L'aléatoire pour introduire les fréquences en classe

REPERES - IREM. N° 77 - octobre 2009L’ALEATOIRE POURINTRODUIRE LES FREQUENCESEN CLASSE DE CINQUIEMEGuillaume FRANCOISIrem des Pays de la LoireAntenne du MansL’idée qui préside à l’élaboration et à lamise en œuvre des activités présentées icim’est venue à la lecture d’un article paru danscette même revue 1 , particulièrement lorsqueles auteurs s’interrogent sur l’intérêt qu’ily aurait « à aborder en classe la notiond’aléatoire en parallèle avec l’initiation auxdémarches statistiques, avant l’enseignementdes probabilités ». Il m’a semblé alors intéressant,afin d’instaurer une dynamiquesignifiante d’aller-retour entre probabilitéet fréquence, d’introduire la notion de fréquencepar des situations mettant en jeu del’aléatoire d’abord intuitivement vécu ouformulé, ou, autrement dit, dans lesquellesce soit une certaine idée intuitive de l’aléatoirequi introduise et mène à la nécessitéde considérer des fréquences.Ce que disent les programmesLe programme de cinquième demandede faire calculer des fréquences à propos desituations tirées de la vie quotidienne. Les fréquencesétant utilisées pour comparer, suivantun caractère donné, des populations d’effectifsdifférents, ces calculs doivent pouvoirmener à sensibiliser les élèves aux problèmesque pose l’interprétation de telles comparaisons.Ils sont par ailleurs propices à la manipulationd’écritures diverses d’un mêmenombre telles que 2/5, 4/10, 0,4 ou 0.4, 40%.1 J.C.Girard, M.Henry, B.Parzysz, J.F.Pichard. Quelle place pourl’aléatoire au collège ?, Repères-IREM n°42, Topiques Éditions,Janvier 2001.83

REPERES - IREM. N° 77 - octobre 2009L’ALEATOIRE POUR INTRODUIRELES FREQUENCES EN CLASSE DE 5EMELe programme de troisième demandequ’on introduise la notion de probabilité dansle cadre de situations familières, soit quandc’est possible « à partir de considérationsintuitives de symétrie ou de comparaison »,soit au travers d’une évaluation approximative« par les fréquences observées expérimentalement».Vue d’ensemblede la séquence d’activitésL’activité 1, « La fontaine à eau », n’a étéconçue que comme introduction à l’activité 2,« La planche de Galton », qui est l’activité centralede cette séquence. Celle-ci est volontairementcomplexe, la question posée portantsur une espérance de gain ou un risque de perte.Mais elle est très signifiante quant à la situationqu’elle propose qui est somme toute assezproche d’une situation « réelle » de jeu où ilfaut miser. Elle est donc potentiellement porteusede sens quant au travail mathématiquequ’on devra développer pour résoudre les problèmesqu’elle pose.Comme je m’y attendais, les élèves neréussirent pas à résoudre le problème tout desuite et l’activité 2 fut pendant un moment laisséede côté. L’activité 3, « Les petits chevaux», a alors permis la liaison entre chanceet fréquence. Il a été ensuite possible de revenirà la planche de Galton, munis de ce nouvel outil,« la fréquence », comme mesure d’une certaine« chance » et comme constat expérimental.Enfin l’activité 4, « Somme de deuxdés », a permis une consolidation des acquisde ce travail.L’ensemble du travail a été mené pendantdeux semaines au cours du mois de septembre84

REPERES - IREM. N° 77 - octobre 2009L’ALEATOIRE POUR INTRODUIRELES FREQUENCES EN CLASSE DE 5EMEsur six séances. Seules des révisions sur la notionde quotient et sur la somme de deux fractionsavaient été faites auparavant.Séance 1Activité 1 – La fontaine à eauL’énoncé du bas de la page précédente aété projeté tel quel au tableau.Le principal objectif de cette activité estde mieux aborder l’activité suivante « Planchede Galton ». Nous profiterons de cette activitépour introduire du vocabulaire tel que«chemin possible ». De plus, ce sera l’occasionde revoir comment on additionne deux fractionsde même dénominateur.Même si dans le contrat didactique entremes élèves et moi, il est clair que la réponseattendue à cette question n’est qu’une suitede quatre quantités, je n’ai pas estimé importantde retranscrire la totalité de leurs réponses.Après avoir travaillé individuellementpendant dix minutes, les élèves se sont mispar groupe de 4 ou 5 afin de débattre. Laréponse la plus communément donnée fut : 0,25 ;0,25 ; 0,25 ; 0,25. Les élèves étant presquetous d’accord sur cette fausse réponse, peu degroupes ont fait évoluer leurs écrits. Sur cinqgroupes, un seul a finalement eu un débat intéressant.Dans ce groupe, un élève a convaincules autres que l’on ne pouvait pas avoir unquart de litre dans chaque récipient en utilisantl’argument suivant : « 4 × 0,25 ≠ 2 ». Ensuiteune élève est venue au tableau pour expliquercomment résoudre le problème : « Si onmet 2 L d’eau dans le récipient du haut, l’eaucoule et on a 1 L dans chaque récipient du dessous.Ensuite chaque récipient se vide, et à chaque85

