (Modal Assurance Criterion). Introduit par D.J. Ewins[24], il est basé sur les notions de colinéarité et d’orthogonalité qui constituent un critèrenaturel de corrélation, il est défini parMAC i,j =(φTEF,i φ SAM,j) 2(φTEF,iφ SAM,i) (φTEF,jφ SAM,j).Pour pouvoir comparer les modes des deux modèles, on définit les modes pour qu’ils soientsur la même base (même échantillonnage).Dans le cas de structure présentant des modes proches, comme la caténaire, l’ordre des modescalculé dans un modèle diffère de celui calculé dans l’autre. Il est alors nécessaire de faireun appariement des modes d’un modèle avec ceux de l’autre. Cette procédure est basée surl’étude des MAC et des écarts de fréquence. Après avoir calculé le critère de MAC i,j , pourchaque couple de modes (i, j), l’appariement est réalisé en sélectionnant le mode du modèlesemi-analytique et celui du modèle EF qui donne le MAC maximal et l’écart en fréquenceminimal. Le mode EF i est considéré apparié au mode semi-analytique j lorsque MAC i,j estsupérieur à 0,6 et que la différence en fréquence f EF,i−f SA,jf SA,jest inférieure à 20%.La figure 4.18 montre le résultat de la corrélation EF-semi-analytique relatif au modèle de lacaténaire de Vaires. A gauche est représenté le critère MAC pour les 35 premiers modes dumodèle semi-analytique. Après l’appariement, on trace (figure de droite) la valeur du MACpour chaque couple apparié ainsi que l’erreur relative en fréquence. Dans ce cas précis, la125

4.3 Validation numériqueFigure 4.18 – MAC entre les modes du modèle Eléments Finis (OSCAR) et du modèle analytique (SAM).corrélation est bonne avec moins de 5% d’erreur relative en fréquence et des MAC supérieursà 0,8.Notons que la richesse modale du modèle EF est supérieure à celle du modèle semi-analytiquepuisque le mode 35 de SAM est apparié au mode 107 du modèle EF. Ceci peut s’expliquerpar la modélisation 3D du modèle EF qui permet d’obtenir des modes latéraux contrairementau modèle semi-analytique.Fréquence [Hz]54.543.532.521.51SamOscar0.50 5 10 15 20 25 30 35N° du mode verticalFigure 4.19 – Comparaison de l’évolution fréquentielle des modes verticaux des deux modèles.La figure 4.19 représente l’évolution des fréquences des modes verticaux (après appariement).126

Chapitre 4.Evolution de l’outil de simulation et corrélation des résultats4.3.2.2 Amortissement de la caténaireIl existe plusieurs représentations possibles des mouvements de la caténaire. Les représentationstemporelles permettent de connaître l’historique des déplacements d’un point de lacaténaire au cours du temps. C’est le cas par exemple du soulèvement d’un bras de rappelreprésenté sur la figure 4.20.s o u l e v e m e n t [ m ]0 . 0 8Passage du pantographe0 . 0 60 . 0 40 . 0 20- 0 . 0 20 5 1 0 1 5 2 0 2 5t [ s ]Figure 4.20 – Mesure de soulèvement d’un bras de rappel à 300 km/h sur la ligne LN2.Les représentations spatiales rendent compte de l’état de toute la caténaire à un instant t. Ilest possible d’en déduire des phénomènes liés au comportement dynamique de la caténairecomme par exemple le nombre de pendules en compression.Le Waterfall est une visualisation intéressante permettant de visualiser les propagationsd’ondes. C’est une représentation des déplacements verticaux du fil de contact en tout pointde la caténaire et à chaque pas de temps. Les lignes horizontales correspondent au soulèvementd’un point du fil de contact en fonction du temps t, comme le soulèvement aux brasde rappel par exemple. Sur un waterfall, le front d’onde représenté par la ligne droite ayantD i s t a n c e [ m ]W a t e r f a l l - P M C A e s s a i n ° 2 00 . 1 51 0 2 . 71 5 72 1 1 . 50 . 12 6 5 . 53 1 9 . 50 . 0 53 7 3 . 54 2 7 . 54 8 1 . 505 3 5 . 55 8 9 . 56 4 3 . 5- 0 . 0 56 9 7 . 57 4 7 . 57 9 7 . 3- 0 . 10 2 4 6 8 1 0 1 2 1 4 1 60 2 4 6 8 1 0 1 2 1 4 1 6a) T e m p s [ s ]b)T e m p s [ s ]D i s t a n c e [ m ]W a t e r f a l l - P M C A e s s a i n ° 2 01 0 2 . 71 5 72 1 1 . 52 6 5 . 53 1 9 . 53 7 3 . 54 2 7 . 54 8 1 . 55 3 5 . 55 8 9 . 56 4 3 . 56 9 7 . 57 4 7 . 57 9 7 . 30 . 1 50 . 10 . 0 50- 0 . 0 5- 0 . 1Figure 4.21 – Waterfall : a) amortissement important, b) amortissement faible.les plus hauts niveaux correspond au passage du pantographe. A gauche de cette ligne, cesont les ondes précédant le passage du train et à droite celles à l’arrière du train. Les premièressont des ondes qui sont générées par le contact mobile entre le pantographe et le fil de127

4.3 Validation numériquecontact. A droite, ce sont des ondes résultant d’une combinaison des ondes de propagationet des mouvements amortis du fil de contact.Naturellement présent dans tout système mécanique, l’amortissement est très important dansla simulation numérique. Les résultats obtenus par la simulation sont étroitement liés auxtaux d’amortissement utilisés.La figure 4.21 compare deux waterfalls pour deux valeurs d’amortissement différentes. Notonsque dans le cas d’un amortissement fort, les ondes précédant le train n’existent pas, cequi n’est pas réaliste.L’amortissement joue donc un rôle important dans les modèles de caténaire. Cependant,la valeur d’amortissement d’une structure comme la caténaire est un critère très difficile àévaluer. L. Heller [35] et F.L. Huang [37] proposent des méthodes permettant d’estimerautomatiquement les coefficients d’amortissement d’une structure assemblée.Dans notre cas, plusieurs modèles d’amortissement existent pour les deux codes de calcul.Pour comparer les modèles d’amortissement des deux codes, il faut se placer dans la basemodale. Seul un modèle, commun aux deux codes, permet de comparer les résultats :[ C ] = γ ω i .La figure 4.22 compare la force de contact filtrée à 20 Hz, calculée dans les deux codes pourobtenir un amortissement 2% à 1 Hz. On constate que sans être parfaitement identiques, les300SAMOSCAR4.5SAMOSCAR2504Force [N]200ζ i[%]3.55 x 10−3 ω i[Hz]31502.52100688.5 742.5 796.5Longueur [m]1.51 1.5 2Figure 4.22 – Corrélation de la force de contact calculée (filtrée à 20Hz) pour un modèle d’amortissementidentique.résultats sont relativement proches.SAM et OSCAR utilisent des modèles d’amortissement plus complets présentés respectivementdans les paragraphes 2.3.5 et 4.1.5. Représentés dans la base modale, ils ne sont pas128

Chapitre 4.Evolution de l’outil de simulation et corrélation des résultatstout à fait équivalents comme le montre la figure 4.230.035SAM0.25OSCAR0.030.2ζ i[%]0.0250.02ζ i[%]0.150.0150.10.010.0050.0500 5 10 15 20ω [Hz] i00 5 10 15 20ω [Hz] iFigure 4.23 – Comparaison de l’amortissement modal dans le modèle semi-analytique (gauche) et dans lemodèle EF (droite).En effet, la modélisation enC = ∑ iα i M i + β i K i (4.4)de OSCAR ne suffit pas à limiter le sur-amortissement des hautes fréquences. En revanche, lemodèle proposé dans SAM est un amortissement modal ; c’est à dire qu’une valeur d’amortissementest attribuée à chaque mode, sans surestimation de l’amortissement dans les hautesfréquences.En conclusion, les deux codes utilisent des modèles d’amortissement différents mais dans ledomaine de fréquence actuellement étudié ([0,20]Hz),les résultats obtenus sont très proches(cf. figures 4.27 et 4.29). En revanche pour l’étude des phénomènes hautes fréquences, il seraimportant de tenir compte de la surestimation de l’amortissement dans OSCAR.Pour assurer une bonne corrélation calculs-essais, nous disposons de mesures pour recaler lemodèle d’amortissement. En première approximation, nous avons repris les essais de lâchésréalisés sur la caténaire de Vaires 4 [3; 47]. Ensuite, pour déterminer précisément les valeursα i et β i d’amortissement dans OSCAR, une procédure d’optimisation a été réalisée [32] àpartir des mesures dynamiques (cf. §4.1.5).4.3.2.3 Influence de la raideur de contactN’ayant pas de réalité physique, la valeur de la raideur de pénalité est difficile à justifier.Dans SAM, une solution n’utilisant pas de raideur de pénalité est proposée dans le4 caténaire d’essai hors tension électrique et à hauteur d’homme129

4.4 Corrélation calculs-mesuresparagraphe §2.3.6.2. Elle sert d’étalon pour déterminer la raideur utilisée dans le modèleanalytique.La figure 4.24 montre les résultats de force de contact filtrée à 50 Hz pour la méthode decouplage par équation de contrainte et pour la pénalisation pour trois valeurs de raideur decontact.Equationde contrainte4002000Influence de la raideur de contact688.5 742.5 796.5400k c=10kN2000688.5 742.5 796.5400k c=50kN2000400688.5 742.5 796.5Influence de la raideur de contactk c=150kN2000688.5 742.5 796.5Longueur [m]Figure 4.24 – Influence de la valeur de la raideur de contact sur la force de contact (de haut en bas : équationde contrainte, k c = 10 kN, k c = 50 kN, k c = 150 kN).Un filtrage à 20 Hz ne permet pas de comparer efficacement l’influence de la raideur decontact sur la corrélation calculs-mesures. Une raideur faible (k c = 10 kN), agit comme unfiltre passe bas et ne reflète donc pas la réalité. En revanche une raideur de contact tropgrande (k c = 150 kN) amplifie les variations de forces notamment au points durs (poteaux,pendules, défauts, etc.).En conclusion, la raideur de contact qui donne la meilleure corrélation avec le couplage paréquation de contrainte vaut k c = 50 kN, ce qui correspond aux valeurs utilisées dans lanorme EN50318.4.4 Corrélation calculs-mesuresLa validation croisée des logiciels est une première étape dans la validation des logiciels maiselle ne peut en aucun cas se substituer entièrement à la validation par les mesures.130

Chapitre 4.Evolution de l’outil de simulation et corrélation des résultatsPlusieurs mesures ont été réalisées en ligne sur les caténaires. Dans ce paragraphe, unedescription détaillée de chaque type de mesure est faite avant de les comparer aux simulations.4.4.1 Les mesuresLes mesures dont nous disposons sont des mesures de la dynamique du couple pantographecaténaireembarquées (force, accélération, etc.) et des mesures à poste fixes (soulèvement,Vaires, etc.).4.4.1.1 Mesures dynamiquesLes mesures dynamiques consistent à mesurer le comportement dynamique de la caténairedans les conditions réelles d’exploitation. Dans cette thèse les mesures dynamiques présentéesont été réalisées en 2002 par la SNCF, sur une ligne à grande vitesse entre Paris et LeMans.Pour cela, un pantographe a été spécifiquement instrumenté. Le schéma de la figure 4.25,montre l’emplacement des différents capteurs. Pour la mesure de la dynamique du couplepantographe-caténaire, des accéléromètres et des jauges de contrainte (pour la mesure de laforce) étaient placés sous l’archet, dans les petits plongeurs 5 du pantographe de type CX(cf. §1.1.2).La dynamique de la voiture sur laquelle est fixé le pantographe intervenant dans les mesures[89], cette dernière a été enregistrée pour connaître l’erreur de mesure due aux défauts de lavoie et non pas au captage lui-même.Au cours de la mesure, le pantographe cumule deux fonctions : capter le courant électriquenécessaire à l’alimentation de la locomotive et réaliser les mesures. Afin d’éviter une interactionde ces deux fonctions qui conduirait à la destruction du matériel d’acquisition et unemise en danger des opérateurs de mesure, toutes les mesures effectuées en toiture du trainsont transmises à la chaîne d’acquisition par l’intermédiaire d’une fibre optique qui assureune bonne isolation électrique. La numérisation des données et le passage par le multiplexeurde la fibre optique échantillonne et filtre le signal à environ 140 Hz.Notons que les mesures dynamiques ne présentant pas de risque électrique lié à la proximitéde la caténaire (détection des poteaux, mesures de la dynamique de la voiture, etc.) ont étéenregistrées à 2000 Hz. Pour assurer une homogénéité et un calage temporel des acquisitions,les mesures dynamiques du pantographe ont été rééchantillonnées à 2000 Hz.5 Les Petits plongeurs sont des boites à ressort indépendantes permettant à l’archet d’osciller sous l’effetdu désaxement du fil de contact131

