TP 3 : Interférométrie de speckle

TP 3 : Interférométrie de speckleLicence Professionnelle OptroniquePlate-forme optique ufr de physiqueAvertissementSécurité : Les lasers utilisés en TP sont de classe II ou IIIA. Diriger toujours le laser vers un écran.Attention aux réexions sur les faces des lentilles. Obturer soigneusement le faisceau aussi fréquemmentque possible et couper l'alimentation dès que l'on utilise plus l'appareil.Protection du matériel : pour préserver les optiques, souvent recouvertes d'une couche anti-reetfragile, il ne faut jamais poser les doigts dessus. Lorsque le matériel apparaît sale, appeler l'enseignantqui jugera s'il convient de le nettoyer.1 IntroductionLes propriétés particulières de cohérence spatiale et temporelle de la lumière laser sont à l'originedu phénomène de speckels ( ou granularité laser) que l'on peut observer par réexion en éclairantune surface rugueuse et claire ou par transmission à travers un verre dépoli. Après diusion par unesurface rugueuse, les ondes lumineuses cohérentes émises par une source laser interfèrent de manièreconstructive en certains points de l'espace et destructive en d'autres ; cet ensemble de taches lumineusesappelés gure de speckle existe dans tout l'espace où se superposent les ondes diusées par la surface.Ce phénomène est en général indésirable, surtout en holographie (voir TP holographie, utilisation dediaphragmes) mais il présente quelques propriétés physiques remarquables qu'il est facile d'observeret de mettre à prot dans des expériences d'interférométrie. L'objectif du TP est d'utiliser le specklepar transmission sur du papier calque pour réaliser diérentes expériences qualitatives (variation de lataille des grains) et quantitatives (caractéristiques physiques des gures d'interférences, superpositionde plusieurs speckles, mesure de petits déplacements). La méthode classique d'expositions multiplesd'une même plaque photo et de développement de l'image est remplacée avantageusement par uneaddition numérique des diérentes images de speckle. L'éclairement de l'image ainsi réalisée par unelumière identique à celle qui a servi à former le speckle est équivalente à une transformée de Fourierqui est calculée de manière discrète sur limage numérique.2 Réglage préliminairesDans tout le TP la caméra est utilisée sans objectif.1

Les diérents éléments sont placés sur le banc d'optique comme indiqué gure 1. Dans un premiertemps, on s'assure que le faisceau laser est sensiblement parallèle au banc doptique ; pour ce faire ontranslate un repère parallèlement au banc. On placera ensuite en les centrant, la lentille, le dépoli etla caméra CCD. On veillera à décentrer légèrement la camera par rapport au faisceau de sorte quecelui-ci ne frappe pas directement le capteur de la caméra si l'on était amené à enlever le diuseurdu banc. La lentille L sera placées au plus près du laser. La distance entre la lentille et le dépolisera dans un premier temps de l'ordre de 50 cm et on choisira environ 20 cm entre la caméra et ledépoli. Avant toute manipulation, il est nécessaire d'ajuster les paramètres vidéo de la caméra pourobtenir une image contrastée des grains de speckle. Une conguration qui donne de bons résultats estreprésentée sur la Planche 1 ( paramètres de conguration dans l'annexe). Dans le menu camera ,choisir l'option conguration, puis source vidéo.Pour le réglage de la luminosité, il faut utiliser le panneau de conguration de la camera logitech.Ce panneau peut rester ouvert pendant l'utilisation du logiciel Speckle.3 Etude qualitative du speckle3.1 Taille des grains de speckleLa taille apparente des grains de speckle dépend de la longueur d'onde ainsi que de l'inclination desrayons arrivant dans le détecteur. On montre que la taille d la plus petite dans le plan d'observationest donnée par l'expression : d = λ α .La longueur d'onde étant xée, on fera varier d en modiant α qui est le demi-angle sous lequelon voit la portion de surface éclairée du dépoli. On pourra aisément réaliser quelques diaphragmes dediamètres diérents dans un matériau opaque et qui serviront à réduire la surface éclairée. Une autrefaçon de modier la surface éclairée est de faire varier la distance lentille-dépoli. La gure 2 donne leschéma de principe du banc d'optique. Par la suite on appellera L la distance lentille-dépoli et l ladistance dépoli-caméra.