REPERES - IREM. N° 77 - octobre 2009L’ALEATOIRE POUR INTRODUIRELES FREQUENCES EN CLASSE DE 5EMEfois il coule 0,5 L par les trous. On a donc 0,5 L,1 L et 0,5 L dans les trois récipients. Et si oncontinue, il va couler 0,25 L par là, 0,5 L parlà, 0,5 L par là et 0,25 L par là. (en expliquantl’élève fait des flèches sur le schéma qui estau bas de la page précédente). On a donc0,25 L, 0,75 L, 0,75 L et 0,25 L dans le dernierrécipient. »On peut remarquer que l’objectif « revoircomment on additionne deux fractions demême dénominateur » n’a pas du tout étéréalisé, les élèves n’ayant pas prononcé lemot demi, ou quart. Je les ai laissés travailleravec « leurs nombres décimaux ».Au bout d’une demi-heure, nous sommespassés à l’activité 2.Activité 2 – La Planche de GaltonDeux objectifs peuvent être donnés à cetteactivité : réinvestir le vocabulaire tel que«chemin possible» et faire un travail d’initiationau dénombrement.Nous avons expliqué ce qu’est un bookmakeret nous nous sommes mis d’accord surle fait qu’il fallait faire en sorte que le jeu soitsuffisamment attractif pour que les clients aientenvie d’y jouer, tout en rendant le jeu rentable.En observant les réponses nous pouvonsremarquer que beaucoup d’élèves n’avaient pascompris. Sans doute aurait-ce été plus parlantsi les élèves avaient eu l’occasion de pratiquerun peu en jouant au bookmaker sur uneplanche, en petits groupes.En annexe 1, vous pouvez lire ce que lesélèves ont proposé. Ces résultats ont été donnésaprès dix minutes de réflexion indivi-La Planche de Galton86