4.4 Corrélation calculs-mesuresCapteursDétection d'arcA,DD é t e c t i o n d e p o t e a u xA : AccélérationD : DéplacementA,DA,DFigure 4.25 – Chaine de Mesures.Un recalage spatial des mesures a été opéré pour corriger les erreurs liées à la localisationdes défauts. Un capteur optique permet de détecter la position de chaque poteau. Ensuite,un recalage non-linéaire des mesures dynamiques par rapport aux plans de construction esteffectué.Dans cette étude, la grandeur étudiée est la force de contact entre l’archet du pantographeet le fil de contact de la caténaire.F Contact = (F Droite + F Gauche ) − 1 2 m archet(A Droite + A Gauche ) + F aerodynamique . (4.5)Cette force est la somme des forces mesurées dans les suspensions droites F Droite et gauchesF Gauche corrigée par les effets d’inertie de l’archet m archet A archet où A est l’accélération et mla masse de l’archet.L’aérodynamique du train peut générer des efforts sur le pantographe 6 F aerodynamique . Si lepantographe déployé est sur la locomotive de tête 7 alors F aerodynamique =-13,2 N à 300 km/het si il est sur la locomotive de queue 8 alors F aerodynamique =-22,2 N à 300 km/h.La force de contact calculée par l’équation 4.5 présente l’avantage de s’affranchir du désaxementdu fil de contact. Cependant, les phénomènes ponctuels, comme les défauts, peuventêtre occultés par le moyennage des données brutes.6 Le pantographe est situé sur la toiture des locomotives dans la « baignoire ». Cette zone est la sourcede fortes perturbations aérodynamiques.7 à l’avant du train8 à l’arrière du train132

Chapitre 4.Evolution de l’outil de simulation et corrélation des résultats4.4.1.2 Stations PMCALes stations PMCA ou Poste de Mesures CAténaire sont des postes de mesure fixes placés surla caténaire dans le but de caractériser le comportement dynamique du couple pantographecaténaire.Il s’agit de quatre poteaux successifs instrumentés par des capteurs de soulèvementdu bras de rappel (cf. figure 4.26) et des capteurs météorologique.Figure 4.26 – Photo d’un Poste de Mesures CAténaire.Les résultats sont des courbes de soulèvement comme celle présentée sur la figure 4.20.4.4.2 Comparaison de la force de contactLa force de contact est un critère de captage très important. En plus de qualifier la qualitédu captage, elle est aussi un critère d’usure de la caténaire [11; 27; 46] : une force importanteaugmente l’usure.Les codes de simulation SAM et OSCAR ont été développés pour simuler la force de contactfiltrée à 20 Hz. La figure 4.27 illustre la corrélation calculs-mesures.Force de contact [N]300250200150100MesuresSAMOSCAR526.5 580.5 634.5 688.5 742.5 796.5Longueur [m]Figure 4.27 – Corrélation calculs-mesures de la force de contact filtrée à 20Hz.133

4.4 Corrélation calculs-mesuresLes calculs sont proches des mesures. La DFL 9 vaut 15,8 pour OSCAR, et 7,1 pour SAMpour un canton complet, ce qui traduit une bonne ressemblance des signaux.La figure 4.28 illustre la répartition des efforts de contact. On peut constater que l’effortmesuré a la forme d’une gaussienne ce qui reflète la réalité étant donné le caractère aléatoiredes mesures. En effet, l’usure et les défauts de réglage de la caténaire participent à larépartition de l’effort de contact suivant une gaussienne.MesuresFréquence relative [%]Fréquence relative [%]Fréquence relative [%]0.10.05070 90 110 130 150 170 190 210 230 250 270 290 310Force [N]0.150.10.05SAM070 90 110 130 150 170 190 210 230 250 270 290 310Force [N]0.150.10.05OSCAR070 90 110 130 150 170 190 210 230 250 270 290 310Force [N]Figure 4.28 – Répartition des efforts de contact.4.4.3 Comparaison du soulèvement au bras de rappelLe soulèvement du bras de rappel ne doit pas dépasser un maximum pour des raisons desécurité. En effet, au delà d’un certain seuil, des arcs électriques ou même des chocs avecl’antibalançant peuvent se produire.9 DFL : Distance de Fourier Locale (cf. §4.2.4)134

Chapitre 4.Evolution de l’outil de simulation et corrélation des résultatsDans la simulation les soulèvements maxima sont de 7,76 cm pour OSCAR et de 8,82 cmpour SAM contre 9,73 cm pour les mesures. Les soulèvements sont donc sous estimés. Néanmoins,tous les paramètres de la mesure n’étant pas connus (force de contact), une estimationde la force de contact moyenne a dû être choisie ce qui peut fausser les valeurs. En revanche,Soulèvement [m]0.10.080.060.040.020−0.02MesuresOSCARSAM−0.044 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14Temps [s]Figure 4.29 – Corrélation calculs/Mesures du soulèvement d’un bras de rappel.les oscillations du bras de rappel suivant la passage du pantographe sont bien corrélés, cequi traduit un bon choix des paramètres d’amortissement de la caténaire.Notons que OSCAR a été utilisé pour estimer le soulèvement des bras de rappel lors durecord du monde de 2007 (cf. 4.5).4.5 Record du monde : 574,8 km/h – études préliminairesAvant de tenter le record du monde de vitesse sur rail, les soulèvements des bras de rappelont été calculés avec OSCAR pour vérifier si les tensions dans le fil de contact étaient suffisantespour que la vitesse du train n’atteigne pas la vitesse critique.Ainsi, la courbe tracée sur la figure 4.30 est le résultat de la simulation du passage du traindans un PMCA. Sur cette figure, quatre courbes de soulèvement du bras de rappel et unedu soulèvement du pantographe sont tracées.On constate que la vitesse critique correspond au soulèvement maximum du fil de contact.Cependant, en perdant le contact entre le pantographe et la caténaire, le captage devientimpossible bien avant la vitesse critique.De plus, les experts s’étaient fixés un seuil de 25 cm de soulèvement maximum au bras derappel et une vitesse du train 50 km/h inférieure à la vitesse critique, ce qui correspond àune vitesse du train avoisinant les 570 km/h...135

4.5 Record du monde : 574,8 km/h – études préliminairesSoulèvement [cm]90807060504030Soulèvement aux supports du PMCA en fonction de la vitessePantographePMCA n°1PMCA n°2PMCA n°3PMCA n°420100300 350 400 450 500 550 600 650 700vitesse du train [km/h] Vitesse critique théoriqueFigure 4.30 – Évolution du soulèvement du bras de rappel en fonction de la vitesse (Source : Direction del’ingénierie SNCF).ConclusionAprès avoir mis en évidence les difficultés liées à la simulation du comportement dynamiqued’une charge mobile sur une structure souple modélisée en Éléments Finis à l’aide du modèlesemi-analytique, nous proposons des solutions pour améliorer les résultats. D’aborddéveloppées sur un modèle simple de fil tendu, ces améliorations ont été adaptées au modèlecomplet OSCAR ce qui a d’ailleurs entraîné des changements importants dans le code.L’amortissement de la caténaire et le changement d’intégrateur temporel sont deux solutionsqui ont considérablement amélioré les résultats. En revanche, l’amélioration de la continuitédes Éléments Finis n’a pas été introduite dans le code car elle nécessitait des modificationsimportantes dans l’architecture générale du code EF.L’ensemble des solutions proposées a permis d’obtenir un code fiable ainsi qu’une très bonnecorrélation calculs-mesures. D’ailleurs, OSCAR a été récemment utilisé pour tester les conditionsde captage pour le record du monde.Il a été évalué vis à vis de la norme européenne [EN50318] [3; 32] qui définit un processus devalidation pour certifier les logiciels de simulation de l’interaction pantographe-caténaire enspécifiant notamment les données d’entrée minimales, les résultats devant être accessibles,une confrontation à un cas test numérique et une confrontation avec des mesures.La détection de défauts dans la caténaire à l’aide des mesures dynamiques est un challengeque souhaite relever la SNCF. Pour cela, elle dispose d’un outil de simulation performant.136

Chapitre 4.Evolution de l’outil de simulation et corrélation des résultatsCependant, il reste à vérifier que la corrélation calculs-essais est suffisamment bonne pourcaractériser chaque défaut et fournir sa signature.137

4.5 Record du monde : 574,8 km/h – études préliminaires138

Chapitre 5Détection des défautsIntroductionL’usure et les opérations de maintenance créent des défauts dans la caténaire qui dégradent laqualité du captage électrique et perturbent le comportement mécanique du couple pantographecaténaire.Par conséquent, les mesures du comportement dynamique du système contiennenta priori les informations nécessaires pour la détection de défauts.Dans ce chapitre, nous étudions la possibilité de détecter, localiser et identifier automatiquementles défauts, en minimisant les interventions humaines, par l’analyse des mesuresdu comportement dynamique du couple pantographe-caténaire.Le développement de ces applications s’appuie sur une première campagne de mesures danslaquelle des défauts non critiques ont été installés volontairement. Dans ce chapitre, l’hypothèsede départ est que chaque défaut peut être identifié dans les mesures par une signaturecaractéristique dans les mesures. En effet, il est possible de trouver visuellement les défautsen regardant l’allure des signaux. Cependant, les conditions de mesures (météorologie,trains croiseurs, etc.) ne facilitent pas la reproductibilité des mesures et rendent l’identificationautomatique difficile. En effet, de simples critères empiriques ne suffisent pas à uneidentification robuste de défauts. On utilise donc les ondelettes pour lesquelles des avancéesrécentes, les ondelettes adaptées, montrent des qualités intéressantes pour la détection dedéfauts. On verra dans les paragraphes suivants que, couplé à la simulation, cet outil répondà nos attentes.5.1 Présentation des défautsPour développer des méthodes de détection automatique de défauts, nous utilisons dansce travail des mesures en ligne, réalisées avec des défauts volontairement installés dans la

5.1 Présentation des défautscaténaire.Ils sont tous de type griffe de jonction ou pendule manquant. Plusieurs configurationsde défauts ont été testées en les plaçant à différentes positions dans la portée. Elle sont représentéessur la figure 5.1. Les défauts n°1 à n°6 correspondent à des défauts sur des griffesDéfaut n°1Défaut n°2Défaut n°3Défaut n°4Défaut n°5Défaut n°6Défaut n°7Défaut n°8Sens de circulationDéfaut n°9Figure 5.1 – Représentation des configuration de défauts présents dans les mesures.de jonctions. Notons que le défaut n°4 (deux griffes fixées autour du bras de rappel) n’existepas dans la réalité. Le but est de simuler un défaut de réglage ou de liaison du bras de rappel.Les défauts n°7 à n°9 correspondent à des pendules manquants. Pour tester la répétabilitédes mesures, chaque défaut a été placé deux ou trois fois sur la ligne.Dans la suite du document, les résultats des méthodes seront illustrés sur le canton n°1.La figure 5.2 facilite la compréhension des graphiques qui suivront dans ce travail. D’une8 0 06 0 04 0 0Changementdecanton( P K , F c o m p ) à 2 0 0 0 H zDéfaut n°1 Défaut n°7Changementdecanton2 0 00- 2 0 0- 4 0 04 9 . 5 9 9 1 4 8 . 5 2 0 2 . 5 2 5 6 . 5 3 1 0 . 5 3 6 4 . 5 4 1 8 . 5 4 7 2 . 5 5 2 6 . 5 5 8 0 . 5 6 3 4 . 5 6 8 8 . 5 7 4 2 . 5 7 9 6 . 5 8 5 0 . 5 9 0 4 . 5 9 5 8 . 5 1 0 1 2 . 5 1 0 6 6 . 5 1 1 2 0 . 5 1 1 7 4 . 5 1 2 2 8 . 5Longueur [m]Figure 5.2 – Représentation du plan de piquetage du canton 1.longueur totale d’environ 1300 m, il contient le défaut n°1 placé à 418,5 m, 580,5 m et742,5 m et le défaut n°7 placé à 855 m, 963 m et 1071 m. Les quatre premières portées, x ∈[0 m , 202,5 m], et les quatre dernières, x ∈ [1066,5 m , 1282 m], correspondent aux zones140