1. Exprimer d en fonction de λ, r et l.2. Faire varier la distance L en déplaçant la lentille. Analyser et interpréter vos observations.3. On xe les distances L et l ; on modie α à l'aide de diaphragmes ; étudier l'inuence sur d4. On fait varier la distance l dépoli-caméra en déplaçant la caméra, quelle est l'inuence sur d ?5. Pour quelles conditions obtient-on des diamètres de grains d les plus petits.6. Calculer d pour les valeurs choisies de L et l.Le logiciel Speckle permet de visualiser en temps réel le speckle et ainsi de suivre les variations enfonction de la position des diérents éléments du montage.4 Interférométrie de speckleL'image donnée par l'addition de speckles correspondant à des positions du dépoli obtenues partranslation dans une direction perpendiculaire à la direction de propagation de la lumière incidente estun ensemble de taches réparties au hasard dans l'image. La transformée de Fourier de cette image estun speckle modulé par une gure d'interférence identique à celle donnée par les trous dYoung. On sepropose d'étudier les caractéristiques de cette gure dinterférences.4.1 Addition de deux speckles4.1.1 Translations d'amplitude croissanteLa position des éléments du montage est xée : distance lentille-caméra ≃ 70cm, distance dépolicaméra≃ 20cm.On eectue une première acquisition du speckle, après translation d'amplitude a du dépoli, onprocède à un nouvel enregistrement. La somme des deux images est calculée par le programme puis latransformée de Fourier discrète (TFD) est eectuée sur la somme.Remarque : la numérisation des images se fait entre 0 et 255, il se peut donc que certains élémentsde la somme dépassent 255 et l'image somme sera saturée à certains endroits ; il est alors judicieuxd'eectuer une moyenne avant le calcul de la TFD.Le nombre de franges brillantes ou sombres est déterminée à l'écran et la largeur en pixel des frangessélectionnées peut être déterminée à l'aide de l'outil prol et déplacement du menu outils . Oncalcule aisément la valeur de l'interfrange i en unité pixel pour les diérentes translations.1. Tracer la courbe i = f(1/a) pour des déplacements de 20 à 200 µm avec un pas de 20 µm, i estl'interfrange et a l'amplitude de la translation.2. Comparer aux prédictions théoriques (voir partie théorique en n de TP).

4.1.2 Distance dépoli-caméra croissanteOn eectue à présent une translation unique de 100 µm pour les valeurs croissantes de la distancel entre la caméra et le dépoli. (l=20, 25, 30, 35, 40 cm)1. Tracer la courbe i = f(l) pour les diérentes valeurs de l2. Comment interpréter ce résultat ?4.2 Expositions multiples4.2.1 Deux translations de même amplitudeRéaliser successivement deux translations de même amplitude du dépoli (translation perpendiculaireau banc optique) ; après chaque déplacement faire l'acquisition de l'image du speckle ; moyennezles trois images (dans ce cas, le calcul de la moyenne est nécessaire pour ne pas saturer les images)puis calculez la TFD.1. Qu'observez-vous ?2. A l'aide de l'outil prol et déplacement mesurer la distance i M (en pixels) entre les centresde deux maxima principaux successifs.3. Mesurer la distance δ m entre le centre d'un maximum principal et le premier minimum nuladjacent.4. Vos résultats sont-ils en accord avec la théorie ? On pourra par exemple calculer le rapport entreles deux valeurs mesurées en 2 et 3.4.2.2 Trois translations de même amplitudeRefaire la même expérience avec trois translation identiques, donc additionner quatre images. Il estpréférable dans ce cas d'eectuer de petites translations de l'ordre de 5 à 10 µm de manière à obtenirune grande distance entre les pics principaux, ce qui permet d'observer plus aisément les maximasecondaires.1. Quel est le nombre de minima nuls entre deux maxima principaux ?2. Le nombre de maxima secondaires est-il en accord avec les prédictions théoriques ?Remarque : On pourra éventuellement utiliser les outils de traitement d'image pour modier laluminosité ou le contraste de la gure d'interférences.4.3 Ecrans complémentairesLes diérents éléments conservent les positions approximatives décrites en 4.1.1. On eectue unepremière acquisition du speckle, puis le dépoli est translaté. La TFD est calculée sur la somme desdeux images puis sur la somme de la première image et du négatif de la seconde ; on obtient ainsideux gures d'interférence complémentaires : à un point où l'on trouve un maximum d'intensité dansl'une des gures correspond un minimum dans l'autre. (Formation du négatif d'une image : dans

