Effet bilame et mécanique des microsyst`emes - mms2

Effet bilame et mécanique des microsystèmesLes composants constitués de plusieurs couches de matériaux différents sont très fréquentsdans les systèmes électromécaniques ou microélectroniques. La connaissance de leurs propriétésmécaniques est essentielle afin de leur garantir une durée de vie suffisante et d’éviter l’apparitionde défauts. Ces composants sont souvent le siège de contraintes d’origine thermique duesà la différence de propriétés thermoélastiques des matériaux utilisés. On envisage ici le casélémentaire du bilame constitué de deux couches possédant des coefficients de dilatationdistincts. L’objet du problème est de mettre en évidence l’effet bilame de manière quantitativeet d’en déduire ensuite quelques conséquences dans le domaine des composants électroniques(microprocesseurs, etc.).1 Comportement d’un bicoucheOn considère une plaque composée de deux couches de matériaux différents. La géométriede la plaque est engendrée par translation le long d’un axe 0X 3 à partir d’une surface plane Sdont le contour extérieur est de forme quelconque. L’épaisseur de la plaque obtenue est supposéesignificativement plus petite que les deux autres dimensions caractéristiques.Le repérage est cartésien orthonormé. Une vue en perspective et une section 0X 1 0X 3 du bicouchefont l’objet de la figure 1. La couche inférieure constitue le substrat, d’épaisseur h s . Il estrecouvert d’une couche ou film d’épaisseur h f . L’épaisseur totale de la plaque est h = h s + h f .Conformément au système de coordonnées cartésiennes indiqué sur la figure 1, l’interface entreles deux matériaux est à la cote X 3 = 0. L’origine O du repère est un point de l’interface situéloin des bords de la plaque. La surface inférieure S, la surface supérieure et l’interface ont pouréquations respectives X 3 = −h s , X 3 = h f et X 3 = 0. Le domaine d’espace occupé par la plaquepeut donc être noté S×] − h s , h f [. On notera ∂S la ligne du bord de S et ∂S×] − h s , h f [ lasurface latérale de la plaque.L’interface est supposée parfaite 1 , c’est–à–dire que, dans les conditions de chargement duproblème, aucune décohésion ni fissure ne peuvent apparaître à l’interface.Le substrat est constitué d’un matériau thermoélastique linéarisé isotrope (module de YoungE s , coefficient de Poisson ν s , coefficient de dilatation thermique α s ). La couche supérieure estconstituée d’un matériau thermoélastique linéarisé isotrope (module de Young E f , coefficientde Poisson ν f , coefficient de dilatation thermique α f ). Chaque matériau est supposé dans sonétat naturel lorsqu’il est à la température de référence T 0 .L’objectif du problème est de déterminer la forme que prend le bicouche lorsqu’on le porteà la température T , supposée telle que l’on reste dans le contexte infinitésimal. Dans tout leproblème, on se place délibérément dans l’hypothèse des petites perturbations.On adopte l’approche en contraintes et l’on recherche si un champ de contraintes internesbiaxiales de la formeσ ∼= σ ∼ s = σ s 11(X 3 )e 1 ⊗ e 1 + σ s 22(X 3 )e 2 ⊗ e 2 pour − h s < X 3 < 0 (1)σ ∼= σ ∼ f = σ f 11(X 3 )e 1 ⊗ e 1 + σ f 22(X 3 )e 2 ⊗ e 2 pour 0 < X 3 < h f (2)1 Les deux couches métalliques peuvent être soudées, brasées ou colaminées.1

peut s’établir dans le bicouche lorsqu’il est porté à la température T . Seules deux composantesnon nulles des contraintes sont donc recherchées, avec en outre une dépendance par rapport àla seule variable X 3 .Les contraintes revêtent la même forme dans le substrat et le film mais sont représentéesa priori par des fonctions différentes caractérisées par les exposants s et f , respectivement.L’isotropie du problème dans le plan OX 1 OX 2 incite à penser que ces contraintes sont équi–biaxiales. Les contraintes recherchées sont donc telles que :σ s 11(X 3 ) = σ s 22(X 3 ), σ f 11(X 3 ) = σ f 22(X 3 ) (3)Aucun chargement mécanique extérieur n’est appliqué au composant. Seule la température,supposée homogène dans la plaque à chaque instant, passe de la valeur initiale T 0 à la valeuractuelle T .1.1 Etat de contraintes équi–biaxialesEtudier les conditions d’équilibre local du champ de contraintes proposé au sein de la plaque.Justifier en outre que l’on ait considéré que σ 33 = 0.Le champ de contraintes proposé est à divergence nulle. En effet, les dérivées partielles σ 11,3et σ 22,3 sont les seules qui soient susceptibles d’être non nulles. Elles n’interviennent pas dansl’expression de la divergence des contraintes. Un tel champ est donc admissible du point de vuedes équations d’équilibre. Le choix σ 33 = 0 est compatible avec l’existence des surfaces libresX 3 = −h s , X 3 = h f et avec la troisième équation d’équilibre impliquant la dérivée de σ 33 parrapport à X 3 . Il faut en outre vérifier la condition d’interface :[σ ∼].n = [σ ∼].e 3 = 01.2 Déformations des couchesCalculer indépendamment dans chaque couche les déformations élastiques puis totales enfonction des contraintes introduites précédemment et de l’écart de température T − T 0 .La notation suivante pour le module d’élasticité biaxiale sera adoptée :M s :=E s1 − ν s, M f := E f1 − ν f(4)La loi d’élasticité isotrope linéarisée fournit, indépendamment dans chaque couche,l’expression des déformations élastiques en fonction des contraintes :On en déduit queε ∼ e = 1 + νE σ ∼ − ν E (trace σ ∼ )1 ∼(5)ε e 11 = ε e 22 = 1 − νE σ 11, ε e 33 = − 2νE σ 11 (6)2