Chapitre 5.Détection des défautsde changement de canton et seront donc écartées des analyses. La grille verticale utiliséecorrespond à la position des poteaux.5.2 Détection visuelleIl est parfois difficile de formaliser informatiquement une analyse qui parait facile pour notrecerveau. Par exemple, la figure 5.3 montre que le cerveau humain est capable de reconnaîtredes différences ou des analogies dans un signal. Elle représente un signal de force de contactmesuré et filtré à 20 Hz, correspondant à une portion de caténaire contenant deux pendulesmanquants respectivement situés à 855 m et 963 m (ligne verticale jaune). La grille verticalecorrespond à la position des poteaux de la caténaire. Au voisinage des poteaux on peut noterun changement de comportement du signal.Force de contact filtrée à 20Hz300Pendules manquants250Force [N]200150100796.5 850.5 904.5 958.5 1012.5 1066.5Longueur [m]Figure 5.3 – Illustration de l’analyse visuelle d’un signal filtré à 20Hz.Les trois graphiques de la figure 5.4 mettent en évidence les différences entre la situation saineet la situation avec défauts et permettent d’observer qu’une signature de défaut peut êtreutilisée pour la détection de défauts. Une signature de défaut, centrée sur le poteau 850,5 m,est extraite du premier défaut (figure de gauche) puis translatée sur une zone sans défaut(figure du centre). On remarque que les deux signaux ne se superposent pas. Translatons lasignature sur le poteau suivant, contenant le même défaut que dans la signature (figure dedroite). Dans ce cas elle ressemble fortement au signal.Force de contact filtrée à 20HzForce de contact filtrée à 20HzForce de contact filtrée à 20Hz300300300250250250Force [N]200150Force [N]200150Force [N]200150100100100796.5 850.5 904.5 958.5 1012.5 1066.5Longueur [m]796.5 850.5 904.5 958.5 1012.5 1066.5Longueur [m]796.5 850.5 904.5 958.5 1012.5 1066.5Longueur [m]Figure 5.4 – Mise en évidence des différences entre une portion de signal avec défaut et une portion saine.141

5.3 Méthodes automatiques de détection de défautsNéanmoins, malgré une allure similaire, il est difficile de définir des critères simples tels quele nombre de maxima/minima, leur position, etc...5.3 Méthodes automatiques de détection de défautsDans ce paragraphe, plusieurs approches de détection automatique de défauts dans la caténairesont présentées. Une première analyse vise à déterminer des critères empiriques pourdiscriminer les défauts et dans une deuxième analyse, des méthodes mathématiques (ondelettes)seront appliquées aux signaux afin d’en extraire plus facilement des informationsdiscriminantes.Le but de cette étude est de détecter et de localiser un défaut. L’identification est plusdifficile et demande des méthodes d’analyse spécifiques.5.3.1 DifficultésIl est difficile d’établir des règles permettant d’isoler un défaut dans une mesure temporelle.Dans ce paragraphe, on évalue les difficultés soulevées par la détection automatique dedéfauts.5.3.1.1 FiltragesLors des mesures, les acquisitions ont été rééchantillonnées de 135 Hz à 2000 Hz pour synchroniserles différents capteurs (cf. §4.4.1). La figure 5.5 montre d’ailleurs que le contenufréquentiel des mesures de force se situe bien dans la fourchette [0-140 Hz]. Il est inutiled’étudier les signaux avec l’échantillonnage maximum.300Densité Spectrale de Puissance d’une mesure temporelle de force de contact250Amplitude [N 2 .Hz]2001501005000 20 40 60 80 100 120 140 160 180Fréquence [Hz]Figure 5.5 – Densité spectrale de puissance d’une mesure de force de contact.Le contenu fréquentiel de la force de contact est relativement basse fréquence et la géométriede la caténaire rend l’interprétation des pics difficile. Les composants de la caténaire (poteaux,pendules, etc.) ne respectent pas une périodicité parfaite : on trouve des écartements142

Chapitre 5.Détection des défautsentre 4,75 m et 6,75 m pour les pendules et entre 49,5 m et 63 m pour les poteaux. Parconséquent, si on suppose que la vitesse du train est constante, à 300 km/h, les pendules etles poteaux génèrent des fréquences respectivement comprises entre 12 Hz et 19 Hz, et 1 Hzet 2 Hz.Sous une griffe de jonction, l’archet reçoit un choc à cause de l’inertie de la griffe. Or commele contenu fréquentiel d’une impulsion contient toutes les fréquences, elle doit être visibleà hautes fréquences. Sous le pendule manquant, la déformée statique de la caténaire ainsique sa raideur statique locale changent sur plusieurs mètres. Les conséquences sont assezbasses fréquences. Pour vérifier ces hypothèses, filtrons la force de contact à des fréquencesqui paraissent pertinentes. Prenons un filtre passe-bas avec une fréquence de coupure de135 Hz pour les griffes de jonction et une fréquence de coupure à 20 Hz pour détecter lespendules manquants.fréquence de coupure : 135Hz500fréquence de coupure : 20Hz500450450400400350350300300Force [N]250Force [N]2502002001501501001005050Griffe3640418 472Longueur [m]0364 418 472Longueur [m]500500450450400400350350300300Force [N]250Force [N]2502002001501501001005050Pendule manquant7960850 904Longueur [m]0796 850 904Longueur [m]Figure 5.6 – Influence du filtrage sur la détection de défauts.La figure 5.6 montre que les effets d’un pendule manquant sont plus visibles dans le signalfiltré à 20 Hz. En revanche, les effets de la griffe disparaissent complètement à cette fréquence.Il est donc important de noter que les critères empiriques seront fortement liés au filtrage.En effet, le nombre de maxima locaux par portée, les niveaux maxima, etc. dépendent de lafréquence de coupure.5.3.1.2 Manque de reproductibilité des mesuresLe manque de reproductibilité des mesures est difficile à corriger car les sources de perturbationssont nombreuses (météo, état de la voie, train croiseur, etc.). La figure 5.7 représente143

5.3 Méthodes automatiques de détection de défautsForce de contact300250Mesure N°1Mesure N°2Mesure N°3Mesure N°4Force [N]200150100634.5 688.5Longueur [m]Figure 5.7 – Illustration du manque de reproductibilité des mesures.quatre mesures de force effectuées dans des conditions très proches (même vitesse, mêmeposition, etc.), néanmoins des différences notables séparent les mesures.5.3.1.3 Mesures brutesLa force de contact est la mesure utilisée par les experts pour déterminer la qualité du captage.Elle est calculée avec les efforts et les accélérations dans les petits plongeurs et rendcompte de la dynamique globale de l’archet.Le désaxement implique que la position du point de contact, en balayant l’archet du pantographe,varie par rapport à la position des capteurs. Aussi, les informations collectées par lescapteurs à gauche peuvent être plus précises que celles des capteurs à droite en fonction dudésaxement (cf. figure 5.8). Par exemple, les pendules manquants (850 m, 963 m et 1071 m)400300Forces dans les petits plongeursFPP DroiteFPP GaucheForce [N]2001000−10049.5 99 148.5202.5256.5310.5364.5418.5472.5526.5580.5634.5688.5742.5796.5850.5904.5958.51012.5 1066.5 1120.5 1174.5 1228.56040Accélérations dans les petits plongeursAPP DroiteAPP GaucheAccélération [m.s −2 ]200−20−40−6049.5 99 148.5202.5256.5310.5364.5418.5472.5526.5580.5634.5688.5742.5796.5850.5904.5958.51012.5 1066.5 1120.5 1174.5 1228.5Longueur [m]Figure 5.8 – Représentation des Forces dans les Petits Plongeurs Droits et Gauches (haut) et des Accélérationsdans les Petits Plongeurs Droits et Gauches (bas).sont plus facilement détectables dans les signaux des capteurs droits.144

Chapitre 5.Détection des défauts5.3.2 Méthodes empiriquesLa description des méthodes empiriques montre les difficultés qu’elles soulèvent. Seules lesméthodes construites à partir de raisonnements fondés sur la physique du phénomène, intégrantles données géométriques et utilisant un pré-traitement judicieux peuvent aboutir àde bons résultats.5.3.2.1 Méthodes de détection directeCette méthode consiste à définir des plages de validité et d’alerte sur le niveau pour analyserles signaux (cf. figure 5.9). Elle expose le manque d’efficacité des méthodes globales traitantl’ensemble des mesures avec les mêmes critères. Les singularités ayant le même comportement8 0 0( P K , F c o m p ) à 2 0 0 0 H z6 0 04 0 0Force [N]2 0 00- 2 0 0- 4 0 0Zone normaleZone d'avertissementZone d'alerte4 9 . 5 9 9 1 4 8 . 5 2 0 2 . 5 2 5 6 . 5 3 1 0 . 5 3 6 4 . 5 4 1 8 . 5 4 7 2 . 5 5 2 6 . 5 5 8 0 . 5 6 3 4 . 5 6 8 8 . 5 7 4 2 . 5 7 9 6 . 5 8 5 0 . 5 9 0 4 . 5 9 5 8 . 5 1 0 1 2 . 51 0 6 6 . 51 1 2 0 . 51 1 7 4 . 51 2 2 8 . 5Longueur [m]Figure 5.9 – Plages de validité et d’alerte pour l’analyse directe des signaux.que les défauts en termes d’amplitude, cette méthode fait ressortir un grand nombre defausses alertes.NB : Dans la suite de ce chapitre, les zones contenant des singularités sontsystématiquement écartées de l’étude.Néanmoins, une détection des maxima (ou minima) est conservée comme un des critèresempiriques.5.3.2.2 GabaritsUn gabarit peut servir de seuil de détection. L’intervalle de validité est défini à partir dela moyenne et de l’écart type d’un échantillon de N portées de même type (même longueuret même pendulage). Un signal est considéré défectueux lorsqu’il sort du gabarit. La figure5.10 montre un gabarit entourant deux mesures, une avec défaut et l’autre saine.Force F o r c e [N] [ N ]3 0 02 5 02 0 01 5 0S a n s d é f a u tA v e c d é f a u tF - m o y σF + m o y σ1 0 05 02 0 2 . 5 2 5 6 . 5 3 1 0 . 5 3 6 4 . 5Longueur L o n g u e u[m]r [ m ]Figure 5.10 – Illustration d’une méthode de détection de défauts par gabarit.145

5.3 Méthodes automatiques de détection de défautsLe défaut présent dans ce jeu de mesures est un pendule manquant. Les signaux de forcessont filtrés à 20 Hz (cf §5.3.1.1). A cette fréquence de coupure, le gabarit est construit à partirde la moyenne plus ou moins une fois l’écart type. En revanche pour des fréquences plusélevées, avec plus de bruit, l’intervalle de validité du gabarit augmente à deux ou trois foisl’écart type. Cette méthode ne permet cependant pas d’isoler proprement les défauts. En effet,le pourcentage de fausses alertes est très élevé et la localisation des défauts est imprécise.Il serait également possible de construire un gabarit à partir de la simulation, mais cetteméthode n’affichant que peu d’intérêt, nous ne la testerons pas dans cette étude.5.3.2.3 Critères empiriquesLa définition de critères empiriques s’appuie sur une observation simple : suite au maximumde force générée par l’impact, le contact pantographe-caténaire est rompu, entraînant uneforce de contact reconstituée nulle. Un filtrage passe-bas, avec une fréquence de coupurede 175 Hz, permet de détecter le passage du pantographe sous une griffe par des critèresempiriques simples [32] : un maximum de force suivi d’un passage par zéro de la force decontact ainsi qu’un dépassement du seuil des accélérations gauche et droite.Parfois, le pantographe peut « rebondir » sur le fil de contact et générer ainsi plusieursdécollements et maxima très rapprochés. Pourtant, seul un défaut est à l’origine de cetteperturbation. Pour éviter les fausses alertes liées aux rebonds, une tolérance sur la distanceentre deux défauts successifs est définie.Le tableau 5.1 montre un jeu de critères empiriques donnant des résultats concluants. Notonsque le seuil de détection des accélérations n’est pas défini par une valeur fixe car il est trèsdifférent d’une mesure à l’autre.Filtre passe-basSeuil de détection des maxima de forceSeuil de détection des maxima d’accélérationZone d’élimination des doublés175 Hz300 N70/σ(accélération)10 mTableau 5.1 – Critères empiriques de détection des griffes de jonctionLe tableau 5.2 résume les résultats obtenus pour différentes mesures et pour différents cantons.Ce jeu de paramètres permet d’atteindre un taux de détection des défauts de 80% pour15% de fausses alertes. Ces chiffres sont satisfaisants, mais insuffisants pour une détectionautonome des défauts.Cette méthode n’a pas vocation à devenir un outil de détection à part entière. En effet, elleserait couplée à plusieurs autres méthodes pour optimiser les résultats.146

