PDF (Introduction, chapitres 1 et 2) - Les thèses en ligne de l'INP ...
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Institut National Polytechnique <strong>de</strong> Toulouse (INP Toulouse) Clém<strong>en</strong>t INTROÏNI Energétique <strong>et</strong> transfertsv<strong>en</strong>dredi 19 novembre 2010 Interaction <strong>en</strong>tre un flui<strong>de</strong> à haute température <strong>et</strong> un béton : contributionà la modélisation <strong>de</strong>s échanges <strong>de</strong> masse <strong>et</strong> <strong>de</strong> chaleurF. DUVAL, Ingénieur, IRSN Cadarache, EncadrantC. GALUSINSKI, Professeur <strong>de</strong>s Universités, Université du Sud Toulon Var, RapporteurD. GOBIN, Directeur <strong>de</strong> Recherche CNRS, Université Pierre <strong>et</strong> Marie Curie, Présid<strong>en</strong>tB. GOYEAU, Professeur <strong>de</strong>s Universités, Ecole C<strong>en</strong>trale Paris, RapporteurM. QUINTARD, Directeur <strong>de</strong> Recherche CNRS, IMFT-INP Toulouse, Directeur <strong>de</strong> thèse Mécanique, Energétique, Génie civil <strong>et</strong> Procédés (MEGeP) IMFT / IRSN Michel QUINTARD Cédric GALUSINSKIB<strong>en</strong>oît GOYEAU
à la mémoire <strong>de</strong> Daniel,à Amandine <strong>et</strong> mes par<strong>en</strong>ts,à Milouz ...
Remerciem<strong>en</strong>tsCe travail <strong>de</strong> thèse a été réalisé à l’Institut <strong>de</strong> Radioprotection <strong>et</strong> <strong>de</strong> Sûr<strong>et</strong>é Nucléaire. A ce titre, je remercieMessieurs Richard Gonzalez <strong>et</strong> Jean-Michel Bonn<strong>et</strong>, chefs successifs du Service Etu<strong>de</strong> <strong>et</strong> Modélisation <strong>de</strong>l’Inc<strong>en</strong>die, du Corium <strong>et</strong> du confinem<strong>en</strong>t, pour m’avoir accueilli au sein <strong>de</strong> leur service <strong>et</strong> Madame Laur<strong>en</strong>ceRigoll<strong>et</strong>, chef du Laboratoire d’étu<strong>de</strong> <strong>de</strong> l’Inc<strong>en</strong>die <strong>et</strong> <strong>de</strong> développem<strong>en</strong>t <strong>de</strong> Métho<strong>de</strong>s pour la Simulation <strong>et</strong>les Incertitu<strong>de</strong>s au sein duquel c<strong>et</strong>te étu<strong>de</strong> a été m<strong>en</strong>ée dans d’agréables conditions.Je suis reconnaissant à Monsieur Michel Quintard, directeur <strong>de</strong> recherche CNRS à l’Institut <strong>de</strong> Mécanique<strong>de</strong>s Flui<strong>de</strong>s <strong>de</strong> Toulouse, pour avoir accepté la direction sci<strong>en</strong>tifique <strong>de</strong> ce travail <strong>de</strong> thèse <strong>et</strong> pourla confiance qu’il m’a accordé au cours <strong>de</strong> notre collaboration. Ses conseils avisés <strong>et</strong> son expéri<strong>en</strong>ce ontlargem<strong>en</strong>t contribué à l’aboutissem<strong>en</strong>t <strong>de</strong> ce travail. Je le remercie égalem<strong>en</strong>t pour sa disponibilité <strong>et</strong> ses<strong>en</strong>couragem<strong>en</strong>ts constants ont été d’un grand souti<strong>en</strong>, notamm<strong>en</strong>t lors <strong>de</strong> mon périple <strong>en</strong> Chine. Par ailleurs,chacune <strong>de</strong> nos visites Toulousaines a été l’occasion d’un agréable repas au bord <strong>de</strong> la Garonne au coursduquel j’ai pu apprécier davantage ses gran<strong>de</strong>s qualités humaines <strong>et</strong> quelques bons vins du sud ouest.Je remercie très chaleureusem<strong>en</strong>t Monsieur Fabi<strong>en</strong> Duval, ingénieur à l’IRSN, pour avoir accepté l’<strong>en</strong>cadrem<strong>en</strong>t<strong>de</strong> c<strong>et</strong>te thèse <strong>et</strong> pour la confiance qu’il m’a accordé dès le début <strong>de</strong> mon stage <strong>de</strong> fin d’étu<strong>de</strong>s.Durant toutes ces années, il a assuré un <strong>en</strong>cadrem<strong>en</strong>t <strong>de</strong> très gran<strong>de</strong> qualité avec <strong>en</strong>thousiasme, rigueur<strong>et</strong> une pédagogie exemplaire. Chacune <strong>de</strong> nos discussions <strong>et</strong> chacun <strong>de</strong> ses conseils avisés m’ont permis <strong>de</strong>progresser continuellem<strong>en</strong>t dans mon travail (“comme pour le calcul intégral <strong>de</strong> 1/ √ 2πt...”). Sa générosité<strong>et</strong> son implication ont non seulem<strong>en</strong>t été une source perman<strong>en</strong>te <strong>de</strong> motivation mais ont aussi fortem<strong>en</strong>tcontribué à l’aboutissem<strong>en</strong>t <strong>de</strong> ce proj<strong>et</strong> <strong>de</strong> thèse. Par ailleurs, j’ai pu apprécier sa pati<strong>en</strong>ce, sa constantedisponibilité, ses <strong>en</strong>couragem<strong>en</strong>ts quotidi<strong>en</strong>s ainsi que l’amitié qu’il m’a témoigné durant toutes ces années.Pour le temps qu’il m’a consacré <strong>et</strong> tout ce qu’il m’a apporté durant toutes ces années, je lui <strong>en</strong> suis trèsreconnaissant.Je remercie vivem<strong>en</strong>t Monsieur Dominique Gobin, directeur <strong>de</strong> recherche CNRS à l’Université Pierre <strong>et</strong>Marie Curie, pour avoir assuré la présid<strong>en</strong>ce du jury <strong>de</strong> c<strong>et</strong>te thèse. Je remercie vivem<strong>en</strong>t Monsieur CédricGalusinski, professeur <strong>de</strong>s universités à l’Université Sud Toulon Var, <strong>et</strong> Monsieur B<strong>en</strong>oît Goyeau, professeur<strong>de</strong>s universités à l’Ecole C<strong>en</strong>trale Paris, pour avoir accepté d’être rapporteurs <strong>de</strong> ce travail <strong>de</strong> thèse auquelils ont apporté une att<strong>en</strong>tion <strong>et</strong> une rigueur particulière.Mes remerciem<strong>en</strong>ts vont égalem<strong>en</strong>t à Monsieur Jean-Clau<strong>de</strong> Latché, ingénieur à l’IRSN, pour le suivi <strong>et</strong> levive intérêt qu’il a montré à ce travail <strong>de</strong> thèse. <strong>Les</strong> conseils <strong>et</strong> l’ai<strong>de</strong> précieuse qu’il m’a apporté sur différ<strong>en</strong>tsaspects <strong>de</strong> ce travail ont fortem<strong>en</strong>t contribué à l’avancem<strong>en</strong>t <strong>de</strong> c<strong>et</strong>te thèse. Je le remercie égalem<strong>en</strong>t poursa constante disponibilité ainsi que pour nos diverses discussions qui m’ont permis d’apprécier ses gran<strong>de</strong>squalités humaines.Je remercie égalem<strong>en</strong>t Monsieur Marc Barrachin, ingénieur à l’IRSN, pour ses conseils <strong>et</strong> son ai<strong>de</strong>,notamm<strong>en</strong>t <strong>en</strong> thermodynamique sur la structure <strong>de</strong>s énergies libres. Malgré une attirance prononcée pourun certain club <strong>de</strong> football <strong>de</strong> la capitale, j’ai particulièrem<strong>en</strong>t apprécié la sympathie, l’<strong>en</strong>thousiasme <strong>et</strong> lesbonnes blagues <strong>de</strong> c<strong>et</strong> expert <strong>en</strong> thermodynamique <strong>de</strong>s milieux cond<strong>en</strong>sés <strong>en</strong>tre 2000K <strong>et</strong> 3000K.Je ti<strong>en</strong>s à remercier mes <strong>de</strong>ux collègues <strong>de</strong> bureau successifs, Messieurs Bruno Piar <strong>et</strong> Fabrice Babik,ingénieurs à l’IRSN, pour leur sympathie, leur souti<strong>en</strong> <strong>et</strong> leurs <strong>en</strong>couragem<strong>en</strong>ts. Durant toutes ces années,j’ai pu apprécier l’amitié qu’ils m’ont témoigné ainsi que nos diverses discussions autour d’une tasse <strong>de</strong> théou <strong>de</strong> café. Je remercie plus particulièrem<strong>en</strong>t Bruno pour m’avoir fait profiter <strong>de</strong> son expéri<strong>en</strong>ce à chacune<strong>de</strong> mes sollicitations <strong>et</strong> pour l’ai<strong>de</strong> précieuse qu’il m’a apporté pour les développem<strong>en</strong>ts m<strong>en</strong>és à partir <strong>de</strong> laplate-forme PELICANS. Je le remercie égalem<strong>en</strong>t pour m’avoir laissé squatter plusieurs <strong>de</strong> ses livres duranttoutes ces années.Je souhaite remercier Monsieur Didier Vola, chef du Laboratoire d’Etu<strong>de</strong> du corium <strong>et</strong> du Transfert <strong>de</strong>sRadioélém<strong>en</strong>ts, pour m’avoir fait profiter <strong>de</strong> ses connaissances sur les métho<strong>de</strong>s <strong>de</strong> stabilisation numérique<strong>et</strong> pour l’ai<strong>de</strong> qu’il m’a apporté dans certaines <strong>de</strong> mes démarches post-doctorat.Je voudrais remercier l’<strong>en</strong>semble du personnel du SEMIC pour leur accueil <strong>et</strong> leur g<strong>en</strong>tillesse. Merci àMichel Cranga pour le vive intérêt qu’il a porté à ce travail. Merci à Marie-Claire, Caroline <strong>et</strong> La<strong>et</strong>itia pourl’ai<strong>de</strong> qu’elles m’ont apporté dans chacune <strong>de</strong> mes démarches administratives <strong>et</strong> plus particulièrem<strong>en</strong>t dansla préparation <strong>de</strong> mon voyage <strong>en</strong> Chine. Je remercie Jean-Paul, Jean-Clau<strong>de</strong>, Christophe, Marc, Bruno,Fabi<strong>en</strong>, Philippe, Roland, Jean, Samuel, Laura <strong>et</strong> Céline pour nos gran<strong>de</strong>s discussions footballistiques danslesquelles j’ai essayé tant bi<strong>en</strong> que mal <strong>de</strong> rester objectif.... Je remercie l’<strong>en</strong>semble <strong>de</strong>s doctorants que j’aipu côtoyer, Auréli<strong>en</strong>, Guillaume, Romain, Walid, Trung, Fanny <strong>et</strong> Raphaël pour leur sympathie. Merci àSebastian pour ses <strong>en</strong>couragem<strong>en</strong>ts <strong>et</strong> l’amitié qu’il m’a témoigné durant nos trois années <strong>de</strong> thèse. Ungrand merci à Céline pour sa bonne humeur, son amitié <strong>et</strong> son souti<strong>en</strong>. Je n’oublie pas ses longues pauses àdiscuter à la machine à café (que je remercie par la même occasion!) au cours <strong>de</strong>squelles j’ai pu apprécier sesgran<strong>de</strong>s qualités humaines. Merci à Haisan pour son amitié <strong>et</strong> pour m’avoir servi <strong>de</strong> gui<strong>de</strong> sur Guangzhou.Je ti<strong>en</strong>s à remercier ma famille pour leur amour <strong>et</strong> leur souti<strong>en</strong> perman<strong>en</strong>t. Je remercie <strong>en</strong>fin Amandinepour m’avoir sout<strong>en</strong>u <strong>et</strong> <strong>en</strong>couragé durant toutes ces années avec amour <strong>et</strong> beaucoup <strong>de</strong> pati<strong>en</strong>ce. Pour toutce qu’elle m’apporte au quotidi<strong>en</strong>, je lui <strong>en</strong> suis très reconnaissant <strong>et</strong> lui dédicace ce travail.
Table <strong>de</strong>s matièresChapitre I <strong>Introduction</strong> générale 1I.1 Problématique du corium hors-cuve . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2I.2 Phénoménologie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3I.3 Description <strong>de</strong>s échanges à l’interface du corium <strong>et</strong> du béton . . . . . . . . . . . . . 5I.3.1 Modèles d’échange associés au dégazage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7I.3.2 Modèles d’échange associés à la convection compositionnelle . . . . . . . . . 9I.3.3 Modèles d’échange globaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12I.3.4 Discussion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15I.4 Stratégie <strong>de</strong> modélisation <strong>et</strong> <strong>de</strong>scription <strong>de</strong> l’étu<strong>de</strong> . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16I.4.1 Vers une <strong>de</strong>scription multi-échelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16I.4.2 Simulation numérique directe à l’échelle du front d’ablation . . . . . . . . . 19I.5 Objectifs <strong>de</strong> l’étu<strong>de</strong> . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21Chapitre II Construction <strong>de</strong> conditions aux limites effectives sur parois rugueuses 23II.1 <strong>Introduction</strong> . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23II.2 Effective surface mo<strong>de</strong>ling for mom<strong>en</strong>tum and heat transfers over rough surfaces . 24II.2.1 <strong>Introduction</strong> . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27II.2.2 Domain <strong>de</strong>composition m<strong>et</strong>hod . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30II.3 Effective boundary conditions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31II.3.1 Mom<strong>en</strong>tum effective boundary condition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32II.3.2 Heat effective boundary conditions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39II.3.3 Application to a natural convection problem in a stamp shaped cavity . . . 43II.3.4 D<strong>et</strong>ermination of the effective properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44II.3.5 Effective calculations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48II.3.6 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56II.3.A Derivation of the closure problems for the mom<strong>en</strong>tum transfer problem . . 57II.3.B Derivation of the closure problems for the heat transfer problem . . . . . . 58II.4 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59Chapitre III Simulation numérique directe d’écoulem<strong>en</strong>ts diphasiques compositionnels 69III.1 Modèle <strong>de</strong> Cahn-Hilliard diphasique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70III.2 Modèle <strong>de</strong> Cahn-Hilliard diphasique compositionnel . . . . . . . . . . . . . . . . . 74III.2.1 Description du système <strong>et</strong> hypothèses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74III.2.2 Ferm<strong>et</strong>ure thermodynamique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76III.2.3 Etablissem<strong>en</strong>t <strong>de</strong>s équations <strong>de</strong> bilan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79III.2.4 Propriétés <strong>de</strong> consistance <strong>et</strong> ferm<strong>et</strong>ures <strong>de</strong>s mobilités . . . . . . . . . . . . . 85III.2.5 Formes alternatives du modèle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88i
III.3 Schéma numérique <strong>et</strong> résolution du problème discr<strong>et</strong> . . . . . . . . . . . . . . . . . 90III.3.1 Semi-discrétisation <strong>en</strong> temps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91III.3.2 Discrétisation <strong>en</strong> espace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99III.4 Stabilisation par viscosité <strong>en</strong>tropique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106III.4.1 Principe <strong>de</strong> la métho<strong>de</strong> . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107III.4.2 Application au modèle Cahn-Hilliard/Navier-Stokes compositionnel . . . . . 108III.5 Traitem<strong>en</strong>t numérique <strong>de</strong>s conditions aux limites <strong>de</strong> sortie . . . . . . . . . . . . . . 111III.5.1 Equations <strong>de</strong> Cahn-Hilliard . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111III.5.2 Equations <strong>de</strong> Navier-Stokes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113III.6 Expéri<strong>en</strong>ces numériques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115III.6.1 Test <strong>de</strong> Laplace compositionnel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118III.6.2 Montée d’une bulle dans un milieu semi-infini . . . . . . . . . . . . . . . . . 120III.6.3 Injection <strong>de</strong> bulles dans un milieu semi-infini . . . . . . . . . . . . . . . . . 123III.6.4 Injection <strong>de</strong> bulles dans un système bi-constituant . . . . . . . . . . . . . . 125III.7 Conclusions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136Chapitre IV Simulations directes à l’échelle du front d’ablation 139IV.1 Cas purem<strong>en</strong>t compositionnels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140IV.1.1 Description <strong>de</strong> l’ablation par une métho<strong>de</strong> ALE . . . . . . . . . . . . . . . . 142IV.1.2 Lois <strong>de</strong> viscosité arithmétique <strong>et</strong> harmonique . . . . . . . . . . . . . . . . . 144IV.1.3 Modèle <strong>de</strong> viscosité d’Urbain . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155IV.2 Cas diphasiques compositionnels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190IV.2.1 Description <strong>de</strong> l’ablation dans le repère lié au front . . . . . . . . . . . . . . 191IV.2.2 Impact <strong>de</strong> la température d’ablation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195IV.2.3 Impact <strong>de</strong> la distribution <strong>de</strong>s sites <strong>de</strong> relâchem<strong>en</strong>t <strong>de</strong> gaz . . . . . . . . . . 207IV.3 Conclusion <strong>et</strong> discussion <strong>de</strong>s configurations étudiées . . . . . . . . . . . . . . . . . 220Chapitre V Conclusion générale <strong>et</strong> perspectives 223Annexe A Limite “sharp” du modèle <strong>de</strong> Cahn-Hilliard/Navier-Stokes compositionnel 231A.1 Adim<strong>en</strong>sionnem<strong>en</strong>t <strong>de</strong>s équations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231A.2 Analyse asymptotique du modèle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233A.2.1 Développem<strong>en</strong>ts extérieurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234A.2.2 Développem<strong>en</strong>ts intérieurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236A.2.3 Conditions <strong>de</strong> saut à l’interface . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244Annexe B Système <strong>de</strong> coordonnées généralisé 249B.1 Définition d’un système <strong>de</strong> coordonnées lié à l’interface . . . . . . . . . . . . . . . . 249B.2 Développem<strong>en</strong>t <strong>de</strong>s opérateurs <strong>de</strong> dérivées spatiale <strong>et</strong> temporelle . . . . . . . . . . 250B.2.1 Gradi<strong>en</strong>t d’un scalaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 250B.2.2 Gradi<strong>en</strong>t d’un vecteur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 250B.2.3 Diverg<strong>en</strong>ce d’un vecteur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251B.2.4 Diverg<strong>en</strong>ce du gradi<strong>en</strong>t d’un champ scalaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251B.2.5 Diverg<strong>en</strong>ce d’un t<strong>en</strong>seur d’ordre <strong>de</strong>ux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251B.2.6 Dérivée temporelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252Annexe C Raccord asymptotique 253ii
Table <strong>de</strong>s figuresI.1 Schéma simplifié d’un scénario d’accid<strong>en</strong>t grave : cas <strong>de</strong> l’interaction corium-béton. . . . 2I.2 Configurations <strong>en</strong>visagées pour le bain <strong>de</strong> corium lors <strong>de</strong> l’interaction corium-béton. . . . 3I.3 Diagramme <strong>de</strong> phases pseudo-binaires pour les mélanges UO 2 -ZrO 2 -béton. . . . . . . . . 6I.4 Schéma <strong>de</strong> l’interface lors <strong>de</strong> l’ablation d’un substrat soli<strong>de</strong> par un liqui<strong>de</strong>. . . . . . . . . 10I.5 Représ<strong>en</strong>tation <strong>de</strong> l’interface corium-béton proposée par Bradley [27] . . . . . . . . . . . 12I.6 Représ<strong>en</strong>tation <strong>de</strong> l’interface corium-béton proposée par Kao <strong>et</strong> Kazimi [95]. . . . . . . . 13I.7 Représ<strong>en</strong>tation <strong>de</strong> l’interface corium-béton proposée par Epstein [53]. . . . . . . . . . . . 15I.8 Une <strong>de</strong>scription multi-échelle <strong>de</strong>s échanges pour l’interaction corium-béton. . . . . . . . . 17II.1 Schematic repres<strong>en</strong>tation of an incompressible laminar over a rough surface Γ w . . . . . . 29II.2 Schematic domain <strong>de</strong>composition principle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30II.3 Schematic <strong>de</strong>composition of the rough surface in two closed curves. . . . . . . . . . . . . 39II.4 Schematic repres<strong>en</strong>tation of the computational domain Ω = [0, L] × [0, L] . . . . . . . . . 43II.5 Thinnest mesh used in the rough case. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44II.6 Pseudo-periodic repres<strong>en</strong>tative unit cell Ω i . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45II.7 Plot of the ratio C f (δ 0 )/C f (y) and the ratio h(δ 0 )/h(y) for Re l ≤ 10 3 and Pr = 1. . . . . 46II.8 Plot of the quantity [B 11 (δ 0 ) + δ 0 ]/L 1 and [d(δ 0 ) + δ 0 ]/L 2 in the pure diffusive case.. . . 47II.9 Evolution of the ratio h(0) in the pure diffusive case over h(Re l ) . . . . . . . . . . . . . . 48II.10 Contour lines of the closure variable d for Pr = 1.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48II.11 Contour lines of T and u in the rough and effective no-slip cases (Ra L = 10 6 ). . . . . . . 50II.12 Profiles of T and v on x = A + 5.10 −4 for Ra L = 10 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51II.13 Profiles of T and v on x = A + 5.10 −3 for Ra L = 10 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52II.14 Profiles of T and v on x = A + 5.10 −2 for Ra L = 10 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53II.15 Effective computational domain Ω δ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54II.16 Profiles of T on x = A + 5.10 −2 for Ra L = {10 3 , 10 4 }. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61II.17 Profiles of T on x = A + 5.10 −2 for Ra L = {10 5 , 10 6 }. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62II.18 Profiles of T on x = A + 5.10 −2 for Ra L = {10 7 , 10 8 }. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63II.19 Profiles of v on x = A + 5.10 −2 for Ra L = {10 3 , 10 4 } . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64II.20 Profiles of v on x = A + 5.10 −2 for Ra L = {10 5 , 10 6 } . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65II.21 Profiles of v on x = A + 5.10 −2 for Ra L = {10 7 , 10 8 } . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66II.22 Relative error b<strong>et</strong>we<strong>en</strong> the averaged Nusselt numbers < Nu r > and < Nu eff >. . . . . . 67III.1 Evolution du paramètre d’ordre ϕ pour un système diphasique. . . . . . . . . . . . . . . . 71III.2 Formes logarithmique <strong>et</strong> polynomiale du pot<strong>en</strong>tiel <strong>de</strong> Cahn-Hilliard. . . . . . . . . . . . . 74III.3 Formes logarithmique <strong>et</strong> logarithmique-polynomiale du pot<strong>en</strong>tiel <strong>de</strong> Cahn-Hilliard. . . . 78III.4 Schémas numériques : <strong>de</strong>ux vs. trois équations (problème diphasique ϕ 3 = 0). . . . . . . 92III.5 Schémas numériques : <strong>de</strong>ux vs. trois équations (problème diphasique ϕ 2 = 0). . . . . . . 93III.6 Discrétisations imp., lin. implicite <strong>et</strong> semi-implicite <strong>de</strong> W ′ (ϕ n+11 , ϕ n 1 ) (∆t = 10−4 ) . . . . 95III.7 Discrétisations imp., lin. implicite <strong>et</strong> semi-implicite <strong>de</strong> W ′ (ϕ n+11 , ϕ n 1 ) (∆t = 2 × 10−5 ) . . 96iii
III.8 Discrétisations imp., lin. implicite <strong>et</strong> semi-implicite <strong>de</strong> W ′ (ϕ n+11 , ϕ n 1 ) (∆t = 4 × 10−6 ) . . 96III.9 Instabilité <strong>de</strong> Rayleigh-Taylor avec At = 0.5 <strong>et</strong> Re = 10 3 : interface liqui<strong>de</strong>-liqui<strong>de</strong>. . . . 109III.10 Instabilité <strong>de</strong> Rayleigh-Taylor avec At = 0.5 <strong>et</strong> Re = 10 3 : viscosité <strong>en</strong>tropique . . . . . . 110III.11 Domaine <strong>de</strong> calcul : traitem<strong>en</strong>t numérique <strong>de</strong>s conditions aux limites <strong>de</strong> sortie . . . . . . 113III.12 Comportem<strong>en</strong>t d’une bulle <strong>de</strong> gaz <strong>en</strong> sortie du domaine (vitesse imposée) . . . . . . . . . 114III.13 Composante verticale <strong>de</strong> la vitesse <strong>en</strong> sortie du domaine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115III.14 Comportem<strong>en</strong>t d’une bulle <strong>de</strong> gaz <strong>en</strong> sortie du domaine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116III.15 Pression ˜p, pression dynamique p dyn <strong>et</strong> pression capillaire p cap . . . . . . . . . . . . . . . 117III.16 Domaines <strong>de</strong> calcul utilisés pour le test <strong>de</strong> Laplace compositionnel.. . . . . . . . . . . . . 119III.17 Modèle Cahn-Hilliard/Navier-Stokes compositionnel vs. modèle <strong>de</strong> Fick/Navier-Stokes. . 121III.18 Profils du paramètre d’ordre ϕ 2 <strong>et</strong> <strong>de</strong> la conc<strong>en</strong>tration c <strong>en</strong> y = 0 à t = {0 s, 0.5 s, 1 s}.. . 122III.19 Comparaison <strong>en</strong>tre la loi <strong>de</strong> Laplace <strong>et</strong> le saut <strong>de</strong> pression calculé. . . . . . . . . . . . . . 122III.20 Décroissance <strong>de</strong> l’énergie cinétique au cours du temps. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123III.21 Domaine <strong>de</strong> calcul : montée d’une bulle <strong>de</strong> gaz dans un milieu liqui<strong>de</strong> semi-infini. . . . . 124III.22 Instantanés <strong>de</strong> l’isovaleur ϕ 1 = 0.5 <strong>et</strong> évolution du nombre <strong>de</strong> Reynolds . . . . . . . . . . 125III.23 Mobilité uniforme vs. mobilité fonction du Pécl<strong>et</strong> d’interface. . . . . . . . . . . . . . . . . 126III.24 Visualisation <strong>de</strong> la mobilité : uniforme <strong>et</strong> fonction du nombre <strong>de</strong> Pécl<strong>et</strong> d’interface. . . . 126III.25 Domaine <strong>de</strong> calcul : problème diphasique d’injection <strong>de</strong> gaz à travers un orifice. . . . . . 127III.26 Evolution <strong>de</strong> l’isovaleur ϕ 1 = 0.5 pour les angles <strong>de</strong> contact α = 70˚<strong>et</strong> α = 110˚. . . . . . 128III.27 Domaine <strong>de</strong> calcul : injection <strong>de</strong> gaz dans un système bi-constituant. . . . . . . . . . . . 129III.28 Calcul <strong>de</strong> référ<strong>en</strong>ce. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131III.29 Calcul sans contraste <strong>de</strong> viscosité dans le liqui<strong>de</strong> . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132III.30 Calcul sans contraste <strong>de</strong> d<strong>en</strong>sité dans le liqui<strong>de</strong> . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133III.31 Calcul effectué avec un diffusion massique D = 2 × 10 −5 m 2 .s −1 . . . . . . . . . . . . . . . 134III.32 Calcul effectué avec les propriétés <strong>de</strong> référ<strong>en</strong>ce <strong>et</strong> <strong>de</strong>ux sites d’injection <strong>de</strong> gaz . . . . . . 135IV.1 Représ<strong>en</strong>tation schématique <strong>de</strong> la structure <strong>de</strong> la couche limite . . . . . . . . . . . . . . . 140IV.2 Domaine <strong>de</strong> calcul utilisé pour l’étu<strong>de</strong> <strong>de</strong>s eff<strong>et</strong>s purem<strong>en</strong>t compositionnels. . . . . . . . . 142IV.3 Comparaison <strong>en</strong>tre les lois arithmétique, harmonique <strong>et</strong> d’Urbain. . . . . . . . . . . . . . 145IV.4 Evolution <strong>de</strong> la d<strong>en</strong>sité pour t ∈ [0s, 55s] : cas R = 2 × 10 2 ; loi arithmétique. . . . . . . . 147IV.5 Evolution <strong>de</strong> la d<strong>en</strong>sité pour t ∈ [0s, 55s] : cas R = 2 × 10 2 ; loi harmonique. . . . . . . . 148IV.6 Evolution <strong>de</strong> la d<strong>en</strong>sité pour t ∈ [0s, 55s] : cas R = 10 3 ; loi arithmétique. . . . . . . . . . 150IV.7 Evolution <strong>de</strong> la d<strong>en</strong>sité pour t ∈ [0s, 55s] : cas R = 10 3 ; loi harmonique. . . . . . . . . . . 151IV.8 Evolution <strong>de</strong> la d<strong>en</strong>sité pour t ∈ [0s, 55s] : cas R = 2 × 10 4 ; loi arithmétique. . . . . . . . 153IV.9 Evolution <strong>de</strong> la d<strong>en</strong>sité pour t ∈ [0s, 55s] : cas R = 2 × 10 4 ; loi harmonique. . . . . . . . 154IV.10 Fraction <strong>de</strong> soli<strong>de</strong> Φ sol <strong>en</strong> fonction <strong>de</strong> la température <strong>et</strong> <strong>de</strong> l’<strong>en</strong>richissem<strong>en</strong>t <strong>en</strong> béton . . 156IV.11 Viscosité du mélange <strong>en</strong> fonction <strong>de</strong> la température <strong>et</strong> <strong>de</strong> l’<strong>en</strong>richissem<strong>en</strong>t <strong>en</strong> béton . . . 157IV.12 Schématisation du front d’ablation avec la prise <strong>en</strong> compte d’une zone pâteuse.. . . . . . 158IV.13 Evolution <strong>de</strong> la d<strong>en</strong>sité pour t ∈ [0, 150s] : cas T f = 1600K, béton silico-calcaire. . . . . . 162IV.14 Evolution <strong>de</strong> la d<strong>en</strong>sité pour t ∈ [0, 150s] : cas T f = 1600K, béton siliceux. . . . . . . . . 163IV.15 Zoom au voisinage du front d’ablation lorsque T f = 1600K. Amplitu<strong>de</strong> <strong>de</strong>s rugosités. . . 164IV.16 Champ <strong>de</strong> vitesse à l’instant t = 150s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165IV.17 Evolution <strong>de</strong> la fraction <strong>de</strong> soli<strong>de</strong> Φ sol pour une température d’ablation T f = 1600K. . . 166IV.18 Evolution <strong>de</strong> la température T pour une température d’ablation T f = 1600K . . . . . . . 167IV.19 Profil <strong>de</strong> température (<strong>en</strong> K) suivant l’axe (Oy) <strong>en</strong> x = R/2 à l’instant t = 150s . . . . . 168IV.20 Vitesse moy<strong>en</strong>ne d’ablation (<strong>en</strong> mm.s −1 ) : T f = 1600K . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169IV.21 Evolution <strong>de</strong> la d<strong>en</strong>sité pour t ∈ [0, 150s] : cas T f = 1700K, béton silico-calcaire. . . . . . 172IV.22 Evolution <strong>de</strong> la d<strong>en</strong>sité pour t ∈ [0, 150s] : cas T f = 1700K, béton siliceux. . . . . . . . . 173IV.23 Zoom au voisinage du front d’ablation lorsque T f = 1700K. Amplitu<strong>de</strong> <strong>de</strong>s rugosités. . . 174IV.24 Champ <strong>de</strong> vitesse à l’instant t = 150s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175iv
