Résolution de l'équation d'état - La Recherche - ENAC

Résolution de l’équation d’étatAntoine Drouin, Félix Mora CaminoENACSeptembre 2010Antoine Drouin, Félix Mora Camino ( ENAC ) Résolution de l’équation d’état Septembre 2010 1 / 1

Rappels sur la scéance précédenteReprésentation externe (aka relation entrée-sortie)f (y, ẏ..y n , u, ˙u...u n ) = 0Fonction de transition d’étatReprésentation d’étatGénéraleLTIX (t) = χ(X (t 0 ), u[t 0 t])f : R i → R jẊ (t) = f (X (t), U(t)) X (t 0 ) Y (t) = g(X (t), U(t))Ẋ (t) = AX (t) + BU(t) X (t 0 ) Y (t) = CX (t) + DU(t)Linéarisation autour d’un point d’équilibreAntoine Drouin, Félix Mora Camino ( ENAC ) Résolution de l’équation d’état Septembre 2010 2 / 1

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IntroductionExemple scalaireExemple : Filtre RC (1 er ordre linéaire)Représentation d’étatFonction de transitionẏ(t) = −1RC y(t) + 1RC u(t), y(t 0) = y 0y(t) = y(t 0 )e −1RC (t−t0) +∫ tt 01RC e −1RC (t−τ) U(τ)dτAntoine Drouin, Félix Mora Camino ( ENAC ) Résolution de l’équation d’état Septembre 2010 4 / 1

Résolution directeExponentielle d’une matriceDéfinition∀A ∈ M n (C), exp A = e A = ∑ k≥0 1 k! AkPropriétése 0 = Ie aX e bX = e (a+b)Xe X e −X = ISi XY = YX , alors e X e Y = e X +YSi X est diagonale e X est la matrice diagonale des exponentielles destermes diagonaux de XSi X est diagonalisable, e X = Pe Λ P − 1Si X est nilpotente, la somme de la définition comporte un nombre finide termes.Antoine Drouin, Félix Mora Camino ( ENAC ) Résolution de l’équation d’état Septembre 2010 5 / 1

Résolution directePrincipe de superpositionSoit un système linéaire invariant décrit par l’équation d’état :Ẋ (t) = AX (t) + BU(t)La solution de l’équation ci dessus est la sommede la réponse libre du système autonome à partir de la conditionintiale X 0de la réponse forcée du système soumis à U(t) à partir de l’équilibreAntoine Drouin, Félix Mora Camino ( ENAC ) Résolution de l’équation d’état Septembre 2010 6 / 1

Résolution directeRéponse libreEquation :Ẋ (t) = AX (t)Solution :X (t) = e A(t−t0) X (t0)Matrice de transition d’état :Φ(t, t 0 ) = e A(t−t0)X (t) = Φ(t, t 0 )X (t0)Antoine Drouin, Félix Mora Camino ( ENAC ) Résolution de l’équation d’état Septembre 2010 7 / 1

Résolution directeRéponse complèteEquation :Solution :Ẋ (t) = AX (t) + BU(t)∫ tX (t) = e A(t−t0) X (t0) + e A(t−τ) BU(τ)dτt 0ou∫ tX (t) = Φ(t, t 0 )X (t0) + Φ(t, τ)BU(τ)dτt 0Antoine Drouin, Félix Mora Camino ( ENAC ) Résolution de l’équation d’état Septembre 2010 8 / 1

Résolution directeMatrice de transition d’étatΦ(t, t 0 ) = e A(t−t0)Φ(t, t 0 ) = I + A(t − t0) + A 2 (t − t 0) 2Remarque : développement fini si A est nilpotente.Propriétés :˙Φ = AΦ∀t 1 , t 2 , t 3 Φ(t 3 , t 1 ) = Φ(t 3 , t 2 )Φ(t 2 , t 1 )∀t 1 , t 2 Φ(t 1 , t 2 ) = Φ −1 (t 2 , t 1 )2!+ A 3 (t − t 0) 33!+ ...Antoine Drouin, Félix Mora Camino ( ENAC ) Résolution de l’équation d’état Septembre 2010 9 / 1

Résolution directeExemple 1Mouvement sans frottement d’une masse.Équation de dynamique :ẍ(t) = f m = uReprésentation d’état :( ẋX =x)( ) ( 0 1 0Ẋ = X + U0 0 1)X (t 0 ) =( )x0x˙0Antoine Drouin, Félix Mora Camino ( ENAC ) Résolution de l’équation d’état Septembre 2010 10 / 1