Chapitre 5.Détection des défautsdétection griffes [%] Défaut n°1&7 Défaut n°2 Défaut n°3&6 Défaut n°5 moyenneFausses Alertes [%]mesure N°1 100% 100% 55% 33% 72%0% 0% 28% 66% 24%mesure N°2 83% 100% 77% 66% 82%0% 0% 12% 0% 3%mesure N°3 83% 100% 77% 100% 90%16% 0% 12% 25% 13%mesure N°4 83% 100% 88% 33% 76%0% 20% 0% 66% 22%moyenne 87% 100% 74% 58% 80%4% 5% 13% 39% 15%Tableau 5.2 – Résultats de la méthode empirique pour la détection des griffes de jonctionAucune méthode empirique robuste n’a pu être mise au point pour le pendule manquant.5.3.2.4 Efficacité des méthodes empiriquesLes méthodes empiriques ne montrent pas la même efficacité pour tous les défauts. En effet,si pour les griffes de jonction les résultats sont encourageants, pour les pendules manquantsles critères sont beaucoup moins robustes et sont fortement liés à la position du défaut dansla portée.Basées sur de simples observations, ces méthodes ne représentent pas une solution autonomede détection de défauts. En revanche, elles constituent un complément indispensable, notammentdans l’aide à la prise de décision.Pour avoir un système robuste et fiable, les méthodes empiriques seront couplées à des étudesutilisant des méthodes de traitement du signal décrites dans les paragraphes suivants.5.3.3 Analyse temps-fréquence ou temps-échelleIl existe deux modes de représentation d’un signal :– la représentation temporelle qui donne une information précise en temps. Elle indiquel’intensité du signal au temps t. En revanche, la valeur en un point du signal ne donneaucune information sur le « contenu fréquentiel » du signal.– la représentation fréquentielle permet de se faire une idée des périodicités du signal.Naturellement, chacune de ces représentations contient les informations de l’autre, puisquela transformation de Fourier (TF) S(ν), d’un signal temporel s(t), permet de passer de l’une147

5.3 Méthodes automatiques de détection de défautsà l’autre de ces représentations :S(ν) =∫ ∞−∞s(t)e −i2πνt dt = 〈 s, e i2πνt〉 , (5.1)où la notation 〈β 1 , β 2 〉 désigne le produit scalaire de deux signaux β 1 (t) et β 2 (t) :〈β 1 , β 2 〉 =∫ ∞−∞β ∗ 2(t) désignant le complexe conjugué de β 2 (t).β 1 (t)β ∗ 2(t)dtCe produit scalaire est de module maximal quand ces signaux sont égaux, à un facteurd’amplitude près.Dans l’équation 5.1, le coefficient |S(ν)| représente une mesure de la ressemblance entre lesignal s(t) et e i2πt qui correspond à une « fréquence pure ».e i2πt oscille sur tout l’axe temporel avec la même amplitude ce qui donne une informationsur la régularité globale du signal. Elle est idéale pour mener une analyse spectrale mais ellea un pouvoir de localisation temporelle médiocre.La figure 5.11 compare les spectres obtenus pour deux cantons sains et deux cantons avecdéfauts. Les défauts sont de même type dans les deux cantons avec défauts (griffes et pendulesmanquants) mais sont situés à des position différentes.Amplitude [N 2 .Hz]300250200150100Sans DéfautSans DéfautAvec DéfautsAvec Défauts5000 20 40 60 80 100 120 140 160 180Fréquence [Hz]Figure 5.11 – Comparaison de Densité Spectrale de Puissance (DSP) pour des mesures avec et sans défauts.Il est impossible d’identifier les cantons défectueux parmi les quatre résultats et de localiserspatialement les défauts dans les cantons défectueux. L’utilisation de la transformée de Fouriern’est pas efficace pour la détection et la localisation de défauts.Pour illustrer notre problème, prenons une analogie musicale. Pour retrouver la partitionmusicale d’un morceau à partir d’un enregistrement sonore, il est nécessaire de connaître lerythme et la durée de chaque note (informations temporelles) ainsi que la hauteur des notes(information fréquentielle). Or, la transformée de Fourier (TF) d’un morceau de musique ne148

Chapitre 5.Détection des défautspermet pas de retrouver le rythme joué, mais simplement les notes présentes. Le spectre seulne permet pas de dissocier deux partitions différentes ayant les mêmes notes.Dans le cas de la détection de défauts, le problème est similaire. Il s’agit de localiser précisémentla position du défaut dans la caténaire (information temporelle) puis de l’identifier(information fréquentielle) grâce à sa signature.Dans cette étude, il est donc nécessaire d’avoir accès simultanément à l’information temporelleet à l’information fréquentielle.L’idée suivante consiste à représenter notre signal en fonction du temps et de la fréquence : onsouhaiterait retrouver la « portée musicale » associée à ces signaux non stationnaires. L’étudede signaux non stationnaires nécessite donc soit une extension de la TF en y introduisantun aspect temporel, soit d’autres méthodes spécifiques.5.3.3.1 Tranformée de Fourier à court termeLe physicien Dennis Gabor fut le premier à proposer une méthode temps-fréquence : l’analysede Fourier à fenêtre glissante (TFFG) ou Fourier à court terme (TFCT). L’idée de baseconsiste à découper le signal s(t) en plages temporelles sur chacune desquelles on réalise uneanalyse de Fourier. Le résultat est représenté dans un plan temps-fréquence.L’analyse de Fourier est alors restreinte à une portion du signal délimitée par une fenêtreg(t), de type gaussienne, que l’on fait glisser au long de l’axe temporel.FréquenceSpectrebTempsFigure 5.12 – Illustration de la méthode de Transformée de Fourier à Court Terme.On obtient ainsi un ensemble de spectres locaux correspondant à chaque instant b, où lescoefficients S c (ν, b), définis parS c (ν, b) =∫ ∞s(t)g ∗ (t − b)e −i2πνt dt = 〈 s, g(t − b)e i2πνt〉 , (5.2)−∞149

5.3 Méthodes automatiques de détection de défautsreprésentent l’intensité de la fréquence ν dans un voisinage de l’instant b. Et g ∗ est le conjuguéde g.Définissons des briques d’analyse dans le domaine temporel par g ν,b (t) = g(t − b)e −i2πνt . LaTFCT peut alors s’écrire S c (ν, b) = 〈s, g ν,b 〉 et le passage de cette brique dans le domainefréquentiel donne également une gaussienne :ĝ ν,b (ω) = e −i2πωb ĝ(ω − ν).Ces briques, nommées également « atomes temps-fréquence », sont localisées en temps(autour de b) et en fréquence (autour de ν) et sont toujours de même taille. La figure 5.13représente symboliquement par des rectangles deux atomes localisés respectivement autourde (ν 0 , b 0 ) et (ν 1 , b 1 ). En translatant les atomes, on effectue une analyse complète du signal.Figure 5.13 – Localisation temps-fréquence de la fonction g(t).Afin d’analyser l’ensemble du signal, une zone de recouvrement des atomes est parfois nécessaire.Il existe un conflit entre résolution fréquentielle et résolution temporelle : plus on accroîtla précision en fréquence de l’analyse, plus on perd de localisation temporelle et donc deprécision en temps, et réciproquement.Autrement dit, pour une fenêtre large, la résolution fréquentielle sera élevée mais la localisationtemporelle faible, et, au contraire, pour une fenêtre étroite, la résolution fréquentielleest faible mais la localisation temporelle bonne. Il s’agit donc de trouver le bon compromisentre résolution spatiale et résolution temporelle.Signalons que la transformée de Fourier à court terme fournit une représentation complètedu signal, en ce sens qu’on peut l’inverser à l’aide de la formule suivante :150s(t) = 1‖g‖ 2 ∫ ∞−∞∫ ∞−∞S c (ν, b)g(t − b)e i2πνt dνdb.

Chapitre 5.Détection des défautsLes résultats dépendent fortement des paramètres choisis (la largeur de fenêtre, le recouvrement,etc). La figure 5.14 représente un spectrogramme 1 du signal temporel de force de12010080EchelleGriffes de jonctionPendules manquants60402049.5 99 148.5 202.5 256.5 310.5 364.5 418.5 472.5 526.5 580.5 634.5 688.5 742.5 796.5 850.5 904.5 958.51012.51066.51120.51174.51228.5Longueur [m]Figure 5.14 – Spectrogamme de la force de contact mesurée sur le canton n°1 ; largeur de fenêtre = 0,53s,recouvrement des fenêtres 90%.contact mesurée sur le canton N°1.Une largeur de fenêtre faible et un recouvrement important permettent d’obtenir une meilleurelocalisation du défaut. En revanche, les effets des défauts sont moyennés.Quels que soient les paramètres choisis, la localisation reste médiocre, avec une zone delocalisation de plus ou moins 20 m pour chaque défaut. De plus, une extraction automatiquedes défauts est complexe à mettre en place car il est difficile d’isoler un défaut à cause dubruit et de la mauvaise répétabilité des mesures.Le tableau 5.3 donne les résultats obtenus avec cette méthode sur différents cantons et différentesmesures. On remarque que la détection des griffes est correcte mais que la détectiondes pendules manquants est médiocre avec cette analyse.TFCT mesure 1 mesure 2 mesure 3 mesure 4 TOTAL[%] détection Griffe PM Griffe PM Griffe PM Griffe PM Griffe PMDéfaut n°1 100 100 67 0 50 50 50 50 67 50Défaut n°2 50 . 50 . 75 . 25 . 50 .Défaut n°3&6 22 . 0 . 67 . 44 . 33 .Défaut n°5 67 0 33 0 100 50 100 100 75 38Défaut n°4 100 50 100 50 100 0 33 50 83 38TOTAL 68 50 50 17 78 33 51 67 62 42Tableau 5.3 – Résultats de la TCFT pour la détection de défauts (PM : Pendule Manquant)Le taux de détection, tous défauts confondus, est de 52% et le nombre de fausses alertes1 Spectrogramme : représentation de la densité d’énergie du signal exprimée par |S c (ν, b)| 2 .151

5.3 Méthodes automatiques de détection de défautsn’est pas mesurable.Pour conclure, en utilisant une représentation temps-fréquence, la TFCT donne une indicationsur l’évolution fréquentielle d’un signal non stationnaire. Cependant, si l’utilisationde fonctions sinusoïdales est parfaitement adaptée à la mise en évidence de périodicité, elleest beaucoup moins précise pour détecter des phénomènes locaux. Or, le but de cette étudeest la détection de défauts, ce qui se traduit par la détection de changements brutaux ducomportement du signal.Seuls les évènements contenant le plus d’information fréquentielle (griffes, sectionnements,etc.) sont facilement détectables. Par ailleurs, cette méthode nécessite une interventionhumaine pour analyser les résultats et régler les paramètres. Le manque de robustesse etde précision rend l’extraction automatique des défauts très difficile.5.3.3.2 Transformée continue en ondelettesLes ondelettes sont issues de l’intuition d’un ingénieur, J. Morlet, dans les années 1980.Les propriétés mathématiques d’approximation et d’estimation d’un signal par des décompositionsmulti-échelles ont été étudiées dans les travaux de Y. Meyer [60], I. Daubechies[18; 19], S. Mallat [53] et Misiti et al. [61]. Nées des problématiques liées à la géophysique,elles s’appliquent aujourd’hui à de nombreux domaines comme la physique, letraitement du signal et des images, la vision par ordinateur [52], etc. Les ondelettes se sontimposées comme des outils essentiels de l’analyse harmonique moderne. Le but de cette étudeest de détecter des évènements dans un signal à l’aide de la Transformée en Ondelettes (TO).Contrairement à la TFCT, les ondelettes possèdent un nombre constant de périodes et ladurée de leur support temporel est inversement proportionnelle au domaine d’analyse fréquentiel.Autrement dit, elles permettent d’observer un phénomène basse fréquence sur unelongue durée et réciproquement, d’observer un phénomène haute fréquence sur une courtedurée. Les pavages du plan temps-fréquence de la figure 5.15 rendent compte des différencesexistant entre les deux approches. L’analyse temps-échelle ainsi obtenue se révèle souventmieux adaptée aux caractéristiques des signaux naturels et à notre façon de les percevoir,que celle fournie par la transformée de Fourier à court terme.Les éléments de base de la transformée en ondelettes ψ sont des fonctions localisées dansle plan temps-fréquence et oscillante dans le sens ∫ ψ(t)dt = 0. Elles sont générées partranslation le long de l’axe temporel et par dilatation/contraction d’une fonction unique,appelée ondelette mère ψ(t), d’énergie finie, définie par152ψ a,b (t) = 1 √ aψ( t − ba),