viii
Chapitre I<strong>Introduction</strong> généraleDevant la puissance croissante <strong>de</strong>s calculateurs, les métho<strong>de</strong>s <strong>de</strong> simulation numérique directese sont considérablem<strong>en</strong>t développées au cours <strong>de</strong> ces <strong>de</strong>rnières années. Si elles rest<strong>en</strong>t <strong>en</strong>coregénéralem<strong>en</strong>t limitées à une classe réduite d’écoulem<strong>en</strong>ts caractérisés, par exemple, par <strong>de</strong>s nombres<strong>de</strong> Reynolds modérés pour les problèmes turbul<strong>en</strong>ts ou un nombre limité d’interfaces pour lesproblèmes multiphasiques, elles perm<strong>et</strong>t<strong>en</strong>t d’obt<strong>en</strong>ir <strong>de</strong>s informations difficilem<strong>en</strong>t accessibles parl’expéri<strong>en</strong>ce. Elles perm<strong>et</strong>t<strong>en</strong>t d’avoir accès à la structure locale <strong>de</strong> l’écoulem<strong>en</strong>t <strong>et</strong> contribu<strong>en</strong>tainsi à une meilleure compréh<strong>en</strong>sion <strong>de</strong>s phénomènes à la p<strong>et</strong>ite échelle. <strong>Les</strong> outils <strong>de</strong> simulationnumérique directe sont ainsi <strong>de</strong> plus <strong>en</strong> plus utilisés pour v<strong>en</strong>ir r<strong>en</strong>seigner les outils <strong>de</strong> simulationaux échelles <strong>de</strong> <strong>de</strong>scription supérieures mis <strong>en</strong> oeuvre pour les applications industrielles, par exempleles modèles RANS (Reynolds Averaged Navier-Stokes) pour les problèmes turbul<strong>en</strong>ts ou les modèlesbi-flui<strong>de</strong>s pour les problèmes diphasiques.<strong>Les</strong> difficultés associées aux modèles moy<strong>en</strong>nés sont bi<strong>en</strong> connues <strong>et</strong> concern<strong>en</strong>t non seulem<strong>en</strong>tla ferm<strong>et</strong>ure <strong>de</strong>s différ<strong>en</strong>ts termes macroscopiques, comme les corrélations vitesse-température pourles problèmes turbul<strong>en</strong>ts ou les contributions <strong>de</strong> la force <strong>de</strong> traînée macroscopique pour les problèmesdiphasiques, mais égalem<strong>en</strong>t le problème <strong>de</strong> la construction <strong>de</strong> conditions aux limites macroscopiquesou lois <strong>de</strong> parois. La première problématique a fait l’obj<strong>et</strong> <strong>de</strong> nombreux travaux dansle contexte <strong>de</strong>s écoulem<strong>en</strong>ts turbul<strong>en</strong>ts selon une approche par simulation directe <strong>et</strong> une approchesimilaire comm<strong>en</strong>ce égalem<strong>en</strong>t à être suivie pour les écoulem<strong>en</strong>ts diphasiques. La <strong>de</strong>uxième problématiqueassociée à la construction <strong>de</strong> lois <strong>de</strong> parois a ess<strong>en</strong>tiellem<strong>en</strong>t été abordée pour <strong>de</strong>s problèmesd’écoulem<strong>en</strong>ts turbul<strong>en</strong>ts sur parois lisses ou rugueuses <strong>et</strong> connait un regain d’intérêt d’un point <strong>de</strong>vue théorique pour <strong>de</strong>s problèmes d’écoulem<strong>en</strong>ts laminaires sur <strong>de</strong>s surfaces hétérogènes (rugosités,matériaux composites, ...).Ce travail <strong>de</strong> thèse s’inscrit dans c<strong>et</strong>te problématique générale <strong>de</strong> <strong>de</strong>scription <strong>et</strong> <strong>de</strong> modélisationmulti-échelle <strong>et</strong> se propose <strong>de</strong> contribuer à la <strong>de</strong>scription <strong>de</strong>s échanges <strong>de</strong> masse <strong>et</strong> <strong>de</strong> chaleur <strong>en</strong>treun flui<strong>de</strong> à haute température <strong>et</strong> un béton.Dans la première partie <strong>de</strong> ce chapitre (cf. (I.1)), nous précisons le contexte nucléaire <strong>de</strong> c<strong>et</strong>ravail <strong>de</strong> thèse qui concerne les étu<strong>de</strong>s <strong>de</strong> sûr<strong>et</strong>é m<strong>en</strong>ées sur les accid<strong>en</strong>ts graves <strong>de</strong> réacteur àeau sous pression <strong>et</strong>, plus particulièrem<strong>en</strong>t, la problématique <strong>de</strong> l’interaction corium-béton. Aprèsavoir décrit les principaux phénomènes pot<strong>en</strong>tiellem<strong>en</strong>t mis <strong>en</strong> jeu à l’interface du corium <strong>et</strong> dubéton (cf. (I.2)), nous prés<strong>en</strong>tons dans une troisième partie (cf. (I.3)) une revue bibliographique <strong>de</strong>sprincipaux modèles d’échanges proposés pour les co<strong>de</strong>s d’évaluation réacteur. C<strong>et</strong>te prés<strong>en</strong>tationnous perm<strong>et</strong> d’évoquer les différ<strong>en</strong>tes questions posées par ces modèles ainsi que les limites <strong>et</strong> lesdifficultés actuelles qui justifi<strong>en</strong>t la démarche <strong>en</strong>treprise dans ce travail <strong>de</strong> thèse. Nous prés<strong>en</strong>tons<strong>en</strong>suite (cf. (I.4)) le contexte général dans lequel s’inscrit ce travail qui correspond à une <strong>de</strong>scription<strong>et</strong> une modélisation multi-échelle <strong>de</strong>s échanges, c’est-à-dire <strong>de</strong> l’échelle locale jusqu’à l’échelle duco<strong>de</strong> d’évaluation réacteur. Cela nous perm<strong>et</strong> <strong>de</strong> préciser les <strong>de</strong>ux contributions spécifiques <strong>de</strong> ce1
Chapitre I. <strong>Introduction</strong> général<strong>et</strong>ravail qui concern<strong>en</strong>t, d’une part, la construction <strong>de</strong> conditions aux limites effectives ou lois <strong>de</strong>paroi <strong>et</strong>, d’autre part, la construction d’un outil <strong>de</strong> simulation numérique directe <strong>de</strong> l’écoulem<strong>en</strong>tau voisinage du front d’ablation <strong>en</strong>tre le corium <strong>et</strong> le béton. A c<strong>et</strong> eff<strong>et</strong>, nous prés<strong>en</strong>tons lescaractéristiques <strong>de</strong>s écoulem<strong>en</strong>ts étudiés dans ce travail ainsi que le choix d’une métho<strong>de</strong>. Enfin,nous terminons ce chapitre par les objectifs <strong>de</strong> notre étu<strong>de</strong> (cf. (I.5)).I.1 Problématique du corium hors-cuveCe travail s’inscrit dans le cadre <strong>de</strong>s étu<strong>de</strong>s <strong>et</strong> <strong>de</strong>s analyses <strong>de</strong> sûr<strong>et</strong>é m<strong>en</strong>ées sur les accid<strong>en</strong>tsgraves <strong>de</strong> réacteurs à eau sous pression (REP) actuels ou ceux <strong>de</strong> nouvelle génération <strong>de</strong> typeEPR (European Pressurized Reactor). Un <strong>de</strong>s scénarios possibles est la perte <strong>de</strong> réfrigérant dansbrèche circuit primairecuvecoeurrupture cuvecoriumbétonFig. I.1: Schéma simplifié d’un scénario d’accid<strong>en</strong>t grave aboutissant à l’interaction corium-béton(cas <strong>de</strong>s REP)le circuit primaire prov<strong>en</strong>ant, par exemple, d’une brèche ou du défaut d’une pompe (cf. Fig.I.1).Dans ces conditions, si ri<strong>en</strong> n’est fait, le coeur du réacteur peut être dénoyé <strong>et</strong> la températureaugm<strong>en</strong>te s<strong>en</strong>siblem<strong>en</strong>t <strong>en</strong> raison <strong>de</strong> la puissance résiduelle générée par les réactions <strong>de</strong> fissions<strong>de</strong>s noyaux d’uranium. Dès 1073K, le gainage <strong>en</strong> zirconium (Zr) <strong>de</strong>s crayons <strong>de</strong> combustiblesconstituant le coeur du réacteur est oxydée <strong>en</strong> zircone (ZrO 2 ) par la vapeur d’eau. <strong>Les</strong> partiesnon oxydées comm<strong>en</strong>c<strong>en</strong>t quant à elles à fondre dès 2073K <strong>et</strong> r<strong>en</strong>tr<strong>en</strong>t alors <strong>en</strong> contact avec lecombustible constitué <strong>de</strong> dioxy<strong>de</strong> d’uranium (UO 2 ) pour former un système binaire UO 2 -ZrO 2 .Enfin, le combustible comm<strong>en</strong>ce à fondre aux al<strong>en</strong>tours <strong>de</strong> 3073K. Il se forme alors un mélange <strong>de</strong>matériaux fondus appelé corium constitué principalem<strong>en</strong>t <strong>de</strong> dioxy<strong>de</strong> d’uranium, <strong>de</strong> zircone ainsique <strong>de</strong>s produits <strong>de</strong> fusion <strong>de</strong>s différ<strong>en</strong>tes structures <strong>en</strong> acier dont les principaux constituants sont lechrome (Cr), le nickel (Ni) <strong>et</strong> le fer (Fe). Ce mélange à haute température (∼ 2700K) se relocalisevers le fond <strong>de</strong> cuve <strong>et</strong> peut <strong>en</strong>traîner plus ou moins rapi<strong>de</strong>m<strong>en</strong>t la percée <strong>de</strong> la cuve par <strong>de</strong>scontraintes thermiques (érosion thermique) <strong>et</strong>/ou mécaniques (e.g. fluage, rupture plastique,...).Dans ces conditions, le corium se relocalise dans le puits <strong>de</strong> cuve <strong>en</strong> béton qui constitue l’une<strong>de</strong>s <strong>de</strong>rnières barrières <strong>de</strong> confinem<strong>en</strong>t du réacteur (cf. Fig.I.1). Le béton se décompose alors <strong>en</strong>produits liqui<strong>de</strong>s (CaO, SiO 2 , Al 2 O, ...) <strong>et</strong> <strong>en</strong> produits gazeux tels que la vapeur d’eau (H 2 O)2
I.2. Phénoménologie<strong>et</strong> le dioxy<strong>de</strong> <strong>de</strong> carbone (CO 2 ). <strong>Les</strong> constituants métalliques du bain <strong>de</strong> corium sont <strong>en</strong>suiteoxydés par le dioxy<strong>de</strong> <strong>de</strong> carbone <strong>et</strong> la vapeur d’eau. Il se produit alors du monoxy<strong>de</strong> <strong>de</strong> carbone(CO) <strong>et</strong> du dihydrogène (H 2 ) qui, suite à leur dégagem<strong>en</strong>t, contribu<strong>en</strong>t au risque <strong>de</strong> pressurisation<strong>de</strong> l’<strong>en</strong>ceinte. La plupart <strong>de</strong> ces réactions d’oxydation étant fortem<strong>en</strong>t exothermiques [138], ellescontribu<strong>en</strong>t donc égalem<strong>en</strong>t à la production <strong>de</strong> chaleur au sein du bain <strong>de</strong> corium.C<strong>et</strong>te étape <strong>de</strong> l’accid<strong>en</strong>t est appelée interaction corium-béton (ICB). Elle constitue l’un <strong>de</strong>s<strong>en</strong>jeux majeurs <strong>de</strong>s analyses <strong>de</strong> sûr<strong>et</strong>é pour les réacteurs à eau sous pression du parc nucléaire actueldu fait <strong>de</strong> la perte <strong>de</strong> confinem<strong>en</strong>t <strong>et</strong> <strong>de</strong>s év<strong>en</strong>tuels rej<strong>et</strong>s dans l’<strong>en</strong>vironnem<strong>en</strong>t qu’<strong>en</strong>traînerait unepercée du radier. Pour les réacteurs <strong>de</strong> nouvelle génération <strong>de</strong> type EPR, la problématique <strong>de</strong>l’interaction corium-béton constitue égalem<strong>en</strong>t un <strong>en</strong>jeu majeur vis-à-vis <strong>de</strong>s rôles du récupérateur<strong>et</strong> <strong>de</strong> la chambre d’étalem<strong>en</strong>t. Ce travail <strong>de</strong> thèse s’inscrit dans ce contexte <strong>et</strong> se propose <strong>de</strong>contribuer à la modélisation <strong>de</strong>s échanges <strong>de</strong> masse <strong>et</strong> <strong>de</strong> chaleur dans le cadre <strong>de</strong> la problématique<strong>de</strong> l’interaction corium-béton.I.2 PhénoménologieL’interaction corium-béton se caractérise dans un premier temps par une étape transitoire associéeau déversem<strong>en</strong>t <strong>et</strong> à l’impact <strong>de</strong> j<strong>et</strong>s <strong>de</strong> corium sur le béton (e.g. choc thermique, phénomène <strong>de</strong>spallation [55], ...) qui peuv<strong>en</strong>t altérer significativem<strong>en</strong>t la structure interne <strong>et</strong> externe du béton<strong>en</strong> provoquant la formation <strong>de</strong> fissures <strong>et</strong>/ou <strong>de</strong> fractures [66]. Dans ce travail, nous n’apportonspas <strong>de</strong> contribution à l’étu<strong>de</strong> <strong>de</strong> ces phénomènes transitoires mais nous nous intéressons plus particulièrem<strong>en</strong>tà l’interaction proprem<strong>en</strong>t dite après le déversem<strong>en</strong>t total du corium sur le béton.Dans ce cas, on a l’habitu<strong>de</strong> <strong>de</strong> distinguer <strong>de</strong>ux configurations du bain <strong>de</strong> corium (cf. Fig.I.2) :une configuration dite homogène où le bain <strong>de</strong> corium est supposé être “macroscopiquem<strong>en</strong>t” bi<strong>en</strong>mélangé par les gaz <strong>de</strong> décomposition du béton <strong>et</strong> une configuration dite stratifiée où il est communém<strong>en</strong>tadmis que les principaux constituants du corium se sépar<strong>en</strong>t selon <strong>de</strong>ux phases, l’unemajoritairem<strong>en</strong>t oxy<strong>de</strong> <strong>et</strong> l’autre majoritairem<strong>en</strong>t métallique.mélange homogènephase oxy<strong>de</strong>phase métalliqueradier <strong>en</strong> bétonradier <strong>en</strong> béton(a) configuration homogène(b) configuration stratifiéeFig. I.2: Configurations <strong>en</strong>visagées pour le bain <strong>de</strong> corium lors <strong>de</strong> l’interaction corium-béton.Dans le cadre <strong>de</strong> ce travail, on s’intéresse à la phase associée à une configuration dite homogènedu bain <strong>de</strong> corium <strong>et</strong> on r<strong>en</strong>voie le lecteur intéressé aux travaux <strong>de</strong> Lapuerta [106] pour une étu<strong>de</strong> <strong>de</strong>séchanges <strong>en</strong>tre les <strong>de</strong>ux couches d’une configuration stratifiée. Même dans c<strong>et</strong>te configuration, ons’att<strong>en</strong>d à <strong>de</strong>s comportem<strong>en</strong>ts différ<strong>en</strong>ts <strong>en</strong> fonction du type <strong>de</strong> béton mis <strong>en</strong> jeu lors <strong>de</strong> l’interaction.Il existe <strong>en</strong> eff<strong>et</strong> plusieurs types <strong>de</strong> béton <strong>et</strong> leur comportem<strong>en</strong>t à haute température dép<strong>en</strong><strong>de</strong>ss<strong>en</strong>tiellem<strong>en</strong>t <strong>de</strong> la nature <strong>de</strong>s agrégats minéraux qui les compos<strong>en</strong>t.Le béton est un matériau composite principalem<strong>en</strong>t constitué d’agrégats minéraux (e.g. la siliceSiO 2 , le calcaire CaCO 3 , ...) liés <strong>en</strong>tre eux hydrauliquem<strong>en</strong>t par une matrice <strong>de</strong> pâte <strong>de</strong> cim<strong>en</strong>t3
Chapitre I. <strong>Introduction</strong> généraledurcie (i.e. le mortier). C<strong>et</strong>te pâte hautem<strong>en</strong>t poreuse est principalem<strong>en</strong>t composée d’alumine(Al 2 O 3 ), d’hématite (Fe 2 O 3 ), <strong>et</strong> <strong>de</strong> chaux vive (CaO), <strong>et</strong> nécessite une gran<strong>de</strong> quantité d’eau,appelée eau <strong>de</strong> gâchage, pour lier les agrégats <strong>en</strong>tre eux. On distingue alors <strong>de</strong>ux types d’eau :l’eau liée chimiquem<strong>en</strong>t <strong>et</strong> l’eau évaporable. C<strong>et</strong>te <strong>de</strong>rnière est r<strong>et</strong><strong>en</strong>ue mécaniquem<strong>en</strong>t <strong>en</strong>tre lesagrégats ou dans le cim<strong>en</strong>t tandis que la quantité d’eau liée est déduite <strong>de</strong> la différ<strong>en</strong>ce <strong>en</strong>tre l’eau<strong>de</strong> gâchage (i.e. l’apport initial) <strong>et</strong> l’eau évaporable. Généralem<strong>en</strong>t, la proportion <strong>en</strong> eau dansle cim<strong>en</strong>t est <strong>de</strong> 70% d’eau libre <strong>et</strong> 30% d’eau liée [36]. <strong>Les</strong> bétons utilisés dans la conception<strong>de</strong>s radiers <strong>de</strong>s REP du parc nucléaire Français actuel peuv<strong>en</strong>t être classés <strong>en</strong> trois principalescatégories :1. les bétons <strong>de</strong> type siliceux : majoritairem<strong>en</strong>t riche <strong>en</strong> agrégats <strong>de</strong> silice (SiO 2 ),2. les bétons <strong>de</strong> type calcaire : majoritairem<strong>en</strong>t riche <strong>en</strong> agrégats <strong>de</strong> calcaire (CaCO 3 ),3. les bétons <strong>de</strong> type silico-calcaire : cont<strong>en</strong>ant à la fois <strong>de</strong>s agrégats <strong>de</strong> silice <strong>et</strong> <strong>de</strong> calcaire.Pour les réacteurs <strong>de</strong> nouvelle génération <strong>de</strong> type EPR, le béton utilisé pour la conception durécupérateur <strong>de</strong> corium est un béton sacrificiel <strong>de</strong> type silico-calcaire dans lequel les agrégats <strong>de</strong>calcaire ont été remplacés par <strong>de</strong>s agrégats <strong>de</strong> clinker (i.e. du silicate <strong>de</strong> calcium calciné) [60].Comme nous l’avons évoqué précé<strong>de</strong>mm<strong>en</strong>t, le comportem<strong>en</strong>t <strong>de</strong> ces bétons lors <strong>de</strong> l’interactioncorium-béton dép<strong>en</strong>d ess<strong>en</strong>tiellem<strong>en</strong>t <strong>de</strong>s agrégats qui les compos<strong>en</strong>t, à savoir la silice, le calcaire<strong>et</strong> le clinker. Dans ce travail, même si nous ne nous intéressons pas aux hétérogénéités du béton,existantes ou <strong>en</strong>g<strong>en</strong>drées lors <strong>de</strong> la première phase <strong>de</strong> l’interaction (e.g. fracture, ...), nous trouvonsnéanmoins intéressant <strong>de</strong> prés<strong>en</strong>ter certaines propriétés du béton lorsqu’il est soumis à <strong>de</strong> hautestempératures. Cela nous perm<strong>et</strong>tra <strong>en</strong>suite <strong>de</strong> sou<strong>ligne</strong>r le rôle <strong>de</strong>s différ<strong>en</strong>ts agrégats au cours<strong>de</strong> l’interaction corium-béton. Lorsqu’un béton est soumis à <strong>de</strong> hautes températures, on distingueprincipalem<strong>en</strong>t les étapes suivantes [13] :∼ 373K : évaporation <strong>de</strong> l’eau libre cont<strong>en</strong>ue dans le cim<strong>en</strong>t <strong>et</strong> les agrégats∼ 453K : déshydratation du cim<strong>en</strong>t∼ 773K : décomposition <strong>de</strong>s hydrates <strong>de</strong> calciumCa(OH) 2 → CaO + H 2 O∼ 973K − 1173K : réaction <strong>de</strong> décarbonatation <strong>de</strong>s agrégats <strong>de</strong> calcaireCaCO 3 → CaO + CO 2∼ 1423K − 1473K : début <strong>de</strong> la fusion du cim<strong>en</strong>t <strong>et</strong> <strong>de</strong>s agrégats <strong>de</strong> calcaire∼ 1973K : début <strong>de</strong> la fusion <strong>de</strong>s agrégats <strong>de</strong> siliceLa décomposition du béton <strong>en</strong>traîne donc le relâchem<strong>en</strong>t d’espèces gazeuses telles que la vapeurd’eau <strong>et</strong> le dioxy<strong>de</strong> <strong>de</strong> carbone issues respectivem<strong>en</strong>t <strong>de</strong>s différ<strong>en</strong>tes étapes <strong>de</strong> déshydratation <strong>de</strong> lamatrice <strong>de</strong> cim<strong>en</strong>t <strong>et</strong> <strong>de</strong> la réaction <strong>de</strong> décarbonatation <strong>de</strong>s agrégats <strong>de</strong> calcaires. <strong>Les</strong> bétons <strong>de</strong> typescalcaire ou silico-calcaire sont plus riches <strong>en</strong> carbonates que les bétons siliceux. Par conséqu<strong>en</strong>t,lors <strong>de</strong> l’interaction corium-béton, ils vont relâcher une quantité n<strong>et</strong>tem<strong>en</strong>t plus importante <strong>de</strong>dioxy<strong>de</strong> <strong>de</strong> carbone. En outre, comme le clinker ne conti<strong>en</strong>t pas <strong>de</strong> carbonates, le béton sacrificielutilisé dans la conception du récupérateur d’EPR relâche beaucoup moins <strong>de</strong> dioxy<strong>de</strong> <strong>de</strong> carboneque les bétons <strong>de</strong> type calcaire ou silico-calcaire <strong>et</strong> se rapproche ainsi sur ce point <strong>de</strong>s bétons d<strong>et</strong>ype siliceux. On rappelle égalem<strong>en</strong>t que l’étape transitoire associée au déversem<strong>en</strong>t du coriumest susceptible <strong>de</strong> générer un réseau <strong>de</strong> fractures au sein du béton qui constitue alors <strong>de</strong>s cheminspréfér<strong>en</strong>tiels pour les gaz <strong>de</strong> décomposition. Ainsi, la distribution <strong>de</strong>s sites <strong>de</strong> relâchem<strong>en</strong>t <strong>de</strong> gaz4
I.3. Description <strong>de</strong>s échanges à l’interface du corium <strong>et</strong> du bétondép<strong>en</strong>d non seulem<strong>en</strong>t du type <strong>de</strong> béton mais aussi <strong>de</strong>s fractures naturelles ou induites par la phase<strong>de</strong> déversem<strong>en</strong>t.L’érosion thermique du béton provoque égalem<strong>en</strong>t sa décomposition <strong>en</strong> produits liqui<strong>de</strong>s (CaO,SiO 2 , Al 2 O, ...) miscibles avec les oxy<strong>de</strong>s constituant le corium. Le mélange <strong>de</strong> béton fondu étantmoins d<strong>en</strong>se que le corium, celui-ci peut être éjecté partiellem<strong>en</strong>t ou totalem<strong>en</strong>t dans le bain <strong>de</strong> coriumsous l’eff<strong>et</strong> <strong>de</strong>s forces <strong>de</strong> flottaison (instabilités <strong>de</strong> Rayleigh-Taylor). <strong>Les</strong> structures convectivesassociées contribu<strong>en</strong>t ainsi au mélange compositionnel <strong>en</strong>tre le corium <strong>et</strong> le béton. <strong>Les</strong> agrégats <strong>de</strong>silice sont susceptibles <strong>de</strong> jouer un rôle important sur les caractéristiques <strong>de</strong> mélange. En eff<strong>et</strong>, latempérature <strong>de</strong>s agrégats <strong>de</strong> silice étant bi<strong>en</strong> supérieure à celle du mortier, ceux-ci peuv<strong>en</strong>t év<strong>en</strong>tuellem<strong>en</strong>têtre éjectés (ablation mécanique) [94] <strong>et</strong> contribuer à une augm<strong>en</strong>tation <strong>de</strong> la viscositédans le bain (eff<strong>et</strong> <strong>de</strong> la silice) ainsi qu’au voisinage du front d’ablation (eff<strong>et</strong> <strong>de</strong>s particules soli<strong>de</strong>s).Dans le cas contraire, <strong>en</strong> l’abs<strong>en</strong>ce d’ablation mécanique, les agrégats <strong>de</strong> silice fondus ontpour eff<strong>et</strong> d’augm<strong>en</strong>ter fortem<strong>en</strong>t la viscosité au voisinage du front d’ablation. D’autres mécanismessont susceptibles d’altérer le mélange compositionnel associé aux instabilités <strong>de</strong> Rayleigh-Taylor<strong>et</strong> la structure <strong>de</strong> la couche limite au voisinage du front d’ablation. Le relâchem<strong>en</strong>t <strong>de</strong>s gaz <strong>de</strong>décomposition du béton peut par exemple conduire à la formation d’un film <strong>de</strong> gaz <strong>en</strong>tre le bétonfondu <strong>et</strong> le béton dégradé mais aussi provoquer l’<strong>en</strong>traînem<strong>en</strong>t partiel ou total du béton fondudans le corium <strong>et</strong> donc contribuer au mélange compositionnel <strong>en</strong>tre le corium <strong>et</strong> le béton. Enfin, laprés<strong>en</strong>ce <strong>de</strong> zones pâteuses ou <strong>de</strong> croûtes, principalem<strong>en</strong>t dues au caractère réfractaire du corium,peut égalem<strong>en</strong>t v<strong>en</strong>ir modifier les structures d’écoulem<strong>en</strong>t au voisinage du front d’ablation. Lediagramme <strong>de</strong> phase associé au pseudo-binaire corium-béton prés<strong>en</strong>té sur la figure (I.3) montre <strong>de</strong>sdiffér<strong>en</strong>ces importantes <strong>en</strong>tre les températures <strong>de</strong> liquidus <strong>et</strong> <strong>de</strong> solidus, ce qui suggère effectivem<strong>en</strong>tla prés<strong>en</strong>ce <strong>de</strong> zones pâteuses au voisinage du front d’ablation. Signalons ici que le mélangeconstitué par les différ<strong>en</strong>tes espèces constituant le corium <strong>et</strong> les produits <strong>de</strong> décomposition liqui<strong>de</strong>sdu béton est communém<strong>en</strong>t assimilé à un pseudo-binaire, c’est-à-dire à un mélange <strong>de</strong> <strong>de</strong>ux “corpspurs” correspondant ici au corium <strong>et</strong> au béton, pour sa caractérisation thermodynamique [40] <strong>et</strong>les applications réacteurs.I.3 Description <strong>de</strong>s échanges à l’interface du corium <strong>et</strong> du béton<strong>Les</strong> outils numériques utilisés dans la gestion <strong>de</strong> crise perm<strong>et</strong>tant, d’une part, <strong>de</strong> simuler la phénoménologie<strong>de</strong> l’interaction corium-béton <strong>et</strong>, d’autre part, d’estimer le temps <strong>de</strong> percem<strong>en</strong>t duradier sont <strong>de</strong>s co<strong>de</strong>s à zones. On cite <strong>en</strong> particulier le co<strong>de</strong> d’évaluation réacteur MEDICIS (Mo<strong>de</strong>lof Erosion Due to Interaction of CorIum with basemat Substrate) [42] qui est le module dédié àl’ICB du co<strong>de</strong> ASTEC (Accid<strong>en</strong>t Source Term Evaluation Co<strong>de</strong>) [147] développé par l’IRSN <strong>et</strong> sonhomologue allemand GRS (Gesellschaft für Anlag<strong>en</strong>- und Reaktorsicherheit mbH). De tels outilsnumériques sont basés sur une <strong>de</strong>scription à gran<strong>de</strong> échelle <strong>de</strong>s échanges <strong>de</strong> masse <strong>et</strong> <strong>de</strong> chaleuravec <strong>de</strong>ux types <strong>de</strong> configuration du bain <strong>de</strong> corium (cf. Fig.I.2) : d’une part une configurationdite homogène dans laquelle le bain est assimilé à un mélange principalem<strong>en</strong>t constitué d’oxy<strong>de</strong><strong>et</strong>, d’autre part, une configuration dite stratifiée avec une couche oxy<strong>de</strong> <strong>et</strong> une couche métallique.Comme nous l’avons précisé précé<strong>de</strong>mm<strong>en</strong>t, on s’intéresse dans ce travail à la phase“bi<strong>en</strong> mélangée”<strong>et</strong> donc à la modélisation <strong>de</strong>s échanges <strong>en</strong>tre ce mélange <strong>et</strong> le béton.Le flux <strong>de</strong> chaleur à l’interface du corium <strong>et</strong> du béton q est généralem<strong>en</strong>t calculé par l’expressionsuivante [142]q = h (T c − T i )(I.1)où T c <strong>et</strong> T i désign<strong>en</strong>t respectivem<strong>en</strong>t la température moy<strong>en</strong>ne du bain <strong>de</strong> corium <strong>et</strong> une températuremoy<strong>en</strong>ne d’interface. Selon les modèles, T i peut être assimilée à la température <strong>de</strong> liquidus dupseudo-binaire corium-béton (e.g. [136]), à une température <strong>de</strong> décomposition du béton (e.g. [27])ou <strong>en</strong>core à une température intermédiaire <strong>en</strong>tre la température <strong>de</strong> solidus <strong>et</strong> <strong>de</strong> liquidus (e.g. [42]).5
Chapitre I. <strong>Introduction</strong> généraleFig. I.3: Diagramme <strong>de</strong> phases pseudo-binaires pour les mélanges UO 2 -ZrO 2 -béton (calcaire (cf.limestone), siliceux (cf. siliceous), silico-calcaire (cf. limestone-sand)) [129].C<strong>et</strong>te température d’interface est donc un paramètre <strong>de</strong> modélisation dont la définition dép<strong>en</strong>dprincipalem<strong>en</strong>t d’une représ<strong>en</strong>tation à priori connue <strong>de</strong> l’interface <strong>en</strong>tre le corium <strong>et</strong> le béton. Dans(I.1), h désigne un coeffici<strong>en</strong>t <strong>de</strong> transfert <strong>de</strong> chaleur à l’échelle du co<strong>de</strong> d’évaluation réacteur pourlequel <strong>de</strong> nombreux modèles ont été proposés.Devant la complexité <strong>et</strong> le couplage <strong>de</strong>s phénomènes pot<strong>en</strong>tiellem<strong>en</strong>t mis <strong>en</strong> jeu au voisinage dufront d’ablation, la démarche habituellem<strong>en</strong>t r<strong>et</strong><strong>en</strong>ue pour la modélisation <strong>de</strong>s échanges consistedans un premier temps à décrire les échanges associés à une partie <strong>de</strong>s phénomènes, principalem<strong>en</strong>tles échanges associés au dégazage du béton <strong>et</strong> ceux associés aux eff<strong>et</strong>s compositionnels. <strong>Les</strong> modèlesd’échange <strong>de</strong>s co<strong>de</strong>s d’évaluation réacteur sont <strong>en</strong>suite construits sur la base d’une structure a prioriconnue <strong>de</strong> la couche limite à l’échelle du front d’ablation <strong>en</strong> privilégiant un phénomène particulierou <strong>en</strong> t<strong>en</strong>tant d’intégrer l’<strong>en</strong>semble <strong>de</strong>s phénomènes.<strong>Les</strong> modèles d’échange sont prés<strong>en</strong>tés selon c<strong>et</strong>te démarche <strong>et</strong> nous comm<strong>en</strong>çons par rappelerles principaux modèles proposés visant à décrire les échanges associés à une partie <strong>de</strong>s phénomènespot<strong>en</strong>tiellem<strong>en</strong>t mis <strong>en</strong> jeu. <strong>Les</strong> phénomènes considérés sont, d’une part, les échanges convectifsassociés au dégazage du béton pour lesquels il existe une littérature abondante <strong>en</strong> raison <strong>de</strong>s nombreusesproblématiques associées à l’ébullition nucléée <strong>et</strong>, d’autre part, les échanges associés à laconvection compositionnelle pour lesquels la littérature est principalem<strong>en</strong>t issue <strong>de</strong>s travaux m<strong>en</strong>és<strong>en</strong> volcanologie. Nous prés<strong>en</strong>tons <strong>en</strong>suite les modèles d’échange dits globaux t<strong>en</strong>tant d’intégrer l’<strong>en</strong>semble<strong>de</strong>s phénomènes <strong>et</strong> qui, <strong>en</strong> pratique, sont ceux utilisés dans les co<strong>de</strong>s d’évaluation réacteur.Enfin, nous terminons c<strong>et</strong>te partie par une discussion sur les questions posées par ces différ<strong>en</strong>tsmodèles.6