X 3X 2Odln(a)X 1X 3Oh fX 1h s(b)Fig. 1 – Vue en perspective d’une plaque bicouche dans son état initial (a), section initiale(X 1 ≥ 0, X 2 = 0) (b).Par souci de concision, on n’a pas mis l’exposant s ou f caractéristique de chaque couche maisil y a bien deux jeux d’équations du type précédent. La déformation totale s’obtient en ajoutantla déformation thermique :ε ∼= ε ∼ e + ε ∼thavec ε ∼ th = α(T − T 0 )1 ∼(7)ε 11 = ε 22 = 1 − νE σ 11 + α(T − T 0 ), ε 33 = − 2νE σ 11 + α(T − T 0 ) (8)Ces relations font intervenir les modules d’élasticité biaxiale M s et M f .3

1.3 Equations de compatibilitéEn utilisant les conditions de compatibilité pour le champ de déformations établiprécédemment, montrer que, dans chaque couche, les contraintes recherchées sont des fonctionsaffines. Donner ensuite l’expression des déformations totales à l’aide de ces fonctions affines etde la température.Les équations de compatibilité fournissent les relations suivantes :ε 11,33 = 0, ε 22,33 = 0 (9)En substituant les relations (8) dans les équations de compatibilité, on trouveσ 11,33 = 0 =⇒ σ 11 = aX 3 + b (10)où a et b sont des constantes par couche, à déterminer. On a tenu compte du fait que latempérature est supposée homogène. Les déformations aussi sont affines :ε 11 = ε 22 = 1 M (aX 3 + b) + α(T − T 0 ),ε 33 = − 2νE (aX 3 + b) + α(T − T 0 ) (11)1.4 DéplacementsTrouver, indépendamment dans chaque couche, la forme précise du champ de déplacements,à un mouvement de corps rigide infinitésimal près, à savoir les trois composantes :u = u 1 (X 1 , X 2 , X 3 )e 1 + u 2 (X 1 , X 2 , X 3 )e 2 + u 3 (X 1 , X 2 , X 3 )e 3 (12)On ne cherchera pas, pour l’instant, à identifier les constantes apparues lors du processusd’intégration.La méthode systématique pour construire le champ de déplacements à partir du champ dedéformations précédent consiste à calculer le gradient de la rotation ω ∼par la formule (??). Celadonneω 12,1 = 0, ω 23,1 = 0, ω 31,1 = −ε 11,3 = − a M ,ω 12,2 = 0, ω 23,2 = ε 22,3 = a M , ω 31,2 = 0,ω 12,3 = 0, ω 23,3 = 0 ω 31,3 = 0L’intégration de ces équations fournitω 12 = 0, ω 23 = a M X 2, ω 31 = − a M X 1sans mentionner les termes constants p, q, r associés à une rotation infinitésimale que l’onajoutera à la fin. Le gradient du déplacement s’écrit doncu 1,1 = ε 11 = 1 M (aX 3 + b) + α(T − T 0 ) u 2,1 = 0 u 3,1 = − a M X 1u 1,2 = 0 u 2,2 = 1 M (aX 3 + b) + α(T − T 0 ) u 3,2 = − a M X 2u 1,3 = a M X 1 u 2,3 = ω 23 = a M X 2 u 3,3 = − 2νE (aX 3 + b) + α(T − T 0 )4