REPERES - IREM. N° 77 - octobre 2009L’ALEATOIRE POUR INTRODUIRELES FREQUENCES EN CLASSE DE 5EMEduelle. Aucune justification ne leur a étédemandée. On peut remarquer que les réponsesdes élèves peuvent être partagées en troisgroupes, ce que j’ai représenté par des doublesbarres dans le tableau :Dans la première partie du tableau, on serend compte que pour treize des élèves, lesvaleurs données sont sans logique apparente,voire parfois assez surréaliste. La plupartdes réponses de ce groupe ont été rejetéespar la classe. En effet un élève a fait remarquerque le bookmaker ne pouvait pas annoncerde tels prix, car il ferait faillite.Le deuxième groupe rassemble des élèvesqui ont mis 0 € dans sept cases sur huit (parexemple 0 € ; 0 € ; 15 € ; 0 € ; 0 € ; 0 € ; 0 € ;0 € ; 0 €).Le troisième groupe, est composé de septélèves. Ils ont disposé leurs valeurs de façonsymétrique, mais ne pouvaient expliquerpourquoi... L’intuition. (Nous avons parexemple, l’élève 17 qui a choisi 10 € ; 0 € ; 10 € ;0 € ; 50 € ; 50 € ; 10 € ; 0 € ; 10 € )Un débat a eu lieu entre les deux derniersgroupes : Le deuxième groupe a réussi àconvaincre la quasi-totalité du troisième groupe.L’argument qui a semblé le plus pertinentaux yeux des élèves est : « On a autant dechances de tomber dans les cases A, B C, D,E, F, G, H et I, donc le joueur gagnera peu souvent15 € mais perdra assez souvent, donc noussommes gagnants. ».Ceci dit, les élèves n’arrivaient pas à êtreunanimes sur une solution, et ne semblaientpas tous avoir entendu un argument irréfutable.La phrase citée précédemment n’a pasété admise par tout le monde. Après cettedemi-heure de travail, le seul point sur lequelils étaient d’accord était qu’il leur fallait trouverune justification mathématique unificatrice.Mais comment ? ... J’avais prévu cettesituation alors je leur ai dit que nous reviendrionssur cet exercice plus tard et je leur aiproposé de travailler sur un autre problèmeà la séance suivante : l’activité 3.Par contre, contrairement à ce quej’avais imaginé, aucun élève n’a fait le lienentre les deux premières activités. Sansdoute que, pour les élèves, « 2 L d’eau »n’évoque pas directement « un nombre debilles », de plus le nombre d’étapes des deuxsituations n’est pas le même.Séances 2 et 3Activité 3 – Les petits chevaux« Les petits chevaux »1. Quel nombre faut-il obtenir sur le dé pour sortirun petit cheval ?2. Quelle chance a-t-on d'obtenir ce résultat ?3. A l'aide des dés que tu as à ta disposition, essayede retrouver ce résultat.La première question n’est qu’un clind’œil… L’objectif principal de cette activité estd’introduire le mot « fréquence ». Nous feronsle lien entre probabilités et statistiques.Nous montrerons que la fréquence d’unévénement s’approche de « la chance d’obtenircet événement », en langage utilisé dansla classe, quand le nombre d’expériences augmente.Ce terme de « chance » va être petit àpetit remplacé par le terme probabilité. La fréquencea servi à comparer des populations detailles différentes.87

REPERES - IREM. N° 77 - octobre 2009L’ALEATOIRE POUR INTRODUIRELES FREQUENCES EN CLASSE DE 5EMEVoici le type de compte rendu que les élèves ont pu produire après deux heures de travail :89

REPERES - IREM. N° 77 - octobre 2009L’ALEATOIRE POUR INTRODUIRELES FREQUENCES EN CLASSE DE 5EME90

REPERES - IREM. N° 77 - octobre 2009L’ALEATOIRE POUR INTRODUIRELES FREQUENCES EN CLASSE DE 5EME91

REPERES - IREM. N° 77 - octobre 2009L’ALEATOIRE POUR INTRODUIRELES FREQUENCES EN CLASSE DE 5EMELes élèves ont alors pu conclure que plusl’effectif total augmentait, plus les courbesde répartition des effectifs s’aplatissaientautour d’une droite correspondant à une fréquenced’environ 0,16. La plupart d’entreeux, sans doute parce qu’ils ont comparé1leur fréquence avec – en début d’activité,6ont très vite compris que ce 0,16 était une1valeur approchée de – et leur conclusion a6donc été que plus lenombre de lancers augmentait,plus les fréquences ont tendance à1se rapprocher de – .6Trace écritePlus on lance le dé, plus la fréquence d’apparitiondu se rapproche de – qui est la16chance d’obtenir .Nous pouvons trouver cette chance en calculant–––––––––––––––––––– .nombre de cas favorablesnombre de cas totalIl faut faire un grand nombre de fois l’expérience.La fréquence se calcule de la façon suivante: ––––––––– .effectifeffectif totalLorsque le nombre de lancers augmente, lafréquence se rapproche de plus en plus de lachance d’obtenir .Séance 4. Retour à la planche de GaltonC’est après une semaine de travail que jeme suis donc permis de demander aux élèvessi, suite à notre expérience sur les dés, ils avaientune idée pour résoudre le problème de laplanche de Galton.élève 1 :Voici un extrait du dialogue :Il faudrait faire l’expériencebeaucoup de fois pour voir cequi se passe.élève 2 : Oui, et puis calculer les fréquences.le professeur : Précise ta pensée, à propos desfréquences ?élève 2 : Bah, le nombre de billes quivont dans A divisé par le nombrede billes en tout. Et on fait pareilpour les autres cases.le professeur : Très bien, nous avons effectivementla possibilité de réitérerl’expérience un grand nombrede fois, puis d’observer l’évolutiondes fréquences d’arrivéedans chacune des cases de A àH......mais pour le cas du dé, onconnaissait la chance d’obtenirune face sans faire l’expérience.Ici peut-on connaître la chanced’arriver dans une case sansfaire l’expérience ?La classe restant muette, j’ai sorti laplanche de Galton et fait l’expérience devanteux avec 200 billes. Les résultats obtenussont rassemblés dans le cadre ci-contre.La dernière ligne du tableau et le graphiqueont été un travail effectué par les élèves. Je92