I.3. Description <strong>de</strong>s échanges à l’interface du corium <strong>et</strong> du bétonI.3.1 Modèles d’échange associés au dégazageNous avons vu précé<strong>de</strong>mm<strong>en</strong>t qu’au cours <strong>de</strong> l’interaction corium-béton la décomposition du bétonprovoquait un important dégagem<strong>en</strong>t gazeux au voisinage <strong>de</strong> l’interface.De nombreux travaux expérim<strong>en</strong>taux simulant ce phénomène ont été réalisés pour étudier l<strong>et</strong>ransfert <strong>de</strong> chaleur <strong>en</strong>tre un liqui<strong>de</strong> à haute température <strong>et</strong> une plaque poreuse (ou percolée)traversée par du gaz. On cite par exemple les travaux <strong>de</strong> Kutateladze [103], Kutateladze <strong>et</strong> Mal<strong>en</strong>kov[104], Duignan & al. [49] ou <strong>en</strong>core ceux <strong>de</strong> Bonn<strong>et</strong> réalisés dans le cadre du programmeexpérim<strong>en</strong>tal BALI [19]. Dans ces expéri<strong>en</strong>ces, <strong>de</strong> nombreux paramètres ont été étudiés commepar exemple la viscosité du liqui<strong>de</strong> <strong>et</strong> la vitesse superficielle du gaz. <strong>Les</strong> principaux résultats <strong>de</strong>ces travaux montr<strong>en</strong>t qu’une augm<strong>en</strong>tation <strong>de</strong> la viscosité du liqui<strong>de</strong> <strong>en</strong>traîne une diminution ducoeffici<strong>en</strong>t <strong>de</strong> transfert <strong>de</strong> chaleur tandis que ce <strong>de</strong>rnier augm<strong>en</strong>te lorsque la vitesse superficielledu gaz augm<strong>en</strong>te. Certains auteurs (e.g. [54] pour une revue) ont établi notamm<strong>en</strong>t sur la base <strong>de</strong>résultats expérim<strong>en</strong>taux <strong>de</strong>s corrélations reliant le nombre <strong>de</strong> Nusselt Nu (i.e. version adim<strong>en</strong>sionnéedu coeffici<strong>en</strong>t <strong>de</strong> transfert <strong>de</strong> chaleur) à d’autres nombres sans dim<strong>en</strong>sion tels que le nombre<strong>de</strong> Prandtl Pr, le nombre <strong>de</strong> Reynolds Re ou <strong>en</strong>core le nombre <strong>de</strong> Frou<strong>de</strong> Fr. Cep<strong>en</strong>dant, commele sou<strong>ligne</strong> Tourniaire [142], l’extrapolation <strong>de</strong> ces corrélations aux cas réacteurs caractérisés par<strong>de</strong>s flui<strong>de</strong>s <strong>de</strong> fortes viscosité reste à démontrer.D’autres auteurs ont construit <strong>de</strong>s modèles d’échanges <strong>de</strong> chaleur dits à interface r<strong>en</strong>ouvelable(ou “surface r<strong>en</strong>ewal mo<strong>de</strong>ls” pour la terminologie anglo-saxonne). Ces modèles suppos<strong>en</strong>t que l<strong>et</strong>ransfert <strong>de</strong> chaleur est principalem<strong>en</strong>t contrôlé par l’agitation locale <strong>de</strong>s bulles qui vi<strong>en</strong>n<strong>en</strong>t périodiquem<strong>en</strong>tperturber l’interface liqui<strong>de</strong>-soli<strong>de</strong> (e.g. corium-béton soli<strong>de</strong>) <strong>et</strong> ainsi m<strong>et</strong>tre <strong>en</strong> contactle soli<strong>de</strong> froid avec le liqui<strong>de</strong> chaud p<strong>en</strong>dant un certain temps τ appelé temps <strong>de</strong> r<strong>en</strong>ouvellem<strong>en</strong>td’interface. Lors <strong>de</strong> chaque contact, un phénomène <strong>de</strong> diffusion <strong>de</strong> chaleur transitoire pr<strong>en</strong>d place àl’interface du liqui<strong>de</strong> <strong>et</strong> du soli<strong>de</strong>. Ce phénomène peut être décrit par un problème instationnaire <strong>de</strong>diffusion <strong>de</strong> chaleur pour un système diphasique stratifié (e.g. [142]). La résolution <strong>de</strong> ce problème(e.g. [34]) perm<strong>et</strong> <strong>de</strong> déterminer le flux <strong>de</strong> chaleur moy<strong>en</strong> à l’interface liqui<strong>de</strong>-soli<strong>de</strong> q au cours <strong>de</strong>chaque contact. Il s’écrit <strong>en</strong> eff<strong>et</strong>q = h (T l − T i )(I.2)où T l , T i <strong>et</strong> h désign<strong>en</strong>t respectivem<strong>en</strong>t la température du liqui<strong>de</strong> chaud, la température d’interface<strong>en</strong>tre le liqui<strong>de</strong> <strong>et</strong> le soli<strong>de</strong>, <strong>et</strong> le coeffici<strong>en</strong>t <strong>de</strong> transfert <strong>de</strong> chaleur. Ce <strong>de</strong>rnier est défini <strong>en</strong> fonctiondu temps caractéristique <strong>de</strong> r<strong>en</strong>ouvellem<strong>en</strong>t d’interface τ sous la formeh = 2 β l√ τπ(I.3)où β l désigne l’effusivité thermique du béton. Toute la difficulté rési<strong>de</strong> alors dans la détermination<strong>de</strong> ce temps caractéristique τ. Une estimation standard <strong>de</strong> ce temps caractéristique est donnée par lerapport <strong>en</strong>tre le diamètre <strong>de</strong> bulle d b <strong>et</strong> la vitesse superficielle du gaz j g (e.g. [142]). C<strong>et</strong>te approchedim<strong>en</strong>sionnelle du temps <strong>de</strong> r<strong>en</strong>ouvellem<strong>en</strong>t d’interface reste intuitive mais certains auteurs ontt<strong>en</strong>té d’<strong>en</strong>richir c<strong>et</strong>te approche avec <strong>de</strong>s hypothèses sur les propriétés physiques du mécanisme <strong>de</strong>perturbation <strong>de</strong> l’interface. A c<strong>et</strong> eff<strong>et</strong> <strong>et</strong> pour illustrer nos propos, on se propose ici <strong>de</strong> clore c<strong>et</strong>tepremière partie <strong>en</strong> prés<strong>en</strong>tant les modèles <strong>de</strong> Deckwert [47] <strong>et</strong> <strong>de</strong> Lee & al. [109] qui sont baséssur une hypothèse similaire <strong>de</strong> perturbation <strong>de</strong> l’interface due au bullage <strong>et</strong> qui conduis<strong>en</strong>t à <strong>de</strong>uxestimations différ<strong>en</strong>tes du temps <strong>de</strong> r<strong>en</strong>ouvellem<strong>en</strong>t d’interface. Signalons que bi<strong>en</strong> que le modèle<strong>de</strong> Deckwert ait été initialem<strong>en</strong>t introduit pour la détermination d’un coeffici<strong>en</strong>t <strong>de</strong> transfert <strong>de</strong>chaleur <strong>en</strong>tre une paroi imperméable <strong>et</strong> un bain à bulles, ce modèle est égalem<strong>en</strong>t appliqué dansle cas <strong>de</strong> plaques poreuses traversées par du gaz [142].7
Chapitre I. <strong>Introduction</strong> généraleModèle <strong>de</strong> Deckwert [47]Dans le cadre d’une étu<strong>de</strong> du mécanisme <strong>de</strong> transfert <strong>de</strong> chaleur dans une colonne à bulles, Deckwertconsidère que <strong>de</strong>s tourbillons circul<strong>en</strong>t du volume <strong>de</strong> flui<strong>de</strong> à la paroi <strong>et</strong> réciproquem<strong>en</strong>t.L’agitation <strong>de</strong>s bulles <strong>en</strong>tre le bain <strong>de</strong> liqui<strong>de</strong> <strong>et</strong> une paroi suggère un processus <strong>de</strong> diffusion pour l<strong>et</strong>ransfert <strong>de</strong> chaleur. Son étu<strong>de</strong> du coeffici<strong>en</strong>t <strong>de</strong> transfert <strong>de</strong> chaleur est égalem<strong>en</strong>t basée sur la résolutiond’un problème instationnaire <strong>de</strong> diffusion <strong>de</strong> chaleur pour un système diphasique stratifié.Il détermine ainsi le flux <strong>de</strong> chaleur moy<strong>en</strong> <strong>en</strong> fonction d’un temps caractéristique τ qui dans ce cascorrespond au temps <strong>de</strong> contact <strong>de</strong>s tourbillons avec la paroi. Deckwert propose alors d’utiliser lathéorie <strong>de</strong> la turbul<strong>en</strong>ce isotrope <strong>de</strong> Kolmogorov pour estimer τ. Dans un écoulem<strong>en</strong>t turbul<strong>en</strong>t, <strong>de</strong>grands tourbillons résultants <strong>de</strong> perturbations sont formés <strong>et</strong> conti<strong>en</strong>n<strong>en</strong>t la majorité <strong>de</strong> l’énergie.Toutefois, ils ne contribu<strong>en</strong>t pas à la dissipation d’énergie visqueuse ε. C<strong>et</strong>te dissipation est effectuéepar les p<strong>et</strong>its tourbillons générés par le mouvem<strong>en</strong>t <strong>de</strong>s grands tourbillons. Deux gran<strong>de</strong>urscaractéristiques dép<strong>en</strong>dant uniquem<strong>en</strong>t <strong>de</strong> la viscosité cinématique η <strong>et</strong> <strong>de</strong> la dissipation d’énergievisqueuse ε sont corrélées à ces p<strong>et</strong>its tourbillons :1. la longueur caractéristique <strong>de</strong>s p<strong>et</strong>its tourbillons λ,( η3λ =ε)14(I.4)2. la vitesse caractéristique <strong>de</strong>s p<strong>et</strong>its tourbillons,v = (ηε) 1 4(I.5)Deckwert suggère que le bullage considéré dans son étu<strong>de</strong> créée <strong>de</strong>s p<strong>et</strong>its tourbillons s’impactantsur la paroi. Sous c<strong>et</strong>te hypothèse, il estime que le temps <strong>de</strong> contact <strong>de</strong>s particules flui<strong>de</strong>s avec laparoi est donné parτ = λ v(I.6)De c<strong>et</strong>te manière, le coeffici<strong>en</strong>t <strong>de</strong> transfert <strong>de</strong> chaleur h est définie <strong>en</strong> fonction <strong>de</strong> l’énergie <strong>de</strong>dissipation visqueuse. C<strong>et</strong>te <strong>de</strong>rnière inconnue est estimée par Deckwert comme étant le produit<strong>de</strong> la vitesse superficielle du gaz j g <strong>et</strong> <strong>de</strong> l’accélération gravitationnelle g.Modèle <strong>de</strong> Lee & al. [109]Lee & al. développ<strong>en</strong>t un modèle à interface r<strong>en</strong>ouvelable <strong>en</strong>tre le béton <strong>et</strong> un bain <strong>de</strong> corium.Ce modèle suggère que l’interface <strong>en</strong>tre le corium <strong>et</strong> le béton est perturbée par le passage d’unebulle <strong>de</strong> gaz qui détruit le gradi<strong>en</strong>t <strong>de</strong> température <strong>en</strong>tre les <strong>de</strong>ux phases (i.e. corium-béton soli<strong>de</strong>).Après le passage <strong>de</strong> c<strong>et</strong>te bulle, il existe un temps <strong>de</strong> contact <strong>en</strong>tre le bain <strong>de</strong> corium <strong>et</strong> le béton.Le temps caractéristique τ dans le modèle <strong>de</strong> Lee & al. est défini comme le temps existant <strong>en</strong>trele passage <strong>de</strong> <strong>de</strong>ux bulles successives. Afin d’estimer ce temps caractéristique, Lee & al. font leshypothèses suivantes :1. la pério<strong>de</strong> <strong>en</strong>tre chaque passage <strong>de</strong> bulle peut être id<strong>en</strong>tifiée comme étant le temps <strong>de</strong> contact<strong>de</strong> la bulle avec la surface <strong>en</strong> béton (i.e. le temps <strong>de</strong> détachem<strong>en</strong>t)2. le taux <strong>de</strong> croissance d’une bulle est proportionnel au produit <strong>de</strong> la vitesse superficielle dugaz j g <strong>et</strong> d’une surface d’une section <strong>de</strong> béton donnée comme étant le carré <strong>de</strong> la constante<strong>de</strong> Laplace A,3. le rayon <strong>de</strong> départ <strong>de</strong> la bulle est donné par un équilibre <strong>en</strong>tre les forces <strong>de</strong> flottaison <strong>et</strong> d<strong>et</strong><strong>en</strong>sion <strong>de</strong> surface,8
I.3. Description <strong>de</strong>s échanges à l’interface du corium <strong>et</strong> du béton4. la vitesse superficielle du gaz j g est reliée au flux <strong>de</strong> chaleur moy<strong>en</strong> q par la relation̺gLj g = q = h (T corium − T f )(I.7)où ̺g, L <strong>et</strong> T f désign<strong>en</strong>t respectivem<strong>en</strong>t la masse volumique du gaz, la chaleur effective <strong>de</strong>fusion du béton incluant la chaleur lat<strong>en</strong>te du béton soli<strong>de</strong> <strong>et</strong> la température <strong>de</strong> fusion dubéton.Sous ces hypothèses, la forme du temps caractéristique proposée par Lee & al. est donnée parτ ∼ A̺gLq(I.8)<strong>Les</strong> <strong>de</strong>rniers modèles d’échanges <strong>de</strong> chaleur prés<strong>en</strong>tés dans c<strong>et</strong>te partie sont basés sur un conceptd’interface r<strong>en</strong>ouvelable faisant l’hypothèse d’une perturbation périodique <strong>de</strong> l’interface liqui<strong>de</strong>soli<strong>de</strong>par le bullage. C<strong>et</strong>te approche s’applique <strong>de</strong> manière plus générale à d’autres types <strong>de</strong>systèmes multiphasiques <strong>et</strong>/ou multiconstituants pour lesquels le r<strong>en</strong>ouvellem<strong>en</strong>t d’interface estrégi par <strong>de</strong>s perturbations autres que le bullage. A titre d’exemple, nous pourrons voir dans laprochaine partie que, pour un système compositionnel liqui<strong>de</strong>-liqui<strong>de</strong> hydrodynamiquem<strong>en</strong>t instable,une instabilité <strong>de</strong> Rayleigh-Taylor peut être considérée comme la perturbation régissantle r<strong>en</strong>ouvellem<strong>en</strong>t d’interface. Nous verrons <strong>en</strong> outre dans la <strong>de</strong>rnière partie <strong>de</strong> c<strong>et</strong>te section quecertains modèles d’échanges globaux peuv<strong>en</strong>t égalem<strong>en</strong>t être assimilés à <strong>de</strong>s modèles à interfacer<strong>en</strong>ouvelable.I.3.2 Modèles d’échange associés à la convection compositionnelleL’érosion thermique du béton lors <strong>de</strong> l’interaction corium-béton <strong>en</strong>traîne la décomposition du bétonnon seulem<strong>en</strong>t <strong>en</strong> produits gazeux mais aussi <strong>en</strong> produits liqui<strong>de</strong>s (ou béton fondu) prés<strong>en</strong>tant laparticularité d’être totalem<strong>en</strong>t miscibles avec les espèces oxy<strong>de</strong> constituant le corium. Commele sou<strong>ligne</strong> Epstein [53], du fait <strong>de</strong> l’abs<strong>en</strong>ce d’eff<strong>et</strong>s capillaires <strong>en</strong>tre le corium <strong>et</strong> le béton, lecontraste <strong>de</strong> d<strong>en</strong>sité existant <strong>en</strong>tre ces <strong>de</strong>ux flui<strong>de</strong>s est suffisant pour produire sous l’eff<strong>et</strong> <strong>de</strong>sforces <strong>de</strong> flottaison un mouvem<strong>en</strong>t <strong>de</strong> convection compositionnelle int<strong>en</strong>se qui peut avoir un impactsignificatif sur la cinétique d’ablation.D’après Epstein [53], une <strong>de</strong>s premières étu<strong>de</strong>s théoriques portant sur le suj<strong>et</strong> a été proposéepar Cheung [39]. Il s’agit d’un modèle pour la vitesse d’ablation ayant été dérivé dans le cadre <strong>de</strong>l’approximation <strong>de</strong> Boussinesq. Epstein sou<strong>ligne</strong> néanmoins que ce modèle n’est valable que pour<strong>de</strong>s nombres <strong>de</strong> Prandtl Pr <strong>de</strong> l’ordre <strong>de</strong> l’unité. Il est donc difficilem<strong>en</strong>t extrapolable au cas <strong>de</strong>l’interaction corium-béton puisque le nombre <strong>de</strong> Prandtl Pr pour le béton est compris <strong>en</strong>tre 10 3<strong>et</strong> 10 4 . Le premier modèle <strong>de</strong> transfert <strong>de</strong> chaleur semble avoir été proposé par Catton [35]. Cemodèle est basé sur l’hypothèse <strong>de</strong> l’exist<strong>en</strong>ce d’une fine couche <strong>de</strong> substrat fondu <strong>en</strong>tre le liqui<strong>de</strong><strong>et</strong> le substrat soli<strong>de</strong> dont le comportem<strong>en</strong>t est régi par un mécanisme d’instabilité <strong>de</strong> Rayleigh-Taylor avec t<strong>en</strong>sion <strong>de</strong> surface nulle. Il prédit non seulem<strong>en</strong>t que le transfert <strong>de</strong> chaleur dép<strong>en</strong>ddu contraste <strong>de</strong> d<strong>en</strong>sité <strong>en</strong>tre le liqui<strong>de</strong> <strong>et</strong> le substrat fondu mais aussi qu’il est indép<strong>en</strong>dant <strong>de</strong> ladiffér<strong>en</strong>ce <strong>de</strong> température <strong>en</strong>tre ces <strong>de</strong>ux mêmes flui<strong>de</strong>s.Dans le domaine <strong>de</strong> la géophysique, on peut citer les travaux <strong>de</strong> Kerr [97] réalisés dans le cadre<strong>de</strong> l’étu<strong>de</strong> du comportem<strong>en</strong>t <strong>de</strong>s magmas basaltiques dans la croûte terrestre <strong>et</strong> repris par Car<strong>en</strong>ini& al. [31, 32] pour l’interprétation <strong>de</strong> certains essais VULCANO. De notre point <strong>de</strong> vue, un <strong>de</strong>sintérêts <strong>de</strong> ce modèle vis-à-vis <strong>de</strong> nos applications réacteur est qu’il ti<strong>en</strong>t compte non seulem<strong>en</strong>tdu contraste <strong>de</strong> d<strong>en</strong>sité mais aussi du contraste <strong>de</strong> viscosité. On se propose ici <strong>de</strong> repr<strong>en</strong>dre <strong>et</strong> <strong>de</strong>prés<strong>en</strong>ter dans ses gran<strong>de</strong>s <strong>ligne</strong>s la dérivation <strong>de</strong> ce modèle.9
Chapitre I. <strong>Introduction</strong> généraleModèle d’échange proposé par Kerr [97]Le système physique considéré consiste <strong>en</strong> un système stratifié avec un liqui<strong>de</strong> chaud <strong>de</strong> compositioninitiale C f qui surplombe un substrat soli<strong>de</strong> <strong>de</strong> composition initiale C s (cf. Fig.I.4). La températureinitiale du soli<strong>de</strong> est notée T s <strong>et</strong> sa température d’ablation T m .liqui<strong>de</strong> chaudcouche limite thermiquesubstrat fondusubstrat soli<strong>de</strong> T mT sT fVC sC fzh Th mFig. I.4: Représ<strong>en</strong>tation schématique <strong>de</strong> l’interface lors <strong>de</strong> l’ablation d’un substrat soli<strong>de</strong> par unliqui<strong>de</strong> à une vitesse constante V : substrat soli<strong>de</strong>, couche <strong>de</strong> substrat fondu d’épaisseur h m , couchelimite thermique d’épaisseur h T , liqui<strong>de</strong> chaud.Pour dériver son modèle, Kerr fait les hypothèses suivantes :1. le volume <strong>de</strong> liqui<strong>de</strong> chaud est suffisamm<strong>en</strong>t important pour que ses propriétés physiquesrest<strong>en</strong>t inchangées,2. le soli<strong>de</strong> est ablaté à une vitesse constante V,3. l’interface <strong>en</strong>tre le soli<strong>de</strong> <strong>et</strong> le substrat fondu est plane,4. les variations <strong>de</strong> température vis-à-vis <strong>de</strong>s d<strong>en</strong>sités du liqui<strong>de</strong> chaud <strong>et</strong> du substrat fondusont négligeables par rapport aux variations <strong>de</strong> composition,5. la diffusion compositionnelle est négligée <strong>de</strong>vant la diffusion thermique (i.e. T f ≫ T m <strong>et</strong> profil<strong>de</strong> composition “sharp” (cf. Fig.I.4)).Comme nous l’avons évoqué précé<strong>de</strong>mm<strong>en</strong>t, l’objectif est <strong>de</strong> déterminer la vitesse d’ablation Vlorsque la décomposition thermique du soli<strong>de</strong> provoque un mouvem<strong>en</strong>t <strong>de</strong> convection compositionnellevigoureux. Cela suppose donc que la d<strong>en</strong>sité du liqui<strong>de</strong> chaud ̺f est n<strong>et</strong>tem<strong>en</strong>t supérieureà celle du substrat fondu ̺m. Dans ces conditions, Kerr précise que l’on peut <strong>en</strong>visager la prés<strong>en</strong>ced’une couche <strong>de</strong> substrat fondu hydrodynamiquem<strong>en</strong>t instable qui croît progressivem<strong>en</strong>t <strong>et</strong>se détache périodiquem<strong>en</strong>t pour contribuer au mouvem<strong>en</strong>t convectif. Pour prédire l’épaisseur h m<strong>de</strong> c<strong>et</strong>te couche <strong>de</strong> substrat fondu avant la déstabilisation, Kerr suppose que le temps <strong>de</strong> croissance<strong>de</strong> c<strong>et</strong>te couche (i.e. h m /V) est comparable au temps <strong>de</strong> croissance expon<strong>en</strong>tielle d’une instabilitégravitationnelle τ. Ce <strong>de</strong>rnier est estimé dans le cadre d’une analyse <strong>de</strong> stabilité linéaire <strong>de</strong> typeRayleigh-Taylor sous la formeτ ∼ P(ηfη m)η mgh m (̺f − ̺m)(I.9)10
I.3. Description <strong>de</strong>s échanges à l’interface du corium <strong>et</strong> du bétonoù g <strong>et</strong> P (η f /η m ) désign<strong>en</strong>t respectivem<strong>en</strong>t l’accélération <strong>de</strong> la pesanteur <strong>et</strong> une certaine fonctionqui dép<strong>en</strong>d du contraste <strong>de</strong> viscosité <strong>en</strong>tre les <strong>de</strong>ux flui<strong>de</strong>s η f /η m <strong>et</strong> qui converge asymptotiquem<strong>en</strong>tvers la valeur 6.222 lorsque η f ≪ η m . Sous ces hypothèses, les estimateurs du temps <strong>de</strong> croissance<strong>de</strong> couche <strong>et</strong> <strong>de</strong> l’épaisseur <strong>de</strong> la couche <strong>de</strong> substrat fondu sont donnés parτ ∼√Pη mgV (̺f − ̺m); h m ∼√P Vη mg (̺f − ̺m)(I.10)Durant la croissance <strong>de</strong> la couche <strong>de</strong> substrat fondu (i.e. au cours du temps τ), un couche limit<strong>et</strong>hermique pr<strong>en</strong>d place juste au <strong>de</strong>ssus <strong>de</strong> la couche <strong>de</strong> substrat fondu dans laquelle la chaleur esttransportée par diffusion (cf. Fig.I.4). L’épaisseur <strong>de</strong> c<strong>et</strong>te couche h T est déterminée à partir <strong>de</strong>l’expression <strong>de</strong> τ sous la forme suivanteh T ∼ √ ( Pηm κ2 fκ f τ ∼gV (̺f − ̺m))14(I.11)où κ f désigne la diffusivité thermique du liqui<strong>de</strong> chaud. La couche <strong>de</strong> substrat fondu <strong>et</strong> la couchelimite thermique sont traitées comme <strong>de</strong>s résistances thermiques <strong>en</strong> séries <strong>et</strong> le flux <strong>de</strong> chaleurprov<strong>en</strong>ant du liqui<strong>de</strong> chaud <strong>et</strong> traversant chacune <strong>de</strong> ces couches est estimé parF 1 ∼1( ) ( ) (T f − T m )hT hm+k f k m(I.12)où k f <strong>et</strong> k m désign<strong>en</strong>t respectivem<strong>en</strong>t les conductivités thermiques du liqui<strong>de</strong> <strong>et</strong> du substrat fondu.Par ailleurs, le flux <strong>de</strong> chaleur nécessaire à l’échauffem<strong>en</strong>t <strong>et</strong> à la fusion du substrat soli<strong>de</strong> s’écritF 2 = ̺sV (L + C ps (T m − T s ))(I.13)où ̺s, C ps <strong>et</strong> L désign<strong>en</strong>t respectivem<strong>en</strong>t la d<strong>en</strong>sité, la chaleur spécifique <strong>et</strong> la chaleur <strong>de</strong> fusion dusoli<strong>de</strong>. Dans le cadre d’une approximation quasi-stationnaire, le flux <strong>de</strong> chaleur se conserve <strong>et</strong> onnotera par la suite F = F 1 = F 2 . Kerr introduit alors le nombre <strong>de</strong> Stefan St défini parSt = ̺s (L + C ps (T m − T s ))̺fC pf (T f − T m )(I.14)où C pf représ<strong>en</strong>te la chaleur spécifique du liqui<strong>de</strong> chaud. A ce niveau, <strong>en</strong> remarquant d’une partque les relations (I.10) <strong>et</strong> (I.11) perm<strong>et</strong>t<strong>en</strong>t d’écrire V/κ f ∼ h m /h 2 T <strong>et</strong> d’autre part, que le nombre<strong>de</strong> Stefan s’exprime <strong>en</strong>core à partir <strong>de</strong> (I.12) <strong>et</strong> (I.13) sous la forme St ∼ κ f /V h T , le flux <strong>de</strong> chaleurdéfini par la relation (I.12) se réécrit comme suitF = h (m(T f − T m ) 1 + k ) −1f(I.15)h T k m StEnfin, par conservation <strong>de</strong>s flux <strong>de</strong> chaleur (i.e. (I.12)=(I.13)), on obti<strong>en</strong>t une estimation <strong>de</strong> lavitesse d’ablation sous la forme suivante( g2) (̺f − ̺m) κ 1 ( 3 fV = APη m St 4 1 + k ) −1f(I.16)k m Stoù A désigne une constante <strong>de</strong> proportionnalité. C<strong>et</strong>te estimation <strong>de</strong> la vitesse d’ablation restevalable pour <strong>de</strong>s nombres <strong>de</strong> Stefan supérieurs ou <strong>de</strong> l’ordre du rapport k f /k m ce qui signifie quel’épaisseur <strong>de</strong> la couche limite thermique ne peut être négligée <strong>de</strong>vant l’épaisseur <strong>de</strong> la couche <strong>de</strong>substrat fondu.11
Chapitre I. <strong>Introduction</strong> généraleI.3.3 Modèles d’échange globauxDans les <strong>de</strong>ux précéd<strong>en</strong>tes parties, nous avons prés<strong>en</strong>té les modèles d’échanges associés d’une partau dégazage du béton <strong>et</strong> d’autre part, aux eff<strong>et</strong>s compositionnels. Dans le cas général, nous avons vuprécé<strong>de</strong>mm<strong>en</strong>t que plusieurs phénomènes couplés étai<strong>en</strong>t pot<strong>en</strong>tiellem<strong>en</strong>t mis <strong>en</strong> jeu au voisinagedu front d’ablation à l’interface du corium <strong>et</strong> du béton. Pour pr<strong>en</strong>dre <strong>en</strong> compte ces phénomènes,certains auteurs ont construit <strong>de</strong>s modèles d’échanges dits globaux <strong>en</strong> s’appuyant sur une structureà priori connue <strong>de</strong> l’interface <strong>en</strong>tre le corium <strong>et</strong> le béton. Par exemple, voici sur la figure (I.5) unereprés<strong>en</strong>tation <strong>de</strong> l’interface proposée par Bradley [27] décrivant certains phénomènes (e.g. couche<strong>de</strong> béton fondu, film <strong>de</strong> gaz, croûte <strong>de</strong> corium, ...) que les modèles d’échanges globaux considèr<strong>en</strong>t.Parmi ces modèles, on cite par exemple le gas film mo<strong>de</strong>l qui fait l’hypothèse <strong>de</strong> la prés<strong>en</strong>ce d’unFig. I.5: Représ<strong>en</strong>tation proposée par Bradley [27] <strong>de</strong>s différ<strong>en</strong>ts mécanismes pot<strong>en</strong>tiellem<strong>en</strong>t prés<strong>en</strong>tsà l’interface du corium <strong>et</strong> du béton.film <strong>de</strong> gaz stable, le slag mo<strong>de</strong>l qui m<strong>et</strong> <strong>en</strong> série une couche <strong>de</strong> béton fondu, une év<strong>en</strong>tuelle croûte<strong>de</strong> corium <strong>et</strong> une couche <strong>de</strong> corium, ou <strong>en</strong>core le post-freezing mo<strong>de</strong>l qui modélise l’impact d’uneév<strong>en</strong>tuelle croûte <strong>de</strong> corium. On se propose ici <strong>de</strong> prés<strong>en</strong>ter plus particulièrem<strong>en</strong>t dans ses gran<strong>de</strong>s<strong>ligne</strong>s un modèle proposé par Kao <strong>et</strong> Kazimi [95], à savoir le periodic contact mo<strong>de</strong>l. De notre point<strong>de</strong> vue, c<strong>et</strong>te prés<strong>en</strong>tation est intéressante pour <strong>de</strong>ux raisons. La première raison est qu’elle perm<strong>et</strong>d’illustrer simplem<strong>en</strong>t l’approche heuristique suivie par les modèles d’échanges globaux. La secon<strong>de</strong>raison est que le periodic contact mo<strong>de</strong>l s’appuie égalem<strong>en</strong>t sur le concept d’interface r<strong>en</strong>ouvelableprécé<strong>de</strong>mm<strong>en</strong>t prés<strong>en</strong>té. Il s’inscrit par conséqu<strong>en</strong>t dans la continuité <strong>de</strong>s <strong>de</strong>ux précéd<strong>en</strong>tes parties.Periodic contact mo<strong>de</strong>l proposé par Kao <strong>et</strong> Kazimi [95]Kao <strong>et</strong> Kazimi suppos<strong>en</strong>t que le transfert <strong>de</strong> chaleur à l’interface du corium <strong>et</strong> du béton est pilotépar les mécanismes suivants (cf. Fig.I.6) :1. une agitation int<strong>en</strong>se du bain <strong>de</strong> corium par les gaz <strong>de</strong> décomposition du béton,2. l’exist<strong>en</strong>ce d’une fine couche <strong>de</strong> béton fondu hydrodynamiquem<strong>en</strong>t instable,3. la formation d’une croûte <strong>de</strong> corium.12