L’intégration des équations précédentes conduit aux expressions suivantes des composantes dudéplacementu 1 = 1 M (aX 3 + b)X 1 + α(T − T 0 )X 1 (13)u 2 = 1 M (aX 3 + b)X 2 + α(T − T 0 )X 2 (14)u 3 = − a M (X2 12 + X2 22 ) − 2νE (aX2 32 + bX 3) + α(T − T 0 )X 3 (15)auquel s’ajoute le mouvement de corps rigide infinitésimal {(p, q, r), c }.On a omis de mettre l’indication s ou f sur les coefficients E, ν, M, α et les constantesd’intégration a, c. Les champs de déplacements trouvés ont la même forme dans chaque couchemais des coefficients et constantes a priori distinctes.1.5 Contraintes dans chaque coucheMontrer que les contraintes se mettent sous la forme suivante :σ s 11 = M s 1 − ν s (AX 3 + C − α s (T − T 0 )), σ f 11 = M f 1 − ν f (AX 3 + C − α f (T − T 0 )) (16)où A et C sont deux constantes à déterminer plus tard. Il faudra en particulier établir que cesconstantes sont les mêmes dans les deux couches.Calculer alors le saut des contraintes à la traversée de l’interface entre les deux matériaux. Unetelle discontinuité est–elle acceptable pour la solution du problème posé ?Les déplacements ont été établis dans chaque couche. Il faut maintenant se préoccuper de cequi se passe à l’interface. Celle–ci étant supposée parfaite, les déplacements y sont continus :u s 1(X 1 , X 2 , 0) = u f 1(X 1 , X 2 , 0), u s 2(X 1 , X 2 , 0) = u f 2(X 1 , X 2 , 0), u s 3(X 1 , X 2 , 0) = u f 3(X 1 , X 2 , 0)(17)Examinons d’abord la condition sur u 3 . Pour X 3 = 0, la composante u 3 comporte le termequadratique :− as,fM s,f( X2 12 + X2 22 )Pour que les fonctions u s 3 et u f 3 coïncident à l’interface, pour toute valeur de X 1 , il faut que lescoefficients de ces monomes soient identiques :a sM s= afM f= A (18)où l’on introduit le coefficient unique A. A l’interface X 3 = 0, les composantes u 1 et u 2 prennentla forme :u s,f1 = bs,fM s,fX 1 + α s,f (T − T 0 )X 1 ,u s,f2 = bs,fM s,fX 2 + α s,f (T − T 0 )X 2à un mouvement de corps rigide près. Ces déplacements ne peuvent coïncider que sib sM s+ α s (T − T 0 ) = bfM f+ α f (T − T 0 ) = C (19)5

où l’on introduit la constante unique C. Muni de ces constantes identiques dans les deux couches,on est en mesure d’évaluer à nouveau les contraintes. On a vu que, dans chaque couche :σ s 11 = a s X 3 + b s = M s (AX 3 + C − α s (T − T 0 )), σ f 11 = a f X 3 + b f = M f (AX 3 + C − α f (T − T 0 ))(20)C’est la forme annoncée dans l’énoncé.La discontinuité des contraintes à l’interface s’écrit :[σ 11 ] = [σ 22 ] = (M s − M f )C − (M s α s − M f α f )(T − T 0 ) (21)Une discontinuité de σ 11 et σ 22 est tout à fait licite puisque seules les composantes du vecteur–contrainte doivent être continues à la traversée de toute surface de normale e 3 , à savoir lescomposantes σ 13 , σ 23 , σ 33 qui sont nulles dans les deux couches.1.6Achever la détermination des déplacements en fonction de A et C. On utilisera les conditionsaux limites suivantes :u 1 (X 1 = 0, X 2 = 0, X 3 = 0) = u 2 (X 1 = 0, X 2 = 0, X 3 = 0) = u 3 (0, 0, 0) = 0u 1 (0, 0, X 3 = h f ) = u 2 (0, 0, X 3 = h f ) = 0u 2 (X 1 = L, 0, 0) = 0où le point de coordonnées (L, 0, 0) est un point donné supposé appartenir à la plaque.Les déplacements (15) vérifient les conditions aux limites proposées. Il reste donc à fixer lemouvement de corps rigide adapté à ces conditions de Dirichlet. Un tel mouvement infinitésimalest de la forme :u 1 = −rX 2 + qX 3 + c 1u 2 = rX 1 − pX 3 + c 2u 3 = −qX 1 + pX 2 + c 3La première condition exige que c 1 = c 2 = c 3 = 0.La deuxième condition exige alors que p = q = 0.La troisième condition exige que r = 0.Les conditions aux limites proposées sont donc nécessaires et suffisantes pour fixer le mouvementde corps rigide du solide, laissé indéterminé lors de l’intégration.On exprime maintenant les déplacements en fonction de A et C :u 1 = AX 1 X 3 + CX 1 (22)u 2 = AX 2 X 3 + CX 2 (23)u 3 = −A( X2 12 + X2 22 ) − 2ν1 − ν (AX2 32 + CX 3) + 1 + ν1 − ν α(T − T 0)X 3 (24)6

