L'analyse de variance à un critère de classification (ANOVA)

L’analyse de variance à un critère de classification (Anova) 5⇒ Or, pour chaque groupe, la somme des écarts à la moyenne de cegroupe est nulle, par définition de la moyenne. Par conséquent, le termecentral de l’équation ci-dessus est nul, si bien quekn jSCT = ∑ ∑ ( x ij– x j) 2 + ∑ ∑ ( x j– x) 2j = 1ki = 1n jMesure de la dispersion (variation) intragroupe SCELa variation [somme des (écarts par rapport à la moyenne) 2 ] à l’intérieurdes groupes ne nous intéresse pas explicitement dans cette analyse. Onconsidère qu’il s’agit de variation (“erreur”) expérimentale.Pour chaque groupe j, on calculej = 1i = 1SCT = ∑ ∑ ( x ij– x j) 2 + ∑ n j( x j– x) 2j = 1i = 1Faisant la somme de ces termes pour tous les groupes j, on obtientkn jCette équation est dérivée comme la formule raccourcie de calcul de lavariance.Degrés de liberté: ν e = (n 1 – 1) + (n 2 – 1) + … + (n k – 1) = n – kkkj = 1SCEdonc la var. intragroupe CME = ---------- CME: notation Scherrer, eq. 14.19n – kn jSCE = ∑ ∑ ( x ij– x j) 2 =j = 1 i = 1n jSCE j= ∑ ( x ij– x j) 2∑ji = 1∑i2x ij⎛ 2T⎞⎜ j ⎟– ∑⎜-----⎝ n⎟j j ⎠

L’analyse de variance à un critère de classification (Anova) 8Étapes de calcul:On calcule n = somme de tous les n j .2On calcule les différents T j.On calcule T = somme de tous les T j , de même que T 2 .On peut maintenant calculer SCA et SCE.Tableau d’analyse de variance:

L’analyse de variance à un critère de classification (Anova) 9Remarquez dans ce tableau les formules raccourcies pour le calcul deSCT et SCA.4 - Deux estimations de σ 2 , sous H 0Le raisonnement présenté dans cette section permettra par la suite deconstruire un test de signification pour tester la différence entre lesmoyennes.Supposons que les k populations, d’où sont tirés les k groupesd’éléments, sont distribuées normalement et qu’elles ont toutes la mêmevariance σ 2 2 22( σ 1= σ 2= … = σ k= σ 2 ).Si H 0 est vraie (H 0 : µ 1 = µ 2 = … = µ k ), alors la variance commune σ 2peut être estimée de deux façons différentes.Première méthode d’estimation de σ 22Une hypothèse de base de l’ANOVA est que chacune des variances σ2jestime la même variance commune σ x. Cela nous autorise à chercherune estimation robuste de la variance générale en calculant la moyennepondérée des variances estimées pour les k groupes.⇒ C’est ici qu’est introduite l’hypothèse d’homogénéité des variancesdans la construction du test, hypothèse qu’il faut d’abord vérifier (testsd’homogénéité des variances: Scherrer section 12.2; Bio 2042).Variance d’un groupe j, pondérée par le nombre de degrés de liberté dece groupe:

L’analyse de variance à un critère de classification (Anova) 10( n j– 1)n j∑ ( x ij– x j) 2n j------------------------------------ i = 1=( n j– 1)∑ ( x – x ) 2ij ji = 1Moyenne des variances pondérées des k groupes:∑ ( x i1– x 1) 2 + … + ∑ ( x ik– x k) 2--------------------------------------------------------------------------------------( n 1– 1) + … + ( n k– 1)n jk∑ ∑ ( x ij– x j) 2--------------------------------------------------j = 1 i = 1( n – k)=SCE----------n – k= Var E = CMEDeuxième méthode d’estimation de σ 2Si H 0 est vraie, les moyennes x jdes groupes sont toutes des estimationsde la moyenne commune µ. La variance de ces différentes estimations dela moyenne µ peut s’écrire:s x2=∑ ( x j– x) 2----------------------------j( k – 1)La racine carrée de cette variance estime l’erreur type de la moyenne.