I.3. Description <strong>de</strong>s échanges à l’interface du corium <strong>et</strong> du bétonFig. I.6: Représ<strong>en</strong>tation <strong>de</strong> l’interface <strong>en</strong>tre le corium <strong>et</strong> le béton proposée par Kao <strong>et</strong> Kazimi [95]<strong>Les</strong> eff<strong>et</strong>s associées à la formation d’une croûte <strong>de</strong> corium ne sont pas pris <strong>en</strong> compte dans le periodiccontact mo<strong>de</strong>l. Nous r<strong>en</strong>voyons le lecteur intéressé dans [95] pour un complém<strong>en</strong>t d’information surle suj<strong>et</strong>.Comme nous l’avons évoqué précé<strong>de</strong>mm<strong>en</strong>t, le periodic contact mo<strong>de</strong>l est un modèle à intervaller<strong>en</strong>ouvelable s’appuyant sur l’hypothèse que du corium chaud r<strong>en</strong>tre périodiquem<strong>en</strong>t <strong>en</strong> contactavec le béton froid sous l’eff<strong>et</strong> du bullage qui déplace le béton fondu dans le bain <strong>de</strong> corium. Dans cemodèle, les eff<strong>et</strong>s liés au dégazage <strong>et</strong> au béton fondu sont simultaném<strong>en</strong>t pris <strong>en</strong> compte au traversd’un système diphasique liqui<strong>de</strong>-liqui<strong>de</strong> dont les propriétés thermiques sont calculées à partir <strong>de</strong>valeurs moy<strong>en</strong>nes associées au gaz <strong>et</strong> au béton fondu.<strong>Les</strong> flux <strong>de</strong> chaleur traversant les interfaces corium/béton fondu <strong>et</strong> béton fondu/béton soli<strong>de</strong>sont respectivem<strong>en</strong>t définis par q 1 <strong>et</strong> q 2 sous la forme suivanteq 1 = h 1 (T b − T s )ζ (I.17)q 2 = h 2 (T b − T i ) (I.18)où T b , T i , T s , h 1 <strong>et</strong> h 2 désign<strong>en</strong>t respectivem<strong>en</strong>t la température du corium, une températuremoy<strong>en</strong>ne d’interface restant à préciser, la température du béton soli<strong>de</strong> <strong>et</strong> <strong>de</strong>ux coeffici<strong>en</strong>ts <strong>de</strong> transferts<strong>de</strong> chaleur. Le coeffici<strong>en</strong>t ζ perm<strong>et</strong> <strong>de</strong> pr<strong>en</strong>dre <strong>en</strong> compte l’énergie nécessaire pour chauffer lacouche <strong>de</strong> béton fondu au <strong>de</strong>ssus <strong>de</strong> la température d’ablation. Il est donné parζ = L + C p f(T i − T s ) /3L(I.19)où L, C pf désign<strong>en</strong>t la chaleur lat<strong>en</strong>te <strong>de</strong> fusion <strong>et</strong> la chaleur spécifique du béton. Dans le cadred’une approximation quasi-stationnaire, le flux <strong>de</strong> chaleur se conserve à travers chaque couche <strong>de</strong>l’interface <strong>et</strong> on peut écrire une relation <strong>en</strong>tre les coeffici<strong>en</strong>ts <strong>de</strong> transferts <strong>de</strong> chaleur h 1 <strong>et</strong> h 2 sousla forme suivante( )Tb − T ih 1 = h 2 ζ(I.20)T b − T sPar ailleurs, si l’on suppose que l’interface <strong>en</strong>tre le bain <strong>de</strong> corium <strong>et</strong> le béton fondu est périodiquem<strong>en</strong>tperturbé par le passage d’une bulle <strong>de</strong> gaz, alors le flux <strong>de</strong> chaleur q 2 s’écrit <strong>en</strong>core à partir13
Chapitre I. <strong>Introduction</strong> générale<strong>de</strong> (I.2) <strong>et</strong> (I.3) sous la formeq 2 = 2 β b√ πτ(T b − T i )(I.21)où β b <strong>et</strong> τ désign<strong>en</strong>t respectivem<strong>en</strong>t l’effusivité thermique du corium <strong>et</strong> le temps <strong>de</strong> déstabilisation<strong>de</strong> l’interface. Ce <strong>de</strong>rnier est défini <strong>de</strong> manière analogue à l’approche <strong>de</strong> Lee [109] (cf. (I.3.1))comme étant le temps existant <strong>en</strong>tre le passage <strong>de</strong> <strong>de</strong>ux bulles successives. Il s’écrit à partir <strong>de</strong> larelation (I.8)τ ∼ A̺fL(I.22)q 2 ζoù A <strong>et</strong> ̺f correspond<strong>en</strong>t respectivem<strong>en</strong>t à la constante <strong>de</strong> Laplace <strong>et</strong> la d<strong>en</strong>sité du béton fondu.Désormais, <strong>en</strong> substituant l’expression (I.22) dans (I.21) puis <strong>en</strong> utilisant la définition (I.18), onobti<strong>en</strong>th 2 =4β bπA̺fL (T b − T i ) ζ(I.23)Le coeffici<strong>en</strong>t <strong>de</strong> transfert <strong>de</strong> chaleur h 1 donné par (I.20) s’écrit à partir <strong>de</strong> la relation (I.23) sousla formeh 1 = 4β [( )b (T b − T s ) Tb − T 2iζ](I.24)πA̺fL T b − T sSoit <strong>en</strong>core,h 1 = 4k fC pf (T b − T s )πAβ b L[ ( )βb Tb − T 2iζ](I.25)β f T b − T soù β f <strong>et</strong> k f désign<strong>en</strong>t respectivem<strong>en</strong>t l’effusivité thermique <strong>et</strong> la conductivité thermique du bétonfondu. Le coeffici<strong>en</strong>t <strong>de</strong> transfert <strong>de</strong> chaleur h 1 <strong>en</strong>tre le corium <strong>et</strong> le béton peut égalem<strong>en</strong>t s’exprimersous forme adim<strong>en</strong>sionnée à partir du nombre <strong>de</strong> Nusselt Nu = h 1 A/k f . D’après (I.25), ce <strong>de</strong>rniers’écrit[ ]Cpf (T b − T s )Nu = Cγ 2(I.26)Loù nous avons introduitC = 4 π; γ = β ( )b Tb − T iζβ f T b − T s(I.27)Il reste désormais à déterminer la température moy<strong>en</strong>ne d’interface T i . L’estimation proposée parKao <strong>et</strong> Kazimi s’écrit( ) ( )T b − T i βf βs= (1 − ζ) + ζ(I.28)T b − T s β b + β f β b + β sIl s’agit ici d’une combinaison <strong>de</strong> la température d’interface dans le cas où le corium est directem<strong>en</strong>t<strong>en</strong> contact avec le béton soli<strong>de</strong> avec la température d’interface dans le cas où le corium est <strong>en</strong>contact avec la couche <strong>de</strong> béton fondu. De c<strong>et</strong>te manière, le coeffici<strong>en</strong>t <strong>de</strong> transfert <strong>de</strong> chaleurdonné par la relation (I.26) ti<strong>en</strong>t compte <strong>de</strong> la prés<strong>en</strong>ce ou non d’une couche <strong>de</strong> béton fonduhydrodynamiquem<strong>en</strong>t instable.<strong>Les</strong> modèles d’échanges globaux précé<strong>de</strong>mm<strong>en</strong>t cités pr<strong>en</strong>n<strong>en</strong>t <strong>en</strong> compte une certaine gamme<strong>de</strong> mécanismes physiques supplém<strong>en</strong>taires pot<strong>en</strong>tiellem<strong>en</strong>t prés<strong>en</strong>ts à l’interface du corium <strong>et</strong> dubéton mais suppos<strong>en</strong>t que les flui<strong>de</strong>s mis <strong>en</strong> jeu sont non miscibles. A notre connaissance, seulsles travaux d’Epstein [53] pr<strong>en</strong>n<strong>en</strong>t <strong>en</strong> compte les eff<strong>et</strong>s compositionnels <strong>en</strong>tre le béton fondu <strong>et</strong>les oxy<strong>de</strong>s constituant le corium. Epstein a <strong>en</strong> eff<strong>et</strong> construit un modèle d’échange global <strong>en</strong> se14
I.3. Description <strong>de</strong>s échanges à l’interface du corium <strong>et</strong> du bétonbasant égalem<strong>en</strong>t sur une structure à priori connue <strong>de</strong> l’interface <strong>en</strong>tre le corium <strong>et</strong> le béton faisantl’hypothèse <strong>de</strong> l’exist<strong>en</strong>ce d’une couche <strong>de</strong> béton fondu <strong>en</strong>tre un corium oxy<strong>de</strong> <strong>et</strong> un béton <strong>en</strong>décomposition (cf. Fig.I.7). En s’appuyant sur les travaux <strong>de</strong> Dav<strong>en</strong>port <strong>et</strong> King [43] réalisés dansle cadre d’une étu<strong>de</strong> sur la convection libre à haut nombre <strong>de</strong> Rayleigh Ra, Epstein suppose quec<strong>et</strong>te couche <strong>de</strong> béton fondu est marginalem<strong>en</strong>t stable <strong>et</strong> que son épaisseur est donnée à partirdu nombre <strong>de</strong> Rayleigh critique local (i.e. la valeur du nombre <strong>de</strong> Rayleigh à partir <strong>de</strong> laquellel’instabilité hydrodynamique se décl<strong>en</strong>che). D’un point <strong>de</strong> vue <strong>de</strong>s transferts <strong>de</strong> chaleur, la couche<strong>de</strong> béton fondu est traitée comme une résistance thermique <strong>en</strong> série avec les coeffici<strong>en</strong>t <strong>de</strong> transfert<strong>de</strong> chaleur convectifs associés, d’une part, au bullage <strong>et</strong>, d’autre part, au dégagem<strong>en</strong>t <strong>de</strong> plumes<strong>de</strong> béton fondu sous l’eff<strong>et</strong> <strong>de</strong>s forces <strong>de</strong> flottaison. Enfin, les mouvem<strong>en</strong>ts convectifs induits dansle bain <strong>de</strong> corium sont décrit à l’ai<strong>de</strong> <strong>de</strong> corrélations disponibles dans la littérature.Fig. I.7: Représ<strong>en</strong>tation <strong>de</strong> l’interface <strong>en</strong>tre le corium <strong>et</strong> le béton proposée par Epstein [53]I.3.4 DiscussionNous avons vu que <strong>de</strong> nombreux modèles d’échange <strong>de</strong> chaleur ont été proposés à l’échelle <strong>de</strong><strong>de</strong>scription du co<strong>de</strong> d’évaluation réacteur sur la base d’une structure a priori connue <strong>de</strong> la couchelimite à l’échelle du front d’ablation (e.g. Fig.I.5,Fig.I.6,Fig.I.7). Ces modèles soulèv<strong>en</strong>t <strong>de</strong> nombreusesquestions tant d’un point <strong>de</strong> vue <strong>de</strong> la <strong>de</strong>scription adoptée <strong>de</strong> la couche limite que <strong>de</strong>saspects multi-échelle couplant les échanges au front d’ablation <strong>et</strong> l’écoulem<strong>en</strong>t dans le puits <strong>de</strong>cuve. Par ailleurs, même <strong>en</strong> adm<strong>et</strong>tant la validité <strong>de</strong>s structures simples proposées, il reste à estimerquantitativem<strong>en</strong>t correctem<strong>en</strong>t les termes d’échanges.<strong>Les</strong> nombreux travaux expérim<strong>en</strong>taux m<strong>en</strong>és sur c<strong>et</strong>te thématique <strong>en</strong> matériaux simulants ouprototypiques (cf. [94] pour une revue) sont à <strong>de</strong>s échelles globales <strong>et</strong> les informations concernantla structure <strong>de</strong> la couche limite sont actuellem<strong>en</strong>t très limitées. En conséqu<strong>en</strong>ce, il apparaît difficile<strong>de</strong> déterminer la pertin<strong>en</strong>ce <strong>de</strong>s différ<strong>en</strong>ts modèles proposés à partir d’une certaine représ<strong>en</strong>tation<strong>de</strong> la couche limite. Par ailleurs, ces modèles heuristiques ne sont pas construits sur la base d’unli<strong>en</strong> clair <strong>en</strong>tre les différ<strong>en</strong>tes échelles <strong>de</strong> <strong>de</strong>scription. En particulier, l’échelle macroscopique estignorée <strong>et</strong> l’impact <strong>de</strong>s structures cohér<strong>en</strong>tes convectives à l’échelle du puits <strong>de</strong> cuve n’est pas prise<strong>en</strong> compte alors que ces structures sont pot<strong>en</strong>tiellem<strong>en</strong>t à l’origine <strong>de</strong>s profils <strong>de</strong> cavité ablatée(ablation préfér<strong>en</strong>tiellem<strong>en</strong>t radiale) observés dans certaines expéri<strong>en</strong>ces citées plus haut. C<strong>et</strong>tequestion est actuellem<strong>en</strong>t ouverte <strong>et</strong> fait l’obj<strong>et</strong> du programme expérim<strong>en</strong>tal CLARA visant àestimer la distribution du flux <strong>de</strong> chaleur le long <strong>de</strong>s parois d’une cavité parallélépipédique remplied’eau <strong>et</strong> chauffée <strong>en</strong> volume. <strong>Les</strong> parois sont <strong>de</strong>s plaques poreuses percolées par du gaz pourreproduire le dégazage du béton <strong>et</strong> sont maint<strong>en</strong>ues à une température uniforme. En revanche, leseff<strong>et</strong>s compositionnels (instabilités <strong>de</strong> Rayleigh-Taylor, zone pâteuse, ...) ne sont pas actuellem<strong>en</strong>t15
Chapitre I. <strong>Introduction</strong> généralepris <strong>en</strong> compte dans le dispositif. Enfin, la plupart <strong>de</strong>s modèles proposés se conc<strong>en</strong>tr<strong>en</strong>t sur unepartie <strong>de</strong>s phénomènes mis <strong>en</strong> jeu (bullage, eff<strong>et</strong>s compositionnels, ...) <strong>et</strong> la modélisation <strong>de</strong> larésultante <strong>de</strong>s échanges est généralem<strong>en</strong>t réalisée <strong>de</strong> manière ad-hoc au travers <strong>de</strong> termes correctifs.Ces termes sont souv<strong>en</strong>t mal justifiés ou difficiles à estimer <strong>et</strong>, <strong>en</strong> pratique, il est souv<strong>en</strong>t difficile<strong>de</strong> réaliser <strong>de</strong>s calculs prédictifs.I.4 Stratégie <strong>de</strong> modélisation <strong>et</strong> <strong>de</strong>scription <strong>de</strong> l’étu<strong>de</strong>Devant les nombreuses questions posées par les modèles d’échange actuels, l’objectif principal <strong>de</strong>ce travail consiste à abor<strong>de</strong>r le problème <strong>de</strong> la structure <strong>de</strong> la couche limite au voisinage du frontd’ablation par simulation numérique directe. L’intérêt d’une telle approche est double. Elle perm<strong>et</strong>,d’une part, d’avoir accès à la structure <strong>de</strong> la couche limite difficilem<strong>en</strong>t observable par l’expéri<strong>en</strong>ce<strong>et</strong>, ainsi, d’avoir une meilleure connaissance <strong>de</strong>s mécanismes physiques à c<strong>et</strong>te échelle <strong>et</strong> <strong>de</strong> m<strong>en</strong>erune analyse critique <strong>de</strong>s différ<strong>en</strong>ts modèles proposés. Par ailleurs, ce type d’approche peut, à terme,être utilisé pour construire une solution approchée du problème à l’échelle <strong>de</strong> la couche limite <strong>et</strong>être couplé à <strong>de</strong>s calculs à une échelle <strong>de</strong> <strong>de</strong>scription supérieure, intermédiaire <strong>en</strong>tre l’échelle <strong>de</strong>la couche limite <strong>et</strong> l’échelle du co<strong>de</strong> d’évaluation réacteur, pour estimer l’impact <strong>de</strong>s structuresconvectives à l’échelle du puits <strong>de</strong> cuve sur la structure <strong>de</strong> la couche limite <strong>et</strong> sur la nature <strong>de</strong>séchanges.Dans c<strong>et</strong>te partie, nous comm<strong>en</strong>çons par prés<strong>en</strong>ter le contexte général dans lequel s’inscrit c<strong>et</strong>ravail qui correspond à une <strong>de</strong>scription <strong>et</strong> une modélisation multi-échelle <strong>de</strong>s échanges. Nous discutons<strong>en</strong> particulier la problématique associée au changem<strong>en</strong>t d’échelle <strong>et</strong> précisons notre contribution,qui s’inscrit dans le cadre <strong>de</strong> la construction <strong>de</strong> lois <strong>de</strong> parois. Nous prés<strong>en</strong>tons <strong>en</strong>suitel’approche par simulation numérique directe à l’échelle du front d’ablation <strong>en</strong> précisant les caractéristiques<strong>de</strong>s écoulem<strong>en</strong>ts étudiés dans ce travail <strong>et</strong> le choix d’une métho<strong>de</strong>. Enfin, nous terminonsc<strong>et</strong>te partie par une prés<strong>en</strong>tation du plan du mémoire.I.4.1 Vers une <strong>de</strong>scription multi-échelleCe travail s’inscrit dans le cadre plus général d’une <strong>de</strong>scription <strong>et</strong> d’une modélisation multi-échelle<strong>de</strong>s échanges, c’est-à-dire <strong>de</strong> l’échelle locale jusqu’à l’échelle du co<strong>de</strong> d’évaluation réacteur. Ondistingue ici les trois échelles caractéristiques suivantes (cf. Fig.I.8) :1. L’échelle locale, dont la longueur caractéristique correspond typiquem<strong>en</strong>t à quelques diamètres<strong>de</strong> bulles <strong>de</strong> gaz <strong>de</strong> décomposition du béton, ou <strong>en</strong>core à la taille <strong>de</strong>s plus grostourbillons générés par les instabilités <strong>de</strong> Rayleigh-Taylor au voisinage du front d’ablation.2. L’échelle macroscopique associée aux mouvem<strong>en</strong>t convectifs dans le bain <strong>de</strong> corium généréspar les mouvem<strong>en</strong>ts d’<strong>en</strong>semble <strong>de</strong>s bulles.3. L’échelle du co<strong>de</strong> d’évaluation réacteur associée à une <strong>de</strong>scription point ou à zones.L’échelle locale correspond à l’échelle <strong>de</strong> <strong>de</strong>scription <strong>de</strong>s outils <strong>de</strong> simulation numérique directe(SND) <strong>de</strong>s écoulem<strong>en</strong>ts à interfaces <strong>et</strong> fait l’obj<strong>et</strong> <strong>de</strong> la section suivante. L’échelle macroscopiquecorrespond, dans le cadre d’une <strong>de</strong>scription Euler-Euler (i.e <strong>de</strong>scription Euléri<strong>en</strong>ne <strong>de</strong> la phase ditecontinue associée ici au corium <strong>et</strong> <strong>de</strong>scription égalem<strong>en</strong>t Euléri<strong>en</strong>ne <strong>de</strong> la phase dispersée correspondantaux bulles <strong>de</strong> gaz <strong>de</strong> décomposition) à l’échelle <strong>de</strong> <strong>de</strong>scription <strong>de</strong>s modèles macroscopiques<strong>de</strong> type bi-flui<strong>de</strong>s obt<strong>en</strong>us par prise <strong>de</strong> moy<strong>en</strong>ne (moy<strong>en</strong>ne d’<strong>en</strong>semble, spatiale, ...) <strong>de</strong>s équationslocales instantanées. L’outil existant développé dans le cadre <strong>de</strong> l’interaction corium-béton est leco<strong>de</strong> TOPASE (TwO-PhAse flow SolvEr) <strong>et</strong> correspond à un modèle bi-flui<strong>de</strong>s dans la limite <strong>de</strong>sfaibles accélérations relatives (i.e modèle à vitesse <strong>de</strong> dérive ou drift-flux). Quel que soit la modélisationmacroscopique adoptée (i.e modèles bi-flui<strong>de</strong>s ou à vitesse <strong>de</strong> dérive) <strong>et</strong>, <strong>de</strong> manière similaireà la <strong>de</strong>scription macroscopique <strong>de</strong>s milieux poreux, l’écoulem<strong>en</strong>t diphasique est représ<strong>en</strong>té à c<strong>et</strong>te16
I.4. Stratégie <strong>de</strong> modélisation <strong>et</strong> <strong>de</strong>scription <strong>de</strong> l’étu<strong>de</strong>MICROSCOPIQUEchangem<strong>en</strong>t d’échellemicro-macroMACROSCOPIQUEmodèle macro(e.g. modèle bi-flui<strong>de</strong>s)(milieu continu équival<strong>en</strong>t)changem<strong>en</strong>t d’échellemacro-gran<strong>de</strong> échelleGRANDE ECHELLE(co<strong>de</strong> évaluation réacteur)béton+ C.L. effectivesou lois <strong>de</strong> paroiT bTTcoriumTsurface effectiveT cradier <strong>en</strong> bétonSNDradier <strong>en</strong> bétonradier <strong>en</strong> bétoncoriumgazbétonfonduradier <strong>en</strong> bétonECHELLE LOCALE(front d’ablation)Fig. I.8: Une <strong>de</strong>scription multi-échelle <strong>de</strong>s échanges pour la problématique <strong>de</strong> l’interaction coriumbéton.échelle par un milieu continu équival<strong>en</strong>t. Toute la difficulté est reportée dans la détermination <strong>de</strong>scoeffici<strong>en</strong>ts <strong>de</strong> transport effectifs (coeffici<strong>en</strong>t <strong>de</strong> traînée effectif, conductivité effective, ...). Enfin,l’échelle du co<strong>de</strong> d’évaluation réacteur MEDICIS correspond à une <strong>de</strong>scription à gran<strong>de</strong> échelle <strong>de</strong>séchanges pour laquelle le mélange multiphasique dans le puits <strong>de</strong> cuve est décrit par une températurepoint moy<strong>en</strong>ne <strong>et</strong> les échanges avec le béton sont décrits au travers d’une résistance thermiqueéquival<strong>en</strong>te intégrant l’<strong>en</strong>semble <strong>de</strong>s échanges aux échelles inférieures.Une telle <strong>de</strong>scription multi-échelle soulève le problème du changem<strong>en</strong>t d’échelle <strong>et</strong>, <strong>en</strong> particulier,le passage <strong>de</strong> l’échelle locale à l’échelle <strong>de</strong> <strong>de</strong>scription macroscopique du co<strong>de</strong> TOPASE. <strong>Les</strong>difficultés associées à ce changem<strong>en</strong>t d’échelle sont bi<strong>en</strong> connues <strong>et</strong> peuv<strong>en</strong>t être classées selon <strong>de</strong>uxproblématiques.La première problématique concerne la ferm<strong>et</strong>ure <strong>de</strong>s termes d’échange <strong>en</strong>tre phases (force d<strong>et</strong>raînée macroscopique, ...) <strong>et</strong> la modélisation <strong>de</strong> la turbul<strong>en</strong>ce diphasique ainsi que l’estimation<strong>de</strong>s coeffici<strong>en</strong>ts <strong>de</strong> transport effectifs correspondant aux différ<strong>en</strong>tes ferm<strong>et</strong>ures. C<strong>et</strong>te problématiquea fait l’obj<strong>et</strong> <strong>de</strong> nombreux travaux <strong>et</strong> continue d’être d’actualité; on cite ici <strong>en</strong> particulier, toujoursdans le cadre d’une <strong>de</strong>scription macroscopique <strong>de</strong> type Euler-Euler, les travaux <strong>de</strong> Simonin & al.[137] dans le contexte <strong>de</strong>s écoulem<strong>en</strong>ts diphasiques flui<strong>de</strong>-particules <strong>et</strong> les travaux <strong>de</strong> Mag<strong>de</strong>leine[111] pour le cas flui<strong>de</strong>-bulles sur l’utilisation <strong>de</strong> métho<strong>de</strong>s <strong>de</strong> simulation numérique directe pourl’estimation <strong>de</strong>s coeffici<strong>en</strong>ts <strong>de</strong> transport effectifs.La <strong>de</strong>uxième problématique concerne, pour un modèle macroscopique d’écoulem<strong>en</strong>t donné,la construction <strong>de</strong> conditions aux limites effectives ou lois <strong>de</strong> parois. C<strong>et</strong>te problématique n’estpas spécifique aux écoulem<strong>en</strong>ts diphasiques, elle est bi<strong>en</strong> sûr commune aux problèmes faisantinterv<strong>en</strong>ir plusieurs échelles <strong>de</strong> <strong>de</strong>scription comme les problèmes <strong>de</strong> turbul<strong>en</strong>ce monophasique oules problèmes d’écoulem<strong>en</strong>t sur <strong>de</strong>s surface hétérogènes (e.g rugosités). C<strong>et</strong>te problématique a faitl’obj<strong>et</strong> <strong>de</strong> nombreux travaux dans le cas <strong>de</strong>s écoulem<strong>en</strong>ts monophasiques turbul<strong>en</strong>ts sur surfacelisse ou rugueuse <strong>et</strong> connaît plus récemm<strong>en</strong>t un regain d’att<strong>en</strong>tion d’un point <strong>de</strong> vue théorique17
Chapitre I. <strong>Introduction</strong> généraledans le cas <strong>de</strong>s écoulem<strong>en</strong>ts laminaires sur <strong>de</strong>s surfaces hétérogènes. Le cas plus complexe <strong>de</strong>ssurfaces hétérogènes ablatables <strong>et</strong>/ou <strong>de</strong>s écoulem<strong>en</strong>ts à bulles a, <strong>en</strong> revanche, reçu beaucoupmoins d’att<strong>en</strong>tion. Dans le cas monophasique, on peut néanmoins citer les travaux d’Aspa & al.(e.g. [8, 149]) sur l’étu<strong>de</strong> <strong>et</strong> la construction <strong>de</strong> lois <strong>de</strong> parois pour <strong>de</strong>s surfaces hétérogènes réactiveslisses ou rugueuses. Dans le cas <strong>de</strong>s écoulem<strong>en</strong>ts diphasiques, on peut citer les travaux <strong>de</strong> [112, 143]pour <strong>de</strong>s parois imperméables <strong>et</strong> pour <strong>de</strong>s écoulem<strong>en</strong>ts à faible taux <strong>de</strong> vi<strong>de</strong> (i.e faiblem<strong>en</strong>t chargé<strong>en</strong> bulles) visant à montrer que les lois <strong>de</strong> parois monophasique pour la phase continue rest<strong>en</strong>t unebonne approximation ainsi que les travaux <strong>de</strong> Gabill<strong>et</strong> & al. [63] indiquant que, pour <strong>de</strong>s paroispercolées par un flux <strong>de</strong> gaz, les bulles formées <strong>en</strong> parois jou<strong>en</strong>t le rôle <strong>de</strong> rugosité pour la loi <strong>de</strong>paroi associée à la phase continue.Ce travail s’inscrit dans le cadre <strong>de</strong> la <strong>de</strong>uxième problématique associée à la construction <strong>de</strong>conditions aux limites effectives <strong>et</strong> compr<strong>en</strong>d <strong>de</strong>ux contributions suivant une approche commune<strong>de</strong> type décomposition <strong>de</strong> domaine.La première contribution concerne la construction <strong>de</strong> lois <strong>de</strong> parois selon un modèle <strong>de</strong> surfaceeffective ainsi qu’une étu<strong>de</strong> sur la qualité <strong>de</strong> l’approximation proposée à partir <strong>de</strong> comparaisons<strong>en</strong>tre calculs directs <strong>et</strong> calculs effectifs. Devant la complexité du problème posé, principalem<strong>en</strong>t lesaspects diphasiques, on se propose ici d’abor<strong>de</strong>r un problème plus simple d’écoulem<strong>en</strong>t laminaire <strong>de</strong>convection naturelle sur parois rugueuses. Le problème traité reste <strong>en</strong>core éloigné <strong>de</strong>s applicationsvisées <strong>et</strong> c<strong>et</strong>te contribution doit être vue comme une première étape vers la construction <strong>de</strong> lois<strong>de</strong> parois pour un modèle macroscopique d’écoulem<strong>en</strong>t diphasique compositionnel. Signalons néanmoinsque la méthodologie proposée dans ce travail pour un problème couplant l’écoulem<strong>en</strong>t autransport d’un scalaire non-passif peut servir <strong>de</strong> base pour l’étu<strong>de</strong> <strong>de</strong>s aspects hétérogènes associésaux différ<strong>en</strong>ts types <strong>de</strong> béton constituant le radier <strong>de</strong>s réacteurs actuels. On rappelle <strong>en</strong> eff<strong>et</strong> que leshétérogénéités associées à la distribution <strong>de</strong>s agrégats <strong>et</strong> du mortier sont susceptibles <strong>de</strong> jouer unrôle important sur la structure <strong>de</strong> la couche limite, par exemple pour les bétons siliceux caractériséspar <strong>de</strong>s agrégats constitués majoritairem<strong>en</strong>t <strong>de</strong> silice à haut point <strong>de</strong> fusion comparativem<strong>en</strong>t aumortier. La méthodologie proposée peut égalem<strong>en</strong>t servir <strong>de</strong> base pour les étu<strong>de</strong>s <strong>et</strong> les analyses<strong>de</strong> sûr<strong>et</strong>é <strong>de</strong>s réacteurs <strong>de</strong> nouvelle génération <strong>de</strong> type EPR; on p<strong>en</strong>se ici <strong>en</strong> particulier au système<strong>de</strong> refroidissem<strong>en</strong>t <strong>de</strong> la chambre d’étalem<strong>en</strong>t ainsi qu’au récupérateur qui correspond égalem<strong>en</strong>tà un matériau hétérogène mais sans dégagem<strong>en</strong>t <strong>de</strong> gaz <strong>de</strong> décomposition <strong>et</strong> dont le rôle principalest d’abaisser la viscosité du corium. Enfin, dans le cadre <strong>de</strong>s étu<strong>de</strong>s <strong>et</strong> <strong>de</strong>s analyses <strong>de</strong> sûr<strong>et</strong>é,d’autres problématiques sont concernées comme, par exemple, celle associée à la dispersion <strong>et</strong> ladéposition <strong>de</strong> radio-élém<strong>en</strong>ts au voisinage d’un rej<strong>et</strong> accid<strong>en</strong>tel sur la canopée urbaine ou végétalequi, dans ce cas, jou<strong>en</strong>t le rôle d’hétérogénéités <strong>de</strong> surface. Nous avons indiqué précé<strong>de</strong>mm<strong>en</strong>tque la problématique associée à la construction <strong>de</strong> conditions aux limites effectives connaissaitun regain d’att<strong>en</strong>tion d’un point <strong>de</strong> vue théorique dans le cas <strong>de</strong>s écoulem<strong>en</strong>ts laminaires sur <strong>de</strong>ssurfaces hétérogènes. Plusieurs métho<strong>de</strong>s ont été proposées pour réaliser le changem<strong>en</strong>t d’échellecomme la métho<strong>de</strong> <strong>de</strong>s moy<strong>en</strong>nes volumiques (e.g. [127, 152]) ou la métho<strong>de</strong> <strong>de</strong>s développem<strong>en</strong>tsasymptotiques à <strong>de</strong>ux échelles (e.g. [3, 11]). Dans ce travail, nous repr<strong>en</strong>ons une approche proposéepar Véran & al. [149] <strong>et</strong> les lois <strong>de</strong> parois sont développées dans le cadre d’une métho<strong>de</strong> <strong>de</strong> typedécomposition <strong>de</strong> domaine.Dans le cas plus complexe <strong>de</strong>s écoulem<strong>en</strong>ts multiphasiques, une telle approche ou, <strong>de</strong> manièreplus générale, le développem<strong>en</strong>t <strong>de</strong> conditions effectives, nécessite, dans un premier temps, <strong>de</strong>disposer d’un outil <strong>de</strong> simulation directe à la p<strong>et</strong>ite échelle pour la construction d’une solutionapprochée à l’échelle <strong>de</strong> la couche limite. Ainsi, la <strong>de</strong>uxième contribution <strong>de</strong> ce travail concernela construction d’un outil <strong>de</strong> simulation numérique directe <strong>de</strong> l’écoulem<strong>en</strong>t au voisinage du frontd’ablation <strong>et</strong> fait l’obj<strong>et</strong> <strong>de</strong> la prochaine section. Signalons que <strong>de</strong>s approches <strong>de</strong> même type ontété suivies pour d’autres applications multiphasiques. Nous citons ici, par exemple, les travaux<strong>de</strong> Lapuerta & al. (e.g. [25, 106]) toujours dans le cadre <strong>de</strong> la problématique <strong>de</strong> l’interaction18