1.7 Torseur des efforts résultantCalculer le torseur des efforts résultant sur un élément de la surface latérale∂S×] − h s , h f [, engendré par le segment du bord X 1 = Constante1, X 2 = Constante2,d’épaisseur h et de largeur infinitésimale dl comme sur la figure 1(a). Le vecteur normal enchaque point du bord a pour composantes (n 1 , n 2 , 0). Comme on ne préjuge pas de la forme dubord de la plaque, ces composantes n 1 , n 2 peuvent être quelconques. On exprimera le torseurrésultant en fonction de A, C, T − T 0 et des caractéristiques du bicouche.Etablir alors le système linéaire permettant de déterminer finalement A et C.La détermination explicite de A et C est repoussée à la partie suivante du problème.Indiquer enfin dans quelles circonstances la démarche adoptée jusqu’ici conduit effectivementà une solution satisfaisante du problème posé.On calcule la résultante (linéique) des efforts sur une surface d’équation X 1 = Cste, X 2 =Cste et d’épaisseur infinitésimale. La troisième composante de cette résultante est nulle. Lesdeux premières composantes d’intérêt sont :∫ hf(∫ hf)R 1 = σ 11 n 1 dX 3 = σ 11 dX 3 n 1 (25)X 3 =−h s X 3 =−h s∫ hf(∫ hf)R 2 = σ 22 n 2 dX 3 = σ 22 dX 3 n 2 (26)X 3 =−h s X 3 =−h spuisque le vecteur normal est constant le long de l’élément de surface cylindrique considéré.Le moment (linéique) résultant, quant à lui, s’exprime de la façon suivante :⎡⎤∫ hf −σ 22 X 3 n 2M = ⎣ σ 11 X 3 n 1⎦ dX 3 (27)−h sσ 11 (X 1 n 2 − X 2 n 1 )Par conséquent,M 1 =(∫ hf−h s−σ 11 X 3 dX 3)n 2 , M 2 =(∫ hf−h sσ 11 X 3 dX 3)n 1 (28)∫ hf∫ hfM 3 = n 2 X 1 σ 11 dX 3 − n 1 X 2 σ 11 dX 3 (29)X 3 =−h s X 3 =−h sOn est donc amené à calculer deux intégrales :∫ hf−h sσ 11 dX 3 =∫ 0−h sM s (AX 3 + C − α s (T − T 0 ))dX 3 +∫ hf0M f (AX 3 + C − α f (T − T 0 ))dX 3= −M s A h2 s2 + M s(C − α s (T − T 0 ))h s + M f A h2 f2 + M f(C − α f (T − T 0 ))h f∫ hf−h sσ 11 X 3 dX 3 =+∫ 0−h sM s (AX 2 3 + CX 3 − α s (T − T 0 )X 3 )dX 3∫ hf0M f (AX 2 3 + CX 3 − α f (T − T 0 )X 3 )dX 3= M s A h3 s3 − M s(C − α s (T − T 0 )) h2 s2 + M fA h3 f3 + M f(C − α f (T − T 0 )) h2 f27

Comme aucun effort extérieur n’est appliqué au composant, ces deux résultantes s’annulent.Comme l’une au moins des composantes n 1 ou n 2 est non nulle, le torseur résultant est nul siet seulement si les deux intégrales sont nulles :∫ hf−h sσ 11 dX 3 = 0,∫ hf−h sσ 11 X 3 dX 3 = 0On en déduit un système de deux équations d’inconnues A et C :(Mf h 2 f − M s hs) 2 A2 + (M sh s + M f h f ) C = (M s h s α s + M f h f α f ) (T − T 0 ) (30)(Ms h 3 s + M f hf) 3 A3 + ( )M f h 2 f − M s h 2 Cs = ( )M f h 22fα f − M s h 2 T − T 0sα s (31)2On vérifiera que les épaisseurs h s et h f jouent un rôle symétrique dans ce système, comme il sedoit puisque l’origine du repère est sur l’interface. Pour le voir, changer h s en −h s , c’est–à–direprendre h s algébrique, les épaisseurs sont alors interchangeables.La démarche proposée a permis de déterminer un champ de contraintes et un champ dedéplacements satisfaisant les équations de champs et remplissant les conditions aux limitesau moins au sens de Saint–Venant. En effet, la solution en contrainte ne permet pas de garantirque le vecteur–contrainte soit nul point par point sur le bord de la plaque mais assure la nullitédu torseur résultant sur chaque élément du bord. Le principe de Saint–Venant indique alorsque la solution trouvée est satisfaisante assez loin du bord, ce qui est assuré dans presque toutela pièce dans le cas d’un disque aplati tel quehL ≪ 1où L est la plus petite des deux dimensions caractéristiques de la base de la plaque.1.8 Comparaison avec un modèle numériqueLe problème peut aussi être résolu de manière numérique pour des valeurs particulières descaractéristiques du composant, par exemple grâce à la méthode des éléments finis. La déforméeet le champ de contraintes obtenus numériquement pour une plaque à bord circulaire sontdonnés sur la figure 2 dans le cas d’un disque bilame constitué d’une couche d’invar (alliagede fer et de nickel) et d’une couche de laiton d’épaisseur identique. Le bilame a été chauffé de100 ◦ C part rapport à la température ambiante, température à laquelle le bilame est un disqueparfait sans contraintes internes.Commenter la qualité de la solution trouvée précédemment.Le champ de contraintes observé semble effectivement indépendant de X 1 , sauf près du bordlibre X 1 = L. Les profils semblent linéaires dans chaque couche.La méthode proposée ne permet pas de préciser l’effet de bord visible sur la simulationnumérique. On voit que, près du bord, l’invariance des contraintes vis–à–vis de r n’est plusde mise. On montre en fait que les contraintes σ 33 et σ 13 se développent et présentent unesingularité au point où l’interface rencontre le bord (Freund and Suresh, 2003).8