Chapitre 5.Détection des défautsFigure 5.15 – Pavage des plans temps-fréquence (TFCT), temps-échelle(TO) de haut en bas.où b est le paramètre de localisation et a est le facteur d’échelle. (1/ √ a) joue seulementle rôle d’un terme de normalisation assurant que chaque ondelette est de même énergie.Modifier le facteur d’échelle a permet de dilater (a > 1) ou de contracter (a < 1) la fonctionψ a,b . Changer b permet d’analyser le signal le long de l’axe temporel (cf. figure 5.16). Lorsquea est grand, l’ondelette couvre une plus grande portion de signal soulignant ainsi les effets àlong terme du signal (basses fréquences). Au contraire, si a est petit, la plage temporelle designal analysée diminue et met en évidence les variations locales (hautes fréquences).La transformée continue en ondelettes, souvent notée TO continue ou CWT 2 , est donnée paroù ψ ∗ est le conjugué de ψ.C (a, b) = 1 √ a∫ ∞−∞( ) t − bs(t)ψ ∗ dt = 〈s, ψ a,b 〉 (5.3)aLa TO continue peut également être écrite en utilisant les atomes temps-échelle : C (a, b) =〈s, ψ a,b 〉. Comme pour la TFCT, on peut représenter ces atomes sur un plan temps-échelleavec :∆t(a, b) = a∆t , ∆f = ∆f/a2 CWT : Continuous Wavelet Transform153

5.3 Méthodes automatiques de détection de défautsoù ∆t et ∆f représentent le domaine temporel et fréquentiel de la fonction ψ.échelleaΔta > 1Δf/aaΔta < 1Δf/atFigure 5.16 – Représentation temps-échelle de la fonction ψ(t).Le coefficient d’ondelette C (a, b) est une mesure de la ressemblance du signal à une positionb donnée et de l’ondelette à une échelle a. S’il est grand, le signal « oscille » à la même« fréquence » que l’ondelette et au contraire s’il est petit, la forme de l’ondelette (fréquenceet amplitude) ne correspond pas localement à celle du signal (cf. figure 5.17).f(x)f(x)b 1b 2xondelettef(x)b 1b 2xb 1b 2xC(a,b 1) grandC(a,b 2) petitFigure 5.17 – Comportement du coefficient d’ondelette.Comme pour la TFCT, le signal original s(t) peut être reconstruit à partir des coefficientsd’ondelette par la relation suivante :154s(t) = 1 ∫1C ψ∫R R a C a,bψ + 2 a,b (t)dadb (5.4)

Chapitre 5.Détection des défautsavec la condition d’admissibilité, définissant les conditions nécessaires à une fonction pourêtre une ondelette mère, donnée par :∫C ψ =R∣ ˆψ(f)∣|f|∣ 2∫df < ∞ ⇔ ˆψ(0) =Rψ(t)dt = 0où ˆψ(f) est la transformée de Fourier de l’ondelette mère. Cette dernière doit donc être demoyenne nulle.20Scalogramme191817Griffes de jonction0.8Chapeau mexicain16Echelle150.614Pendules manquants0.4130.212110100 49.5 99 148.5 202.5 256.5 310.5 364.5 418.5 472.5 526.5 580.5 634.5 688.5 742.5 796.5 850.5 904.5 958.51012.51066.51120.51174.51228.5Longueur [m]−0.2−8 −6 −4 −2 0 2 4 6 8Figure 5.18 – a) Scalogramme du canton N°1 pour une TO continue utilisant le chapeau mexicain. b)Chapeau mexicain.La figure 5.18a) montre le scalogramme 3 de la force de contact sur le canton n°1. Lesrésultats sont fortement liés à la forme de l’ondelette. L’ondelette donnant les meilleursrésultats est le chapeau mexicain (cf. figure 5.18b)). Le tableau 5.4 expose les résultatsobtenus pour différents cantons et différentes mesures.Le taux moyen de détection est de 69% pour les griffes et de 67% pour les pendules manquantspour un taux moyen de fausses alertes de 38%. Par rapport à la TFCT le taux defausses alertes est ici quantifiable. Cependant, si théoriquement les différents types de défautsdevraient se trouver à des échelles différentes, dans la pratique ce n’est pas aussi simple. Eneffet, pour une même échelle, on peut détecter à la fois une griffe et un pendule.Pour conclure, une représentation temps-fréquence est nécessaire à la localisation et à l’identificationde défauts. Pour cela, deux méthodes similaires existent. Les ondelettes proposentune méthode qui adapte la précision de l’analyse à la taille des objets scrutés tout en gardantune localisation temps-fréquence. Elle permet de mieux représenter les évolutions spectralesrapides, puisque sa résolution fréquentielle est relative à la fréquence explorée. De plus, grâce3 Scalogramme : représentation de la densité d’énergie du signal, qui est donnée par le carré des coefficients|C(a, b)| 2 .155

5.3 Méthodes automatiques de détection de défautsTOC mesure 1 mesure 2 mesure 3 mesure 4 TOTALGr PM Gr PM Gr PM Gr PM Gr PMDéfaut n°1 100 100 100 100 100 50 83 50 96 75FA 27 43 36 25 33Défaut n°2 100 . 75 . 75 . 50 . 75 .FA 20 25 40 50 34Défaut n°3&6 44 . 22 . 67 . 56 . 47 .FA 33 67 33 50 46Défaut n°5 33 50 0 50 33 50 33 50 25 50FA 60 50 71 60 60Défaut n°4 100 100 100 100 100 50 100 50 100 75FA 29 44 0 0 18Moyenne détection 76 83 59 83 75 50 64 50 69 67Moyenne FA 34 46 36 37 38Tableau 5.4 – Résultats de la TO continue pour la détection de défauts (Gr : Griffe, PM : Pendule Manquant,FA : Fausses Alertes)à leur effet « accordéon », les ondelettes proposent une solution aux variations du signal duesà l’évolution de la vitesse du train au cours d’une mesure.La formulation intégrale 5.4 de s(t) rend la TO continue très redondante. Pour faciliterla mise en œuvre de telles méthodes, il est possible d’utiliser une famille d’ondelettes discontinue,discrétisant le couple (a, b). Nous parlons alors d’analyse à plusieurs échelles oumultirésolution.5.3.3.3 Transformée discrète en ondelettesIl est possible de diminuer et même d’éliminer la redondance de la TO continue en discrétisantles paramètres a et b tels quea = a 0 m , m ∈ Z et b = nb 0 a 0 m , n ∈ Zoù a 0 > 1 est un pas de résolution et b 0 > 0 dépend de l’ondelette choisie. La TO mise enoeuvre sur des valeurs discrètes de ces deux derniers paramètres est appelée TO discrète ouDWT 4 . Selon les choix de base d’ondelette et du schéma de discrétisation, la TO discrèteconduit à des informations redondantes ou non.Ce schéma de discrétisation peut être décrit par une analogie avec l’utilisation d’un microscope.Pour observer un échantillon à un fort grossissement (analyse des détails : petiteséchelles), les changements de position doivent être faits par petits incréments et au contraires’il est faible les déplacements peuvent être plus rapides.4 DWT : Discrete Wavelet Transform156

Chapitre 5.Détection des défautsLa famille d’ondelette ainsi obtenue est définie par :ψ m,n = a 0 −m/2 ψ ( a 0 −m t − n b 0)et la transformée discrète en ondelettes d’un signal s(t) est donnée par∫−m/2C(m, n) = a 0s(t) ψ ( a 0 −m t − n b 0)dt.Les paramètres de discrétisation les plus couramment utilisés sont donnés par une variationdyadique du facteur d’échelle :a = 2 m et b = n2 m ⇔ ψ m,n = 2 −m/2 ψ ( 2 −m t − n ) .Une Analyse MultiRésolution (AMR) permet d’extraire d’un signal s(t) différents niveauxd’observation. En effet, comme pour le cameraman effectuant un zoom sur une zone d’intérêtpour obtenir de plus en plus de détails, l’AMR permet la décomposition d’un signal endifférents niveaux de détails.Pour cela, le signal est projeté sur une suite de sous-espaces vectoriels fermés de L 2 (R)vérifiant plusieurs conditions [64] :1. (V j ) j∈Zconstitue une suite d’espaces emboîtés :∀j ∈ Z, V j+1 ⊂ V j . (5.5)Autrement dit, la projection d’un signal sur V j+1 constitue nécessairement une moinsbonne approximation de ce signal que la projection sur V j et réciproquement l’approximationsur V jV j+1 .contient toute l’information nécessaire pour calculer l’approximation2. lim V j = 0 et lim V j est dense dans L 2 (R). C’est à dire que quand j tend vers ∞, onj→∞ j→−∞perd toutes les informations sur le signal, alors que quand j tend vers −∞, l’approximationest asymptotiquement égale au signal.3. Une fonction s(t) appartient à V j si et seulement si sa dilatée s(t/2) appartient à V j+1 .j est appelé niveau de résolution car on passe de V jfacteur d’échelle.à V j+1 en multipliant par 2 le4. Il existe ϕ(t) ∈ L 2 (R), appelée fonction d’échelle ou ondelette père telle que{2 −m/2 ϕ ( 2 −m t − n ) , n ∈ Z }constitue une base W j , orthonormale de V j . La projection orthogonale du signal sur le157

5.3 Méthodes automatiques de détection de défautssous-espace W j donne l’information de « détails » au niveau de résolution j tel queV j−1 = V j ⊕ W joù le symbole ⊕ désigne la somme directe de sous-espaces vectoriels.L’AMR d’un signal s(t) consiste donc à réaliser des projections successives du signalproj Vjs(t) et proj Wjs(t), respectivement sur les espaces V j et W j , pour obtenir des approximationsde s(t) de plus en plus grossières et des détails de plus en plus grands. Pour chaqueniveau de résolution j, les approximations proj Vjs(t) et les informations de détails proj Wjs(t)sont déterminées par :∞∑ 1proj Vjs(t) = a j [k]2 ϕ ( 2 −j − k )j/2proj Wjs(t) =k=−∞∞∑k=−∞1c j [k]2 ψ ( 2 −j − k )j/2avec〈a j [k] = s(t),〈c j [k] = s(t),12 ϕ ( 2 −j − k )〉j/212 ψ ( 2 −j − k )〉j/2où les coefficients a j [k] et c j [k] sont appelés respectivement coefficients d’approximationet coefficients d’ondelettes (ou de détails) du signal.Dans la pratique, la propriété 5.5 permet de déterminer des filtres passe-bas ˜h 0 et passe-haut˜h 1 respectivement basés sur la forme de la fonction d’échelle ϕ et l’ondelette mère ψ (cf. figure5.19) en fonction du niveau de résolution j. L’algorithme de Mallat utilise ces propriétés pour1.4fonction d’échelle2Ondelette1.21.5110.80.60.50.400.2−0.50−0.2−1−0.40 0.5 1 1.5 2 2.5 3−1.50 0.5 1 1.5 2 2.5 3Figure 5.19 – Représentation de la fonction d’échelle (gauche) et de l’ondelette (droite) de type Daubechies2.décomposer un signal s(t) très efficacement en effectuant un traitement par filtre puis unedécimation (diminution de l’échantillonnage). La figure 5.20 illustre cette décomposition en158

Chapitre 5.Détection des défautstrois niveaux de résolution. Notons que 2 ↓ symbolise l’opération de décimation d’un facteur~h 02↓a 3[k]~h 02↓a 2[k]~h 0~a 1[k]2↓a 1[k]~h 12↓c 3[k]s(t)~h 12↓c 2[k]~h 1~c 1[k]2↓c 1[k]Figure 5.20 – Schéma de décomposition en ondelettes sur trois niveaux de résolution.2, ã 1 [k] et ˜c 1 [k] représentent les résultats du filtrage de s(t) respectivement basse fréquence(˜h 0 ) et haute fréquence (˜h 1 ). La différence entre deux approximations successives donnel’information de détail qui était contenue dans l’échelle précédente par conséquent on peutécrire :s(t) = a j [k] +j∑c i [k]i=1Autrement dit, le signal s(t) est décomposé en un niveau d’approximation a 1 contenant lesinformations basses fréquences et un niveau de détail c 1 contenant les informations hautesfréquences. Le niveau d’approximation a 1 est lui-même décomposé en un niveau d’approximationa 2 et un niveau de détail c 2 . Et de même pour les autres niveaux d’approximationtel que s(t) = a 3 + c 3 + c 2 + c 1 .Les bancs de filtres considérés agissent en divisant le spectre des signaux de manière logarithmiqueet constituent ainsi d’assez bonnes approximations du mode de fonctionnementdes systèmes visuels ou auditifs humains.La reconstruction suit le schéma inverse en incluant des zéros entre deux échantillons consécutifscomme illustré sur la figure 5.21.Les figures 5.22 à 5.25 décrivent les étapes successives d’une transformée discrète en ondelettesd’un signal temporel d’une force de contact mesurée représentée sur la figure 5.22.La figure 5.23 représente la décomposition complète du signal sur trois niveaux derésolution, avec le niveau d’approximation et les trois niveaux de détails.Pour mettre en évidence les phénomènes dominants, seuls les coefficients de plus grandeamplitude sont conservés par seuillage comme le montre la figure 5.24. Notons que l’essentielde l’information pertinente est contenu dans le troisième niveau d’approximationC 3 . La méthode de seuillage consiste à conserver un pourcentage fixe de coefficients159