I.4. Stratégie <strong>de</strong> modélisation <strong>et</strong> <strong>de</strong>scription <strong>de</strong> l’étu<strong>de</strong>corium-béton mais dans le cas d’une configuration stratifiée pour les échanges oxy<strong>de</strong>-métal <strong>et</strong> lestravaux d’Aspa [8] pour les problèmes d’ablation <strong>de</strong>s matériaux composites constituant les lanceursd’Ariane.I.4.2 Simulation numérique directe à l’échelle du front d’ablationParmi les nombreux phénomènes pot<strong>en</strong>tiellem<strong>en</strong>t mis <strong>en</strong> jeu au voisinage du front d’ablation, nousavons vu précé<strong>de</strong>mm<strong>en</strong>t que l’écoulem<strong>en</strong>t était caractérisé principalem<strong>en</strong>t par la prés<strong>en</strong>ce d’unephase gazeuse associée aux gaz <strong>de</strong> décomposition du béton <strong>et</strong> d’une phase liqui<strong>de</strong> constituée par lemélange issu <strong>de</strong> la fusion du coeur, le corium, <strong>et</strong> les produits issus <strong>de</strong> l’ablation du béton. Dans c<strong>et</strong>ravail, nous ne décrirons pas les nombreux phénomènes d’oxydation m<strong>et</strong>tant <strong>en</strong> jeu les différ<strong>en</strong>tesespèces gazeuses <strong>et</strong> nous assimilerons les gaz <strong>de</strong> décomposition à une seule <strong>et</strong> même phase gazeuse.Nous adopterons égalem<strong>en</strong>t une <strong>de</strong>scription classique <strong>de</strong> la phase liqui<strong>de</strong> consistant à décrire lemélange multiphasique multiconstituant corium-béton selon un pseudo-binaire. Dans ce cadre, unesimulation numérique directe à l’échelle du front d’ablation doit a minima être capable <strong>de</strong> décrireles écoulem<strong>en</strong>ts prés<strong>en</strong>tant les caractéristiques suivantes :- prés<strong>en</strong>ce <strong>de</strong> <strong>de</strong>ux phases non-miscibles : liqui<strong>de</strong> <strong>et</strong> gaz,- phase liqui<strong>de</strong> constituée <strong>de</strong> <strong>de</strong>ux espèces totalem<strong>en</strong>t miscibles : pseudo-binaire corium-béton,- forts changem<strong>en</strong>ts topologiques : détachem<strong>en</strong>t, rupture <strong>et</strong> coalesc<strong>en</strong>ce <strong>de</strong> bulles, instabilités<strong>de</strong> Rayleigh-Taylor (miscibles),- forts contrastes <strong>de</strong> propriétés physiques : d<strong>en</strong>sité, viscosité, ...- faibles coeffici<strong>en</strong>ts <strong>de</strong> diffusion massique <strong>et</strong> thermique,- géométrie 3D.Nous adopterons <strong>en</strong> outre les <strong>de</strong>ux hypothèses simplificatrices suivantes :- incompressibilité <strong>de</strong> chaque phase ou flui<strong>de</strong>,- t<strong>en</strong>sions <strong>de</strong> surface associées aux couples gaz-corium <strong>et</strong> gaz-béton fondu id<strong>en</strong>tiques.La première hypothèse consiste à négliger les eff<strong>et</strong>s <strong>de</strong> compressibilité associées à la phase gazeuse<strong>et</strong> à négliger les variations <strong>de</strong> masse volumique <strong>de</strong>s espèces corium <strong>et</strong> béton fondu <strong>en</strong> fonction <strong>de</strong> latempérature. Nous ne sommes pas <strong>en</strong> mesure <strong>de</strong> justifier pleinem<strong>en</strong>t c<strong>et</strong>te hypothèse sur la base <strong>de</strong>considérations physiques <strong>et</strong> c<strong>et</strong>te approximation est ess<strong>en</strong>tiellem<strong>en</strong>t motivée par les simplificationsapportées dans la construction <strong>et</strong> la résolution numérique <strong>de</strong> l’outil <strong>de</strong> simulation. La <strong>de</strong>uxièmehypothèse apporte égalem<strong>en</strong>t <strong>de</strong>s simplifications importantes puisque, d’un point <strong>de</strong> vue <strong>de</strong>s eff<strong>et</strong>s<strong>de</strong> t<strong>en</strong>sion <strong>de</strong> surface, l’écoulem<strong>en</strong>t est ess<strong>en</strong>tiellem<strong>en</strong>t diphasique. Il faut néanmoins sou<strong>ligne</strong>r quec<strong>et</strong>te hypothèse n’est pas restrictive pour les applications visées <strong>de</strong>vant les incertitu<strong>de</strong>s associéesà l’estimation <strong>de</strong>s t<strong>en</strong>sions <strong>de</strong> surface du mélange corium-béton fondu. Enfin, nous décrirons dansce travail les eff<strong>et</strong>s associés à la prés<strong>en</strong>ce <strong>de</strong> zones pâteuses dans la phase liqui<strong>de</strong> au travers d’uneviscosité effective.Ainsi, d’un point <strong>de</strong> vue <strong>de</strong> la simulation numérique directe <strong>de</strong>s problèmes à interfaces, il s’agitici <strong>de</strong> construire un outil couplant un problème diphasique incompressible sans changem<strong>en</strong>t <strong>de</strong>phase à un problème <strong>de</strong> mélange <strong>de</strong> <strong>de</strong>ux flui<strong>de</strong>s miscibles dans l’une <strong>de</strong>s <strong>de</strong>ux phases.De nombreuses métho<strong>de</strong>s ont été proposées pour la simulation numérique directe d’écoulem<strong>en</strong>tsdiphasiques incompressibles. On distingue ess<strong>en</strong>tiellem<strong>en</strong>t trois types <strong>de</strong> métho<strong>de</strong>s :1. <strong>Les</strong> métho<strong>de</strong>s à maillage mobile, pour lesquelles le maillage s’adapte à la topologie <strong>de</strong>s interfaces<strong>et</strong> les conditions <strong>de</strong> saut sont imposées <strong>de</strong> manière exacte, comme par exemple lamétho<strong>de</strong> ALE (Arbitrary Lagrangian Eulerian).2. <strong>Les</strong> métho<strong>de</strong>s à maillage mixte ou métho<strong>de</strong>s <strong>de</strong> type Front-Tracking (e.g. [145, 146]) pourlesquelles un maillage surfacique décrivant la topologie <strong>de</strong>s interfaces est advecté sur unmaillage volumique fixe.19
Chapitre I. <strong>Introduction</strong> générale3. <strong>Les</strong> métho<strong>de</strong>s à maillage fixe pour lesquelles les interfaces sont repérées <strong>et</strong> décrites au traversd’une indicatrice <strong>de</strong> phase plus ou moins régulière selon les métho<strong>de</strong>s. Dans ce cas, ondistingue, d’une part, les métho<strong>de</strong>s avec reconstruction <strong>de</strong>s interfaces comme la métho<strong>de</strong>VOF (e.g. [20, 81]) <strong>et</strong>, d’autre part, les métho<strong>de</strong>s sans reconstruction comme les métho<strong>de</strong>s<strong>de</strong> <strong>ligne</strong>s <strong>de</strong> niveaux (Level-S<strong>et</strong>) (e.g. [64, 140]) <strong>et</strong> les métho<strong>de</strong>s d’interface diffuse, <strong>en</strong>coreappelées métho<strong>de</strong>s <strong>de</strong> champ <strong>de</strong> phase (Phase-Field) (e.g. [5]).Il n’est pas dans l’objectif <strong>de</strong> ce travail <strong>de</strong> prés<strong>en</strong>ter une revue exhaustive <strong>et</strong> une discussion <strong>de</strong>sdiffér<strong>en</strong>tes métho<strong>de</strong>s proposées. Le lecteur intéressé pourra se reporter aux référ<strong>en</strong>ces citées ainsiqu’à Jam<strong>et</strong> [87] <strong>et</strong> Kim <strong>et</strong> Low<strong>en</strong>grub [101] pour une prés<strong>en</strong>tation <strong>et</strong> une discussion sur les avantages<strong>et</strong> les points faibles <strong>de</strong>s différ<strong>en</strong>tes métho<strong>de</strong>s. Il est néanmoins important <strong>de</strong> noter que, <strong>en</strong> pratique,ces métho<strong>de</strong>s ne sont généralem<strong>en</strong>t pas <strong>de</strong>s métho<strong>de</strong>s <strong>de</strong> simulation numérique directe au s<strong>en</strong>sstrict du terme. En eff<strong>et</strong>, si les interfaces sont résolues, <strong>en</strong> revanche, les échelles <strong>de</strong>s phases sontgénéralem<strong>en</strong>t sous résolues <strong>et</strong> ces métho<strong>de</strong>s doiv<strong>en</strong>t plutôt être vues comme <strong>de</strong>s métho<strong>de</strong>s d<strong>et</strong>ype LES (Large Eddy Simulation). Nous n’abor<strong>de</strong>rons pas dans ce travail la modélisation <strong>de</strong>scontributions non-résolues, ou contributions sous maille, qui fait égalem<strong>en</strong>t débat <strong>en</strong> turbul<strong>en</strong>cemonophasique selon si ces contributions sont résolues <strong>de</strong> manière dite explicite ou implicite. Nousr<strong>en</strong>voyons le lecteur intéressé aux travaux <strong>de</strong> Jam<strong>et</strong> & al. [89] pour une approche <strong>de</strong> type explicitepour la simulation directe d’écoulem<strong>en</strong>ts à bulles <strong>et</strong>, <strong>en</strong> s’appuyant sur les travaux proposés parGuermond [73, 76] dans le cas monophasique, nous assimilerons dans ce travail le schéma numériqueproposé à une approche <strong>de</strong> type implicite.Nous nous sommes dans ce travail plus particulièrem<strong>en</strong>t intéressés aux métho<strong>de</strong>s à interfacediffuse qui, <strong>de</strong> notre point <strong>de</strong> vue, offr<strong>en</strong>t un cadre bi<strong>en</strong> adapté pour <strong>de</strong>s ext<strong>en</strong>sions multiphasiques<strong>et</strong>/ou multiconstituants. Le principe général <strong>de</strong>s métho<strong>de</strong>s Phase-Field dans le cas diphasiqueconsiste à décrire l’évolution du système à partir d’une énergie libre compr<strong>en</strong>ant <strong>de</strong>ux contributionsdistinctes fonction d’une indicatrice <strong>de</strong> phase régularisée, appelée égalem<strong>en</strong>t champ <strong>de</strong> phaseou paramètre d’ordre. La première contribution est un terme non-convexe prés<strong>en</strong>tant une structure<strong>en</strong> double puits <strong>et</strong> modélisant la séparation <strong>de</strong> phases. La <strong>de</strong>uxième contribution est un termecapillaire dép<strong>en</strong>dant du gradi<strong>en</strong>t du paramètre d’ordre jouant à l’inverse un rôle <strong>de</strong> diffusion <strong>et</strong><strong>de</strong> régularisation. La résultante <strong>de</strong> ces <strong>de</strong>ux contributions conduit à une <strong>de</strong>scription <strong>de</strong>s interfacescomme <strong>de</strong>s zones <strong>de</strong> transition volumique d’épaisseur finie <strong>et</strong> la contribution capillaire associe uneforce volumique aux eff<strong>et</strong>s <strong>de</strong> t<strong>en</strong>sion <strong>de</strong> surface. Pour <strong>de</strong>s écoulem<strong>en</strong>ts diphasiques sans changem<strong>en</strong>t<strong>de</strong> phase, le paramètre d’ordre est souv<strong>en</strong>t associé à la fraction volumique ou la fraction massique<strong>de</strong> l’une <strong>de</strong>s <strong>de</strong>ux phases <strong>et</strong> l’équation d’évolution associée est l’équation <strong>de</strong> Cahn-Hilliard caractériséepar un terme <strong>en</strong> bi-laplaci<strong>en</strong>. Pour <strong>de</strong>s problèmes avec changem<strong>en</strong>t <strong>de</strong> phase, le paramètred’ordre n’a généralem<strong>en</strong>t pas <strong>de</strong> réelle signification physique <strong>et</strong> l’équation d’évolution associée estl’équation d’All<strong>en</strong>-Cahn caractérisée par un terme <strong>en</strong> laplaci<strong>en</strong>. De nombreuses ext<strong>en</strong>sions multiphasiques<strong>et</strong>/ou multiconstituants ont été proposées <strong>et</strong> nous citons ici à titre d’exemple les travaux<strong>de</strong> Lapuerta & al. (e.g. [25, 106]) pour une ext<strong>en</strong>sion dans le cas <strong>de</strong> trois phases non-miscibles <strong>et</strong>les travaux <strong>de</strong> Kessler [98] <strong>et</strong> Kim [99] pour <strong>de</strong>s ext<strong>en</strong>sions multiconstituants dans le cas diphasiqueavec ou sans changem<strong>en</strong>t <strong>de</strong> phase. Nous rappelons qu’il s’agit ici <strong>de</strong> construire un outil <strong>de</strong> simulationnumérique directe pour <strong>de</strong>s écoulem<strong>en</strong>ts diphasiques sans changem<strong>en</strong>t <strong>de</strong> phase dont l’une<strong>de</strong>s <strong>de</strong>ux phases est constituée <strong>de</strong> <strong>de</strong>ux espèces totalem<strong>en</strong>t miscibles. Si <strong>de</strong> nombreuses ext<strong>en</strong>sionsmultiphasiques <strong>et</strong>/ou multiconstituants ont été proposées, il n’existe pas à notre connaissance <strong>de</strong>modèles pour <strong>de</strong> tels écoulem<strong>en</strong>ts diphasiques compositionnels. On peut néanmoins citer les travaux<strong>de</strong> Kim [99] <strong>et</strong> Park & al. [121] pour <strong>de</strong>s mélanges partiellem<strong>en</strong>t ou totalem<strong>en</strong>t miscibles oùle terme <strong>en</strong> bi-laplaci<strong>en</strong> <strong>de</strong> l’équation <strong>de</strong> Cahn-Hilliard est assimilé à un terme <strong>de</strong> diffusion.Dans ce contexte, on propose dans ce travail un modèle <strong>de</strong> Cahn-Hilliard diphasique compositionnelconstruit sur la base d’une <strong>de</strong>scription du système selon trois paramètres d’ordre associésrespectivem<strong>en</strong>t au gaz, au corium <strong>et</strong> au béton fondu.20
I.5. Objectifs <strong>de</strong> l’étu<strong>de</strong>I.5 Objectifs <strong>de</strong> l’étu<strong>de</strong>L’objectif <strong>de</strong> ce travail est d’apporter une contribution à la modélisation <strong>de</strong>s échanges <strong>de</strong> masse<strong>et</strong> <strong>de</strong> chaleur dans le cadre <strong>de</strong> la problématique <strong>de</strong> l’interaction corium-béton. Nous avons indiquéprécé<strong>de</strong>mm<strong>en</strong>t que ce travail s’inscrivait dans le cadre plus général d’une <strong>de</strong>scription <strong>et</strong> d’une modélisationmulti-échelle <strong>de</strong>s échanges afin <strong>de</strong> contribuer à l’analyse <strong>et</strong> l’interprétation <strong>de</strong>s programmesexpérim<strong>en</strong>taux m<strong>en</strong>ées sur c<strong>et</strong>te problématique <strong>et</strong>, à terme, <strong>de</strong> proposer <strong>de</strong>s modèles d’échangespour les co<strong>de</strong>s d’évaluation réacteur. Après avoir prés<strong>en</strong>té les différ<strong>en</strong>tes échelles <strong>de</strong> <strong>de</strong>scriptionconsidérées <strong>et</strong> les outils <strong>de</strong> simulation existants, nous avons égalem<strong>en</strong>t précisé les <strong>de</strong>ux contributionsspécifiques <strong>de</strong> ce travail. La première est associée au problème du changem<strong>en</strong>t d’échelle <strong>et</strong>concerne la construction <strong>de</strong> conditions aux limites effectives. La <strong>de</strong>uxième est associée au problème<strong>de</strong> la <strong>de</strong>scription locale <strong>et</strong> concerne la construction d’un outil <strong>de</strong> simulation numérique directe <strong>de</strong>l’écoulem<strong>en</strong>t au voisinage du front d’ablation.Ainsi, nous abordons dans le chapitre (II) le problème <strong>de</strong> la construction <strong>de</strong> conditions auxlimites effectives. Devant la complexité du problème posé à l’échelle du front d’ablation, ces loissont construites pour un écoulem<strong>en</strong>t laminaire anisotherme sur parois rugueuses <strong>et</strong> testées numériquem<strong>en</strong>tpour un problème <strong>de</strong> convection naturelle dans une cavité rugueuse différ<strong>en</strong>tiellem<strong>en</strong>tchauffée. Si c<strong>et</strong>te contribution doit être vue comme une première étape pour les applications multiphasiquesvisées, l’intérêt du problème considéré est double. <strong>Les</strong> aspects turbul<strong>en</strong>ts <strong>et</strong> multiphasiquesétant abs<strong>en</strong>ts, ce problème prés<strong>en</strong>te, d’une part, l’intérêt d’isoler du problème du changem<strong>en</strong>td’échelle la construction <strong>de</strong> conditions aux limites effectives <strong>et</strong> d’estimer numériquem<strong>en</strong>t la qualité<strong>de</strong> l’approximation proposée par comparaison avec <strong>de</strong>s calculs directs. D’autre part, nous avonségalem<strong>en</strong>t indiqué que ce problème couplant l’écoulem<strong>en</strong>t au transport d’une gran<strong>de</strong>ur non-passivecorrespondant ici à la température pouvait être vu comme un problème modèle pour la modélisation<strong>de</strong>s aspects hétérogènes <strong>de</strong>s bétons pour les réacteurs actuels (REP) <strong>et</strong> les réacteurs d<strong>en</strong>ouvelle génération <strong>de</strong> type EPR. Dans ce travail, les lois <strong>de</strong> parois sont développées dans le cadred’une métho<strong>de</strong> <strong>de</strong> type décomposition <strong>de</strong> domaine [149] consistant à découper le domaine <strong>de</strong> calcul<strong>en</strong> un premier sous-domaine au sein duquel les échelles caractéristiques <strong>de</strong> variation correspond<strong>en</strong>tà la dim<strong>en</strong>sion caractéristique du domaine d’intérêt <strong>et</strong> un <strong>de</strong>uxième sous-domaine cont<strong>en</strong>ant lesvariations spatiales <strong>de</strong> l’ordre <strong>de</strong> la dim<strong>en</strong>sion <strong>de</strong>s rugosités. C<strong>et</strong>te décomposition à <strong>de</strong>ux échellesdu domaine, similaire à une décomposition <strong>en</strong> variables l<strong>en</strong>tes <strong>et</strong> rapi<strong>de</strong>s proposée par exemplepar Achdou & al. [3] dans le cadre d’une métho<strong>de</strong> d’homogénéisation, conduit naturellem<strong>en</strong>t à<strong>de</strong>ux systèmes d’EDPs macro-micro couplés par <strong>de</strong>s conditions <strong>de</strong> transmission <strong>de</strong> type Dirichl<strong>et</strong>-Neumann. Des conditions aux limites dites effectives, c’est-à-dire pour les variables macroscopiquesdu premier sous-domaine, à l’interface <strong>de</strong> couplage sont alors construites <strong>en</strong> s’inspirant <strong>de</strong> métho<strong>de</strong>sdéveloppées pour le changem<strong>en</strong>t d’échelle <strong>en</strong> milieu poreux [127]. Elles sont obt<strong>en</strong>ues sur la based’estimateurs <strong>de</strong>s champs <strong>de</strong> vitesse, <strong>de</strong> pression <strong>et</strong> <strong>de</strong> température dans le <strong>de</strong>uxième sous-domaines’appuyant sur la résolution <strong>de</strong> problèmes <strong>de</strong> ferm<strong>et</strong>ure locaux sur un motif représ<strong>en</strong>tatif <strong>de</strong>s rugosités.Ces lois sont testées numériquem<strong>en</strong>t par comparaison avec <strong>de</strong>s calculs directs t<strong>en</strong>ant compte<strong>de</strong>s rugosités <strong>et</strong> une étu<strong>de</strong> est m<strong>en</strong>ée sur le problème générique important du positionnem<strong>en</strong>t <strong>de</strong> lasurface effective.Dans le cas plus complexe <strong>de</strong>s écoulem<strong>en</strong>ts multiphasiques, nous avons indiqué que le développem<strong>en</strong>t<strong>de</strong> conditions effectives nécessitait au préalable <strong>de</strong> disposer d’un outil <strong>de</strong> simulation directeà la p<strong>et</strong>ite échelle. La construction d’un outil <strong>de</strong> simulation numérique directe d’écoulem<strong>en</strong>ts diphasiquesincompressibles sans changem<strong>en</strong>t <strong>de</strong> phase dont l’une <strong>de</strong>s <strong>de</strong>ux phases est constituée <strong>de</strong><strong>de</strong>ux espèces totalem<strong>en</strong>t miscibles fait l’obj<strong>et</strong> du chapitre (III). On propose un modèle <strong>de</strong> Cahn-Hilliard diphasique compositionnel s’appuyant d’une part sur une <strong>de</strong>scription du système selontrois paramètres d’ordre associées respectivem<strong>en</strong>t aux fractions volumiques du gaz <strong>et</strong> aux <strong>de</strong>uxespèces miscibles <strong>de</strong> la phase liqui<strong>de</strong> <strong>et</strong> d’autre part, sur une décomposition <strong>de</strong> l’énergie libre selonune contribution diphasique <strong>et</strong> une contribution compositionnelle. <strong>Les</strong> équations <strong>de</strong> transport du21
Chapitre I. <strong>Introduction</strong> généralemodèle sont obt<strong>en</strong>ues dans le cadre <strong>de</strong> la thermodynamique <strong>de</strong>s processus irréversibles selon <strong>de</strong>uxcontraintes pour la vitesse du mélange. La première contrainte est associée à la partie purem<strong>en</strong>tcompositionnelle <strong>et</strong> correspond à une définition baryc<strong>en</strong>trique classique <strong>de</strong> la vitesse du mélangepondérée par les masses volumiques. La <strong>de</strong>uxième contrainte est associée à la partie purem<strong>en</strong>t diphasique<strong>et</strong> correspond à une moy<strong>en</strong>ne volumique perm<strong>et</strong>tant dans ce cas <strong>de</strong> conserver une vitesse<strong>de</strong> mélange à diverg<strong>en</strong>ce nulle comme les autres métho<strong>de</strong>s <strong>de</strong> simulation numérique directe (e.g.VOF [20, 81] , Level-S<strong>et</strong> [64, 140], Front-Tracking [145, 146]). Sur la base <strong>de</strong> travaux existantsproposés pour un modèle <strong>de</strong> trois phases non-miscibles (e.g. [25, 26, 106]), le modèle est discrétisé<strong>en</strong> temps selon une métho<strong>de</strong> à pas fractionnaire découplant les équations <strong>de</strong> Cahn-Hilliard,<strong>de</strong> Navier-Stokes <strong>et</strong> d’énergie <strong>et</strong> la discrétisation <strong>en</strong> espace correspond à une métho<strong>de</strong> d’élém<strong>en</strong>tsfinis. Plusieurs expéri<strong>en</strong>ces numériques sont proposées illustrant la validité <strong>et</strong> les pot<strong>en</strong>tialités <strong>de</strong>la métho<strong>de</strong> <strong>et</strong> une approche originale est proposée pour le traitem<strong>en</strong>t <strong>de</strong>s conditions aux limitesartificielles <strong>de</strong> sortie.Enfin, nous abordons dans le chapitre (IV) le problème <strong>de</strong> la structure <strong>de</strong> la couche limite auvoisinage du front d’ablation par simulation numérique directe du problème diphasique compositionnelau voisinage du front d’ablation. Nous considérons dans un premier temps <strong>de</strong>s écoulem<strong>en</strong>tspurem<strong>en</strong>t compositionnels <strong>et</strong> couplons l’outil <strong>de</strong> simulation développé dans le chapitre (III) à unemétho<strong>de</strong> ALE pour décrire le déplacem<strong>en</strong>t du front d’ablation. Une étu<strong>de</strong> est m<strong>en</strong>ée sur le choix <strong>et</strong>l’influ<strong>en</strong>ce <strong>de</strong> la viscosité du mélange ainsi que sur la prise <strong>en</strong> compte <strong>de</strong> zones pâteuses selon uneviscosité effective. On considère pour c<strong>et</strong>te étu<strong>de</strong> <strong>de</strong>ux bétons mis <strong>en</strong> oeuvre dans les expéri<strong>en</strong>cesVULCANO (e.g. [31]) <strong>de</strong> type siliceux <strong>et</strong> silico-calcaire pour lesquels la fraction volumique soli<strong>de</strong> aété tabulée <strong>en</strong> fonction <strong>de</strong> la température <strong>et</strong> <strong>de</strong> la composition du mélange. Nous prés<strong>en</strong>tons <strong>en</strong>fin<strong>de</strong>s premiers résultats dans le cas diphasique compositionnel ainsi qu’une discussion préliminairesur la structure <strong>de</strong> la couche limite <strong>de</strong>s configurations étudiées.22
Chapter IIModèles <strong>de</strong> surfaces effectives pour<strong>de</strong>s écoulem<strong>en</strong>ts laminairesanisothermes sur parois rugueusesII.1 <strong>Introduction</strong>Nous avons vu dans le chapitre d’introduction générale qu’une modélisation macroscopique <strong>de</strong>sproblèmes m<strong>et</strong>tant <strong>en</strong> jeu plusieurs échelles <strong>de</strong> <strong>de</strong>scription soulevait le problème du changem<strong>en</strong>td’échelle. Nous avons <strong>en</strong> particulier indiqué que, pour un modèle macroscopique donné, les difficultésconcernai<strong>en</strong>t non seulem<strong>en</strong>t l’estimation <strong>de</strong>s coeffici<strong>en</strong>ts <strong>de</strong> transport effectifs du modèlemais égalem<strong>en</strong>t la construction <strong>de</strong> conditions aux limites effectives ou lois <strong>de</strong> parois. Ces difficultéssont bi<strong>en</strong> connues <strong>et</strong> ont fait l’obj<strong>et</strong> <strong>de</strong> nombreux travaux, <strong>en</strong> particulier pour les modélisations d<strong>et</strong>ype RANS <strong>de</strong>s problèmes d’écoulem<strong>en</strong>ts turbul<strong>en</strong>ts sur surface lisse ou rugueuse. La construction<strong>de</strong> conditions aux limites effectives a connu plus récemm<strong>en</strong>t un regain d’intérêt d’un point <strong>de</strong> vu<strong>et</strong>héorique dans le cas <strong>de</strong>s écoulem<strong>en</strong>ts laminaires sur surfaces rugueuses ou <strong>de</strong>s milieux poreux.Dans ce chapitre, nous développons <strong>de</strong>s conditions aux limites effectives pour <strong>de</strong>s écoulem<strong>en</strong>tslaminaires avec transfert <strong>de</strong> chaleur sur parois rugueuses dans le cadre d’une approximation <strong>de</strong>Boussinesq. Nous rappelons que si, pour les applications multiphasiques visées, c<strong>et</strong>te contributiondoit être vue comme une première étape, le problème considéré couplant l’écoulem<strong>en</strong>t au transportd’une gran<strong>de</strong>ur non-passive correspondant ici à la température constitue néanmoins un problèmemodèle pour l’étu<strong>de</strong> <strong>et</strong> la modélisation <strong>de</strong>s aspects hétérogènes <strong>de</strong>s bétons <strong>de</strong>s réacteurs actuels<strong>et</strong> <strong>de</strong> nouvelle génération <strong>de</strong> type EPR (European Pressure Reactor). Par exemple, pour lesbétons siliceux caractérisés par <strong>de</strong>s agrégats constitués majoritairem<strong>en</strong>t <strong>de</strong> silice à haut point <strong>de</strong>fusion comparativem<strong>en</strong>t au mortier, les développem<strong>en</strong>ts proposés peuv<strong>en</strong>t servir <strong>de</strong> base pour laconstruction <strong>de</strong> conditions effectives m<strong>et</strong>tant <strong>en</strong> jeu une température <strong>de</strong> fusion effective fonction<strong>de</strong> la distribution <strong>de</strong>s agrégats <strong>et</strong> <strong>de</strong> la structure <strong>de</strong>s rugosités au front d’ablation.<strong>Les</strong> conditions aux limites effectives sont développées dans le cadre d’une métho<strong>de</strong> <strong>de</strong> typedécomposition <strong>de</strong> domaine. Nous nous appuyons ici sur les développem<strong>en</strong>ts proposés par Véran& al. [149] <strong>en</strong> explicitant <strong>de</strong> manière détaillée les différ<strong>en</strong>tes étapes du changem<strong>en</strong>t d’échelle <strong>et</strong><strong>en</strong> soulignant égalem<strong>en</strong>t les li<strong>en</strong>s avec les métho<strong>de</strong>s <strong>de</strong> changem<strong>en</strong>t d’échelle s’appuyant soit sur<strong>de</strong>s techniques <strong>de</strong> développem<strong>en</strong>ts asymptotiques soit sur <strong>de</strong>s modélisations dites mésoscopiques.<strong>Les</strong> conditions effectives sont <strong>en</strong>suite testées sur un problème <strong>de</strong> convection naturelle dans unecavité rugueuse différ<strong>en</strong>tiellem<strong>en</strong>t chauffée. La qualité <strong>de</strong> l’approximation proposée est estimée <strong>en</strong>comparant, pour différ<strong>en</strong>ts nombre <strong>de</strong> Rayleigh, les calculs effectifs à <strong>de</strong>s calculs directs t<strong>en</strong>antcompte <strong>de</strong>s rugosités <strong>et</strong> une étu<strong>de</strong> est m<strong>en</strong>ée sur le problème générique du positionnem<strong>en</strong>t <strong>de</strong> lasurface effective, problème souv<strong>en</strong>t occulté dans les travaux antérieurs.23
Chapter II. Construction <strong>de</strong> conditions aux limites effectives sur paroisrugueusesCes travaux ont fait l’obj<strong>et</strong> d’un article soumis à une revue à comité <strong>de</strong> lecture [84] reproduitdans la section suivante.II.2 Article : Effective surface mo<strong>de</strong>ling for mom<strong>en</strong>tum and heattransfers over rough surfaces : application to a natural convectionproblemClém<strong>en</strong>t Introïni a,b , Michel Quintard b,c , Fabi<strong>en</strong> Duval aInternational Journal of Heat and Mass Transfera Institut <strong>de</strong> Radioprotection <strong>et</strong> <strong>de</strong> Sûr<strong>et</strong>é Nucléaire (IRSN),Direction <strong>de</strong> Prév<strong>en</strong>tion <strong>de</strong> Accid<strong>en</strong>ts Majeurs, BP3-13115 Saint-Paul-lez-Durance Ce<strong>de</strong>xb Université <strong>de</strong> Toulouse ; INPT, UPS ; IMFT, Toulouse, 1 Allée du Pr C. Soula,31400 Toulouse, Francec CNRS ; IMFT -F31400Abstract : In this paper, we propose effici<strong>en</strong>t and suitable effective surface mo<strong>de</strong>ls forsteady laminar flows with heat transfer over rough surfaces. These mo<strong>de</strong>ls are <strong>de</strong>veloped in theframe of a domain <strong>de</strong>composition m<strong>et</strong>hod and consist in replacing the rough boundaries by effectivesmooth surfaces on which effective boundary conditions or wall laws are prescribed. The associate<strong>de</strong>ffective properties, namely the effective friction and heat transfer coeffici<strong>en</strong>ts, are d<strong>et</strong>ermined bythe resolution of local closure problems over a repres<strong>en</strong>tative pattern of the roughnesses. Theimpact of the flow param<strong>et</strong>ers on these effective coeffici<strong>en</strong>ts is analyzed, which allows to obtainuseful estimates in some specific cases. Finally, numerical experim<strong>en</strong>ts are performed for a naturalconvection problem in a stamp shaped cavity to assess the validity of the proposed effective surfacemo<strong>de</strong>ls. Throughout these tests, we also study numerically the impact of the position of theeffective surface on mom<strong>en</strong>tum and heat transfers.Keywords : domain <strong>de</strong>composition m<strong>et</strong>hod, rough surfaces, effective boundary conditions,closure problems, laminar natural convection flow24
Nom<strong>en</strong>clatureGreek symbolsβ thermal expansion coeffici<strong>en</strong>t (K −1 )δδ 0ǫΓ 0iΓ 0Γ δΓ perΓ sΓ upΓ weffective surface position (m)fictitious surface position (m)= l/L small param<strong>et</strong>er in asymptotic expansions (dim<strong>en</strong>sionless)restriction of Γ 0 in Ω i (dim<strong>en</strong>sionless)fictitious surface (dim<strong>en</strong>sionless)effective surface (dim<strong>en</strong>sionless)periodic surface (dim<strong>en</strong>sionless)si<strong>de</strong> surface (dim<strong>en</strong>sionless)upper surface (dim<strong>en</strong>sionless)rough surface (dim<strong>en</strong>sionless)κ thermal diffusivity (m 2 .s −1 )µ dynamic viscosity (Pa.s)ΩΩ 1Ω 2Ω δΩ iglobal domain (dim<strong>en</strong>sionless)sub-domain associated with the l<strong>en</strong>gth scale L (dim<strong>en</strong>sionless)sub-domain associated with the l<strong>en</strong>gth scale l (dim<strong>en</strong>sionless)effective domain (dim<strong>en</strong>sionless)pseudo-periodic unit cell (dim<strong>en</strong>sionless)ρ d<strong>en</strong>sity (kg.m −3 )τ l = Re l µ 2 /ρl 2 imposed shear stress (s −1 )Roman symbols< Nu > averaged Nusselt number (dim<strong>en</strong>sionless)< Nu δ > averaged Nusselt number in the effective case (dim<strong>en</strong>sionless)< Nu r > averaged Nusselt number in the rough case (dim<strong>en</strong>sionless)25