31-180 -150 -120 -90 -60 -30 0 30 60 90 120 150min:-167.5 max:253.3 (MPa) magnification x50Fig. 2 – Etats initial et déformé (fortement amplifié) d’une section X 1 ≥ 0, X 3 d’un bilameconstitué d’une couche d’invar (haut) et d’une couche de laiton (bas) de même épaisseur. Lechamp de contrainte σ 11 dans le bilame est donné sous forme d’isovaleurs dont le code de couleurest fourni.2 Solution générale et application à un bilamelaiton/invar2.1 Résolution du systèmeLa solution établie dans la partie précédente ne dépend plus que de deux paramètres, solutionsdu système linéaire mis en évidence au paragraphe 1.7. La solution de ce système est donnéeici explicitement :A = 6 M fh f(αM s h 2 f − α s )(T − T 0 )(1 + h f)∆ −1 (32)sh s∆ = 1 + 4 M f h f+ 6 M f h 2 fM s h s M sC =h 2 s+ 4 M fM sh 3 fh 3 s+ M 2 fM 2 s(α s + 4α fM fM sh fh s+ 3(α s + α f ) M fM sh 2 fh 2 sh 4 fh 4 s+ 4α sM fM sh 3 fh 3 s(33)Mf2 h 4 )f+ α f (T − TMs2 h 4 0 )∆ −1 (34)sOn ne demande pas d’établir ces résultats.Plusieurs applications sont envisagées dans la suite concernant les bilames et les couches mincessur un substrat, configuration fréquente en microélectronique.9

2.2 Bilame de laiton et d’invarOn considère, comme au paragraphe 1.8, un bicouche constitué d’une couche inférieure enlaiton et d’une couche supérieure en invar. L’invar est un alliage de fer et de nickel aux propriétésremarquables élaboré par le métallurgiste Guillaume en 1897 (35–38% de nickel en poids, cf.(Béranger et al., 1996)). Il possède le coefficient de dilatation le plus faible parmi les métaux etalliages industriels, près de 20 fois plus faible que le fer et 10 fois plus faible que le nickel purs,à température ambiante. En outre, son coefficient de dilatation varie peu sur une large gammede température (jusqu’à 100 à 200 ◦ C selon les compositions). Pour ces raisons, l’invar est utilisécomme matériau de structure des méthaniers géants qui sillonnent les mers avec leur cargaisonde gaz cryogénique. Il est aussi utilisé dans les bilames métalliques souvent en association avecle laiton. Pour construire un bilame, on associe un métal à faible coefficient de dilatation avecun métal à fort coefficient de dilatation.On considère ici un tel bilame de laiton et d’invar dont les caractéristiques thermoélastiques sontdonnées dans le tableau 1 et supposées ne pas varier avec la température dans le domaine detempérature considéré. La géométrie étudiée est telle que h s = h f = h/2. Comme les résultatsen contraintes et déformations ne dépendent pas explicitement des valeurs de h f et h s maisseulement du rapport de ces longueurs, on ne donne pas ici l’épaisseur réelle du composant. Lebilame, initialement dans son état naturel, est soumis à un écart de température T −T 0 = 100 ◦ C.Vérifier que les conditions permettant de respecter le contexte infinitésimal sont remplies.Tracer les profils de déplacements u 1 /h et u 3 /h de la ligne X = 2 = X 3 = 0 en fonction de ladistance à l’origine X 1 /h.Tracer de même les profils de déformations ε 11 et ε 33 , d’une part, et de contrainte σ 11 , d’autrepart, le long de l’axe X 1 = X 2 = 0, en fonction de la cote relative X 3 /h.Pour expliciter les fonctions en jeu, on tirera profit du fait que dans le cas du laiton et del’invar :M fM s= 2Indiquer enfin l’endroit du bilame où la contrainte est la plus forte. Calculer la valeur numériquede cette contrainte maximale.Donner l’expression de l’écart de température pour lequel la plasticité peut apparaître dansle laiton supposé obéir à un critère de plasticité de Tresca avec une limite d’élasticité σ 0 entraction. On suppose que l’invar garde un comportement purement élastique.Dans le cas particulier du couple laiton/invar, on a∆ = 33, A = 8 11 (α f − α s ) T − T 0, C = T − T 0(5α s + 6α f )h s 11Remarquer que, dans le cas présent, T − T 0 > 0 =⇒ C > 0, A < 0.Pour tester la validité du contexte infinitésimal, on calcule le gradient du champ de déplacementdéterminé au paragraphe 1.4 :∂u 1∂X 1= AX 3 + C,∂u 1∂X 3= AX 1 ,∂u 3∂X 1= −AX 1∂u 3= − 2ν∂X 3 1 − ν (AX 3 + C) + 1 + ν1 − ν α(T − T 0)10