5.3 Méthodes automatiques de détection de défautsa 3[k]2↑ h 0a 2[k]2↑ h 0c 3[k]2↑h 1a 1[k]2↑ h 0c 2[k]2↑h 1a 1[k]s(t)c 1[k]2↑h 1Figure 5.21 – Schéma de reconstruction à partir des coefficients d’ondelettes.Force [N]4003002001000−100Signal original−2000 49 98 148 202 256 310 364 418 472 526 580 634 688 742 796 850 904 958 10121066112111751229Longueur [m]Figure 5.22 – Signal temporel original.a 3800600400200−200 0−40049 98 148 202 256 310 364 418 472 526 580 634 688 742 796 850 904 958 10121066112111751229c 3500−502049 98 148 202 256 310 364 418 472 526 580 634 688 742 796 850 904 958 10121066112111751229c 20−2049 98 148 202 256 310 364 418 472 526 580 634 688 742 796 850 904 958 10121066112111751229c 120−249 98 148 202 256 310 364 418 472 526 580 634 688 742 796 850 904 958 10121066112111751229Longueur [m]Figure 5.23 – Décomposition du signal s(t) en 3 niveaux de résolution.avoisinant 1% du nombre de points total du signal échantillonné à 2000 Hz.Enfin, le signal temporel est reconstruit (cf. figure 5.25) à partir des coefficients restants.La recomposition temporelle permet de mettre en évidence les qualités de localisation de laTO discrète qui fournit avec précision la position des défauts. En revanche, cette méthodene permet pas de différencier les défauts. En effet, griffes et pendules sont détectés avec lamême ondelette mère.Le tableau 5.5 résume les résultats obtenus avec une transformée discrète en ondelette. Letaux moyen de détection des défauts augmente par rapport à la transformée continue en160

Chapitre 5.Détection des défautsa 3800600400200−200 0−40049 98 148 202 256 310 364 418 472 526 580 634 688 742 796 850 904 958 10121066112111751229c 3500−502049 98 148 202 256 310 364 418 472 526 580 634 688 742 796 850 904 958 10121066112111751229c 20−2049 98 148 202 256 310 364 418 472 526 580 634 688 742 796 850 904 958 10121066112111751229c 120−249 98 148 202 256 310 364 418 472 526 580 634 688 742 796 850 904 958 10121066112111751229Longueur [m]Figure 5.24 – Application d’un seuillage sur les coefficients.400300200Griffes de jonctionSignal reconstruitPendules manquantsForce [N]1000−100−200−300Fausses Alertes49 98 148 202 256 310 364 418 472 526 580 634 688 742 796 850 904 958 1012 1066 1121 1175 1229Longueur [m]Figure 5.25 – Signal reconstruit.TOC mesure 1 mesure 2 mesure 3 mesure 4 TOTALGr PM Gr PM Gr PM Gr PM Gr PMDéfaut n°1 83 50 100 100 100 100 100 50 96 75FA 14 11 0 13 9Défaut n°2 100 . 100 . 100 . 100 . 100 .FA 43 33 43 50 42Défaut n°3&6 44 . 44 . 78 . 57 . 58 .FA 50 56 30 33 42Défaut n°5 100 100 100 50 67 50 100 50 92 63FA 55 56 70 64 61Défaut n°4 100 100 100 50 100 50 100 50 100 63FA 17 20 0 0 986 83 89 67 89 67 93 50 89 6736 35 29 32 33Tableau 5.5 – Résultats de la TO discrète pour la détection défauts (Gr : Griffe, PM : Pendule Manquant,FA : Fausses Alertes)ondelettes. En revanche le nombre de fausses alertes reste relativement constant.Les valeurs présentées dans le tableau 5.5 présente un compromis entre un taux de détectioncorrect et un nombre de fausses alertes minimum. Cependant, il est possible d’adopter desstratégies différentes comme le « 100% détection » qui entrainera beaucoup de fausses alertesou au contraire le « zéro fausse alerte » qui dégradera le taux de détection de défaut.Cependant, choisir une des deux stratégies supposerait une qualité de mesures parfaite et un161

5.3 Méthodes automatiques de détection de défautstaux de reproductibilité élevé.En conclusion, la localisation précise des défauts avec une ondelette quelconque seraprécieuse dans l’élaboration d’un outil de détection automatique. En revanche, l’identificationdes défauts n’étant pas possible, cette analyse devra donc être complétée par unoutil d’identification.5.3.3.4 Ondelettes adaptéesLes résultats précédents ont montré l’efficacité des ondelettes pour la détection de défautsdans les signaux temporels de force de contact. Les ondelettes font partie des thèmes étudiéspar l’équipe « Probabilités et Statistiques » du laboratoire de Mathématiques de l’Universitéde Paris-Sud. Une collaboration avec H. Mesa [58] a permis d’utiliser les travaux de sa thèse« Ondelettes adaptées pour la détection de motifs » pour perfectionner l’outil de détection.H. Mesa a développé des outils mathématiques permettant de construire des ondelettes deforme imposée respectant l’ensemble des conditions mathématiques nécessaires pour les ondelettescontinues et discrètes. Le but de cette étude n’étant pas d’approfondir la méthodemathématique, la théorie des ondelettes adaptées n’est pas abordée dans cette partie.Rappelons que les coefficients C(a, b) de l’équation 5.3 mesurent la ressemblance entre uneportion de signal et une ondelette. Aussi, l’utilisation d’ondelettes respectant la forme du défautrecherché améliore le taux de détection du défaut et diminue le nombre de fausses alertes.Dans un premier temps, les mesures contenant des défauts ont servi de base à la constructiondes ondelettes adaptées. En isolant une partie du signal contenant un défaut, on extrait unesignature temporelle du défaut qui correspond à l’identité mécanique du défaut.Sur la figure 5.26a, la partie de signal extraite correspond à une zone contenant un pendulemanquant (défaut n°1). Pour les pendules manquants, la longueur de signature donnant lesmeilleurs résultats est 40 m pour un signal filtré à 135 Hz.La figure 5.26b présente une ondelette, construite sur la base des ondelettes Daubechies(db5), respectant la forme de la signature d’un pendule manquant.La longueur de l’ondelette étant normalisée à 1, on peut déterminer les échelles où se trouvele défaut. Prenons l’exemple d’une ondelette construite à partir d’une portion de signal mesurant40 m. Sa longueur étant normalisée à 1, les échelles à observer sont au voisinage del’échelle 40 car l’ondelette doit être dilatée d’un facteur 40. D’autre part, pour faciliter lalocalisation du défaut, la signature doit être centrée sur le défaut recherché.Le seuillage est calculé en effectuant l’« auto-transformée » en ondelettes de la signature qui162

Chapitre 5.Détection des défauts4 0 03 0 02 0 01 0 08 4 0 8 5 0 8 6 0 8 7 06 0 05 0 02.5ondelette adaptéesignature mesurée4 0 021.5F o r c e [ N ]3 0 02 0 010.501 0 0−0.5−104 9 . 5 9 9 1 4 8 . 5 2 0 2 . 5 2 5 6 . 5 3 1 0 . 5 3 6 4 . 5 4 1 8 . 5 4 7 2 . 5 5 2 6 . 5 5 8 0 . 5 6 3 4 . 5 6 8 8 . 5 7 4 2 . 5 7 9 6 . 5 8 5 0 . 5 9 0 4 . 5 9 5 8 . 5 1 0 1 2 . 5 1 0 6 6 . 5 1 1 2 0 . 5 1 1 7 4 . 5 1 2 2 8 . 5L o n g u e u r [ m ]−1.5−2−2.5−0.4 −0.2 0 0.2 0.4 0.6Figure 5.26 – a. Mesures de la force de contact ; b. Ondelette adaptée construite à partir de la signaturemesurée d’un pendule manquant.a donné naissance à l’ondelette analysante.Pour le défaut n°7, les pendules manquants sont situés juste après le poteau et la valeurdu seuil de détection est de 85% du coefficient maximum à l’échelle 40 qui correspond à lalongueur de la signature. Pour le défaut n°8, les pendules manquants sont situés avant lepoteau et le seuil de détection est de 70% du coefficient maximum. Enfin, pour le défautN°9, les deux pendules manquants sont situés en milieu de portée et le seuil de détection estde 40% du coefficient maximum.La figure 5.27 est un scalogramme de la force de contact pour l’ondelette construite précédemment.Le résultat ne fait ressortir que deux raies correspondant à la position exacteEchelle4140.54039.539Pendules manquants49.599148.5 202.5 256.5 310.5 364.5 418.5 472.5 526.5 580.5 634.5 688.5 742.5 796.5 850.5 904.5 958.5 1012.5 1066.5 1120.5 1174.5 1228.5Longeur [m]3002001000−100−200−300Figure 5.27 – Scalogramme obtenu sur le canton 1 avec une ondelette adaptée à un pendule manquant.du défaut.Le tableau 5.6 montre les performances de cet outil pour la détection d’un pendule manquant.Les défauts sont placés à trois positions différentes dans la portée – avant le poteau, après lepoteau, milieu de portée (cf. figure 5.1) –, ce qui correspond à trois signatures différentes et163

5.3 Méthodes automatiques de détection de défautsun type de défaut est placé par canton. Par exemple, on retrouve le pendule manquant aprèsle poteau uniquement dans le canton n°1. De plus, les signatures ont toutes été extraites dela mesure N°2 et appliquées à l’ensemble des autres mesures. Le taux de détection est trèsbon et le nombre de fausses alertes nul.TOA mesure 1 mesure 2 mesure 3 mesure 4 TOTALDéfaut n°7 détections 100 100 100 100 100FA 0 0 0 0 0Défaut n°8 détections 100 100 100 50 87,5FA 0 0 0 0 0Défaut n°9 détections 100 100 100 100 100FA 0 0 0 0 0TOTAL détections 100 100 100 83 96FA 0 0 0 0 0Tableau 5.6 – Résultats des ondelettes adaptées pour la détection des défauts de type pendules manquants(FA : Fausses Alertes)La figure 5.28 présente les mêmes résultats que précédemment mais pour la griffe de jonction.La taille de la signature extraite des mesures est de 20 m environ à 135 Hz. Le choix d’unesignature plus courte que pour le pendule manquant parait logique car la griffe est un défautponctuel. Par conséquent, l’essentiel de l’information (énergie) traduisant la présence d’undéfaut de type griffe se trouve dans une zone courte.Dans le cas de deux défauts rapprochés et s’influençant mutuellement d’un point de vuemécanique, il est préférable de le considérer comme un type de défaut à part entière avecune signature dédiée. Par exemple, l’ondelette adaptée de la figure 5.28b) correspond à la4 0 03 0 02 0 01 0 06 0 04 0 5 4 1 0 4 1 5 4 2 0 4 2 5 4 3 03 ondelette adaptéesignature5 0 024 0 01F o r c e [ N ]3 0 02 0 001 0 0−104 9 . 5 9 9 1 4 8 . 5 2 0 2 . 5 2 5 6 . 5 3 1 0 . 5 3 6 4 . 5 4 1 8 . 5 4 7 2 . 5 5 2 6 . 5 5 8 0 . 5 6 3 4 . 5 6 8 8 . 5 7 4 2 . 5 7 9 6 . 5 8 5 0 . 5 9 0 4 . 5 9 5 8 . 5 1 0 1 2 . 5 1 0 6 6 . 5 1 1 2 0 . 5 1 1 7 4 . 5 1 2 2 8 . 5L o n g u e u r [ m ]−2−0.4 −0.2 0 0.2 0.4 0.6Figure 5.28 – a) Mesures de la force de contact. b) Ondelette adaptée construite à partir de la signatureextraite des mesures.signature de deux griffes placées sur les pendules entourant le bras de rappel. La longueurde la signature extraite est de 29 m. Les échelles à étudier sont donc autour de l’échelle 29.164