Chapter II. Construction <strong>de</strong> conditions aux limites effectives sur paroisrugueuses< Nu s > averaged Nusselt number in the smooth case (dim<strong>en</strong>sionless)Aclosure variable for the velocity (dim<strong>en</strong>sionless)a closure variable for the pressure (Pa.s.m −1 )Bb∆T l∆T Llnn 0Pe lPe LPrRa lRa LRe lRe Lclosure variable for the velocity (m)closure variable for the pressure (Pa.s)micro-scale temperature differ<strong>en</strong>ce (K)macro-scale temperature differ<strong>en</strong>ce (K)micro-scale l<strong>en</strong>gth (m)exterior normal to Γ w (dim<strong>en</strong>sionless)exterior normal to Γ 0 (dim<strong>en</strong>sionless)= Ul/κ micro-scale Pécl<strong>et</strong> number (dim<strong>en</strong>sionless)= UL/κ macro-scale Pécl<strong>et</strong> number (dim<strong>en</strong>sionless)micro-scale Pécl<strong>et</strong> number (dim<strong>en</strong>sionless)= Prρ 2 β∆T l gl 3 /µ 2 micro-scale Rayleigh number (dim<strong>en</strong>sionless)= Prρ 2 β∆T L gL 3 /µ 2 macro-scale Rayleigh number (dim<strong>en</strong>sionless)= ǫρUl/µ micro-scale Reynolds number (dim<strong>en</strong>sionless)= ρUL/µ macro-scale Reynolds number (dim<strong>en</strong>sionless)ũ 2 spatial <strong>de</strong>viation velocity (m.s −1 )˜p 2˜T 2spatial <strong>de</strong>viation pressure (Pa)spatial <strong>de</strong>viation temperature (K)u velocity <strong>de</strong>fined in Ω (m.s −1 )u 1,0 spatial restriction of velocity on Γ 0 (m.s −1 )u 1,2 macro-scale velocity <strong>de</strong>fined in Ω 2 (m.s −1 )cclosure variable for the temperature (dim<strong>en</strong>sionless)C f,δ effective friction coeffici<strong>en</strong>t <strong>de</strong>fined on Γ δ (Pa.s.m −1 )C f effective friction coeffici<strong>en</strong>t <strong>de</strong>fined on Γ 0 (Pa.s.m −1 )dclosure variable for the temperature (m)g acceleration due to gravity (m.s −2 )h effective heat transfer coeffici<strong>en</strong>t <strong>de</strong>fined on Γ 0 (m.s −1 )h δ effective heat transfer coeffici<strong>en</strong>t <strong>de</strong>fined on Γ δ (m.s −1 )Lmacro-scale l<strong>en</strong>gth (m)26
II.2. Effective surface mo<strong>de</strong>ling for mom<strong>en</strong>tum and heat transfers over roughsurfacespp 1,0p 1,2TT 1,0T 1,2T rT wpressure <strong>de</strong>fined in Ω (Pa)spatial restriction of pressure on Γ 0 (Pa)macro-scale pressure <strong>de</strong>fined in Ω 2 (Pa)temperature <strong>de</strong>fined in Ω (K)spatial restriction of temperature on Γ 0 (K)macro-scale temperature <strong>de</strong>fined in Ω 2 (K)refer<strong>en</strong>ce temperature <strong>de</strong>fined in Ω (K)temperature <strong>de</strong>fined on Γ w (K)U magnitu<strong>de</strong> of the macro-scale velocity (m.s −1 )xyabscissa (m)ordinate (m)II.2.1 <strong>Introduction</strong>Fluid flow with heat and mass transfer over rough surfaces appears in a large number of situationsof practical interest including geophysical applications to study, for instance, ocean-ice exchanges,<strong>de</strong>sign of heat-exchangers or, in the aerospace context, the <strong>de</strong>sign of thermal barriers in re<strong>en</strong>tryvehicle configurations. Transport ph<strong>en</strong>om<strong>en</strong>a over rough surfaces also take an important placein nuclear saf<strong>et</strong>y studies. As a first example, in the case of an accid<strong>en</strong>tal release of radioactivewastes, there is a strong interest to predict the dispersion of the radioactive elem<strong>en</strong>ts in th<strong>en</strong>ear field release region (e.g. [123]). In this situation, the roughnesses that correspond to boththe veg<strong>et</strong>al and the urban canopies remain much smaller than the near field region dim<strong>en</strong>sionsbut play an important role in the dispersion and the <strong>de</strong>position process and, therefore, in thesource term evaluation. In the context of severe accid<strong>en</strong>t conditions, another situation of interestconcerns the issue of molt<strong>en</strong> core and concr<strong>et</strong>e interaction where a molt<strong>en</strong> mixture of core andvessel structures comes to interact with the concr<strong>et</strong>e basem<strong>en</strong>t of the nuclear plant (e.g. [82, 94]).During the concr<strong>et</strong>e ablation process, roughnesses appear both at small scales due to concr<strong>et</strong>eh<strong>et</strong>erog<strong>en</strong>eities (mortar, silica aggregates, ...) and at intermediate scales due to vigorous mixing(bubbling, compositional convection). Here again, the roughnesses remain smaller than the domainof interest which corresponds here to the reactor pit but are likely to alter the heat fluxes alongthe cavity shape and th<strong>en</strong> the melting-throw time.To tackle numerically these kinds of problems, two approaches are traditionally followed <strong>de</strong>p<strong>en</strong>dingon the or<strong>de</strong>r of magnitu<strong>de</strong> of the characteristic l<strong>en</strong>gth scale l of the roughness compared tothe macro-scale dim<strong>en</strong>sion L of the domain of interest. On the one hand, wh<strong>en</strong> the two characteristicl<strong>en</strong>gth scales have the same or<strong>de</strong>r of magnitu<strong>de</strong>, it is still possible to <strong>de</strong>scribe the complicatedroughness geom<strong>et</strong>ry since Direct Numerical Simulations (DNSs) remain tractable. On the otherhand, wh<strong>en</strong> l ≪ L, DNSs become too exp<strong>en</strong>sive and cannot be achieved anymore for practical applications,especially for three-dim<strong>en</strong>sional applications. In this case, the problem is characterizedby two separated scales l and L which are referred to as the micro- and the macro-scale respectively.Th<strong>en</strong>, the traditional way of solving these problems consists in <strong>de</strong>scribing the micro-scaleaverage behavior by means of effective surface mo<strong>de</strong>ls, which replace the h<strong>et</strong>erog<strong>en</strong>eous boundaryby a smooth surface on which effective conditions or wall laws are prescribed. While such wall laws27
Chapter II. Construction <strong>de</strong> conditions aux limites effectives sur paroisrugueuseshave be<strong>en</strong> the subject of numerous studies in the case of turbul<strong>en</strong>t flow over rough surfaces, thebuilding of these laws in the case of laminar flow has received more rec<strong>en</strong>tly a regain of att<strong>en</strong>tionfrom a theor<strong>et</strong>ical point of view. A large number of studies have be<strong>en</strong> <strong>de</strong>voted to the <strong>de</strong>rivation ofeffective boundary conditions for laminar flows over rough surfaces using homog<strong>en</strong>ization m<strong>et</strong>hodology(e.g. [3, 12, 114]). The obtained wall law, for the mom<strong>en</strong>tum equation, takes the form ofa Navier boundary condition that relates the macro-scale tang<strong>en</strong>tial velocity to the macro-scaleshear rate through an effective friction coeffici<strong>en</strong>t, which has to be d<strong>et</strong>ermined by solving a localboundary value problem. In microfluidics, the <strong>de</strong>rivation of effective conditions has also be<strong>en</strong> thesubject of numerous studies for laminar flows over rough and hydrophobic surfaces (e.g. [124]).In such applications involving nano-scales geom<strong>et</strong>ries, the corresponding effective conditions arereferred to as the effective stick-slip boundary condition. This latter example, however, may beconsi<strong>de</strong>red as slightly differ<strong>en</strong>t of the exposed problem since an additional l<strong>en</strong>gth-scale may play animportant role, namely, the particle mean free path. For flows over porous media, which pres<strong>en</strong>tsome similarities with the rough surface case, the <strong>de</strong>velopm<strong>en</strong>t of effective boundary conditions hasalso be<strong>en</strong> revisited since the semi-empirical relation of Beavers and Joseph [14] through differ<strong>en</strong>tup-scaling m<strong>et</strong>hods such as the volume averaging approach [70], matched asymptotic expansions[37] and multi-scale asymptotics [9, 86] to cite among others.In the pres<strong>en</strong>t paper, we are interested in building effective boundary conditions for steadylaminar flows with heat transfer by a domain <strong>de</strong>composition m<strong>et</strong>hod. As this study constitutes afirst step towards more complicated problems such as those listed above for nuclear saf<strong>et</strong>y studyanalysis, this relatively simplified problem constitutes a mo<strong>de</strong>l problem coupling flow with th<strong>et</strong>ransport of a non-passive scalar. Such a problem has received consi<strong>de</strong>rable att<strong>en</strong>tion (e.g. [4, 90,153]) to investigate the impact of roughnesses on heat transfer. It has be<strong>en</strong> emphasized that thepres<strong>en</strong>ce of roughnesses leads to an <strong>en</strong>hancem<strong>en</strong>t of the total heat transfer rate, which is influ<strong>en</strong>cedby differ<strong>en</strong>t param<strong>et</strong>ers such as, for example, the wavel<strong>en</strong>gth and the amplitu<strong>de</strong> of the roughnesses.To be specific about the problem un<strong>de</strong>r consi<strong>de</strong>ration, we focus in this work on steady laminarnatural convection flows over rough surfaces in the frame of the Boussinesq approximation and werefer to the Fig.III.1 in which we have shown the geom<strong>et</strong>rical features of the domain Ω with roughboundary Γ w . The boundary value problem used to <strong>de</strong>scribe mom<strong>en</strong>tum and heat transfer is giv<strong>en</strong>byρ (u · ∇)u + ∇p = µ∇ 2 u − ρβ(T − T r )g in Ω(II.1a)∇ · u = 0 in Ω (II.1b)u · ∇T = κ∇ 2 T in Ω (II.1c)u = 0 on Γ w(II.1d)(BC1) T = T w on Γ w (II.1e)(BC2) n · ∇T = 0 on Γ w (II.1f)where p is the <strong>de</strong>viation from the hydrostatic pressure, µ is the dynamic viscosity, β the thermalexpansion coeffici<strong>en</strong>t, κ the thermal diffusivity and T r d<strong>en</strong>otes some refer<strong>en</strong>ce temperature.Regarding the boundary conditions imposed on the rough surface Γ w , no-slip condition isprescribed for the mom<strong>en</strong>tum transfer problem while, for the heat transfer problem, either animposed temperature condition (BC1) or a Neumann homog<strong>en</strong>eous condition (BC2) is prescribed.In or<strong>de</strong>r to characterize the natural convection flow in Ω, we introduce the macro-scale Rayleighnumber Ra L <strong>de</strong>fined byRa L = Pr ρ2 β∆T L gL 3µ 2 (II.2)where ∆T L d<strong>en</strong>otes some macro-scale temperature differ<strong>en</strong>ce. In the same way, the macro-scale28
II.2. Effective surface mo<strong>de</strong>ling for mom<strong>en</strong>tum and heat transfers over roughsurfacesgLΩΓ wl ≪ LlFigure II.1: Schematic repres<strong>en</strong>tation of an incompressible laminar over a rough surface Γ wReynolds number Re L and the macro-scale Pécl<strong>et</strong> number Pe L are introduced in or<strong>de</strong>r to characterizerespectively flow and heat transfer at the L-scale. They are <strong>de</strong>fined byRe L = ρULµ; Pe L = ULκ(II.3)where U d<strong>en</strong>otes the magnitu<strong>de</strong> of the macro-scale velocity. In this study, the micro-scale fluctuationsof the temperature and velocity fields due to the pres<strong>en</strong>ce of h<strong>et</strong>erog<strong>en</strong>eities are assumedto vanish far <strong>en</strong>ough above the rough surface Γ w . Un<strong>de</strong>r these circumstances, a multi-domain<strong>de</strong>composition approach can be followed to build an approximate solution that results in effectiveboundary conditions prescribed on a smooth effective surface. Firstly introduced by Achdou & al.[2] for mom<strong>en</strong>tum transfer problem, the concept of domain <strong>de</strong>composition has be<strong>en</strong> rec<strong>en</strong>tly usedby Veran & al. [149] for a problem of laminar flow over rough reactive walls. Here, such a conceptis ext<strong>en</strong><strong>de</strong>d for both mom<strong>en</strong>tum and heat transfer problems. The principle of this multi-domain<strong>de</strong>composition approach is the object of the first part, section (II.2.2), and th<strong>en</strong> effective boundaryconditions are built for both the mom<strong>en</strong>tum and heat transfer problems in section (II.3). Throughoutthe <strong>de</strong>velopm<strong>en</strong>ts, the roughnesses are assumed to be small compared to the viscous and th<strong>et</strong>hermal boundary layers. This constitutes one of the main assumptions for the validity of theproposed approach allowing to disregard non-local effects for the building of effective conditions(i.e., effective conditions at a giv<strong>en</strong> point that would <strong>de</strong>p<strong>en</strong>d on the <strong>en</strong>tire L-scale fields, and notonly on the local ones). Finally, in section (II.3.3), numerical experim<strong>en</strong>ts are performed for a naturalconvection problem in a rough or stamp shaped cavity to assess the validity of the proposedapproach. Both DNSs and effective calculations are carried out for macro-scale Rayleigh numberRa L ranging from 10 3 to 10 8 . We show in particular that the average behavior of the rough surfaceis correctly <strong>de</strong>scribed by the effective conditions for Ra L ≤ 10 7 whereas our approach fails forlarger values, i.e., Ra L = 10 8 . In this last section, we also discuss the important question of theposition of the effective surface. Interestingly for practical purposes, we will see that the optimalposition is giv<strong>en</strong> by the effective l<strong>en</strong>gth at which the mom<strong>en</strong>tum effective condition <strong>de</strong>g<strong>en</strong>eratesinto a no-slip boundary condition.29
Chapter II. Construction <strong>de</strong> conditions aux limites effectives sur paroisrugueusesII.2.2 Domain <strong>de</strong>composition m<strong>et</strong>hodIn the system illustrated in Fig.III.2, the initial domain Ω is limited by an upper surface Γ up and bysi<strong>de</strong> surfaces Γ s . The foregoing <strong>de</strong>velopm<strong>en</strong>ts do not <strong>de</strong>p<strong>en</strong>d on the boundary conditions prescribedon these surfaces. Therefore, they will only be introduced later on the numerical experim<strong>en</strong>ts. AsgΓ sLΓ wδ 0Γ wiΩΓ s(u, p, T)Γ upyLΩ 1Γ s(u 1, p 1, T 1)gxn 0Γ per Ω i Γ perδ 0 lΩ 2Γ 0iΓ 0Γ uplΓ syxΓ w(u 2, p 2, T 2)Figure II.2: Schematic domain <strong>de</strong>composition principle. First, the initial domain Ω is divi<strong>de</strong>d intotwo sub-domains Ω 1 and Ω 2 . Second, the study at the l-scale is limited to a pseudo-periodic unitcell Ω i .previously m<strong>en</strong>tioned, the pres<strong>en</strong>ce of roughnesses leads to consi<strong>de</strong>r two characteristic l<strong>en</strong>gth scales,l and L, respectively associated with the fluctuating micro-scale behavior near roughnesses and themacro-scale smooth behavior suffici<strong>en</strong>tly far from the rough boundary. Such a two-scale distinctionsuggests naturally to split the domain Ω in two sub-domains as shown in Fig.III.2. On the onehand, we <strong>de</strong>fine a sub-domain Ω 1 (with ⋆ 1 quantities), in which the velocity and temperature fieldsun<strong>de</strong>rgo significant variations over the large characteristic l<strong>en</strong>gth scale L. On the other hand, we<strong>de</strong>fine a sub-domain Ω 2 (with ⋆ 2 quantities,) in which the rough surface is contained and the fieldsvary significantly with the l-scale. According to this domain <strong>de</strong>composition and on the basis of(II.1), one can write two boundary value problems as• Problem I (in Ω 1 )ρ (u 1 · ∇)u 1 + ∇p 1 = µ∇ 2 u 1 − ρβ(T 1 − T r )g in Ω 1 (II.4a)∇ · u 1 = 0 in Ω 1 (II.4b)u 1 · ∇T 1 = κ∇ 2 T 1 in Ω 1 (II.4c)u 1 = F (x, y) on Γ up (II.4d)u 1 = G (x, y) on Γ s \ Ω 1 (II.4e)30
II.3. Effective boundary conditions• Problem II (in Ω 2 )ρ (u 2 · ∇)u 2 + ∇p 2 = µ∇ 2 u 2 − ρβ(T 2 − T r )g in Ω 2 (II.5a)∇ · u 2 = 0 in Ω 2 (II.5b)u 2 = 0 on Γ w (II.5c)u 2 · ∇T 2 = κ∇ 2 T 2 in Ω 2 (II.5d)(BC1) T 2 = T w on Γ w (II.5e)(BC2) n · ∇T 2 = 0 on Γ w (II.5f)u 2 = G (x, y) on Γ s \ Ω 2 (II.5g)T 2 = H (x, y) on Γ s \ Ω 2 (II.5h)These two boundary value problems are coupled through a fictitious surface Γ 0 located at a distanceδ 0 from Γ w (cf. Fig.III.2). As pointed out by Veran & al. [149], the position of Γ 0 is somewhatarbitrary ev<strong>en</strong> if upper and lower bounds can be exhibited according to the micro- macro-scale<strong>de</strong>composition. In<strong>de</strong>ed, on the one hand, this surface must be located suffici<strong>en</strong>tly high above Γ wso that all perturbations caused by the roughnesses are contained in Ω 2 . On the other hand,as stated in the introduction, our objective is to build effective conditions prescribed on Γ 0 thatapproximate the average behavior of the micro-scale region. H<strong>en</strong>ce, there certainly exists an upperbound in or<strong>de</strong>r for the approximate solution to be valid. We will discuss this point throughout the<strong>de</strong>velopm<strong>en</strong>t of effective conditions.As Γ 0 is not <strong>de</strong>fined by any id<strong>en</strong>tified physical ph<strong>en</strong>om<strong>en</strong>on and corresponds only to a couplingsurface, the following transmission boundary conditions applyu 1 = u 2 on Γ 0 (II.6a)n 0 · (−p 1 I + µ∇u 1 ) = n 0 · (−p 2 I + µ∇u 2 ) on Γ 0 (II.6b)T 1 = T 2 on Γ 0 (II.6c)n 0 · (−κ∇T 1 ) = n 0 · (−κ∇T 2 ) on Γ 0 (II.6d)where n 0 repres<strong>en</strong>ts the unit normal directed from Γ 0 towards Γ w . As in the frame of domain<strong>de</strong>composition m<strong>et</strong>hods [126], the relationships (II.6) are referred to as a Dirichl<strong>et</strong>-to-Neumannoperator. Since in Ω 1 the variables are slowly varying and in Ω 2 they are rapidly varying, thisDirichl<strong>et</strong>-to-Neumann operator may also be se<strong>en</strong> as matching conditions in the frame of the m<strong>et</strong>hodof matched asymptotic expansions where Ω 1 and Ω 2 play the role of the inner and the outer regions[38, 37].As stated in the introduction, rather than tackle numerically this problem following the procedureemployed by domain <strong>de</strong>composition m<strong>et</strong>hods (e.g. [126]), our objective is to build anapproximation of the Dirichl<strong>et</strong>-to-Neumann operator <strong>de</strong>fined by (II.6) through effective boundaryconditions. This approximate solution is built following similar i<strong>de</strong>as used in up-scaling m<strong>et</strong>hodsfor porous media [127]. The resulting approximate problem consists in solving the macro-scaleproblem with effective boundary conditions, or wall laws, that are prescribed on a smooth homog<strong>en</strong>eoussurface, also called effective surface. The role of this surface is to <strong>de</strong>scribe the averagebehavior of the h<strong>et</strong>erog<strong>en</strong>eous one in the same conditions. In the pres<strong>en</strong>t paper, effective boundaryconditions are <strong>de</strong>veloped for the mom<strong>en</strong>tum and heat transfer problems, thereby a closed form ofthe boundary value problem in Ω 1 for (u 1 , p 1 , T 1 ) is obtained.II.3 Effective boundary conditionsIn the frame of domain <strong>de</strong>composition-like m<strong>et</strong>hods, several studies have be<strong>en</strong> <strong>de</strong>voted to the<strong>de</strong>rivation of effective boundary conditions for laminar flows over rough surfaces. To our knowl-31
Chapter II. Construction <strong>de</strong> conditions aux limites effectives sur paroisrugueusesedge, Carrau [33] was the first to propose wall laws over periodic surfaces using a homog<strong>en</strong>izationprocedure. The approach used in [33] is similar to the one we use in the pres<strong>en</strong>t paper. The maindiffer<strong>en</strong>ces lie in the treatm<strong>en</strong>t of the effective surface, or the coupling surface [33], which willbe discussed later. Th<strong>en</strong>, wall laws for laminar steady and unsteady flows have be<strong>en</strong> constructedwithin the framework of two-scale asymptotic expansion techniques by Achdou & al. [3], Barr<strong>en</strong>echea& al. [11], Basson <strong>et</strong> Gerard-Var<strong>et</strong> [12] and Mikelic <strong>et</strong> Devigne [114]. In a rec<strong>en</strong>t paper,Veran & al. [149] have used a multi-domain <strong>de</strong>composition approach to obtain effective boundaryconditions for mom<strong>en</strong>tum and mass transfer problems over rough reactive surfaces. As a continuationof the work proposed by Veran & al. [149], we <strong>de</strong>velop here effective boundary conditions formom<strong>en</strong>tum and heat transfer problems. The <strong>de</strong>velopm<strong>en</strong>t of the effective boundary conditions forthe mom<strong>en</strong>tum problem is revisited through a compreh<strong>en</strong>sive analysis following similar i<strong>de</strong>as usedin up-scaling m<strong>et</strong>hods for porous media [127] while highlighting some links with other proposedapproaches such as multiple scale asymptotics (e.g. [3]) or meso-scale mo<strong>de</strong>ling (e.g. [38, 119]).Before building effective conditions, we adopt here the simplified assumption that the mom<strong>en</strong>tumand heat transfer problems can be uncoupled at the l-scale in Ω 2 . This is done by neglectingthe buoyancy term ρβ(T 2 − T r )g in Eq.(II.5a) thanks to the following estimateRa l ≪ 1(II.7)where Ra l = Prρ 2 β∆T l gl 3 /µ 2 is the micro-scale Rayleigh number characterizing the naturalconvection at the l-scale. The relationship b<strong>et</strong>we<strong>en</strong> this micro-scale Rayleigh number Ra l and themacro-scale one Ra L (<strong>de</strong>fined by (II.2)) is giv<strong>en</strong> byRa l = Ra L ǫ 3 ∆T l∆T L(II.8)where ǫ = l/L. From this relationship, the <strong>de</strong>coupling assumption giv<strong>en</strong> by (II.7) appears to bevalid provi<strong>de</strong>d that the following constraint is satisfiedǫ 3 ∆T l∆T L≪ 1Ra L(II.9)It appears to be difficult to give precise estimates for ∆T l and thus to assess the validity of theconstraint (II.9). H<strong>en</strong>ce, at this stage, we just provi<strong>de</strong> below rough estimates that permit to satisfythis constraint. This is done by assuming that the roughnesses are well contained in the boundarylayer. In<strong>de</strong>ed, on the one hand, for vertical walls, the boundary layer thickness is of or<strong>de</strong>r Ra −1/4L[69]. Therefore, the rough estimate ∆T l ∼ ǫ∆T L is suffici<strong>en</strong>t to satisfy the <strong>de</strong>coupling assumptionRa l ≪ 1. On the other hand, for horizontal walls, the boundary layer thickness is of or<strong>de</strong>r Ra −1/5L[135]. In this case, a more restrictive estimate in terms of ∆T l ∼ ǫ 2 ∆T L has to be adopted inor<strong>de</strong>r to satisfy the <strong>de</strong>coupling assumption. In this study, we assume that the rough estimate∆T l ∼ ǫ∆T L is valid. As such an estimate seems to be reasonable, it is non<strong>et</strong>heless more difficultto prove it and we acknowledge that the resulting <strong>de</strong>coupling assumption may be too drastic inmany situations. In our numerical experim<strong>en</strong>ts, ev<strong>en</strong> if the proposed effective boundary conditionslead to satisfactory results for Ra L up to 10 8 (cf. section (II.3.3)), it will be interesting to assessthe validity of this <strong>de</strong>coupling assumption on more difficult problems.Thanks to the previous <strong>de</strong>coupling assumption, the mom<strong>en</strong>tum and heat transfer problems canbe solved in<strong>de</strong>p<strong>en</strong>d<strong>en</strong>tly and the related effective conditions can also be treated in<strong>de</strong>p<strong>en</strong>d<strong>en</strong>tly.II.3.1 Mom<strong>en</strong>tum effective boundary conditionAs stated previously, since the mom<strong>en</strong>tum and heat transfer problems can be solved in<strong>de</strong>p<strong>en</strong>d<strong>en</strong>tly,the building of the related effective conditions can also be treated in<strong>de</strong>p<strong>en</strong>d<strong>en</strong>tly and we begin here32
II.3. Effective boundary conditionswith the mom<strong>en</strong>tum effective boundary condition. Discarding the buoyancy coupling term, themom<strong>en</strong>tum transfer problem in Ω 2 is now giv<strong>en</strong> byρ (u 2 · ∇)u 2 + ∇p 2 = µ∇ 2 u 2 in Ω 2 (II.10a)∇ · u 2 = 0 in Ω 2 (II.10b)u 2 = 0 on Γ w (II.10c)n 0 · (−p 2 I + µ∇u 2 ) = n 0 · (−p 1 I + µ∇u 1 ) on Γ 0 (II.10d)u 2 = G (x, y) on Γ s \ Ω 2 (II.10e)Here, a mom<strong>en</strong>tum effective boundary condition is built in the frame of the approximation of theDirichl<strong>et</strong>-to-Neumann operator (II.6a)-(II.6b). Such an approximation is based on estimates of thevelocity and pressure fields (u 2 , p 2 ) in Ω 2 which rely on the resolution of local closure problems ina pseudo-periodic unit cell Ω i . To accomplish this, the first step consists in writing the micro-scalevariables as sum of a macro-scale term (with ⋆ 1,2 quantities) which un<strong>de</strong>rgoes significant variationsonly over the large l<strong>en</strong>gth scale L and a <strong>de</strong>viation term (with ˜⋆ quantities) for which the associateddominant l<strong>en</strong>gth scale is l. These spatial <strong>de</strong>compositions readu 2 = u 1,2 + ũ 2 (II.11a)p 2 = p 1,2 + ˜p 2 (II.11b)At this stage, the macro-scale terms u 1,2 and p 1,2 remain to be <strong>de</strong>fined in the sub-domain Ω 2 . Here,they are approximated by the following Taylor expansions in the normal direction to the fictitioussurface Γ 0u 1,2 = u 1,0 + ∑ k≥0y kk! ∂k yu 1,0 (II.12a)p 1,2= p 1,0 + ∑ k≥0y kk! ∂k yp 1,0 (II.12b)where the subscript ⋆ 1,0 d<strong>en</strong>ote the spatial restriction of the fields (u 1 , p 1 ) on Γ 0 . These approximationshave to be compared to the meso-scale mo<strong>de</strong>ling introduced by Ochoa-Tapia and Whitaker[119] or Jam<strong>et</strong> and Chan<strong>de</strong>sris [38] for the <strong>de</strong>velopm<strong>en</strong>t of effective boundary conditions b<strong>et</strong>we<strong>en</strong>a porous medium and a free fluid region. To be explicit about this analogy, the estimate of themacro-scale terms in Ω 2 , u 1,2 and p 1,2 <strong>de</strong>fined by (II.12) or T 1,2 introduced later in (II.43) forthe heat transfer problem, can be viewed as the meso-scale fields introduced in [38] where thesub-domains Ω 1 and Ω 2 play respectively the role of the homog<strong>en</strong>eous free fluid region and theh<strong>et</strong>erog<strong>en</strong>eous transition region. Here, the meso-scale fields are simply giv<strong>en</strong> by a Taylor expansionfrom the coupling surface rather than satisfying a boundary value problem with highly varyingcoeffici<strong>en</strong>ts. The dim<strong>en</strong>sionless form of the relationships (II.12) (⋆ + quantities) is giv<strong>en</strong> byu + 1,2 ∼ u + 1,0 + ∑ k≥0p + 1,2 ∼ p 1+,0 + ∑ k≥0ǫ k yk+k! ∂k yu 1,0+ǫ k yk+k! ∂k yp 1,0+(II.13a)(II.13b)Un<strong>de</strong>r the dim<strong>en</strong>sionless form, these approximations may be se<strong>en</strong> as asymptotic expansions inwhich ǫ = l/L acts as the small param<strong>et</strong>er [3]. As a consequ<strong>en</strong>ce, we will adopt the terminology33
Chapter II. Construction <strong>de</strong> conditions aux limites effectives sur paroisrugueusesused in [3] associating the or<strong>de</strong>r of the effective conditions with the small param<strong>et</strong>er ǫ. Now, theestimates (II.11) tog<strong>et</strong>her with (II.12) are substituted in (II.10) yielding⎛⎞ ⎛⎞y kk! ∂k yu 1,0⎠y k· ∇k! ∂k yu 1,0⎠ + ρu 1,0 · ∇u 1,0 +ρ ⎝ũ 2 + ∑ k≥1⎝ũ 2 + ∑ k≥0ρyu 1,0 · ∇ (∂ y u 1,0 ) + ρu 1,0 · ∇ ⎝ũ 2 + ∑ k≥2⎛∇ ⎝˜p 2 + ∑ k≥2⎛⎞y kk! ∂k yu 1,0⎠ + ∇p 1,0 + y∂ x ∂ y p 1,0 e 1 +⎞ ⎛⎞y kk! ∂k yp 1,0⎠ = µ∇ 2 ⎝ũ 2 + y∂ y u 1,0 + ∑ y kk! ∂k yu 1,0⎠ + µ∇ 2 u 1,0k≥3⎛∇ · ⎝ũ 2 + ∑ k≥0+µ y22 ∂2 xx∂yyu 2 1,0 in Ω 2 (II.14a)⎞y kk! ∂k yu 1,0⎠ = 0 in Ω 2 (II.14b)ũ 2 + ∑ y kk! ∂k yu 1,0 = 0 on Γ wk≥0(II.14c)n 0 · (−˜p 2 I + µ∇ũ 2 ) = 0 on Γ 0(II.14d)ũ 2 + ∑ y kk! ∂k yu 1,0 = G (x, y)k≥0on Γ s \ Ω 2 (II.14e)where e 1 = (1,0) T in Eq.(II.14b). Th<strong>en</strong>, since the Navier-Stokes equations Eqs.(II.4a)-(II.4b) aresatisfied on the fictitious surface Γ 0 , we can write the boundary value problem (II.14) as⎛⎞ ⎛⎞ρ ⎝ũ 2 + ∑ y kk! ∂k yu 1,0⎠ · ∇ ⎝ũ 2 + ∑ y kk! ∂k yu 1,0⎠+ ρyu 1,0 · ∇ (∂ y u 1,0 ) +k≥1k≥0⎛⎞⎛⎞y kk! ∂k yu 1,0⎠y k+ y∂ x ∂ y p 1,0 e 1 +∇k! ∂k yp 1,0⎠+ρu 1,0 · ∇ ⎝ũ 2 + ∑ k≥2⎝˜p 2 + ∑ k≥2⎛⎞= µ∇ 2 ⎝ũ 2 + y∂ y u 1,0 + ∑ y kk! ∂k yu 1,0⎠ + µ y22 ∂2 xx∂yyu 2 1,0 in Ω 2 (II.15a)k≥3⎛⎞∇ · ⎝ũ 2 + ∑ y kk! ∂k yu 1,0⎠ = 0 in Ω 2 (II.15b)k≥1ũ 2 + ∑ y kk! ∂k yu 1,0 = 0 on Γ wk≥0(II.15c)n 0 · (−˜p 2 I + µ∇ũ 2 ) = 0 on Γ 0(II.15d)ũ 2 + ∑ y kk! ∂k yu 1,0 = G (x, y)k≥0on Γ s \ Ω 2 (II.15e)This result can be simplified by estimating the or<strong>de</strong>r of magnitu<strong>de</strong> of its differ<strong>en</strong>t terms. With thisobjective, the or<strong>de</strong>r of magnitu<strong>de</strong> of the spatial <strong>de</strong>viations have to be estimated. The key to thisestimation are the boundary conditions giv<strong>en</strong> by Eqs.(II.15c)-(II.15d). Keeping in mind that the34