Des conditions suffisantes pour le respect du contexte infinitésimal sont :|α s,f (T − T 0 )| ≪ 1 =⇒ |AX 3 | ≤ |Ah| ≪ 1, |C| ≪ 1|(α s − α f )(T − T 0 )| L h s≪ 1 =⇒ |AX 1 | ≤ |AL| ≪ 1La première condition est remplie dans le cas du bilame laiton/invar étudié. La deuxièmecondition donne une limite supérieure à la plus grande dimension caractéristique du bicoucheen fonction de son épaisseur.A l’interface, i.e. en X 3 = 0, les déplacements valent :u 1 = CX 1 , u 3 = − A 2 X2 1Le déplacement radial est linéaire avec une pente positive tandis que le déplacement axialimprime au plan X 3 = 0 une courbure positive −A. Suffisamment loin du bord du disque et afortiori sur l’axe X 1 = X 2 = 0, les déformations sont les suivantes :ε 11 = AX 3 + C,ε f,s33 = − 2ν f,s1 − ν f,s(AX 3 + C) + 1 + ν f,s1 − ν f,sα f,s (T − T 0 )Quant aux contraintes, on trouve :σ f 112M s (T − T 0 ) = α f − α s(8 X 3− 5),11 h sσ s 11M s (T − T 0 ) = α f − α s(8 X 3+ 6)11 h sLes profils de déplacements, déformations et contraintes dans le bilame laiton/invar considérésont données sur la figure 3. Remarquer que la base du composant s’allonge radialement etse courbe avec la concavité tournée vers le haut. La déformation ε 11 est linéaire sur toutel’épaisseur du composant et continue à l’interface. Au contraire, la composante ε 33 et lescontraintes présentent une discontinuité au passage de l’interface.Le profil de contraintes étant affine par morceaux, il suffit, pour trouver la contrainte maximale,de calculer la valeur de la contrainte successivement en X 3 /h s = −1; X 3 /h s = 0 − ; X 3 /h s =0 + ; X 3 /h s = 1, ce qui donne :σ 11M s (T − T 0 )(α s − α f ) = 2 11 ; − 6 11 ; 1011 ; − 6 11La contrainte est donc maximale à l’interface du côté de l’invar. Noter la valeur obtenue de253 MPa calculée à cet endroit, qui risque fort d’outrepasser la limite d’élasticité de l’invar.Il est donc probable que, porté à cette température, le bilame sera le siège de déformationsplastiques et qu’une courbure résiduelle plastique persistera après le retour à la températureambiante.3 La formule de StoneyOn revient d’abord au cas général d’un bicouche constitué de deux matériaux quelconques.vant d’aborder deux applications11

matériau E (GPa) ν α (×10 −6 K −1 )aluminium 70 0.33 23invar 210 0.33 1.2laiton 103 0.34 19silicium 150 0.17 3Tab. 1 – Propriétés thermoélastiques à 20 ◦ C de quelques matériaux.3.1 Cas d’un film minceDonner l’expression simplifiée de la courbure c que prend le composant quand il est chauffé,dans le cas d’un film mince sur un substrat, c’est–à–dire lorsqueh fh s≪ 1 (35)Pour cela, on développera les expressions (32) à (34) au premier ordre.Indiquer quelle condition supplémentaire sur les caractéristiques du bicouche conduit àl’expression suivante donnant la courbure c qu’adopte le bicouche lorsqu’il est chauffé :c = 6M fh fM s h 2 s(α s − α f )(T − T 0 ) (36)C’est la formule dite de Stoney (Stoney, 1909) constamment utilisée dans larecherche/développement en microsystèmes et microélectronique (MEMS 2 ) pour des raisonsqui apparaîtront au paragraphe 3.4.L’expression (24) du déplacement u 3 montre une dépendance en X 2 1 responsable de la courbureque prennent les surfaces d’équation X 3 = Cste. La courbure, par rapport à chacun des axesX 1 et X 2 , est donnée par le double du coefficient de cette dépendance quadratique :c = −A (37)Chaque surface déformée présente une double courbure et prend donc la forme de calottesphérique de rayon −1/A, dans le contexte infinitésimal.Le développement au premier ordre en h f /h s de l’expression (32) conduit à l’état de courburesuivant :c ≃ 6 M fh f(αM s h 2 s − α f )(T − T 0 )(1 + h f)(1 + 4 M f h f) −1 (38)sh s M s h sLa formule de Stoney est alors obtenue lorsqueM f h f ≪ M s h s (39)Cette condition combine les caractéristiques géométriques et les propriétés mécaniques descouches.2 Micro–Electro-Mechanical Systems12