la barre menu choisir traitements puis l'option négatif de l'image ). Sélectionner l'outil prolet déplacement de l'option outils, choisir une origine au centre de la gure d'interférence (noter lescoordonnées du centre car il faut utiliser la même origine dans les deux gures) puis déplacer le curseursur une horizontale en notant les coordonnées des minima et maxima de lumière.1. Porter dans un tableau les abscisses des extrema de lumière en précisant s'il s'agit dun minimumou dun maximum.2. Conclusion4.4 Découpage d'une imageChoisir deux images de speckle enregistrées qui correspondent à une translation donnée. Sommerpuis calculer la TFD. A l'aide de l'outil sélection copier une partie de limage somme dans une nouvellefenêtre, calculer la TFD.1. Qu'observe-t-on ?2. Dans quel autre domaine de la physique retrouve-t-on ce même phénomène ?5 Mesures de déplacement par interférométrie de speckleLes expériences réalisées précédemment ont montré qu'une gure de speckle obtenue par réexiondiuse ou transmission à travers un dépoli est très sensible à un déplacement de la surface dansune direction perpendiculaire à la direction de propagation de la lumière incidente. Cette propriétécaractéristique est mise à prot dans la photographie speckle pour la mesure de petits déplacementsde translation.La distance lentille-dépoli sera approximativement xée à 50 cm et la distance lentille-caméra àenviron 70 cm.5.1 Procédure de calibrationLa procédure de calibration a pour objet de déterminer la valeur d'une constante C, permettant depasser d'une longueur en unité pixel à une longuer en µm. C dépend des caractéristiques géométriquesdu dispositif. Pour une conguration donnée (distance lentille dépoli-caméra xées) elle est calculéeune seule fois.1. Sachant que la dimension du pixel sur le capteur CCD est d'environ 6 µm choisir un couple (r, l)(r rayon de la portion éclairée du dépoli) tel que d soit du même ordre de grandeur que le pixel ducapteur.2. Etablir l'expression de la constante de calibration C en fonction du nombre de pixel Np, del'interfrange i, et du déplacement a eectuer.On eectue une première acquisition de la gure despeckle. Le dépoli est alors translaté de 200 µm et un nouvel enregistrement du speckle est réalisé.La somme des deux images est calculée par le programme puis la transforméee de Fourier discrète esteectuée sur la somme.Mode opératoire2.1. Activer la fonction Mesure prol en cliquant sur l'icône : une fenêtre graphique s'ouvre.2.2. A l'aide du bouton gauche de la souris, mesurer la largeur d'un certain nombre de franges dansla gure d'interférence.2.3. Les boutons èche dans la fenêtre graphique permettent d'ajuster le nombre de franges sélectionnées.Sans quitter la fenêtre graphique cliquer sur le bouton droit de la souris et choisir calibrage.2.4. La fenêtre Calibrage déplacement s'ouvre et permet d'introduire la valeur du déplacementréel eectué ( on peut également contrôler que le nombre de franges est correct).2.5. Cliquer sur calcul, puis sauver et quitter.2.6. Fermer la fenêtre graphique. La procédure de calibration est terminée.