L’analyse de variance à un critère de classification (Anova) 11On peut aussi estimer l’erreur type de la moyenne à partir de l’écart typedes données d’un seul groupe: s x= s x⁄ n Eq. 10.22jjqui peut s’écrire:s x2=2s x j⁄n jSi H 0 est vraie, on peut donc estimer la variance de la populationσ x2par:2s x j2= n js x=k∑ ( x j– x) 2nj = 1j-----------------------------------( k – 1)n j peut être incorporée à l’intérieur de la sommation et on obtientl’estimation suivante de la variance commune:s x22= n js x=SCA= ---------- = Var c = CMAk – 1Résultat: si H 0 est vraie et si les groupes d’observations sont tirés d’unemême population statistique, ou encore de populations ayant la mêmemoyenne µ et la même variance σ 2 , alors CME et CMA représententdeux estimations indépendantes de σ 2 . Ces estimations devraient être àpeu près égales.5 - Test de comparaisonk∑ n j( x j– x) 2---------------------------------------j = 1( k – 1)• Si H 0 est vraie (H 0 : µ 1 = µ 2 = … = µ k ), CME et CMA représentent deuxestimations de σ 2 . On s’attend donc à ce que leur rapport soit près de 1.

L’analyse de variance à un critère de classification (Anova) 12• Dans tous les cas, CME demeure une estimation de σ 2 puisqu’on estcensé avoir vérifié l’égalité des variances des populations d’où ont ététirés les k groupes (condition d’homogénéité des variances ou2 22homoscédasticité: σ 1= σ 2= … = σ k).• Si H 1 est vraie, la variance intergroupe CMA n’est plus une estimationde σ 2 . En effet, dans ce cas, la distribution des moyennes x 1, x 2, …, x kne représente pas la distribution d’échantillonnage d’une mêmemoyenne µ.⇒ Dans ce cas, la distribution des moyennes x 1, x 2, …, x kest pluslarge et aplatie que la distribution d’échantillonnage de la moyennecommune µ. CMA est donc nécessairement plus grande que CME.• CMA et CME sont deux composantes indépendantes de la variancetotale puisque SCT = SCE + SCA. Si H 0 est vraie, leur rapport (qui estprès de 1) constitue une statistique-test distribuée comme une loi de F(eqs 12.2 et 14.55):F cVar= ----------- c=Var ECMA------------CME(14.55)avec les degrés de liberté du numérateur et du dénominateurrespectivement: ν 1 = k – 1 et ν 2 = n – k. On place CMA au numérateurparce que c’est la plus grande des deux valeurs si H 1 est vraie.• Il s’agit d’un test unilatéral dans tous les cas, carsi H 0 est vraie, CMA ≈ CME et donc F c ≈ 1;

L’analyse de variance à un critère de classification (Anova) 13si H 1 est vraie, CMA > CME et donc F c > 1.• Zones d’ “acceptation” et de rejet de H 0 : figure 9.7 p.301.• Règles de décision: tableau 14.4. On ne rejette pas H 0 si F c < F α où F αest la valeur critique au seuil α (par exemple, 5%).Langage R: fonctions aov et summary. Le critère de classification doit setrouver dans une variable de type factor, créée par “as.factor”.⇒ Test de différence des moyennes, 2 groupes: test F = test t bilatéral.Note (Sokal & Rohlf 1981, p. 201) — Si le critère de classificationreprésente un facteur aléatoire et si H 0 est fausse, CMA estime unequantité ( σ 2 2+ nσ ) où σ 2 est la variance de x dans la population2 Astatistique et σ Aest la variance ajoutée par le facteur aléatoire.Si au contraire le critère de classification représente un facteur contrôléet si H 0 est fausse, la variance CMA estime une quantité( σ 2 2( n ⁄ ( k – 1)) ∑α j) où représente l’effet quantitatif de chaquetraitement particulier donnant naissance à un groupe j.La distinction entre facteur aléatoire et contrôlé (cours #2) est importanteen analyse de variance à deux critères de classification (Bio 2042).+ α jx6 - Conditions d’application de ce test- Variable dépendante quantitative (pour pouvoir calculer et s x ).- Indépendance des observations (observations non autocorrélées).- Normalité de la population d’où est tiré chaque groupe.

L’analyse de variance à un critère de classification (Anova) 13Exercice 13.4 – Scherrer p. 460Évolution de l’indice de condition du grand corégone au lac Nathalie.Données Mai Juin Juillet Août Sept. Octobrex j0,9994 1,0068 1,0068 1,0305 1,0312 1,1984n j 2 103 42 21 81 26 n = 275T j 1,9988 103,7004 42,2856 21,6405 83,5272 31,1584 T = 284,31092On sait de plus que ∑∑x ij= 313,1927j iOn cherche à calculer F c = Var c /Var E pour tester l’hypothèse H 0 d’égalité des 6 moyennes.__________________________________________________________________________SCT = x 2 T 2∑∑= 313,1927 – (284,3109) 2 ij– -----/275 = 19,2557j in⎛ 2T⎞⎜ j ⎟ T 2SCI = ∑⎜----- = 294,7503 – 293,9371 = 0,8133⎝n⎟ – -----j j ⎠nVar c = 0,8133/(6–1) = 0,1627SCE = SCT – SCI = 18,4424⎛ou encore: SCE = x 2 T 2 ⎞⎜ j ⎟∑∑ij– ∑⎜----- = 313,1927 – 294,7503 = 18,4424⎝n⎟j i j j ⎠Var E = 18,4424/(275–6) = 0,0686F c = Var c /Var E = 0,1627/0,0686 = 2,3726__________________________________________________________________________Pour α = 0,05, ν 1 = 5 et ν 2 = 269, F 0,05 (5, 269) = 2,248.Puisque F c > F α (car 2,3726 > 2,248), on rejette H 0 au profit de H 1 .