Résolution directeExemple 1Matrice de transition :( ) ( )1 0 0 1Φ(t, t0) = + (t − t0) + 00 1 0 0( ) 1 t − t0Φ(t, t 0 ) =0 1Trajectoire :( ) ∫ 1 t − t( ) (t01 t − τ 0X (t) =X0 1 0 +u(τ)dτt 00 1 1)(x 0 + (t − t 0 ) x˙0 + ∫ )tX (t) =t 0(t − τ)u(τ)dτx˙0 + ∫ tt 0u(τ)dτAntoine Drouin, Félix Mora Camino ( ENAC ) Résolution de l’équation d’état Septembre 2010 11 / 1

Résolution par diagonalisationPrincipeSi les valeurs propres de A sont distinctes, la matrice de transition peutêtre calculée de manière simple.λ 1 , λ 2 , ..., λ n , valeurs propres de A.P = ( )V 1 V 2 .... V n , matrice de passage constituée des vecteurspropres de A.⎛ ⎞λ 1 .... 0Λ = P −1 AP = ⎝ 0 .... 0 ⎠ est appelée Matrice Modale du0 ... λ nsystème.e A(t−t 0) = Pe Λ(t−t 0) P −1Antoine Drouin, Félix Mora Camino ( ENAC ) Résolution de l’équation d’état Septembre 2010 12 / 1

Résolution par diagonalisationExemple 2Soit le système représenté par le schéma bloc suivant :Explicitez la trajectoire du système.Antoine Drouin, Félix Mora Camino ( ENAC ) Résolution de l’équation d’état Septembre 2010 13 / 1

Résolution par la transformée de LaplaceRappels transformée de LaplaceDéfinitionTransformée inverseF (p) = L(f (t)) =f (t) = L −1 (F (p)) = 12πi∫ +∞0e −pt f (t)dt∫ γ+i∞γ−i∞e pt F (p)dpAntoine Drouin, Félix Mora Camino ( ENAC ) Résolution de l’équation d’état Septembre 2010 14 / 1

Résolution par la transformée de LaplaceRappels transformée de Laplace (cont)Linéarité :Dérivation :Intégration :Valeur initiale :Valeur finale :L(af (t) + g(t)) = aL(f (t)) + L(g(t))L(df (t)) = pL(f (t)) − f (0 + )dt( ∫ t )L f (τ)dτ = 10p L(f )( ∫ t )L f (τ)dτ = 1ap L(f ) + 1 ∫ 0f (τ)dτplim f (t) = lim pF (p)t→0 + p→+∞lim f (t) = lim pF (p)t→+∞ p→0aAntoine Drouin, Félix Mora Camino ( ENAC ) Résolution de l’équation d’état Septembre 2010 15 / 1

Résolution par la transformée de LaplaceRappels transformée de Laplace (cont)FormulaireDomaine temporel Transformée de Laplace11p1tp 2e −αt 1p+α1 − e −αt αsin(ωt)cos(ωt)e −αt sin(ωt)e −αt cos(ωt)ln( tt 0)p(p+α)ωp 2 +ω 2pp 2 +ω 2ω(p+α) 2 +ω 2p+α(p+α) 2 +ω 2−t 0p (ln(t 0p) + γ)Antoine Drouin, Félix Mora Camino ( ENAC ) Résolution de l’équation d’état Septembre 2010 16 / 1

Résolution par la transformée de LaplacePrincipeÉquation d’état : Ẋ (t) = AX (t) + BU(t)Transformée de Laplace : pX (p) − X (t 0 ) = AX (p) + BU(p)X (p) = (pI − A) −1 X (t 0 ) + (pI − A) −1 BU(p)PosonsΦ(p) = (pI − A) −1X (p) = Φ(p)X (t 0 ) + Φ(p)BU(p)Matrice caractéristique : Φ(p) = L(Φ(t, t 0 ))X (t) = L −1 (X (p))Antoine Drouin, Félix Mora Camino ( ENAC ) Résolution de l’équation d’état Septembre 2010 17 / 1

Résolution par la transformée de LaplaceExemple 3Soit le système linéaire continu invariant suivant :˙θ = ω˙ω = −αω + βuExplicitez la matrice de transition en utilisant la transformée de Laplace.Antoine Drouin, Félix Mora Camino ( ENAC ) Résolution de l’équation d’état Septembre 2010 18 / 1

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