REPERES - IREM. N° 77 - octobre 2009L’ALEATOIRE POUR INTRODUIRELES FREQUENCES EN CLASSE DE 5EMECases A B C D E F G H totalEffectif 1 9 38 45 54 32 19 2 200Fréquence 0,005 0,045 0,19 0,225 0,27 0,16 0,085 0,01 1leur ai ensuite demandé ce qu’ils pensaientde leurs résultats. Un élève a remarqué quel’ « On a plus de chance de tomber au milieuque sur les bords». Cette affirmation a étéconfirmée par un autre élève qui a ajouté quec’est « Normal, il n’y a qu’un chemin qui vaen A. » Après que l’élève a tracé le chemin autableau, j’ai invité la classe à chercher leschemins qui mènent en B. Alors qu’un élèvea corrigé au tableau en traçant les cheminsvers B, un autre a levé la main pour faire laremarque que « Ça fait comme les chemins del’eau, c’est pour cela que ça arrive plus aucentre ». Pour compter le nombre de cheminsqui mènent dans les cases, nous sommes partisdu haut et nous avons compté les cheminsqui mènent à chaque clou, niveau par niveau.Nous n’avons pas utilisé le même procédéque pour l’eau, c’est-à-dire que nous n’avonspas pris un nombre n de boules et dit que surchaque clou de la deuxième ligne, il y auraitn –2 boules, puis à la rangée suivante on auraitn n n –2 boules, –4 boules et –2 boules sur les trois93

REPERES - IREM. N° 77 - octobre 2009L’ALEATOIRE POUR INTRODUIRELES FREQUENCES EN CLASSE DE 5EMEclous, ... En effet, les élèves venaient de remarquerle lien avec la fontaine à eau quant à laforme de la solution, mais pas quant au procédéde calcul. Pour calculer la chance d’arriverdans une case, il se sont plutôt inspirésdu calcul probabiliste utilisé avec les dés.D’où l’idée qu’ont eu quelques élèves, de compterle nombre de chemins possibles pour arriveren bas de notre planche.Sans le savoir, les élèves sont finalementarrivés au triangle de Pascal :Sur ce schéma, chaquenombre représente lenombre de cheminspossibles pourarriver surun clou.Assez naturellement et toujours en lien avecl’activité sur les dés, les élèves ont voulu calcu-nombre de chemin(s) menant à une caseler ––––––––––––––––––––––––––––––– ,nombre total de cheminspour calculer la « chance que l’on a d’arriverdans chaque case ».Nous avons ensuite comparé ces résultatsavec nos calculs de fréquences : voir le tableauet le graphique ci-contre.Et que peut-on espérer gagner ?Revenons au problème initial. Nous cherchionsquels prix mettre dans chacune des boîtesde A à H. Tout d’abord, à l’aide des calculs deprobabilités et de statistiques, les élèves ontpu se mettre d’accord sur la symétrie de la solution,et sur le fait que les prix devaient êtreplus forts aux extrémités et plus faibles aucentre. Voici un exemple de proposition d’élève,après un débat en classe puis un travail individuel:15 € 5 € 3 € 1 € 1 € 3 € 5 € 15 €A B C D E F G HSi on joue 128 fois, on peut espérer gagner 386 € :[21 × ( 5 – 2) + 35 × (5 – 1)– (15 – 5) – 7 × ( 5 – 5)] × 2 = 386Trace écrite11Chance d’arriver en A ou en H : –––––––––––––––––––––––––– = –– ≈ 0,008.1 + 7 + 21 + 35 + 35 + 21 + 7 + 1 12877Chance d’arriver en B ou en G : –––––––––––––––––––––––––– = –– ≈ 0,055.1 + 7 + 21 + 35 + 35 + 21 + 7 + 1 1282121Chance d’arriver en C ou en F : –––––––––––––––––––––––––– = –– ≈ 0,164.1 + 7 + 21 + 35 + 35 + 21 + 7 + 1 1283535Chance d’arriver en D ou en E : –––––––––––––––––––––––––– = –– ≈ 0,273.1 + 7 + 21 + 35 + 35 + 21 + 7 + 1 12894