II.3. Effective boundary conditionsl<strong>en</strong>gth scales associated with the spatial <strong>de</strong>viations and the macro-scale terms are respectively land L, the boundary condition (II.15c) suggestsO (ũ 2 ) ∼ O (u 1,0 )(II.16)No precise estimate is available for u 1,0 . However, if we assume that the coupling surface is wellcontained in the laminar boundary layer, we can adopt the following rough estimateO (u 1,0 ) ∼ O (ǫU)(II.17)where we recall that U is the magnitu<strong>de</strong> of the macro-scale velocity. This rough estimate immediatelyleads to O (ũ 2 ) ∼ O (ǫU). Th<strong>en</strong>, by using this latter estimate tog<strong>et</strong>her with (II.15d), weobtain)(O (˜p 2 ) ∼ O µ ǫU l∼ O(ρ ǫ2 U 2 )Re l(II.18)where Re l is the micro-scale Reynolds number <strong>de</strong>fined by Re l = ρǫUl/µ. At this stage, it is moreconv<strong>en</strong>i<strong>en</strong>t to write the dim<strong>en</strong>sionless form of the boundary value problem (II.15) in or<strong>de</strong>r to makefurther simplifications. On the basis of the previous estimates, one finds⎛⎞ ⎛⎞Re l ǫρ ǫ k ykk! ∂k yu 1,0⎠ · ∇ ǫ k+1ykk! ∂k yu 1,0⎠ + Re l ǫ 2 ρyu 1,0 · ∇ (∂ y u 1,0 ) +⎝ũ 2 + ∑ k≥1⎛+Re l ǫρu 1,0 · ∇ ⎝ũ 2 + ∑ k≥2⎝ũ 2 + ∑ k≥0⎞ǫ k+1ykk! ∂k yu 1,0⎛⎞⎠ + ǫ 3 y∂ x ∂ y p 1,0 e 1 +∇ ⎝ǫ˜p 2 + ∑ ǫ k+2ykk! ∂k yp 1,0⎠k≥2⎞k! ∂k yu 1,0⎠ +ǫ 4y22 ∂2 xx∂yyu 2 1,0 in Ω 2 (II.19a)⎛⎞∇ · ⎝ũ 2 + ∑ ǫ k ykk! ∂k yu 1,0⎠ = 0 in Ω 2 (II.19b)k≥0⎛= ∇ 2 ⎝ũ 2 + ǫ 3 y∂ y u 1,0 + ∑ ǫ k+2ykk≥3ũ 2 + ∑ k≥0ũ 2 + ∑ k≥0ǫ k ykk! ∂k yu 1,0 = 0 on Γ w (II.19c)n 0 · (−˜p 2 I + µ∇ũ 2 ) = 0 on Γ 0(II.19d)ǫ k ykk! ∂k yu 1,0 = G (x, y) on Γ s \ Ω 2 (II.19e)where the superscript + have be<strong>en</strong> omitted in or<strong>de</strong>r to simplify the notations. The relationshipb<strong>et</strong>we<strong>en</strong> the micro-scale Reynolds number Re l and the macro-scale one Re L (<strong>de</strong>fined by (II.3)) isgiv<strong>en</strong> byRe l ∼ ǫ 2 Re L (II.20)Since the roughnesses are assumed to be small compared to the boundary layer thickness, one canwriteRe L ≪ ǫ −2(II.21)Th<strong>en</strong>, by substituting this estimate in (II.20) one obtainsRe l ≪ 1(II.22)35
Chapter II. Construction <strong>de</strong> conditions aux limites effectives sur paroisrugueusesWe are concerned(here in building a first-or<strong>de</strong>r approximation. Un<strong>de</strong>r these circumstances, all th<strong>et</strong>erms of or<strong>de</strong>r O ǫ k) with k ≥ 2 can be discar<strong>de</strong>d in the equations (II.19) as, for instance, inertiaterms. We emphasize that such a simplification is possible provi<strong>de</strong>d that the estimate (II.21)is satisfied. In<strong>de</strong>ed, since the viscous boundary layer thickness <strong>de</strong>creases wh<strong>en</strong> the macro-scaleReynolds number increases, the estimate giv<strong>en</strong> by (II.21) may be questionable for high valuesof Re L . In this case, inertia terms such as for example ũ 2 · ∇ũ 2 cannot be neglected anymore.Thereby, the PDEs system (II.19) boils down to a Stokes-like problem which is writt<strong>en</strong> below indim<strong>en</strong>sional form∇˜p 2 = µ∇ 2 ũ 2 in Ω 2 (II.23a)∇ · ũ 2 = 0 in Ω 2 (II.23b)ũ 2 = −u 1,0 − y∂ y u 1,0 on Γ w (II.23c)n 0 · (−˜p 2 I + µ∇ũ 2 ) = 0 onΓ 0(II.23d)ũ 2 + u 1,0 + y∂ y u 1,0 = G (x, y) on Γ s \ Ω 2 (II.23e)The computation of this boundary value problem appears again to be a costly numerical task as itconsists in a coupled micro macro-scale problem for both the spatial <strong>de</strong>viations and the macro-scalecontributions u 1,0 and ∂ y u 1,0 . Following [127], these macro-scale contributions may be viewed assource terms which act as g<strong>en</strong>erators of the spatial <strong>de</strong>viation velocity ũ 2 and the spatial <strong>de</strong>viationpressure ˜p 2 in Ω 2 . Th<strong>en</strong>, giv<strong>en</strong> the nature of these coupled equations, we propose to constructan approximate solution. Neglecting the influ<strong>en</strong>ce of G (x, y) in (II.23e), one can show that thespatial <strong>de</strong>viations are zero wh<strong>en</strong> the source terms u 1,0 and ∂ y u 1,0 are zero. This <strong>en</strong>courages us torepres<strong>en</strong>t the spatial <strong>de</strong>viations in terms of the macro-scale source terms according toũ 2 = A · u 1,0 + B · ∂ y u 1,0 (II.24a)˜p 2 = a · u 1,0 + b · ∂ y u 1,0 (II.24b)where (A,a) and (B,b) refer to the closure variables or the mapping variables that realize anapproximate solution of the micro macro-scale problem (II.23). The closure variables (A,a) and(B,b) are solution of two boundary value problems, or closure problems. In practice, these closureproblems are solved over a pseudo-periodic repres<strong>en</strong>tative unit cell Ω i (cf. Fig.III.2) with periodicityconditions for closure variables as in closure problems obtained from the volume averaging m<strong>et</strong>hodfor the macro-scale <strong>de</strong>scription of transport ph<strong>en</strong>om<strong>en</strong>a in porous media (e.g. [127]). Theseperiodicity conditions are justified because the boundary condition Eq.(II.23e) can only have aninflu<strong>en</strong>ce in a region of thickness of the or<strong>de</strong>r of l near the si<strong>de</strong> surfaces. Moreover the roughnessesare assumed to be contained in the viscous boundary layer and thus, the variations of u 1,0 in th<strong>et</strong>ransverse x-direction are negligible compare to the one in the vertical y-direction. In other words,this means that the coupling surface must be contained in the viscous boundary layer in or<strong>de</strong>r forthe periodicity conditions to be satisfied. Here, it is important to m<strong>en</strong>tion that the periodicityassumption for the closure variables does not imply that the macro-scale terms are periodic on thecoupling surface. Un<strong>de</strong>r these circumstances, the closure problems are giv<strong>en</strong> by- Problem I. u 1,0 mapping∇a = µ∇ 2 A in Ω i∇ · A = 0 in Ω iA = −I on Γ win 0 · (aI + µ∇A) = 0 on Γ 0i(II.25a)(II.25b)(II.25c)(II.25d)A (x) = A (x + ∆x) on Γ per (II.25e)a (x) = a (x + ∆x) on Γ per (II.25f)36
II.3. Effective boundary conditions- Problem II. ∂ y u 1,0 mapping∇b = µ∇ 2 B in Ω i∇ · B = 0 in Ω iB = −yI on Γ win 0 · (bI + µ∇B) = 0 on Γ 0i(II.26a)(II.26b)(II.26c)(II.26d)B (x) = B (x + ∆x) on Γ per (II.26e)b(x) = b(x + ∆x) on Γ per (II.26f)The <strong>de</strong>rivation of these two closure problems is giv<strong>en</strong> in App<strong>en</strong>dix (II.3.A). At this stage, it isinteresting to remark that the equations (II.25) and (II.26) suggest the following estimatesO (A) ∼ O (1) ; O (B) ∼ O (l)(II.27a)( µ)O (a) ∼ O ; O (b) ∼ O (µ) (II.27b)lThis will be used later to obtain a useful form of the effective boundary conditions.At this point of the analysis, we follow the procedure used by Whitaker [152] to obtain moreconv<strong>en</strong>i<strong>en</strong>t forms of the problems I and II. This consists in doing the scalar product of the closurevariables with an arbitrary unit vector. In our case, e 1 = (1,0) T and e 2 = (0,1) T are chos<strong>en</strong> asunit vectors. This results in four closure problems in the form of Stokes’ problem. These problemsare listed below.- Problem I.1. u 1,0 mapping- Problem II.1. ∂ y u 1,0 mapping- Problem I.2. u 1,0 mapping∇a 1 = µ∇A 1 in Ω i (II.28a)∇ · A 1 = 0 in Ω i (II.28b)A 1 = −e 1 on Γ wi (II.28c)n 0 · (−a 1 I + µ∇A 1 ) = 0 on Γ 0i(II.28d)A 1 (x) = A 1 (x + ∆x) on Γ per (II.28e)a 1 (x) = a 1 (x + ∆x) on Γ per (II.28f)∇b 1 = µ∇ 2 B 1 in Ω i (II.29a)∇ · B 1 = 0 in Ω i (II.29b)B 1 = −ye 1 on Γ wi (II.29c)n 0 · (−b 1 I + µ∇B 1 ) = 0 on Γ 0i(II.29d)B 1 (x) = B 1 (x + ∆x) on Γ per (II.29e)b 1 (x) = b 1 (x + ∆x) on Γ per (II.29f)∇a 2 = µ∇A 2 in Ω i (II.30a)∇ · A 2 = 0 in Ω i (II.30b)A 2 (x) = −e 2 on Γ wi (II.30c)n 0 · (−a 2 I + µ∇A 2 ) = 0 on Γ 0i(II.30d)A 2 = A 2 (x + ∆x) on Γ per (II.30e)a 2 (x) = a 2 (x + ∆x) on Γ per (II.30f)37
Chapter II. Construction <strong>de</strong> conditions aux limites effectives sur paroisrugueuses- Problem II.2. ∂ y u 1,0 mapping∇b 2 = µ∇ 2 B 2 in Ω i (II.31a)∇ · B 2 = 0 in Ω i (II.31b)B 2 = −ye 2 on Γ wi (II.31c)n 0 · (−b 2 I + µ∇B 2 ) = 0 in Γ 0i(II.31d)B 2 (x) = B 2 (x + ∆x) on Γ per (II.31e)b 2 (x) = b 2 (x + ∆x) on Γ per (II.31f)where the notations A = (A 1 ,A 2 ) T , B = (B 1 ,B 2 ) T , a = (a 1 , a 2 ) T and b = (b 1 , b 2 ) T have be<strong>en</strong>consi<strong>de</strong>red in the above systems. One can see that (A 1 , a 1 ) = (−e 1 , 0) and (A 2 , a 2 ) = (−e 2 , 0)are respectively the trivial solutions of the closure problems I.1 and I.2. H<strong>en</strong>ce, (A,a) = (−I, 0)is the trivial solution of the closure problem I. As far as the problem II is concerned, there onlyexists a trivial solution in the smooth case which is giv<strong>en</strong> by (B,b) = (−δ 0 I, 0).At this point, on the basis of the estimates provi<strong>de</strong>d for the micro-scale velocity u 2 and themicro-scale pressure p 2 , we are now in a position to obtain a closed form of the macro-scale problemfor (u 1 , p 1 ) in Ω 1 . From the repres<strong>en</strong>tations of spatial <strong>de</strong>viations giv<strong>en</strong> by (II.24) tog<strong>et</strong>her withthe trivial solution of the local closure problem I, the transmission boundary condition Eq.(II.6a)leads to the following first-or<strong>de</strong>r effective boundary condition− µu 1,0 = −µB · ∂ y u 1,0(II.32)Introducing the notations B 1 = (B 11 , B 12 ) T and B 2 = (B 21 , B 22 ) T , the equation (II.32) takes theform( ) ( )u1,0 B11 ∂− µ = −µ y u 1,0 + B 21 ∂ y v 1,0(II.33)v 1,0 B 12 ∂ y u 1,0 + B 22 ∂ y v 1,0where u 1,0 = (u 1,0 , v 1,0 ) T . We focus now on the right hand si<strong>de</strong> of (II.33) and we show that somesimplifications can be done at the first-or<strong>de</strong>r approximation. In<strong>de</strong>ed, on the one hand, from theincompressibility condition (II.4b) and the expression of u 1,0 giv<strong>en</strong> by (II.33) one can writeB 21 ∂ y v 1,0 = −B 21 ∂ x (B 11 ∂ y u 1,0 + B 21 ∂ y v 1,0 ) (II.34a)B 22 ∂ y v 1,0 = −B 22 ∂ x (B 11 ∂ y u 1,0 + B 21 ∂ y v 1,0 ) (II.34b)Since B 12 , B 21 and B 22 are of or<strong>de</strong>r l from (II.27a) and u 1,0 , v 1,0 are of or<strong>de</strong>r ǫU from (II.17), theor<strong>de</strong>r of magnitu<strong>de</strong> of the right hand si<strong>de</strong> of (II.34) is giv<strong>en</strong> byB 21 O (∂ x (B 12 ∂ y u 1,0 + B 21 ∂ y v 1,0 )) ∼ O ( ǫ 3 U )B 22 O (∂ x (B 12 ∂ y u 1,0 + B 21 ∂ y v 1,0 )) ∼ O ( ǫ 3 U )(II.35a)(II.35b)Thus, at the first-or<strong>de</strong>r approximation, the boundary condition (II.32) reads( ) ( )u1,0 B11 ∂− µ = −µ y u 1,0v 1,0 B 12 ∂ y u 1,0(II.36)On the other hand, using the Stokes’ theorem along with the boundary condition (II.29c) and theperiodicity condition (II.29e), the incompressibility condition giv<strong>en</strong> by (II.29b) can be writt<strong>en</strong> as∫∫n 0 · B 1 dΓ = yn · e 1 dΓ(II.37)Γ 0i Γ wi38
II.3. Effective boundary conditionsΓ 0iΓ perΩ iΓ pern 0Γ wie 2−e 2D 2\Γ wiD 1D 2D1\Γ wiFigure II.3: Schematic <strong>de</strong>composition of the rough surface in two closed curves.The right hand si<strong>de</strong> of (II.37) can be expressed as∫yn · e 1 dΓ =Γ wi2∑∫ ∫∫yn · e 1 dV +D kye 2 · e 1 dΓ −D 1 \Γ wiye 2 · e 1 dΓD 2 \Γ wik=1(II.38)where D k is a closed curve as indicated in Fig.III.3. Thanks to the Cauchy’s integral theorem, theright hand si<strong>de</strong> of (II.38) becomes zero and the equation (II.37) reduces to∫Γ 0in · B 1 dΓ = 0(II.39)We recall the rea<strong>de</strong>r that the fictitious surface Γ 0 is located suffici<strong>en</strong>tly high above the h<strong>et</strong>erog<strong>en</strong>eousone so that all perturbations caused by the roughnesses disappear. In other words, this means thatthe variations of the closure variables are negligible. Un<strong>de</strong>r these circumstances, by using (II.39)the closure variable B 12 can be discar<strong>de</strong>d in (II.36). Therefore, the first-or<strong>de</strong>r effective boundarycondition giv<strong>en</strong> by (II.32) takes the form− µ∂ y u 1,0 = C f u 1,0 (II.40a)v 1,0 = 0 (II.40b)This effective boundary condition corresponds to a Navier boundary condition in which C f =−µ/B 11 corresponds to an effective friction coeffici<strong>en</strong>t. Giv<strong>en</strong> the roughness geom<strong>et</strong>ry, this effectivecoeffici<strong>en</strong>t is known from the solution of the local boundary value problem II.1. Here, one mustnote that the effective boundary condition (II.40) is similar to the one obtained at the first-or<strong>de</strong>rof approximation in [3, 11, 12, 114, 149].II.3.2 Heat effective boundary conditionsIn this section, heat effective boundary conditions (with respect to BC1 and BC2 micro-scaleconditions recalled below) are built in the frame of the approximation of the Dirichl<strong>et</strong>-to-Neumannoperator Eqs.(II.6c)-(II.6d). We follow here the same procedure employed for the mom<strong>en</strong>tumproblem. H<strong>en</strong>ce, we seek an approximate solution based on estimates for the temperature field T 2in Ω 2 which rely on the resolution of local closure problems.We recall here that the heat transfer problem has be<strong>en</strong> uncoupled from the mom<strong>en</strong>tum one.Th<strong>en</strong>, the micro-scale velocity u 2 is assumed to be known and the boundary value problem for T 239
Chapter II. Construction <strong>de</strong> conditions aux limites effectives sur paroisrugueusesin Ω 2 readsu 2 · ∇T 2 = κ∇ 2 T 2 in Ω 2 (II.41a)(BC1) T 2 = T w on Γ w (II.41b)(BC2) n · ∇T 2 = 0 on Γ w (II.41c)n 0 · (−κ∇T 2 ) = n 0 · (−κ∇T 1 ) on Γ 0 (II.41d)T 2 = H (x, y) on Γ s \ Ω 2 (II.41e)As previously, we first write the temperature T 2 as a sum of a macro-scale contribution T 1,2 and amicro-scale <strong>de</strong>viation ˜T 2 asT 2 = T 1,2 + ˜T 2(II.42)The macro-scale temperature T 1,2 is estimated in Ω 2 through the following Taylor expansion inthe normal direction to the fictitious surfaceu 2 · ∇ ⎝ ˜T2 + ∑ k≥2T 1,2 = T 1,0 + ∑ k≥0y kk! ∂k yT 1,0 (II.43)where the subscript ⋆ 1,0 d<strong>en</strong>otes the spatial restriction of T 1 on Γ 0 . The use of the estimates giv<strong>en</strong>by (II.42) and (II.43) in (II.41) leads to the following boundary value problem⎛⎞y kk! ∂k yT 1,0⎠ + y∂ x ∂ y T 1,0 u 2 · e 1 = κ y22 ∂2 xx∂yyT 2 1,0⎛⎞+ κ∇ 2 ⎝ ˜T2 + y∂ y T 1,0 + ∑ y kk! ∂k yT 1,0⎠ in Ω 2k≥3(II.44a)(BC1) ˜T2 + ∑ y kk! ∂k yT 1,0 = T w on Γ w (II.44b)k≥0⎛⎞(BC2) n · ∇ ⎝ ˜T2 + ∑ y kk! ∂k yT 1,0⎠ + n · ∇T 1,0k≥2˜T 2 + ∑ k≥0+ y∂ x ∂ y T 1,0 = 0 on Γ w (II.44c)n 0 ·(−κ∇ ˜T)2 = 0 on Γ 0 (II.44d)y kk! ∂k yT 1,0 = H (x, y) on Γ s \ Ω 2 (II.44e)Hereabove, (II.44a) has be<strong>en</strong> simplified because (II.41a) is also satisfied on the fictitious surface Γ 0 .Further simplifications can be done by estimating the or<strong>de</strong>r of magnitu<strong>de</strong> of the differ<strong>en</strong>t terms ofthe boundary value problem (II.44). The or<strong>de</strong>r of magnitu<strong>de</strong> of the spatial <strong>de</strong>viation temperature isrequired to make a scaling analysis of the equations (II.44). The boundary conditions Eqs.(II.44b)-(II.44c) suggest the following estimates( )(BC1) O ˜T2 ∼ O (T 1,0 − T w ) (II.45a)( )(BC2) O ˜T2 ∼ O (ǫT 1,0 ) (II.45b)where we recall that ǫ = l/L. In this study, we choose the most restricting estimate which isclearly giv<strong>en</strong> by (II.45a) since the following relationship is always satisfiedO (ǫT 1,0 ) ≪ O (T 1,0 − T w )(II.46)40
II.3. Effective boundary conditionsAt this stage, we are in a position to make the scaling analysis of the equations (II.41) on the basisof these estimates. The dim<strong>en</strong>sionless form of the boundary value problem giv<strong>en</strong> by (II.44) reads(BC2) n · ∇ ⎝ ˜T2 + ∑ k≥2⎛⎞Pe l u 2 · ∇ ⎝ ˜T2 + ∑ ǫ k+1ykk! ∂k yT 1,0⎠ + Pe l ǫ 2 y∂ x ∂ y T 1,0 u 2 · e 1 =k≥2⎛ǫ 4y22 ∂2 xx∂yyT 2 1,0 + ∇ 2 ( ˜T 2 + ǫ 3 y∂ y T 1,0 + ∑ ǫ k+2ykk! ∂k y T 1,0 ) in Ω 2 (II.47a)k≥3(BC1)˜T2 + ∑ k≥0ǫ k ykk! ∂k yT 1,0 = T w on Γ w (II.47b)ǫ k+1ykk! ∂k yT 1,0⎞⎠ + ǫn · ∇T 1,0 + ǫ 2 y∂ x ∂ y T 1,0 = 0 on Γ w (II.47c)˜T 2 + ∑ k≥0n 0 ·(−κ∇ ˜T)2 = 0 on Γ 0 (II.47d)ǫ k ykk! ∂k yT 1,0 = H (x, y) on Γ s \ Ω 2 (II.47e)where the superscript + have be<strong>en</strong> omitted in or<strong>de</strong>r to simplify the notations. In the equation(II.47a), Pe l is the micro-scale Pécl<strong>et</strong> number <strong>de</strong>fined by Pe l = Ul/κ and linked to the macro-scaleone (cf. (II.3)) byPe l ∼ ǫPe L(II.48)Th<strong>en</strong>, since the roughnesses are assumed to be small compared to the boundary layer thickness,one can writePe L ≪ ǫ −2(II.49)The use of this result tog<strong>et</strong>her with (II.48) leads to the following estimatePe l ≪ ǫ −1(II.50)(From this estimate, the terms of or<strong>de</strong>r O ǫ k) with k ≥ 2 are neglected in the equations (II.47).As a consequ<strong>en</strong>ce, un<strong>de</strong>r dim<strong>en</strong>sional form, the first-or<strong>de</strong>r boundary value problem for the spatial<strong>de</strong>viation temperature is giv<strong>en</strong> byu 2 · ∇ ˜T 2 = κ∇ 2 ˜T2 in Ω 2 (II.51a)(BC1) ˜T2 + T 1,0 + y∂ y T 1,0 = T w on Γ w (II.51b)(BC2) n · ∇ ˜T 2 + n · ∇T 1,0 = 0 on Γ w (II.51c)n 0 ·(−κ∇ ˜T)2 = 0 on Γ 0 (II.51d)˜T 2 + T 1,0 + ǫy∂ y T 1,0 = H (x, y) on Γ s \ Ω 2 (II.51e)Here again, giv<strong>en</strong> the nature of this micro macro-scale problem for both the spatial <strong>de</strong>viationtemperature and the two macro-scale terms (T w − T 1,0 ) and ∂ y T 1,0 , we seek an approximate solutionof the spatial <strong>de</strong>viation temperature ˜T 2 . As previously, if the influ<strong>en</strong>ce of H (x, y) in (II.51e) isneglected, the spatial <strong>de</strong>viation temperature is zero wh<strong>en</strong> the macro-scale source terms are zero.This motivates us to repres<strong>en</strong>t the spatial <strong>de</strong>viation temperature in terms of (T w − T 1,0 ) and ∂ y T 1,0according to˜T 2 = c (T w − T 1,0 ) + d∂ y T 1,0(II.52)41
Chapter II. Construction <strong>de</strong> conditions aux limites effectives sur paroisrugueuseswhere c and d refer to the closure variables or the mapping variables that realize an approximatesolution of the problem (II.51). These variables are solutions of the closure problems III and IVthat have to be solved over a repres<strong>en</strong>tative unit cell Ω i with periodicity conditions. These twoclosure problems are giv<strong>en</strong> below and we refer the rea<strong>de</strong>r to App<strong>en</strong>dix (II.3.B) for their <strong>de</strong>rivation.- Problem III. (T 1,0 − T w ) mappingu 2 · ∇c = κ∇ 2 c in Ω i (II.53a)(BC1) c = 1 on Γ wi (II.53b)(BC2) n · ∇c = 0 on Γ wi (II.53c)n · ∇c = 0 on Γ 0i (II.53d)c(x) = c(x + ∆x) on Γ per (II.53e)- Problem IV. ∂ y T 1,0 mappingu 2 · ∇d = κ∇ 2 d in Ω i (II.54a)(BC1) d = −y on Γ wi (II.54b)(BC2) n · ∇d = −n 0 · e 2 on Γ wi (II.54c)n · ∇d = 0 on Γ 0i (II.54d)d(x) = d(x + ∆x) on Γ per (II.54e)Only the closure problem IV needs to be solved because c = 1 or c = 0 are respectively the trivialsolutions of the closure problem III in the case (BC1) or (BC2).As previously discussed, the use of periodic conditions is justified as the boundary conditionEq.(II.51e) can only have an influ<strong>en</strong>ce in a region of thickness of the or<strong>de</strong>r of l near the si<strong>de</strong>surfaces. Moreover, as the roughnesses are assumed to be contained in the thermal boundarylayer, the variations of T 1,0 in the transverse x-direction are negligible compare to the one inthe vertical y-direction. Here again, this means that the effective surface must be contained inthe thermal boundary layer in or<strong>de</strong>r for the periodicity assumption to be justified. We recall therea<strong>de</strong>r that this periodicity assumption for the closure variables does not imply that the macro-scal<strong>et</strong>emperature is periodic on the coupling surface.At this stage and on the basis of the estimates of the temperature field T 2 in Ω 2 , we are now in aposition to obtain a closed form of the heat transfer problem for T 1 in Ω 1 . From the repres<strong>en</strong>tationof the spatial <strong>de</strong>viation temperature giv<strong>en</strong> by (II.52) along with the trivial solution of the closureproblem III, the transmission condition (II.6c) leads to the following first-or<strong>de</strong>r effective boundaryconditions(BC1) − n 0 · κ∇T 1,0 = h (T 1,0 − T w ) (II.55a)(BC2) − n 0 · κ∇T 1,0 = 0 (II.55b)In the case (BC1), the effective boundary condition corresponds to a Robin boundary conditionwhere h = −κ/d is an effective heat transfer coeffici<strong>en</strong>t. As far as the case (BC2) is concerned, aNeumann homog<strong>en</strong>eous boundary condition is conserved. Here again, giv<strong>en</strong> the roughness geom<strong>et</strong>ry,the effective heat transfer coeffici<strong>en</strong>t is known from the solution of the local boundary valueproblem IV provi<strong>de</strong>d that the micro-scale velocity to be known. This will be illustrated in th<strong>en</strong>ext section.42
II.3. Effective boundary conditionsII.3.3 Application to a natural convection problem in a stamp shaped cavityWe propose in this section to assess the validity of the proposed effective boundary conditionsthrough numerical experim<strong>en</strong>ts. As in [3] or [149], these numerical experim<strong>en</strong>ts consist in comparingDNSs calculations taking the roughness geom<strong>et</strong>ry into account with effective calculationsusing the concept of an effective surface.The problem un<strong>de</strong>r consi<strong>de</strong>ration has received consi<strong>de</strong>rable att<strong>en</strong>tion in the case of a squarecavity (e.g. [45, 107, 108]) or a porous cavity (e.g. [71]) and consists in a two-dim<strong>en</strong>sional problemof natural convection in a differ<strong>en</strong>tially heated cavity with rough boundaries. As illustrated inFig.II.4, the h<strong>et</strong>erog<strong>en</strong>eous surface Γ w of this stamp cavity has a sinusoidal structure with (arbitrarily)an amplitu<strong>de</strong> A = 0.03 and a period P = 1/14.5. Each of the four sinusoidal surfaces havebe<strong>en</strong> numerically <strong>de</strong>scribed by 580 points (cf. Fig.II.5). The horizontal boundaries are adiabaticwhile the vertical boundaries are kept isothermal with the left si<strong>de</strong> at hot temperature T h and theright si<strong>de</strong> at cold temperature T c . A no-slip boundary condition is prescribed everywhere. Here,it is interesting to remark that this natural convection problem collects all boundary conditionsallowing us to validate the overall effective conditions previously <strong>de</strong>veloped. The Prandtl numberis s<strong>et</strong> to be 0.71 in overall calculations which are performed over the range 10 4 ≤ Ra L ≤ 10 8 .These and the remain param<strong>et</strong>ers used herein are summarized in Tab.III.1.n · ∇T 1 = 0u 1 = 0gAPLT 1 = T h T 1 = T cyu 1 = 0Ωu 1 = 0vΓ wn · ∇T 1 = 0u 1 = 0uxLFigure II.4: Schematic repres<strong>en</strong>tation of the computational domain Ω = [0, L] × [0, L]L ρ µ κ T h T c β Pr Ra L1 1 Pr 1 1 0 µ 2 Ra L /‖g‖(T h − T c )L 3 Pr 0.71 10 3 , . . .,10 8Table II.1: Summary of physical param<strong>et</strong>ers used for all numerical experim<strong>en</strong>tsThe calculations have be<strong>en</strong> performed by using an application of the object-ori<strong>en</strong>ted softwarecompon<strong>en</strong>t library PELICANS <strong>de</strong>veloped at the Fr<strong>en</strong>ch “Institut <strong>de</strong> Radioprotection <strong>et</strong> <strong>de</strong> Sûr<strong>et</strong>éNucléaire”[1]. The time discr<strong>et</strong>ization corresponds to a splitting algorithm which consists in solvingsequ<strong>en</strong>tially the temperature and the Navier-Stokes equations until steady state. The resolutionof the Navier-Stokes equations has be<strong>en</strong> done by using an increm<strong>en</strong>tal projection m<strong>et</strong>hod. Thespatial discr<strong>et</strong>ization corresponds to a standard finite elem<strong>en</strong>t approximation with inf-sup stablequadratic-linear elem<strong>en</strong>ts Q 2 /Q 1 for the velocity-pressure problem and quadratic elem<strong>en</strong>ts for the43
Chapter II. Construction <strong>de</strong> conditions aux limites effectives sur paroisrugueusesFigure II.5: Thinnest mesh used in the rough cas<strong>et</strong>emperature. The fully discr<strong>et</strong>e numerical scheme is <strong>de</strong>scribed elsewhere and we refer the rea<strong>de</strong>rto [77, 92] for a d<strong>et</strong>ailed pres<strong>en</strong>tation.For this kind of problem (e.g. [45, 107, 108]), the quantities of interest are the velocity andtemperature profiles along the si<strong>de</strong> walls and the averaged Nusselt number < Nu > giv<strong>en</strong> by∫< Nu >=Γκ ∂T 1∂n ds(II.56)In this paper, the Nusselt numbers have be<strong>en</strong> calculated with the m<strong>et</strong>hod proposed in [15] and allthe results have be<strong>en</strong> obtained after a grid refinem<strong>en</strong>t study (cf. Tab.II.4 for the maximum <strong>de</strong>greeof freedoms involved in the numerical experim<strong>en</strong>ts).II.3.4 D<strong>et</strong>ermination of the effective propertiesIn this section, we focus on the d<strong>et</strong>ermination of the effective friction coeffici<strong>en</strong>t C f and the effectiveheat transfer coeffici<strong>en</strong>t h by solving the closure problems II.1 and IV. As previously m<strong>en</strong>tioned,these closure problems are solved over a pseudo-periodic repres<strong>en</strong>tative unit cell Ω i . Giv<strong>en</strong> theperiodic structure of the rough boundary Γ w , a period of Γ w is chos<strong>en</strong> as repres<strong>en</strong>tative patternfor Ω i (cf. Fig.II.6). The upper surface, Γ 0i , is located at a distance δ 0 = 0.2. Fig.II.7 repres<strong>en</strong>tsthe variation of the ratio C f (δ 0 ) = −µ/B 11 (δ 0 ) over C f (y) = −µ/B 11 (y) with B 11 (δ 0 ) = −0.17480and the one of the ratio h(δ 0 ) = −κ/d(δ 0 ) over h(y) = −κ/d(y) for differ<strong>en</strong>t micro-scale Reynoldsnumber Re l and Pr = 1. As expected, the results pres<strong>en</strong>ted in Fig.II.7 show that the effectivefriction coeffici<strong>en</strong>t and the effective heat transfer coeffici<strong>en</strong>t converge toward asymptotic values onΓ 0i . As far as the effective heat transfer coeffici<strong>en</strong>t is concerned, tests with Pr = 0.5, 2, 5 lead tothe same conclusion.Now, we focus on the impact of the flow properties on the effective coeffici<strong>en</strong>ts. Giv<strong>en</strong> th<strong>en</strong>ature of the closure problem II.1 in which the viscosity µ acts only as a scaling of the closurevariable b 1 , it is clear that the effective friction coeffici<strong>en</strong>t (or equival<strong>en</strong>tly B 11 ) does not <strong>de</strong>p<strong>en</strong>d onthe flow properties but only on the geom<strong>et</strong>ry of the roughness. As a result, the asymptotic valueC f (δ 0 ) will be used to perform effective calculations. Another interesting remark concerns thequantity δ 0 + B 11 (δ 0 ). The differ<strong>en</strong>t results pres<strong>en</strong>ted in Fig.II.8 show that δ 0 + B 11 (δ 0 ) convergestoward an asymptotic value giv<strong>en</strong> by L 1 = 0.025021 wh<strong>en</strong> Γ 0i is located suffici<strong>en</strong>tly high in or<strong>de</strong>r44
II.3. Effective boundary conditionsΓ 0iPδ 0Ω iAΓ wiFigure II.6: Pseudo-periodic repres<strong>en</strong>tative unit cell Ω ifor the variation of the closure variables to vanish. We will see later that L 1 may be viewed asan effective stick-slip l<strong>en</strong>gth for which the effective condition <strong>de</strong>g<strong>en</strong>erates into a no-slip boundarycondition.We propose now to study the impact of the flow properties on the effective heat transfercoeffici<strong>en</strong>t h. At the micro-scale, the flow is characterized by the micro-scale Reynolds numberRe l which can also be writt<strong>en</strong> as Re l = ρτ l l 2 /µ 2 where τ l is an imposed shear stress. In or<strong>de</strong>r toparam<strong>et</strong>rize the impact of the flow properties on h, the couple (Re l , Pr) is consi<strong>de</strong>red. A similarstudy has be<strong>en</strong> done by Veran & al. [149] in or<strong>de</strong>r to characterize the impact of the flow propertieson the effective reactivity. Here, by analogy, the Prandtl number Pr plays the role of the Schimdtnumber. The starting point consists in solving the Navier-Stokes equation in Ω i with an imposedshear stress τ l on Γ 0i <strong>de</strong>fined by τ l = µ 2 Re l /ρl 2 . Th<strong>en</strong>, the resulting velocity field u 2 is used tosolve the closure problem IV for differ<strong>en</strong>t values of the Prandtl number Pr. Finally, by doing thisover a wi<strong>de</strong> range of micro-scale Reynolds number Re l , we obtain a tabulation of the effective heattransfer coeffici<strong>en</strong>t as h := h(Re l , Pr). Fig.II.9 repres<strong>en</strong>ts the evolution of the coeffici<strong>en</strong>t h versusRe l for differ<strong>en</strong>t Prandtl numbers Pr varying b<strong>et</strong>we<strong>en</strong> 0.5 and 5. The results have be<strong>en</strong> ma<strong>de</strong>dim<strong>en</strong>sionless by the value in the purely diffusive case. They indicate that Re l has no real impacton the effective heat transfer coeffici<strong>en</strong>t h except for high values (i.e. Re l > 5.10 2 or equival<strong>en</strong>tlyRe L > 5.10 2 /ǫ 2 with ǫ = A/L). This tr<strong>en</strong>d can be explained by the fact that the roughnesses t<strong>en</strong>dto <strong>de</strong>crease the velocity and thus increase the diffusive regime. For micro-scale Reynolds numberRe l < 5.10 2 , the effective heat transfer coeffici<strong>en</strong>t can be approximated by its value in the purelydiffusive case with an error lower than two perc<strong>en</strong>t for Prandtl numbers Pr ≤ 5. This value isgiv<strong>en</strong> by h(0) = −κ/d(δ 0 ) with d(δ 0 ) = −0.179526. As illustrated in Fig.II.10, the contour lines ofthe closure variable d are no longer normal for high values of Re l . Such cases correspond to somehigh macro-scale Reynolds number Re L (cf. (II.20)) flows that imply a turbul<strong>en</strong>t boundary layerfor which the assumptions of the effective mo<strong>de</strong>ls previously <strong>de</strong>veloped are no longer valid. For thelaminar natural convection problem un<strong>de</strong>r consi<strong>de</strong>ration, the macro-scale Reynolds number Re Lcan be expressed in term of macro-scale Rayleigh number Ra L as follows√ RaLRe L ∼(II.57)Prwhere we have used U = κ √ Ra L /L [122]. The relationship (II.57) can be writt<strong>en</strong> equival<strong>en</strong>tly forthe micro-scale Reynolds number Re l asRe l ∼ ǫ 2 √ RaLPr√∼ A2 RaLL 2 Pr(II.58)In our case, since the highest value of Ra L is s<strong>et</strong> to be 10 8 , the relationship (II.58) leads toRe l ∼ 12, 5. Therefore, from the results pres<strong>en</strong>ted in Fig.II.9, the effective heat transfer coeffici<strong>en</strong>t45