0.060.05u 3 /hu 1 /h0.040.030.020.01(a)000.0030.51X 1 /h1.522.50.00250.0020.0015ε 11ε 330.0010.00050-0.0005(b)-0.001250-0.4-0.20X 3 /h0.20.4200150100σ11 (MPa)500-50-100-150-200-0.4 -0.2 0(c) X 3 /h0.20.4Fig. 3 – Bilame moitié laiton, moitié invar chauffé de 100 ◦ C : (a) déplacements de l’interfacedu bicouche X 3 = 0, (b) déformations et (c) contraintes le long de l’axe X 1 = X 2 = 0.13

3.2 Contraintes dans un film mince sur un substratEn se plaçant dans les hypothèses de Stoney, i.e. lorsque la condition (35) et la conditionsupplémentaire requise au paragraphe précédent sont satisfaites, établir la forme simplifiée descontraintes dans le substrat et le film.Calculer alors les contraintes moyennes dans le film et dans le substrat :¯σ s 11 = 1 h s∫ 0−h sσ s 11 dX 3 ,¯σ f 11 = 1 ∫ hfσ f 11 dX 3 (40)h fVérifier que l’équilibre requis de ces contraintes moyennes est satisfait par les expressionstrouvées.Montrer que, dans tout bicouche constitué d’un substrat et d’un film mince, le plan neutre,associé à une contrainte nulle, se situe toujours dans le substrat, à une distance à l’interfaceégale aux deux tiers de l’épaisseur du substrat, c’est–à–dire en0X 3 = − 2h s3(41)Les conditions (35) et (39) étant requises, on peut adopter l’expression (36) pour A et lasuivante pour C en développant (34) au premier ordre :C ≃ (α s + 4α fM fM sh fh s)(1 − 4 M fM sh fh s)(T − T 0 ) ≃ (α s + 4(α f − α s ) M fM sh fh s)(T − T 0 ) (42)Les contraintes sont données par les relations (16) dans chaque couche. Avec les développementslimités précédents, les contraintes dans le film valent :σ f 11M f= AX 3 + C − α f (T − T 0 ) ≃ (α s − α f )(T − T 0 )(1 − 4 M fM sh fh s− 6 M fM sh f≃ (α s − α f )(T − T 0 ) (43)Le premier terme, constant, domine dans le film :h 2 sX 3 )¯σ f 11 = ¯σ f 22 ≃ M f (α s − α f )(T − T 0 ) (44)C’est une relation remarquable puisqu’elle ne dépend que des propriétés thermoélastiques dufilm et du désaccord de dilatation entre le film et le substrat.Dans le substrat, la contrainte est d’un ordre de grandeur inférieure :σ s 11M s= AX 3 + C − α s (T − T 0 ) ≃ (α f − α s )(T − T 0 ) M fM sh fh s(6 X 3h s+ 4) (45)¯σ s 11≃ M f h f(α f − α s )(T − T 0 ) (46)M s M s h sLa contrainte moyenne sur tout le volume du bicouche est nulle, comme il se doit, en l’absencede chargement extérieur 3 :h s¯σ 11 s + h f ¯σ f 11 = 0 (47)3 C’est pourquoi on parle de contraintes résiduelles ou internes.14

Au vu des contraintes quasi–constantes régnant dans le film mince, la fibre neutre est àrechercher dans le substrat :σ11 s = 0 =⇒ X 3 ≃ − 2h s(48)3d’après la relation (45). La fibre neutre est donc située aux deux tiers en dessous de l’interface,indépendamment des propriétés thermoélastiques du bilame, respectant toutefois les hypothèsesde Stoney.3.3 Contraintes résiduelles dans un dépôt d’aluminium sur unsubstrat de siliciumUn wafer de silicium est constitué d’un substrat monocristallin de silicium sur lequelles différentes couches métalliques ou autres sont déposées pour fabriquer des composantsélectroniques. On étudie ici les contraintes qui se développent dans un film d’aluminium d’1 µmd’épaisseur déposé sur un substrat de silicium de 500 µm d’épaisseur. Le dépôt s’effectue à unetempérature de 50 ◦ C. A la fin du dépôt, le substrat et le film sont supposés être dans leurétat naturel. A cette température de 50 ◦ C, le composant est un disque parfait de rayon égal à200 mm. Il est ensuite refroidi jusqu’à la température ambiante de 20 ◦ C.Calculer successivement la courbure résiduelle du composant, et les contraintes moyennes dansle film et le substrat. Commenter.La contrainte trouvée dans le film est relativement proche de la limite d’élasticité del’aluminium massif. On fait remarquer toutefois que les métaux sous forme de films minces,voire nanométriques, ont en général une limite d’élasticité significativement plus importantequ’à l’état massif.On traitera le silicium comme un matériau isotrope avec les propriétés indiquées dans le tableau1, propriétés supposées constantes dans le domaine de température concerné. On y trouveraaussi les autres caractéristiques des matériaux nécessaires au calcul, supposées indépendantesde la température.Les hypothèses de Stoney sont remplies dans le cas du composant considéré :h fh s= 2.10 −3 ,M f h fM s h s= 1.1 10 −3 (49)de sorte que les formules établies dans ces conditions peuvent être utilisées. La courbure estdonnée par la relation (36) :c = 8.3 10 −3 m −1 ,1c= 120m (50)La courbure est positive, ce qui correspond à une interface de concavité tournée vers le haut.Le rayon de courbure de 120 m est infiniment plus grand que la taille du composant. Cettecourbure est toutefois tout à fait mesurable, par exemple grâce à des méthodes optiques dont larésolution est typiquement de 15 km (Freund and Suresh, 2003). La mesure de la courbure ducomposant permet d’accéder, grâce aux calculs précédents, à une estimation de la contraintedans le film. La formule (44) donne :σ f 11 = σ f 22 = 63MPa (51)15