REPERES - IREM. N° 77 - octobre 2009L’ALEATOIRE POUR INTRODUIRELES FREQUENCES EN CLASSE DE 5EMECases A B C D E F G H totalFréquence 0,005 0,045 0,19 0,225 0,27 0,16 0,085 0,01 1Probabilité 0,008 0,055 0,164 0,273 0,273 0,164 0,055 0,008 1On peut espérer gagner 3,02 € par partie.386 ÷ 128 ≈ 3,02 . »Cet écrit d’élève, bien qu’imparfait danssa syntaxe, montre que le problème a étécompris et résolu. Il serait quand même préférableque la trace écrite retranscrive une phrasedu type : “ Si 128 personnes tentent leurchance, le bookmaker peut espérer gagner386 € ”. Les élèves ont pris concience que lesjeux de hasard ne sont pas forcément si hasardeuxpour tout le monde. Le bookmaker saitoù il va, lui... Louis Pasteur a écrit “Le hasardne favorise que les esprits préparés”.Même si la solution de l’élève citée cidessusn’est pas idéale, on pourrait effectivementse demander si avec ce choix, beaucoup de personnesaccepteraient de se soumettre au jeu,sachant qu’il perdrait de l’argent pour lagrande majorité des issues. Ceci dit il peut95

REPERES - IREM. N° 77 - octobre 2009L’ALEATOIRE POUR INTRODUIRELES FREQUENCES EN CLASSE DE 5EMEgagner jusqu’à 10 €. Pour évaluer le choix dubookmaker, il faudrait avoir une étude ducomportement humain face au jeu. De toutefaçon, l’élève est capable de réajuster ces prixen fonction des types de clients en étant assuréd’avoir un revenu sur le long terme.Finalement en une heure, ils ont réussià résoudre un problème qui leur semblaitimpossible à résoudre une semaine auparavant.Effectivement, alors que la notion dehasard leur semblait être une notion presqueimpalpable, les élèves ont réussi à le mesurergrâce à la probabilité, ou à l’estimer àl’aide des fréquences.Séance 5. Un prolongement possible :Pour prolonger, je leur ai posé la questionsuivante : Que faut-il mettre au minimum dansles cases C et F, pour que le bookmaker gagneen moyenne 4 € par partie, avec les donnéessuivantes :données sociologiques permettant de savoir cequi attirerait les clients, ou s’il sait commentse comporterait l’être humain face au jeu,alors il est en mesure de donner mathématiquementune répartition des gains.La quasi-totalité des élèves ont proposéune solution par tâtonnement. Seul un élèvea proposé une réponse formulée de façon plusexperte :« 4 × 128 = 512512 ÷ 2 = 25621 × ( 5 – ?) + 35 × (5 – 0)– (20 – 5) – 7 × (5 – 5) = 25621 × ( 5 – ?) + 35 × (5 – 0)– (20 – 5) – 7 × ( 5 – 5) = 25621 × ( 5 – ?) + 160 = 25621 × ( 5 – ?) = 965– (96 ÷ 21) ≈ 0,4Il faut mettre 40 centimes dans les casesC et F. »20 € 5 € ? 0 € 0 € ? 5 € 20 €A B C D E F G HIl peut paraître surprenant de choisir ungain de 4, pour 5 de mise. Cela veut dire quele bookmaker gagne 4 fois plus que le clientauquel il propose de jouer. Lorsqu’on faitcette remarque, nous raisonnons en tantqu’esprit préparé au hasard, pour reprendreles termes de Louis Pasteur. En effet, pourl’homme de la rue, l’appel du 20 € pourraitêtre plus fort que la raison. Cette question estplus sociologique que mathématique. Ce quiest important du point de vue de l’élève (del’apprenti mathématicien), c’est que s’il a lesIl me semble important de faire vivredans mes classes ces deux méthodes derésolution (par essais-erreurs et « algébriquement») tout en en discutant lesavantages et les inconvénients. C’est en effetune préparation à la notion d’équation.L’équation n’arrivera pas de façon formaliséedans la classe mais naîtra petit àpetit de situation de ce genre.En conclusion : Séance 6L’activité 4 « Somme de dés » a été l’occasion,pour les élèves, de réinvestir leurs acquis :« On lance deux dés et on s’intéresse à lasomme des nombres indiqués par ces derniers.96