Chapter II. Construction <strong>de</strong> conditions aux limites effectives sur paroisrugueuses1.151.1C f (δ 0 )/C f (y)1.0511.151.10 0.1 0.15 0.2(a) Converg<strong>en</strong>ce of C f (y) toward C f (δ 0).yRe l = 1Re l = 10Re l = 10 2Re l = 10 3h(δ 0 )/h(y)1.0510 0.1 0.15 0.2(b) Converg<strong>en</strong>ce of h(y) toward h(δ 0).Figure II.7: Plot on x = P/2 of (a) the ratio C f (δ 0 ) = −µ/B 11 (δ 0 ) over C f (y) = −µ/B 11 (y) and(b) the ratio h(δ 0 ) = −κ/d(δ 0 ) over h(y) = −κ/d(y) for Re l ∈ {1,10, 10 2 , 10 3 } and Pr = 1, withδ 0 = 0.2.y46
II.3. Effective boundary conditions1.0021.001δ 0 = 0.1δ 0 = 0.15δ 0 = 0.2δ 0 = 0.3[b 11 (δ 0 )+δ 0 ]/L110.999L 1 =0.0250210.9980 P/2 P(a) Converg<strong>en</strong>ce of B 11(δ 0) + δ 0 toward the effective l<strong>en</strong>gthL 1 = 0.025021.1.0021.001δ 0 = 0.1δ 0 = 0.15δ 0 = 0.2δ 0 = 0.3x[d(δ 0 ) + δ 0 ] / L 210.999L 2 = 0.0204740.9980 P/2 P(b) Converg<strong>en</strong>ce of d(δ 0) + δ 0 toward the effective l<strong>en</strong>gthL 2 = 0.020474.Figure II.8: Plot of (a) the quantity [B 11 (δ 0 ) + δ 0 ]/L 1 and (b) [d(δ 0 ) + δ 0 ]/L 2 in the pure diffusivecase (i.e. Re l = 0).x47
Chapter II. Construction <strong>de</strong> conditions aux limites effectives sur paroisrugueuses1.021.015Pr = 0.5Pr = 1Pr = 2Pr = 5h(0) / h(Re l )1.011.00511 5 10 50 100 500 10 3Re lFigure II.9: Evolution of the ratio h(0) in the pure diffusive case over h(Re l )(a) Re l = 1 (b) Re l = 50 (c) Re l = 100 (d) Re l = 500Figure II.10: Contour lines of the closure variable d for Pr = 1.in the purely diffusive case h(0) appears to be a good estimate and th<strong>en</strong>, it will be used in thefollowing effective calculations.As previously done for the mom<strong>en</strong>tum effective condition, the quantity δ 0 + d(δ 0 ) have alsobe<strong>en</strong> investigated. The results pres<strong>en</strong>ted in Fig.II.8 also show that δ 0 + d(δ 0 ) t<strong>en</strong>ds to an effectivel<strong>en</strong>gth giv<strong>en</strong> by L 2 = 0.020474 for which we will see later that the Robin boundary condition boilsdown into a isothermal boundary condition.II.3.5 Effective calculationsThis section is <strong>de</strong>voted to assess the validity of the effective conditions previously <strong>de</strong>veloped.Before performing effective numerical experim<strong>en</strong>ts, an interesting point is to prove that a specifictreatm<strong>en</strong>t of the roughness effect is in<strong>de</strong>ed necessary. To do so, we have performed direct numericalsimulations in the stamp cavity (cf. Fig.II.11 (left) for Ra L = 10 6 ) and compared the results to theone obtained in a square cavity. As illustrated for instance in Fig.II.12 to Fig.II.14 for Ra L = 10 6 ,48
II.3. Effective boundary conditionsthe temperature and velocity profiles in the smooth case are very differ<strong>en</strong>t from the one obtainedin the rough case. The pres<strong>en</strong>ce of the roughnesses t<strong>en</strong>ds to slow down the flow and <strong>en</strong>hance theheat transfer. Moreover, as shown in Tab.II.2, the averaged Nusselt numbers calculated on a hotrough surface for 10 3 ≤ Ra L ≤ 10 8 is lesser than the one calculated on a flat surface (which arein good agreem<strong>en</strong>t with [107, 108]). This great impact of the roughnesses on the mom<strong>en</strong>tum andRa L 10 3 10 4 10 5 10 6 10 7 10 8< Nu r > 1.0888 2.1005 4.1607 7.9304 14.2904 25.4061< Nu s > 1.1178 2.2448 4.5216 8.8252 16.5231 30.2247Table II.2: Average Nusselt number calculated on the hot wall. Comparison b<strong>et</strong>we<strong>en</strong> the smoothcase (⋆ s quantities) and the rough (⋆ r quantities) case for 10 3 ≤ Ra L ≤ 10 8 .heat transfer for this laminar natural convection problem shows that a particular treatm<strong>en</strong>t of theroughnesses is necessary and th<strong>en</strong> that the use of effective surface mo<strong>de</strong>ls is justified.Throughout these tests, we have also numerically investigated the impact of the positioning ofthe coupling surface on the results. Actually, the optimal location, if any, of the coupling surfaceremains an op<strong>en</strong>-question common with other up-scaling m<strong>et</strong>hods (e.g. [38] for h<strong>et</strong>erog<strong>en</strong>eousporous media). This question has also a strong practical implication for numerical mo<strong>de</strong>ling.The starting point of this study consists in <strong>de</strong>fining an effective surface Γ δ located at a distanceδ from the coupling surface Γ 0 (cf. Fig.II.15). In doing this, the effective boundary conditionsgiv<strong>en</strong> by (II.40) and (II.55) have to be <strong>de</strong>fined on Γ δ to obtain a closed form of the boundary valueproblem in the effective domain Ω δ . This is achieved by means of a Taylor expansion. For themom<strong>en</strong>tum transfer problem, one can writeu 1,0 = u 1,δ − ∑ k≥1δ k ∂ k yu 1,δ (II.59a)v 1,0 = v 1,δ − ∑ k≥1δ k ∂ k yv 1,δ (II.59b)∂ y u 1,0= ∂ y u 1,δ − ∑ k≥1δ k ∂ k+1y u 1,δ (II.59c)∂ y v 1,0= ∂ y v 1,δ − ∑ k≥1δ k ∂ k+1y v 1,δ (II.59d)Th<strong>en</strong>, by estimating the or<strong>de</strong>r of magnitu<strong>de</strong> of these expansions, simplifications can be done atthe first-or<strong>de</strong>r approximation to obtainu 1,0 = u 1,δ − δ∂ y u 1,δ (II.60a)v 1,0 = v 1,δ (II.60b)∂ y u 1,0 = ∂ y u 1,δ (II.60c)Finally, the use of these relationships in (II.40) leads to the following first-or<strong>de</strong>r effective boundarycondition <strong>de</strong>fined on Γ δ− µ∂ y u 1,δ = C f,δ u 1,δ (II.61a)v 1,δ = 0 (II.61b)where C f,δ = −µ/(B 11 + δ). Here, two remarks can be done about this effective condition. Onthe one hand, the effective friction coeffici<strong>en</strong>t C f,δ t<strong>en</strong>ds to infinity wh<strong>en</strong> δ t<strong>en</strong>ds to −B 11 . This49
II.3. Effective boundary conditions10.90.8T0.70.6roughsmoothno-slipδ 1δ 20.50 0.25 0.5 0.75 1y(a) Temperature on x = A + 5.10 −4250200150roughsmoothno-slipδ 1δ 2v 11005000 0.25 0.5 0.75 1y(b) Velocity on x = A + 5.10 −4Figure II.12: Comparison of the temperature profiles (left) and the one of the y-compon<strong>en</strong>t of thevelocity field (right) on x = A + 5.10 −4 for Ra L = 10 6 in the rough, smooth and effective cases.51
Chapter II. Construction <strong>de</strong> conditions aux limites effectives sur paroisrugueuses10.90.8T0.70.60.5roughsmoothno-slipδ 1δ 2δ 30.40 0.25 0.5 0.75 1y(a) Temperature on x = A + 5.10 −3250200150roughsmoothno-slipδ 1δ 2δ 3v 11005000 0.25 0.5 0.75 1y(b) Velocity on x = A + 5.10 −3Figure II.13: Comparison of the temperature profiles (left) and the one of the y-compon<strong>en</strong>t of thevelocity field (right) on x = A + 5.10 −3 for Ra L = 10 6 in the rough, smooth and effective cases.52
II.3. Effective boundary conditions10.90.8T0.70.60.50.40.30 0.25 0.5 0.75 1yroughsmoothno-slipδ 1δ 2δ 3δ 4(a) Temperature on x = A + 5.10 −2200150v 110050roughsmoothno-slipδ 1δ 2δ 3δ 400 0.25 0.5 0.75 1(b) Velocity on x = A + 5.10 −2yFigure II.14: Comparison of the temperature profiles (left) and the one of the y-compon<strong>en</strong>t of thevelocity field (right) on x = A + 5.10 −2 for Ra L = 10 6 in the rough, smooth and effective cases.53
Chapter II. Construction <strong>de</strong> conditions aux limites effectives sur paroisrugueusesδgΓ δΓ 0LΩ δδδvuδyxLFigure II.15: Effective computational domain Ω δmeans that the no-slip boundary condition is recovered wh<strong>en</strong> the effective surface Γ δ is located ata distance L 1 = δ 0 +B 11 . This limiting case has be<strong>en</strong> m<strong>en</strong>tioned by Achdou & al. [3] and rec<strong>en</strong>tlyused by Veran & al. [149]. If we use the terminology employed in micro- and nanofluidics (e.g.[124]), the mom<strong>en</strong>tum effective condition giv<strong>en</strong> by (II.61) may be referred to as an effective stick-slipboundary condition for which the distance L 1 is the effective stick-slip l<strong>en</strong>gth and corresponds tothe surface curvature contribution of the well-known slip l<strong>en</strong>gth in the Navier boundary condition(e.g. [51, 124]). For instance, in the homog<strong>en</strong>eous case for which no surface curvature contributionis expected, we obviously find L 1 = 0 since B 11 = −δ 0 (cf. (II.29)). On the other hand, it isnecessary that δ ∈ [0, −B 11 ] to obtain a well-posed effective boundary value problem in Ω δ withthe effective condition (II.61). As far as the heat transfer problem is concerned, the same procedureis employed to <strong>de</strong>fine the effective boundary conditions (II.55) on Γ δ . This leads to the followingfirst-or<strong>de</strong>r effective conditions(BC1) − n δ · κ∇T 1,δ = h δ (T 1,δ − T w ) (II.62a)(BC2) − n δ · κ∇T 1,δ = 0 (II.62b)where n δ is the exterior normal to the effective surface Γ δ and h δ = −κ/(d + δ). Similarly tothe mom<strong>en</strong>tum effective condition, the Robin boundary condition <strong>de</strong>g<strong>en</strong>erates to an isothermalboundary condition (i.e. h δ → ∞) wh<strong>en</strong> δ t<strong>en</strong>ds to −d or equival<strong>en</strong>tly wh<strong>en</strong> the position of Γ δ isgiv<strong>en</strong> by the effective l<strong>en</strong>gth L 2 . Moreover, to obtain a well-posed effective boundary value problemin Ω δ , the effective surface has to be located such that δ ∈ [0, −d]. Since we are interested in acoupled problem, the effective surface Γ δ has to be located such that δ ∈ [0, δ ⋆ ] where δ ⋆ can bese<strong>en</strong> as a lower bound <strong>de</strong>fined byδ ⋆ ={−B11 if B 11 < d−d if d < B 11(II.63)In this study, δ ⋆ is giv<strong>en</strong> by −B 11 . For the numerical experim<strong>en</strong>ts, we have consi<strong>de</strong>red five differ<strong>en</strong>tpositions of Γ δ (cf. Tab.II.3). In the case d<strong>en</strong>oted by “effective no-slip”, the no-slip boundarycondition is recovered while in the other cases d<strong>en</strong>oted by “effective δ i ” Γ δ is located higher andhigher above the roughnesses. Before discussing the results, it must be emphasized that, in termsof computational cost, as clearly shown in Tab.II.4, the effective calculations are four to five less54
II.3. Effective boundary conditionsPosition of Γ δδeffective no-slip −B 11effective δ 1 (δ 0 − (A − B 11 )) /2effective δ 2 δ 0 − Aeffective δ 3 δ 0 − (A + 5.10 −3 )effective δ 4 δ 0 − (A + 5.10 −2 )Table II.3: Position of the effective surface Γ δ .costly than the simulations performed in the rough domain, which justifies the use of an effectivesurface <strong>de</strong>scription.DOFs velocity pressure temperaturerough 929474 117925 464737smooth 221778 27889 110889effective no-slip 200978 25281 100489effective δ i 181202 22801 90601Table II.4: Degree of freedoms (DOFs) involved in the numerical experim<strong>en</strong>ts.The following results have be<strong>en</strong> obtained. Figure (II.11) pres<strong>en</strong>ts an example of comparisonb<strong>et</strong>we<strong>en</strong> the rough case and the effective no-slip case for Ra L = 10 6 . Results show that the effectiveconditions lead to a good approximation of the macro-scale behavior. Fig.II.12 to Fig.II.14 pres<strong>en</strong>tsome comparisons of the temperature and velocity profiles close to the hot wall on x = A+5.10 −4 ,x = A+5.10 −3 and x = A+5.10 −2 . The differ<strong>en</strong>t results show a good approximation of the averagedbehavior of the rough surface for δ 2 ≤ δ ≤ −B 11 . It is also interesting to remark that the bestresults are obtained in the effective no-slip case. The differ<strong>en</strong>ce observed with the other effectiveresults might be a consequ<strong>en</strong>ce of the fact that the error committed to the vertical compon<strong>en</strong>t ofthe velocity giv<strong>en</strong> by (II.61b) increases as the position of Γ δ increases. As illustrated in Fig.II.16to to Fig.II.21, this tr<strong>en</strong>d is similar to the one observed for Ra L ≤ 10 7 . On the contrary, none ofthe effective calculations provi<strong>de</strong> a satisfying approximation of the averaged behavior of the roughsurface for Ra L = 10 8 . This can be explained by the fact that the boundary layer thickness islesser than the roughness amplitu<strong>de</strong> and, in this case, the previous assumptions used to <strong>de</strong>riveeffective conditions are no longer valid. This result clearly points out the limits of application ofour approach, which have be<strong>en</strong> discussed in the theor<strong>et</strong>ical section.In addition to the temperature and velocity profiles, we have also compared the averagedNusselt number calculated in the rough case < Nu r > with the one obtained in the effective cases< Nu δi > (cf. Tab.II.5). The relative perc<strong>en</strong>tage errors observed on these values are summarizedin Tab.II.6 and plotted in Fig.II.22. The graphs of the Fig.II.22 confirm the tr<strong>en</strong>d obtained withtemperature and velocity profiles. In<strong>de</strong>ed, the effective surface mo<strong>de</strong>ls with δ 2 < δ ≤ −B 11 give anaveraged Nusselt number similar to the one obtained in the rough case with an error lesser than3% (i.e. O (ǫ)) for Ra L up to 10 6 and of or<strong>de</strong>r of 5% for Ra L = 10 7 . Once again, the effectiv<strong>en</strong>o-slip case yields the best approximation.All the results pres<strong>en</strong>ted in this section clearly show that the location of the coupling surfacehas a great impact on the approximation of the averaged behavior of the rough surface ev<strong>en</strong> if theeffective properties vary with the coupling surface. Moreover, it appears that an optimal location(in terms of the errors ma<strong>de</strong>) of Γ δ is giv<strong>en</strong> by the effective stick-slip l<strong>en</strong>gth for 10 3 ≤ Ra L ≤ 10 7 .55
Chapter II. Construction <strong>de</strong> conditions aux limites effectives sur paroisrugueusesRa L 10 3 10 4 10 5 10 6 10 7 10 8< Nu r > 1.0888 2.1005 4.1607 7.9304 14.2904 25.4061< Nu (no-slip) > 1.0787 2.0856 4.1212 7.7668 13.6732 22.5516< Nu δ1 > 1.0738 2.0797 4.1085 7.7219 13.4858 21.8166< Nu δ2 > 1.0686 2.0716 4.0837 7.6151 13.0139 20.3128< Nu δ3 > 1.0578 2.0507 4.007 7.2935 11.8914 17.176356< Nu δ4 > 1.0223 1.9574 3.6572 6.072237 8.6836 10.9298Table II.5: Average Nusselt number calculated on the hot wall. Comparison b<strong>et</strong>we<strong>en</strong> the rough(⋆ r quantities) case and the effective (⋆ (no-slip) and ⋆ δi quantities) cases for 10 3 ≤ Ra L ≤ 10 8 .Ra L 10 3 10 4 10 5 10 6 10 7 10 8< Nu (no-slip) > 0.9276 0.7094 0.9493 2.0620 4.3185 11.2357< Nu eff > (δ 1 ) 1.3740 0.9902 1.2541 2.6285 5.6300 14.1286< Nu eff > (δ 2 ) 1.8553 1.3759 1.8509 3.9749 8.7224 20.0475< Nu eff > (δ 3 ) 2.8472 2.3709 3.6771 8.0311 16.7870 32.3929< Nu eff > (δ 4 ) 6.1076 6.8127 24.034425 23.4305 39.2348 56.9797Table II.6: Relative perc<strong>en</strong>tage error observed b<strong>et</strong>we<strong>en</strong> < Nu r > and < Nu eff >The pres<strong>en</strong>t study tog<strong>et</strong>her with the one conducted by Veran & al. [149] lead us to think that sucha position may be se<strong>en</strong> as the optimal position for laminar boundary flows over rough surfaces.It must be emphasized here that the optimum corresponds to a <strong>de</strong>velopm<strong>en</strong>t with first-or<strong>de</strong>rapproximations. Since the coupling surface is at first arbitrary, to some ext<strong>en</strong>t as discussed inthe theor<strong>et</strong>ical section, one may un<strong>de</strong>rstand that the first-or<strong>de</strong>r corrections may be more or lessaccurate <strong>de</strong>p<strong>en</strong>ding on the coupling surface location. Why is the suggested position optimum? Inor<strong>de</strong>r to prove it, it will be interesting to tackle this question using higher or<strong>de</strong>r approximations.Equally, this result should also be checked in the case of more complex problems.II.3.6 ConclusionThe purpose of this work was to <strong>de</strong>velop suitable effective surface mo<strong>de</strong>ls for laminar flows withheat transfer over rough surfaces. A mo<strong>de</strong>l problem of laminar natural convection flow over roughsurfaces in the frame of the Boussinesq approximation has be<strong>en</strong> consi<strong>de</strong>red and tackled by meansof an up-scaling technique based on the concept of domain <strong>de</strong>composition.Such a m<strong>et</strong>hod allows to build an approximated solution that results in effective boundaryconditions prescribed on a smooth effective surface. The associated effective properties, namelythe effective friction and heat transfer coeffici<strong>en</strong>ts, have be<strong>en</strong> obtained by solving two local closureproblems. The first of two <strong>de</strong>p<strong>en</strong>ds only on the roughness geom<strong>et</strong>ry. As far as the effective heattransfer coeffici<strong>en</strong>t is concerned, the impact of the flow properties on its value has be<strong>en</strong> analyzed.The obtained results lead us to conclu<strong>de</strong> that, in the laminar case, the flow has a limited impacton the effective heat transfer coeffici<strong>en</strong>t, which can be approximated for most cases by its value inthe purely diffusive case.The validity of the proposed effective boundary conditions have be<strong>en</strong> assessed on a laminarnatural convection problem in a stamp shaped cavity for a wi<strong>de</strong> range of macro-scale Rayleighnumbers. A very good agreem<strong>en</strong>t b<strong>et</strong>we<strong>en</strong> the direct and the effective simulations have be<strong>en</strong>56
II.3. Effective boundary conditionsobtained for Rayleigh number up to 10 7 while the proposed effective surface mo<strong>de</strong>ls fail to bedown for higher Rayleigh numbers. The mom<strong>en</strong>tum and heat transfer are clearly altered by thelocation of the effective surface for which the optimal position is giv<strong>en</strong> by the effective l<strong>en</strong>gthat which the mom<strong>en</strong>tum effective condition <strong>de</strong>g<strong>en</strong>erates into a no-slip boundary condition (i.e.the effective stick-slip l<strong>en</strong>gth). On the other hand, this optimal choice does not allow to g<strong>et</strong> ridof the micro-scale in some particular cases. For instance, wh<strong>en</strong> differ<strong>en</strong>t types of roughnesses areconsi<strong>de</strong>red or wh<strong>en</strong> a surface involves both a smooth homog<strong>en</strong>eous part and a rough h<strong>et</strong>erog<strong>en</strong>eousarea [149], this approach implies the pres<strong>en</strong>ce of a step in the transition region characterized bythe micro-scale l. However, this micro-scale step has a limited ext<strong>en</strong>t, compared to the area withroughnesses, thus giving still an advantage to the use of the optimal effective surface.In the future, it will be interesting to ext<strong>en</strong>d this concept of effective surface mo<strong>de</strong>ls to morecomplex situations of practical interest involving for instance multiphase flows or/and ablationprocesses.II.3.A Derivation of the closure problems for the mom<strong>en</strong>tum transfer problemIn this app<strong>en</strong>dix, we pres<strong>en</strong>t the <strong>de</strong>velopm<strong>en</strong>ts leading to the closure problems I and II giv<strong>en</strong> bythe equations (II.25) and (II.26). The first step consists in introducing the linear repres<strong>en</strong>tationof the spatial <strong>de</strong>viation terms (II.24) into the Stokes-like problem (II.23) and collecting all termsproportional to the macro-scale terms u 1,0 and ∂ y u 1,0 . In doing so, we obtain two closure problemsin the following form• Problem I. u 1,0 mapping∇a · u 1,0 + ∇u 1,0 · a = µ∇ 2 A · u 1,0 + µA · ∇ 2 u 1,0 +2µ∇A · ∇u 1,0 in Ω i (II.64a)(∇ · A) · u 1,0 + A T : ∇u 1,0 = 0 in Ω i (II.64b)(A + I) · u 1,0 = 0 on Γ wi (II.64c)n 0 · [−(a · u 1,0 )I + µ∇A · u 1,0 + µA · ∇u 1,0 ] = 0 onΓ 0i(II.64d)A (x) = A (x + ∆x) on Γ per (II.64e)• Problem II. ∂ y u 1,0 mappinga (x) = a (x + ∆x) on Γ per (II.64f)∇b · u 1,0 + ∇u 1,0 · b = µ∇ 2 B · u 1,0 + µB · ∇ 2 u 1,0 +2µ∇B · ∇u 1,0 in Ω i (II.65a)(∇ · B) · u 1,0 + B T : ∇u 1,0 = 0 in Ω i (II.65b)(B + yI) · u 1,0 = 0 on Γ wi (II.65c)n 0 · [−(b · u 1,0 )I + µ∇B · u 1,0 + µB · ∇u 1,0 ] = 0 onΓ 0i(II.65d)B (x) = B (x + ∆x) on Γ per (II.65e)b(x) = b(x + ∆x) on Γ per (II.65f)Th<strong>en</strong>, if we keep in mind that the spatial <strong>de</strong>viations are dominated by the l<strong>en</strong>gth scale, l, and themacro-scale terms by the l<strong>en</strong>gth scale, L, we can obtain the following estimates• Problem I. u 1,0 mappingO ( A · ∇ 2 u 1,0)≪ O (∇A · ∇u1,0 ) ≪ O ( ∇ 2 A · u 1,0)(II.66a)O ( A T : ∇u 1,0)≪ O ((∇ · A) · u1,0 ) (II.66b)O (A · ∇u 1,0 ) ≪ O (∇A · u 1,0 ) (II.66c)O (∇u 1,0 · a) ≪ O (∇a · u 1,0 ) (II.66d)57
Chapter II. Construction <strong>de</strong> conditions aux limites effectives sur paroisrugueuses• Problem II. ∂ y u 1,0 mappingO ( B · ∇ 2 ∂ y u 1,0)≪ O (∇B · ∇∂y u 1,0 ) ≪ O ( ∇ 2 B · ∂ y u 1,0)(II.67a)O ( B T : ∇∂ y u 1,0)≪ O ((∇ · B) · ∂y u 1,0 ) (II.67b)O (B · ∇∂ y u 1,0 ) ≪ O (∇B · ∂ y u 1,0 ) (II.67c)O (∇∂ y u 1,0 · b) ≪ O (∇b · ∂ y u 1,0 ) (II.67d)The use of these estimates in Eqs.(II.66c)-(II.67c) immediately leads to the following form of theclosure problems• Problem I. u 1,0 mapping∇a = µ∇ 2 A in Ω i(II.68a)∇ · A = 0 in Ω i(II.68b)A + I = 0 on Γ wi(II.68c)n 0 · [−aI + µ∇A] = 0 onΓ 0i(II.68d)A (x) = A (x + ∆x) on Γ per (II.68e)a (x) = a (x + ∆x) on Γ per (II.68f)• Problem II. ∂ y u 1,0 mapping∇b = µ∇ 2 B in Ω i(II.69a)∇ · B = 0 in Ω i(II.69b)B + yI = 0 on Γ wi(II.69c)n 0 · [−bI + µ∇B] = 0 onΓ 0i(II.69d)B (x) = B (x + ∆x) on Γ per (II.69e)b(x) = b(x + ∆x) on Γ per (II.69f)II.3.B Derivation of the closure problems for the heat transfer problemIn this app<strong>en</strong>dix, our objective is to <strong>de</strong>rive the closure problems III and IV for the mappingvariables c and d. The procedure used here is similar to the one employed for the <strong>de</strong>rivation of theclosure problem I and II.The first step consists in drawing upon the repres<strong>en</strong>tation of the spatial <strong>de</strong>viation temperaturegiv<strong>en</strong> by (II.52) to obtain two closure problems in the form- Problem III. (T 1,0 − T w ) mapping(T w − T 1,0 )u 2 · ∇c + cu 2 · ∇ (T w − T 1,0 ) = (T w − T 1,0 )κ∇ 2 c + κc∇ 2 (T w − T 1,0 )+ 2κ∇c · ∇ (T w − T 1,0 ) in Ω i (II.70a)(BC1) (c − 1) (T w − T 1,0 ) = 0 on Γ wi (II.70b)(BC2) (T w − T 1,0 )n · ∇c + cn · ∇ (T w − T 1,0 ) = 0 on Γ wi (II.70c)(T w − T 1,0 )n 0 · ∇c + cn 0 · ∇ (T w − T 1,0 ) = 0 onΓ 0i (II.70d)c(x) = c(x + ∆x) on Γ per (II.70e)58
II.4. Conclusion- Problem IV. ∂ y T 1,0 mapping∂ y T 1,0 u 2 · ∇d + du 2 · ∇ (∂ y T 1,0 ) = ∂ y T 1,0 κ∇ 2 d + κd∇ 2 (∂ y T 1,0 )+ 2κ∇d · ∇ (∂ y T 1,0 ) in Ω i (II.71a)(BC1) (d + y) ∂ y T 1,0 = 0 on Γ wi (II.71b)(BC2) dn · ∇ (∂ y T 1,0 ) + ∂ y T 1,0 n · ∇d + n · ∇T 1,0 = 0 on Γ wi (II.71c)∂ y T 1,0 n 0 · ∇d + dn 0 · ∇ (∂ y T 1,0 ) = 0 onΓ 0i (II.71d)d(x) = d(x + ∆x) on Γ per (II.71e)To obtain useful forms of these two closure problems, we estimate here the or<strong>de</strong>r of magnitu<strong>de</strong> ofthe differ<strong>en</strong>t terms in the equations Eqs.(II.70)-(II.71). In doing so, we find- Problem III.O ( κc∇ 2 (T w − T 1,0 ) ) ≪O (2κ∇c · ∇ (T w − T 1,0 )) ≪ O ( (T w − T 1,0 )κ∇ 2 c ) (II.72a)O (cu 1 · ∇ (T w − T 1,0 )) ≪ O ((T w − T 1,0 )u 1 · ∇c) (II.72b)O (cn · ∇ (T w − T 1,0 )) ≪ O ((T w − T 1,0 )n · ∇c) (II.72c)- Problem IV.O ( κd∇ 2 (∂ y T 1,0 ) ) ≪ O (2κ∇d · ∇ (∂ y T 1,0 )) ≪ O ( ∂ y T 1,0 κ∇ 2 d ) (II.73a)O (du 1 · ∇ (∂ y T 1,0 )) ≪ O (∂ y T 1,0 u 1 · ∇d) (II.73b)O (dn · ∇ (∂ y T 1,0 )) ≪ O (∂ y T 1,0 n · ∇d) (II.73c)At this stage, according to these estimates, the closure problems can be simplified in the form- Problem III. (T 1,0 − T w ) mapping- Problem IV. ∂ y T 1,0 mappingu 1 · ∇c = κ∇ 2 c in Ω i (II.74a)(BC1) c = 1 on Γ wi (II.74b)(BC2) n · ∇c = 0 on Γ wi (II.74c)n 0 · ∇c = 0 onΓ 0i (II.74d)c(x) = c(x + ∆x) on Γ per (II.74e)u 1 · ∇d = κ∇ 2 d in Ω i (II.75a)(BC1) d = −y on Γ wi (II.75b)(BC2) n · ∇d + n · ∇T 1,0 = 0 on Γ wi (II.75c)n 0 · ∇d = 0 onΓ 0i (II.75d)d(x) = d(x + ∆x) on Γ per (II.75e)II.4 ConclusionL’objectif <strong>de</strong> ce chapitre était <strong>de</strong> construire <strong>de</strong>s conditions aux limites effectives pour <strong>de</strong>s écoulem<strong>en</strong>tslaminaires avec transferts <strong>de</strong> chaleur sur parois rugueuses dans le cadre <strong>de</strong> l’approximation<strong>de</strong> Boussinesq. Pour cela, nous avons considéré un problème modèle d’écoulem<strong>en</strong>t laminaire <strong>de</strong>convection naturelle <strong>et</strong> nous l’avons traité par une technique <strong>de</strong> changem<strong>en</strong>t d’échelle basée sur59
Chapter II. Construction <strong>de</strong> conditions aux limites effectives sur paroisrugueusesle concept <strong>de</strong> décomposition <strong>de</strong> domaine. C<strong>et</strong>te métho<strong>de</strong> a permis <strong>de</strong> construire une solution approchéeà l’échelle <strong>de</strong>s rugosités <strong>et</strong> <strong>de</strong> développer <strong>de</strong>s conditions aux limites effectives qui sontimposées sur une surface effective lisse homogène. <strong>Les</strong> propriétés effectives associées, c’est-à-direun coeffici<strong>en</strong>t <strong>de</strong> frottem<strong>en</strong>t <strong>et</strong> un coeffici<strong>en</strong>t <strong>de</strong> transfert <strong>de</strong> chaleur effectifs, sont obt<strong>en</strong>ues <strong>en</strong> résolvant<strong>de</strong>s problèmes <strong>de</strong> ferm<strong>et</strong>ure locaux sur un motif représ<strong>en</strong>tatif <strong>de</strong>s rugosités. <strong>Les</strong> conditionseffectives ont <strong>en</strong>suite été testées sur un problème <strong>de</strong> convection naturelle dans une cavité rugueusediffér<strong>en</strong>tiellem<strong>en</strong>t chauffée <strong>et</strong> la qualité <strong>de</strong> l’approximation proposée a été estimée <strong>en</strong> comparantpour différ<strong>en</strong>ts nombres <strong>de</strong> Rayleigh les calculs effectifs à <strong>de</strong>s calculs directs t<strong>en</strong>ant compte <strong>de</strong>srugosités. Enfin, une étu<strong>de</strong> numérique a égalem<strong>en</strong>t été m<strong>en</strong>ée sur le problème générique importantdu positionnem<strong>en</strong>t <strong>de</strong> la surface effective.Pour les applications multiphasiques visées, le travail prés<strong>en</strong>té dans ce chapitre constitue unepremière étape dans le cadre d’une <strong>de</strong>scription <strong>et</strong> d’une modélisation multi-échelle <strong>de</strong>s échanges.Nous rappelons néanmoins que le problème considéré ici peut être vu comme un problème modèlepour la modélisation <strong>de</strong>s aspects hétérogènes <strong>de</strong>s bétons <strong>de</strong>s réacteurs actuels <strong>et</strong> <strong>de</strong> nouvellegénération.La première contribution <strong>de</strong> ce travail <strong>de</strong> thèse correspondant au problème du changem<strong>en</strong>td’échelle a été abordée dans ce chapitre. Nous allons désormais nous intéresser à la secon<strong>de</strong>contribution <strong>de</strong> ce travail qui concerne la construction d’un outil <strong>de</strong> simulation numérique directe<strong>de</strong> l’écoulem<strong>en</strong>t au voisinage du front d’ablation.60
II.4. Conclusion0.980.96T0.940.920 0.25 0.5 0.75 1y(a) Ra L = 10 3roughsmoothno-slipδ 1δ 2δ 3δ 410.95T0.90.85roughsmoothno-slipδ 1δ 2δ 3δ 40.80 0.25 0.5 0.75 1y(b) Ra L = 10 4Figure II.16: Comparison of the temperature profiles in the rough, smooth and effective cases onx = A + 5.10 −2 for Ra L = 10 3 (top) and Ra L = 10 4 (bottom).61
Chapter II. Construction <strong>de</strong> conditions aux limites effectives sur paroisrugueuses10.9T0.80.7roughsmoothno-slipδ 1δ 2δ 3δ 40.60 0.25 0.5 0.75 1y(a) Ra L = 10 510.8T0.60.4roughsmoothno-slipδ 1δ 2δ 3δ 40 0.25 0.5 0.75 1y(b) Ra L = 10 6Figure II.17: Comparison of the temperature profiles in the rough, smooth and effective cases onx = A + 5.10 −2 for Ra L = 10 5 (top) and Ra L = 10 6 (bottom).62
II.4. Conclusion10.8T0.60.40.20.90 0.25 0.5 0.75 1y(a) Ra L = 10 7roughsmoothno-slipδ 1δ 2δ 3δ 40.7T0.50.3roughsmoothno-slipδ 1δ 2δ 3δ 40.10 0.25 0.5 0.75 1y(b) Ra L = 10 8Figure II.18: Comparison of the temperature profiles in the rough, smooth and effective cases onx = A + 5.10 −2 for Ra L = 10 7 (top) and Ra L = 10 8 (bottom).63
Chapter II. Construction <strong>de</strong> conditions aux limites effectives sur paroisrugueusesv 12.521.51roughsmoothno-slipδ 1δ 2δ 3δ 40.500 0.25 0.5 0.75 1y(a) Ra L = 10 3v 11510roughsmoothno-slipδ 1δ 2δ 3δ 4500 0.25 0.5 0.75 1y(b) Ra L = 10 4Figure II.19: Comparison of the profiles of the y-compon<strong>en</strong>t of the velocity field in the rough,smooth and effective cases on x = A + 5.10 −2 for Ra L = 10 3 (top) and Ra L = 10 4 (bottom).64
II.4. Conclusionv 1907050roughsmoothno-slipδ 1δ 2δ 3δ 4301000 0.25 0.5 0.75 1y(a) Ra L = 10 5240180v 1120roughsmoothno-slip60δ 1δ 2δ 3δ 400 0.25 0.5 0.75 1y(b) Ra L = 10 6Figure II.20: Comparison of the profiles of the y-compon<strong>en</strong>t of the velocity field in the rough,smooth and effective cases on x = A + 5.10 −2 for Ra L = 10 5 (top) and Ra L = 10 6 (bottom).65
Chapter II. Construction <strong>de</strong> conditions aux limites effectives sur paroisrugueuses600500v 1300100016000 0.25 0.5 0.75 1y(a) Ra L = 10 7roughsmoothno-slipδ 1δ 2δ 3δ 41200v 18004000roughsmoothno-slipδ 1δ 2δ 3δ 4-2000 0.25 0.5 0.75 1y(b) Ra L = 10 8Figure II.21: Comparison of the profiles of the y-compon<strong>en</strong>t of the velocity field in the rough,smooth and effective cases on x = A + 5.10 −2 for Ra L = 10 7 (top) and Ra L = 10 8 (bottom).66
II.4. ConclusionRelative Perc<strong>en</strong>tage Error (%)605040302010Ra = 10 3Ra = 10 4Ra = 10 5Ra = 10 6Ra = 10 7Ra = 10 80no-slip δ 120δ 2δ 3(a) interval error : [0, 60]δ 416Relative Perc<strong>en</strong>tage Error (%)12840no-slip δ 1 δ 2 δ 3(b) (zoom) interval error : [0, 20]δ 4Figure II.22: Relative error perc<strong>en</strong>tage observed b<strong>et</strong>we<strong>en</strong> the averaged Nusselt number in the roughcase < Nu r > and the effective one < Nu eff > for 10 3 ≤ Ra L ≤ 10 8 .67
Chapter II. Construction <strong>de</strong> conditions aux limites effectives sur paroisrugueuses68
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