L’analyse de variance à un critère de classification (Anova) 147 - Différentes formes d’analyse de variance1. Analyse de variance à un critère de classification(one way / single classification ANOVA)Nombres égaux ou inégauxd’éléments par colonne.Test non-paramétrique:Kruskal-Wallis.Critère de classification1 2 3 4 5• • • • •• • • • •• • • • •• • • • •• • • • •••••• ••2. Hiérarchique 3. À deux critères croisés(nested / hierarchic ANOVA) (two-way ANOVA)Crit. 2Critère de classification 11 2 31.1 1.2 2.1 2.2 3.1 3.2• • • • • •• • • • • •• • • • • •• • • • • •• • • • • •Critère de classification 11 2 3 4• • • •• • • •• • • •• • • •• • • •••••••••••••••••• • • •Plus de 2 facteurs: analyse de variance à plusieurs critères declassification (multiway ANOVA).Plus d’une variable dépendante: Analyse de variance multivariable(multivariate analysis of variance; MANOVA).Critère de classification 212

ANOVA à un critère de classification. Exemple 1: H 0 est vraieCritère de classificationObservations{Groupe 1 Groupe 2 Groupe 34,06,02,04,53,55,32,74,52,35,72,03,04,55,56,0Dispersion intragroupeGroupe 1 Groupe 2 Groupe 3Dispersion totaleDispers.intergr.65432x 53x 1x 2x 3Xx 3n 3x 2Xx 1n 2n 10T 1 = 20,0 T 2 = 20,5 T 3 = 21,0T = 61,5x 1 = 4,0 x 2 = 4,1 x 3 = 4,2X = 4,1(x ij – x j ) 2Σ(x i1 – x 1 ) 2 = 8,50 Σ(x i3 – x 3 ) 2 = 11,30 Σ(x ij – X) 2 = 29,26Σ(x i2 – x 2 ) 2 = 9,36SCTn 1 = 5 n 2 = 5 n 3 = 5 n = 15 Σn j (x j – X) 2 = 0,10SCASCE = 29,16SCT = SCE + SCASources devariationDispersionsDegrés delibertéVariancesTotaleIntergroupeIntragroupeSCT = 29,26SCA = 0,10SCE = 29,1615 – 1 = 143 – 1 = 215 – 3 = 1229,26/14 = 2,09CMA = 0,10/2 = 0,05CME = 29,16/12 = 2,43F c = CMA/CME = 0,0206 P = 0,9797F (0,05,2,12) = 3,89

ANOVA à un critère de classification. Exemple 2: H 0 est fausseCritère de classificationObservations{Groupe 1 Groupe 2 Groupe 34,06,02,04,53,55,32,74,52,35,76,07,08,59,510,010Dispersion intragroupeGroupe 1 Groupe 2 Groupe 3Dispersion totaleDispers.intergr.98765432x 1x 2x 3Xx 3n 3Xn 2x 2x 1n 1X = 5,43n 1 = 5 n 2 = 5 n 3 = 5 n = 15 Σn j (x j – X) 2= 57,43T 1 = 20,0 T 2 = 20,5 T 3 = 41,0T = 61,5x 1 = 4,0 x 2 = 4,1 x 3 = 8,2SCA(x ij – x j ) 2Σ(x i1 – x 1 ) 2 = 8,50 Σ(x i3 – x 3 ) 2 = 11,30 Σ(x ij – X) 2 = 86,59Σ(x i2 – x 2 ) 2 = 9,36SCTSCE = 29,16SCT = SCE + SCASources devariationTotaleIntergroupeIntragroupeDispersionsSCT = 86,59SCA = 57,43SCE = 29,16Degrés deliberté15 – 1 = 143 – 1 = 215 – 3 = 12F c = CMA/CME = 11,82 P = 0,0015 F (0,05,2,12) = 3,89F (0,01,2,12) = 6,93Variances86,59/14 = 6,19CMA = 57,43/2 = 28,72CME = 29,16/12 = 2,43