REPERES - IREM. N° 77 - octobre 2009L’ALEATOIRE POUR INTRODUIRELES FREQUENCES EN CLASSE DE 5EMEQuels sont tous les résultats que l’on peutobtenir, ainsi que la chance de les obtenir ? Al’aide des dés que tu as à ta disposition, essayede retrouver ce résultat. » Les élèves ont passépresque une heure sur cet exercice (correctioncomprise). Le calcul de probabilité a été facilitépar la première partie de la question.Celle relative aux fréquences n’a posé aucunproblème, certains élèves ayant même demandés’ils pouvaient travailler en groupe afin d’augmenterl’effectif.Au cours de ces séances j’ai défini la probabilitéd’un événement, comme étant lachance d’obtenir cet événement, mais c’estsurtout le mot « chance » que j’ai employé. Enpartant de « chance » et « risque », on s’appuiesur le langage courant, puis, petit à petit,nous formalisons ces notions car nous pouvonsles évaluer. Nous arrivons en effet à calculercette « chance » ou ce « risque » à l’aide desfréquences. Cette formalisation permet auxélèves de donner du sens au mot fréquence.« Donner du sens », une expression parfois malutilisée. Donner du sens à sa matière ne veutpas forcément dire qu’il faut proposer desproblèmes pseudo-concrets empruntés à uneautre matière telle que les sciences physiques,la géographie, ...Les mathématiques se suffisent à ellesmême, et donner du sens aux mathématiquesc’est aussi faire des ponts entre les différentesnotions de notre matière et les faire vivredans la classe en parallèle. En cinquième,nous avons donc l’occasion de travailler deconcert aléatoire, probabilité et fréquencedans nos cours. Je n’ai volontairement pas insistésur le mot « probabilité », ce qui n’empêchepas de l’utiliser durant le cycle central afin defaciliter l’introduction de la notion de probabilitéen classe de troisième. Nous venons devoir que nous pouvons introduire la notion defréquence en statistiques à partir des probabilitéspuis refaire le lien en classe de troisièmeentre statistiques et probabilités « fréquentistes ».Je pense que le lien statistique vers probabilitéest assez difficile, car on ne connaît pas forcémentle modèle que l’on va utiliser. Afin defaciliter ce lien, il me semble important de travaillerl’introduction des statistiques avec lesprobabilités. De plus il faut avoir étudié le déen tant que « jeu de dé » avant de pouvoir l’utilisercomme outil de simulation, lors d’étudesen probabilité.Le fait d’être bloqués à l’activité 2 et derelancer avec l’activité 3, puis de permettreaux élèves de chercher et de créer des liensentre les différentes situations problèmesproposées, me sembe important. Cettedémarche heuristique aide l’élève à apprendreà chercher, à utiliser un brouillon. En classe,j’insiste beaucoup sur le fait que faire desmathématiques n’est pas forcément évident,mais peut être à notre portée si nous nousen donnons les moyens. Lire et relire unénoncé, ne nous débloque pas. Par contre, fairele lien avec des problèmes que l’on saitrésoudre participe à la recherche d’une solution.Et même si l’élève n’y parvient pas, ilaura été en activité mathématique au lieud’attendre la solution.Enfin pour conclure sur la notion de fréquence,les élèves l’ont intégrée comme « unquotient » permettant de comparer deux populationsd’effectifs différents, et non commeune formule que l’on apprend et que l’on ressortle jour d’une évaluation. Là encore, les élèvesont eu l’occasion de donner du sens à unenotion mathématique.97

REPERES - IREM. N° 77 - octobre 2009L’ALEATOIRE POUR INTRODUIRELES FREQUENCES EN CLASSE DE 5EMEANNEXE 198

REPERES - IREM. N° 77 - octobre 2009L’ALEATOIRE POUR INTRODUIRELES FREQUENCES EN CLASSE DE 5EMEANNEXE 2« Tableaux - Lancers de dé «Les documents suivants sontdes documents distribués aux élèves.99

REPERES - IREM. N° 77 - octobre 2009L’ALEATOIRE POUR INTRODUIRELES FREQUENCES EN CLASSE DE 5EME100

REPERES - IREM. N° 77 - octobre 2009L’ALEATOIRE POUR INTRODUIRELES FREQUENCES EN CLASSE DE 5EME101