Il s’agit d’une contrainte de traction. En effet, le coefficient de dilatation de l’aluminium estplus élevé que celui du silicium et l’écart entre la température d’élaboration et la températureambiante est de -30 ◦ C. La contrainte moyenne dans le substrat n’est que de -0.13 MPa en raisonde sa grande épaisseur. La limite d’élasticité de l’aluminium massif et de ses alliages varie de50 à 150 MPa. Toutefois, elle est beaucoup plus élevée dans les films minces en raison de leurmicrostructure spécifique.3.4 Contraintes d’épitaxieLes déformations d’origine thermique ne sont pas les seules causes du développement decontraintes au sein d’un revêtement sur un substrat. En microélectronique, les couches déposéessont souvent en épitaxie avec le substrat, c’est–à–dire que les rangées d’atomes du substratse prolongent exactement en les rangées atomiques de la couche. C’est le cas par exempledes dépôts de silicium–germanium sur un substrat de silicium monocristallin. Toutefois, leparamètre cristallin 4 a SiGe = 0.5476 nm du silicium–germanium (pour 80% de silicium et 20%de germanium dans le composé binaire) est légèrement plus grand que le paramètre du siliciuma Si = 0.5431 nm en raison de l’implantation des atomes de germanium. Pour que les rangéesatomiques se prolongent du substrat au film, il faut donc que les plans atomiques du filmse rapprochent légèrement. Les contraintes naissent justement de l’écart entre la valeur duparamètre cristallin in situ et la valeur d’équilibre sans contrainte (à savoir a Si pour le siliciumet a SiGe pour le silicium–germanium). Si le film n’était pas contraint de croître en épitaxie avecle substrat, il se déformerait librement de la quantité :ε ⋆f11 = ε ⋆f22 = ε ⋆f33 = a SiGe − a Sia Si(52)par rapport au substrat de silicium. La déformation totale dans le film est donc la somme d’unedéformation élastique et de la déformation libre d’épitaxie :Le substrat de silicium, quant à lui, est tel queε f 11 = ε ef11 + ε ⋆f11 (53)ε ⋆s11 = 0 (54)En utilisant une analogie avec le problème précédent des contraintes d’origine thermique dansun film mince sur un substrat, calculer les contraintes dans le film et la courbure du composant.Pour le silicium–germanium considéré, on prendra M f = 170 GPa. Les caractéristiquesgéométriques du dépôt sont : h f = 100 nm, h s = 1 mm.La déformation libre d’épitaxie s’apparente à la dilatation thermique et l’on a l’analogiesuivante :a SiGe − a Sia Si≡ α f (T − T 0 ), et 0 ≡ α s (T − T 0 )Ce désaccord paramétrique vaut 0.83%. L’épitaxie entre le film et le substrat oblige le film àaccommoder élastiquement la déformation imposée par le substrat. Le contexte est tout à fait4 Le paramètre cristallin est la plus petite distance inter-réticulaire, c’est–à–dire entre plans atomiques.16

semblable au cas du film mince siège de déformations thermiques sur un substrat. Les formules(36) et (44) s’appliquent de la façon suivante :¯σ f 11 = ¯σ f θθ ≃ M fa Si − a SiGea Si= −1403MPac = 6M f a Si − a SiGehM s h 2 f = −5.6310 −3 m −1s a Sice qui donne un rayon de courbure de -177 m. Noter les contraintes considérables de compressionqui règnent dans le film après élaboration, dues à des déformations élastiques proches du %. Ily a en fait si peu de défauts cristallins dans ces couches nanométriques que de telles contraintespeuvent exister sans provoquer de déformation plastique.RéférencesBéranger G., Duffaut F., Morlet J., and Thiers J.F. (1996). The iron–nickel alloys : A hundredyears after the discovery of invar. SOS Free Stock.Freund L.B. and Suresh S. (2003). Thin Film Materials. Cambridge University Press.Stoney G.G. (1909). The tension of metallic films deposited by electrolysis. Proceedings of theRoyal Society London, vol. A82, pp 172–175.* * *17