Chapitre 5.Détection des défautsLes résultats pour la griffe de jonction obtenus avec cette méthode sont également très bons.En effet, le taux de détection est élevé et le taux de fausses alertes très faible comme lemontre le tableau 5.7.TOA mesure 1 mesure 2 mesure 3 mesure 4 TotalDéfaut N°1 détections 100 100 100 100 1000 0 0 0 0Défaut N°2 détections 100 100 100 100 100FA 0 0 0 0 0Défaut N°3 détections 100 100 66 66 83FA 25 40 66 50 45Défaut N°6 détections 100 100 100 100 100FA 0 0 40 0 10Défaut N°5 détections 66 66 66 66 66FA 0 0 0 0 0Défaut N°4 détections 100 100 100 100 100FA 0 0 0 0 0Total détections 94 94 89 89 92FA 10 7 23 17 14Tableau 5.7 – Résultats les ondelettes adaptées pour la détection des défauts de type griffe de jonction (FA :Fausses Alertes).Pour conclure, la méthode des ondelettes adaptées fournit une position très précise desdéfauts, une identification efficace et peu de fausses alertes. Cependant, elle nécessiteune bibliothèque de signatures exhaustive. Or, toutes les configurations de défaut nepeuvent pas être mesurées pour des raisons logistiques. Pour construire cette bibliothèque,OSCAR, le logiciel de simulation, fournit une aide précieuse.5.4 Utilisation de la simulation pour la construction d’unebibliothèque de défautsIl est impossible d’effectuer des mesures contenant tous les cas de défaut. Or, dans le paragraphe4.4, nous avons vérifié que les résultats de simulation étaient très proches des mesures.La simulation est donc la seule option envisageable pour la création d’une bibliothèque dedéfauts. Dans cette partie, nous vérifions que l’utilisation de la simulation pour la générationd’ondelettes adaptées est possible et que les résultats restent bons.La construction d’ondelettes adaptées issues de la simulation respecte les mêmes étapes queprécédemment :1. Extraction d’une signature de défaut à partir de la force de contact simulée,2. Construction d’une ondelette adaptée à partir de la signature (cf.figure 5.29),165

5.5 Mise en œuvre industrielle : proposition d’implémentation3. Balayage de l’ondelette adaptée sur l’ensemble du signal mesuré et extraction desdéfauts par seuillage des plus grands coefficients.Ondelette Mesure/Simulation (Défaut n°1)3ondelette mesureondelette simulation210−1−2−0.4 −0.2 0 0.2 0.4 0.6Figure 5.29 – Ondelette adaptée construite pour une griffe de jonction de type défaut n°1.TOA mesure 1 mesure 2 mesure 3 mesure 4 TOTALDéfaut N°7 détections 100 100 100 50 88FA 33 0 0 0 8Défaut N°8 détections 100 100 100 50 88FA 0 0 50 0 13Défaut N°9 détections 100 100 100 100 100FA 50 0 50 0 25TOTAL détections 100 100 100 67 92FA 28 0 33 0 15Tableau 5.8 – Résultats de la détection des pendules manquants avec des signatures simulées (FA : FaussesAlertes).Utiliser la simulation pour construire des ondelettes donne des résultats corrects même sile nombre de fausses alertes augmente légèrement par rapport aux ondelettes issues de lamesure.Pour conclure, les ondelettes adaptées sont un outil puissant de détection de défauts dansun signal. Dotées de très bons pouvoirs de localisation et d’identification, elles deviennentl’analyse la plus performante dès lors que l’on peut les coupler avec un outil de générationde signatures de défauts. En cela, l’outil de simulation OSCAR apporte une bonne réponseà cette problématique.5.5 Mise en œuvre industrielle : proposition d’implémentationLa figure 5.30 présente un algorithme possible pour la mise en oeuvre industrielle des méthodesprésentées précédemment.166

Chapitre 5.Détection des défautsTOA mesure 1 mesure 2 mesure 3 mesure 4 TotalDéfaut N°1 détections 100 100 100 100 1000 25 0 0 6,25Défaut N°2 détections 50 50 50 50 50FA 50 0 50 50 38Défaut N°3 détections 66 66 66 66 100FA 0 0 50 0 13Défaut N°6 détections 66 33 66 33 50FA 33 50 50 50 46Défaut N°5 détections 66 66 66 66 66FA 33 33 33 33 33Défaut N°4 détections 100 100 100 100 100FA 0 0 0 0 0Total détections 83 78 83 78 80FA 19 18 31 22 23TableauAlertes).5.9 – Résultats de la détection de griffes de jonction avec des signatures simulées (FA : FaussesSIGNAL TEMPORELBASE DE DONNEES- PR, ET, Aiguillages- Défauts déjà identifiésFILTRER les donnéesISOLER les singularitésVérifier lesCRITERES EMPIRIQUESen fonction de la base de donnéesBIBLIOTHEQUE DE DEFAUTSONDELETTESDétecter et Identifier les défautsPrécision de la détection (utilisateur)Définir desSEUILS DE DETECTIONORGANE DECISIONNELUtilisation de tous les résultats pour déterminer une probabilité de défautFigure 5.30 – Algorithme envisagé pour la détection de défaut.Deux stratégies, utilisant les ondelettes adaptées, peuvent être envisagées pour la détectionautomatique des défauts :1. La première, la plus intuitive, consiste à créer N ondelettes adaptées, correspondant àtoutes les configurations de défauts possibles, grâce à la simulation. Elles sont stockéessous forme d’ondelettes dans la bibliothèque. La transformée continue en ondelettes esteffectuée N fois sur des échelles adaptées à chaque longueur de défaut. Cette stratégieutilise uniquement les ondelettes adaptées et les résultats en découlant profiteront destrès bons résultats de cette méthode.En revanche, si le nombre de signatures dans la bibliothèque est important, le nombrede TO adaptées sera lui aussi important et donc coûteux en temps. Pour réduire lestemps de calcul, toutes les informations relatives à chaque ondelette (échelles à étudier167

5.5 Mise en œuvre industrielle : proposition d’implémentationet seuil maximum) seront contenues dans la bibliothèque pour optimiser les paramètresde calcul de la TO.2. La seconde utilise les qualités de localisation de la transformée en ondelette discrètepour définir des zones suspectes du signal. Ces zones deviennent alors des signaturesde défauts potentiels utilisées pour générer des ondelettes adaptées. La bibliothèquecontient l’ensemble des N signatures temporelles, calculées avec la simulation. Elles estalors balayée successivement par les différentes signatures suspectes pour identifier letype de défauts.Cette méthode utilise des ondelettes adaptées issues de la mesure, balayant des signaturessimulées pour l’identification. La TO adaptée ne joue qu’un rôle d’identificationdans cette stratégie. En effet, elle est basée sur le taux de détection de la TO discrète,moins bon que pour la TO adaptée. Aussi, il s’agit de tester si les ondelettes adaptéespourront discriminer une fausse alerte détectée par la TO discrète. En terme de coûtde calcul, cette méthode devrait s’avérer plus économique.ConclusionDans ce chapitre, plusieurs méthodes de détection de défauts via les mesures dynamiquesont été testées. Aucune ne donne une détection parfaite, mais les résultats obtenus sont trèsencourageants. La difficulté consiste à supprimer toutes les fausses alertes en gardant unebonne qualité de détection.La définition des critères empiriques est basée sur l’expérience de la physique du système.Cependant, leur élaboration ne respecte pas une méthode scientifique rigoureuse et se faitpar tâtonnement. Fortement liés aux conditions de mesures et aux pré-traitements des signaux,ils exigent une intervention humaine pour leur réglage.Pour la détection et l’identification des défauts, il est nécessaire de travailler avec des méthodestemps-fréquence. Si les méthodes de traitement du signal habituelles (transforméede Fourier et Transformée de Fourier à Court Terme) se révèlent inefficaces, les ondelettesrépondent à nos besoins en fournissant une localisation précise des défauts. La méthode desondelettes adaptées permet en complément une identification efficace. Pour rendre le systèmede détection robuste, il est nécessaire de travailler avec un logiciel de simulation pourélaborer les signatures [11] utilisées pour la construction des ondelettes adaptées.Notons que la méthode des ondelettes a permis de détecter une erreur dans la base dedonnées. Une erreur de saisie avait décalé le positionnement d’un défaut de type défaut n°4.168

ConclusionDans ce document sont présentées les différentes étapes qui ont permis d’aboutir à un outilde simulation du comportement dynamique du couple pantographe-caténaire flexible et performantainsi qu’à des méthodes d’analyse des mesures robustes et fiables pour la détectionde défauts dans la caténaire.Le logiciel de simulation a été construit à partir de la méthode des Éléments Finis (EF)pour pouvoir modéliser tous les types de caténaires en trois dimensions. Bien que ce logicielait été développé en dehors de ce travail, certaines parties du code et certains maillages decaténaire ont été réalisés durant cette thèse.Des travaux antérieurs sur ce sujet ont mis en évidence que la discrétisation du fil de contacten EF était à l’origine de perturbations numériques qui interféraient avec les phénomènesphysiques présents dans le système. Pour identifier les causes, un autre modèle a été développéen parallèle. Il utilise une base de Rayleigh-Ritz pour décrire les déplacements de lacaténaire. Ce modèle monodimensionnel offre donc par construction, la continuité du plan decontact qui fait défaut au modèle EF. Un calcul statique inverse permet de décrire finementl’état statique en partant d’une géométrie imposée en certains points du fil de contact et lecalcul dynamique permet d’effectuer un couplage entre la caténaire et un pantographe linéarisésous forme d’un système masse-ressort. Pour améliorer le conditionnement du problème,les déplacements de la caténaire sont alors projetés dans la base modale de la caténaire.L’unilatéralité des pendules et du contact sont également intégrés dans le modèle pour pouvoireffectuer une comparaison et une validation par rapport aux essais. Sur ce point, lacorrélation calculs-mesures donne des résultats au delà de toute attente pour un modèlesimplifié.Le code EF gère des maillages de caténaire en 3D sur lesquels un pantographe de type massesressortsou multicorps est en contact unilatéral glissant. Le calcul statique EF est itératif pourprendre en compte les non-linéarités géométriques. Il utilise les données géométriques deséléments et les tensions dans les conducteurs pour établir la géométrie finale de la caténaire.Le calcul dynamique assure l’interaction entre les deux sous-structures. Avec une détection dunombre de points de contact et une trajectoire du pantographe paramétrable, les singularitésde la caténaire peuvent également être étudiées. De même que pour le modèle précédent,l’unilatéralité des pendules et du contact est prise en compte.

ConclusionPour pouvoir comparer les deux codes et proposer des évolutions, le cas test du fil tendu enappui simple a été utilisé. Dans cette configuration monodimensionnnelle, les modèles sontparfaitement comparables et seules les méthodes diffèrent. La modélisation en masse consistante,l’augmentation de la finesse du maillage et l’utilisation d’un intégrateur temporelleimplicite sont les principales évolutions apportées au code EF à partir de cette comparaison.Elles permettent d’obtenir une très bonne corrélation calculs-essais avec des temps de calculraisonnables. De plus, un soin particulier a été apporté aux modèles d’amortissement quijouent un rôle prépondérant dans le comportement dynamique du système.Enfin, une phase importante de validation des codes a été effectuée. Dans un premier temps,pour s’affranchir des conditions de mesures, une validation croisée des résultats statiques etdynamiques entre les deux modèles a été faite. Pour comparer les résultats, des méthodes decomparaison de signaux temporels ont été mises au point. Une comparaison aux mesures enligne finalise la validation des logiciels.La deuxième étape de ce travail est l’analyse des mesures pour la détection des défauts dansla caténaire. Le but de cette partie était de détecter, de localiser et d’identifier chaque défautavec un compromis à trouver entre la qualité de détection et le nombre de fausses alertes.Pour cette application, les ondelettes possèdent des propriétés intrinsèques très intéressantes.L’influence des défauts a été étudiée à l’aide d’outils de simulation, ce qui a permis d’établirque chacun possède une signature mécanique différente. D’ailleurs, les performances del’outil de détection sont nettement améliorées avec des ondelettes adaptées à la forme des signatures.Initialement extraites des mesures, elles sont ensuite construites avec la simulationqui propose une solution indispensable pour l’élaboration d’une bibliothèque exhaustive designatures. Les résultats sont très encourageants et seront prochainement testés lors d’essaisen ligne.PerspectivesL’outil de détection utilise des signatures hautes fréquences. Or, la corrélation calculs-essaisa été vérifiée, comme la norme l’impose, uniquement pour les basses fréquences. Ce constatpermet certainement d’expliquer la légère dégradation de la qualité de l’outil de détectionpour les signatures simulées. Pour palier ce problème, un modèle d’amortissement plus prochede la physique devra être développé. Pour ce faire, des campagnes de mesures sur la caténaireisolée seront nécessaires pour obtenir les données expérimentales nécessaires à son recalage.Par ailleurs, l’outil de simulation permet d’envisager de nouvelles pistes d’étude de la caténaireet du pantographe en vue de l’optimisation de leur interaction, comme par exemplele développement d’un pantographe asservi en boucle fermé circulant sur une caténaire trèslégère au design repensé. En parallèle, et à plus courte échéance, un modèle d’usure des170

Conclusionpièces de la caténaire devrait être intégré au modèle afin d’estimer la durée de vie de cespièces et ainsi d’optimiser les cycles de maintenance.De plus, l’amélioration de la corrélation calculs-essais de l’outil de simulation passera parla prise en compte du caractère non-déterministe de la caténaire. En effet, la variabilité descaractéristiques géométriques, comme par exemple l’épaisseur du fil de contact due à l’usure,ainsi que des modèles stochastiques pour les sollicitations liées à la météorologie devront êtreintroduis.171

Annexe AChangement de basez = ∑ i[ ]Aisin iπxB iL= ∑ iq i∑ja ij sin iπxL= ∑ iq i φ iBase physique z = N t [AB]= N t XQ = QΦ[AB]Base sinus N −t z == XQBase modale X t MN −t z = X t M[AB]= Qnormée en masse ⇐⇒ X t MX = Id

Annexe BCalcul de la flèche théorique du fil decontactDans notre modèle, nous supposons que les attaches des pendules sur le fil de contact suiventune parabole d’équationz b stat = a x 2 + b x + c.En plus de cette “flèche globale”, le fil de contact présente également une flèche entre chaquependule (cf. figure 1.8). En revanche, l’effet chaînette ne dépend que de la gravité et descaractéristiques du fil de contact (masse volumique, section,...).Les points A, B, C et D appartiennent tous au FC (cf. figure 1.8) et correspondent respectivementaux points des bras de rappel –les poteaux– n° i et n° i + 1, au point milieu de laportée et à la griffe du premier pendule.ZADCflècheBFCXFigure B.1 – Illustration du calcul de la flèche du fil de contact au droit des pendulesLes coordonnées du point C peuvent s’écrire( )xA + x Bx C =2et z C =(xA − x B1000),

pour que les points soient tous sur la parabole, ils doivent vérifier⎧point A =⇒ ax 2 A⎪⎨+ bx A + c = 0point B =⇒ ax 2 B + bx B + c = 0⎪⎩point C =⇒ ax 2 C + bx C + c = −z C − z Dpoint D =⇒ ax 2 D + bx D + c = −z DLa résolution du système est réalisé de la manière suivante :⎡⎢⎣⎤a ib ic i⎥⎦z Di⎡⎤x 2 Ai x Ai 1 0x 2 Bi x Bi 1 0=⎢⎣ x 2 Ci x Ci 1 1 ⎥⎦x 2 Di x Di 1 1−1 ⎡⎢⎣00−z Ci0⎤⎥⎦Où i correspond au numéro de poteau.176

Annexe CPantographe⎡⎢⎣⎤ ⎡M 1 0 00 M 2 0 ⎥ ⎢⎦ ⎣0 0 M 3¨v 1¨v 2¨v 3⎤ ⎡⎥⎦ + ⎢⎣⎤ ⎡C 1 + C 2 −C 2 0−C 2 C 2 + C 3 −C 3⎥ ⎢⎦ ⎣0 −C 3 C 3˙v 1˙v 2˙v 3⎤⎥⎦⎡⎤ ⎡K 1 + K 2 −K 2 0+ ⎢⎣ −K 2 K 2 + K 3 −K 3⎥ ⎢⎦ ⎣0 −K 3 K 3Si on applique le schéma des différences finies centrées :v 1v 2v 3⎤ ⎡⎥⎦ = ⎢⎣F 1F 2F 3 − F (t)⎤⎥⎦˙v =¨v =v(t + dt) − v(t − dt)2dtv(t + dt) − 2v(t) + v(t − dt)dt 2On trouve :⎡⎡0 −dtC 3 2M 3 + dtC 3⎤2M 1 + dt(C 1 + C 2 ) −dtC 2 0⎢⎣ −dtC 2 2M 2 + dt(C 2 + C 3 ) −dtC 3⎥ ⎢⎦ ⎣} {{ }Av 1 (t + dt)v 2 (t + dt)v 3 (t + dt)⎡⎡ ⎤0 −2dt 2 K 3 −4M 3 + 2dt 2 K 3 v 3 (t)⎤−4M 1 + 2dt 2 (K 1 + K 2 ) −2dt 2 K 2 0v 1 (t)+ ⎢⎣ −2dt 2 K 2 −4M 2 + 2dt 2 (K 2 + K 3 ) −2dt 2 K 3⎥ ⎢⎦ ⎣ v 2 (t) ⎥⎦} {{ }B⎡⎤ ⎡⎤ ⎡2M 1 − dt(C 1 + C 2 ) dtC 2 0v 1 (t − dt) 2dt 2+ ⎢⎣ dtC 2 2M 2 − dt(C 2 + C 3 ) dtC 3⎥ ⎢⎦ ⎣ v 2 (t − dt) ⎥⎦ = ⎢⎣ 2dt 20 dtC 3 2M 3 − dtC 3 v 3 (t − dt) 2dt 2} {{ }C⎤⎥⎦⎤ ⎡⎤F 1⎥ ⎢⎦ ⎣ F 2⎥⎦F 3 − F (t)} {{ }F p(C.1)

K 1v 2v 3K 3M 1F 2M 2F 3M 3X 2X 3F 1X 1v 1K 2F(t)C 1C 2C 3F 1K 1v 1C 1v 1M 1v 1M 1K 2(v 2-v 1)=F 12KC 2(v 2-v 1)=F 12CF 2-F 12K-F 12CM 2v 2M 2K 3(v 3-v 2)=F 23KC 3(v 3-v 2)=F 23CF 3-F 23K-F 23CM 3v 3M 3F(t)Figure C.1 – Illustration du calcul d’un masse/ressort trois étagesA v(t + dt) +Bv(t) + Cv(t − dt) = 2dt 2 F pv(t + dt) = A −1 2dt 2 F p − A −1 Bv(t) − A −1 Cv(t − dt)v(t + dt) = a p v(t) + b p v(t − dt) + c p F pAvec ap = −A −1 Bbp = −A −1 Ccp = A −1 2dt 2178

Annexe C.PantographeMéthode de pénalisationNous pouvons réaliser le même calcul pour la méthode de pénalisation :F 1X 1v 1K 2v 3Z BK couplageF 3X 3v 2K 3M 1F 2M 2M 3X 2F(t)C 1C 2C 3C couplageFCFigure C.2 – Illustration d’une modélisation masse/ressort trois étages du pantographe avec la méthode depénalisation (raideur de couplage)L’équation qui en résulte est :⎡⎢⎣⎤ ⎡M 1 0 00 M 2 0 ⎥ ⎢⎦ ⎣0 0 M 3¨v 1¨v 2¨v 3⎤ ⎡⎥⎦ + ⎢⎣⎤ ⎡C 1 + C 2 −C 2 0−C 2 C 2 + C 3 −C 3⎥ ⎢⎦ ⎣0 −C 3 C 3 + C couplage˙v 1˙v 2˙v 3⎤⎥⎦⎡+ ⎢⎣⎤ ⎡K 1 + K 2 −K 2 0−K 2 K 2 + K 3 −K 3⎥ ⎢⎦ ⎣0 −K 3 K 3 + K couplagev 1v 2v 3⎤ ⎡⎥⎦ = ⎢⎣F 1F 2F 3 − (K couplage z b + C couplage ż b )⎤⎥⎦Calcul des modes du pantographeMẌ + CẊ + KX = 0Si nous posons : Y =[ẊX], nous obtenons :[ ] [ ] [C M K 00Ẏ +Y =M 0 0 −M 0} {{ } } {{ }MMKK]eig(KK, MM) = [s, Y ] d’où X = Y (1 : size(X)) et s = s(1 : size(X))179

les modes s sont complexes.180

Annexe DAlgorithme d’intégration temporelle detype Newmark impliciten=1...N max−1Initialisationsn=1u n=u gravitytensionu˙n=0u¨n=0F n=F0 statiquet n=0=0,25=0,5Mise à jour du nouveau pas de tempsPrédictionu n1 prediction=u nt. ˙u n 1 2 t 2 1−2 ü n˙u n1 prediction= ˙u nt 1− ü nü n1 prediction=0Calcul de la force de contactF n1=F statiqueF contactF correction pendulesCalcul du résidur n1=F n1−u n1 prediction.[ K ]− ˙u n1 prediction.[C ]−ü n1 prediction. [M ]Matrice d'itération[S]=[K ] T .t .[C ]T 1 .t 2 .[M ]Calcul de dqdq n1=[S] −1 ∗r n1Correction et calcul de l'accélérationu n1corrigé=u n1 prediction−dq n1Tant que∣∣r∣∣∣∣F0 Statique∣∣ seuil˙u n1corrigé= ˙u n1 prediction− .t .dq n1ü n1corrigé=ü n1 prediction− 1 .t . dq 2 n1Calcul de la force de contactF n1=F statiqueF contactF correction pendulesCalcul du résidur n1=F n1−u n1corrigé.[K ]− ˙u n1corrigé.[C ]−ü n1 corrigé.[ M ]Figure D.1 – Schéma d’intégration temporelle de type Newmark implicite utilisé dans le modèle ÉlémentsFinis OSCAR.

Annexe EÉléments C 2Avec 6 degrés de liberté par élément, les fonctions d’interpolation doivent être construitesavec des polynômes d’ordre 5 et sont définies par (cf. annexe E) :L’approximation de Rayleigh-Ritz sous forme matricielle donne un déplacement verticalu(x) = φ(x) T .A, où les fonctions[φ T =1 x x 2 x 3 x 4 x 5 ], (E.1)sont associées aux degrés de liberté (correspondant aux coefficients des polynômes) suivants :[A T =a 0 a 1 a 2 a 3 a 4 a 5], (E.2)Les matrices associées à cette base de degrés de liberté, utilisées pour définir l’énergieE = 1 2 AT M φ A + 1 2 AT K φ A,(E.3)sont définies par∫ LM φ ij = ρSL φ T i φ j dx , K φ ij = T 00∫ L0∂φ T i ∂φ j∂x ∂x + EI ∂ 2 φ T i ∂ 2 φ j∂x 2 ∂x dx 2(E.4)Dans la base des degrés de liberté correspondant aux déplacements nodaux, la matrice desfonctions d’interpolation[N T =N 0 N 1 N 2 N 3 N 4 N 5], (E.5)est associée au degrés de liberté .[U T = u(0)∂u∂x (0)∂ 2 u∂x (0) u(L) ∂u2 ∂x (L)∂ 2 u∂x 2 (L) ], (E.6)

Or si u(x) = φ(x) T .A, on peut établir une relation entre les degrés de liberté U et A tellequeU = C.A ou A = C −1 .U, (E.7)où C est définie par⎡C =⎢⎣⎤1 0 0 0 0 00 1 0 0 0 00 0 2 0 0 01 L L 2 L 3 L 4 L 5. (E.8)0 1 2 L 3 L 2 4 L 3 5 L 4 ⎥⎦0 0 2 6 L 12 L 2 20 L 3L’énergie (E.3) est alors égale àE = 1 2(C −1 .U ) TMφ ( C −1 .U ) + 1 2(C −1 .U ) TKφ ( C −1 .U ) , (E.9)d’oùM eC2 = C −1T M φ C −1 et K eC2 = C −1T K φ C −1 . (E.10)De même, commeu = N T C 2.U = φ T .A = φ T .C −1 .U,(E.11)les fonctions d’interpolation peuvent être définies par :⎡N C2 = C −1T φ =⎢⎣− 6 x5l 5+− 3 x5l 4− x515 x4l 42 l + 3 x436 x 5−l 5− 3 x5l 4−10 x3l 3 + 1+ 8 x4 l 3 − 6 x3l 2+2 l − 3 x32 2 l15 x4l 4+ 7 x4l 3+x+ x210 x3l 3− 4 x3l 2x 52 l 3 − x4l 2 + x32 lLes six fonctions de formes C 2 sont tracées sur la figure E.1.2⎤. (E.12)⎥⎦184

Annexe E. Éléments C 211N10.5N40.500 0.5 10.200 0.5 10N20.1N5−0.100 0.5 10.02−0.20 0.5 10.02N30.01N60.0100 0.5 100 0.5 1Figure E.1 – Fonctions d’interpolation associées aux ddls de translation, de rotation et à la courbure.185

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