5.2 Mesures quantitatives de déplacementsDans un premier temps on ne modiera pas la disposition des diérents éléments du montage. Oneectue des translations d'amplitude croissante et le speckle est photographié pour chaque position dudépoli. Le programme calcule la somme (ou la moyenne pour ne pas saturer les images) puis la transforméede Fourier. On dénombre le nombre de franges dans la gure d'interférence et le programmecalcule le déplacement correspondant selon la formule :α = λDki = λDN fkN p l p= C N fN pMode opératoire Les étapes 1 et 2 sont identiques à celles décrites dans la procédure de calibration.3. Ajuster le nombre de franges sélectionnées avec le bouton èche, la valeur de la translationeectuée s'ache directement dans le bandeau de la fenêtre en unité pixels et µm.1. Porter les valeurs de l'interfrange et de la translation calculée dans un tableau.2. Commenter les résultats.Remarque concernant l'orientation des franges Dans les expériences décrites ci-dessus, la directionde translation est imposée par le support mécanique du dépoli. Les franges observées sontperpendiculaires à cette direction qui n'est pas nécessairement parallèle à la direction de l'un des axesdu référentiel dans lequel les coordonnées des diérents points d'une image sont calculées. Dans ce casles franges apparaîtront inclinées.6 Annexe : Partie théorique6.1 Interférences par superposition de specklesUne gure de speckle obtenue par reexion diuse ou transmission à travers un dépoli est très sensibleà un déplacement de la surface dans une direction perpendiculaire à la direction de propagationde la lumière incidente. Cette propriété caractéristique est mise à prot dans la photographie specklepour la mesure de petits déplacements de translation. La gure d'interférence que l'on observe en éclairantune photographie de speckle obtenue par la technique de la double exposition est qualitativementidentique à celle que l'on observe avec le dispositif interférentiel d'Young.6.2 Deux sources cohérentes distantes de a (trous d'Youngs)Un écran opaque est percé de deux trous rapprochés de quelques fractions de millimètre de diamètre.Ils diractent la lumière incidente en deux faisceaux cohérents qui interfèrent dans la région del'espace où ils se superposent donnant lieu au phénomène d'interférence. En un point M(x,y) de l'écrand'observation se superposent deux ondes sphériques d'amplitudeE 1 (s 1 , t) = E 10 (s 1 )exp(i(ωt − ks 1 )E 2 (s 2 , t) = E 20 (s 2 )exp(i(ωt − ks 2 )ces deux ondes sont cohérentes, l'amplitude résultante est la somme :E(M, t) = E 1 (s 1 , t) + E 2 (s 2 , t)L'oeil, une plaque photographique ou les capteurs CCD ne sont sensibles qu'à l'intensité lumineuseI de la variation :

I(M) = 1 2 EE∗I(M) = 1 2 [E2 10 + E2 20 + 2E 10E 20 cosk(s 1 − s 2 )k(s 1 − s 2 ) = φ est la diérence de phase au point d'observation M(x, y).Exprimons les distances s 1 et s 2 en fonctions des coordonnées de M(x, y, 0) et des sources S 1 (a/2, 0, D)et S 2 (−a/2, 0, D)s 1 = [(x − a/2) 2 + y 2 + D 2 ] 1/2 et s 2 = [(x + a/2) 2 + y 2 + D 2 ] 1/2La distance d entre les sources S 1 et S 2 est petite devant la distance sources-écran d'observation ;de plus les dimensions du champ d'interférences sont petites, on pourra donc faire les approximationssuivantes :dD ≪ 1 ; xD ≪ 1 ; yD ≪ 1On obtient alors en eectuant un développement limité au 1er ordre :s 1,2 = D(1 + y22D 2 + 1 (x 2 ∓ a/2) 2 )2 D 2Finalement la diérence s 2 − s 1 = ax DDe plus, en tenant compte des hypothèses précédentes sur les dimensions du champ d'interférences,on peut supposer que :E 10 (s 1 ) ≃ E 20 (s 2 ) ≃ E 0 (D)L'intensité lumineuse au point M de l'écran d'observation devient :I(M) = E0 2 (1 + cosφ)avec la diérence de phase φ = kdxDLa répatition de l'intensité lumineuse sur l'écran d'observation obeit à une loi sinusoïdale et onobserve une alternance de maxima et de minima régulièrement espacés dont l'interfrange i est égale à :i = λD a .Dans l'expérience d'Young a est la distance entre deux sources ; l'équivalent dans l'interférométriede speckle est la distance entre un même point du dépoli avant et après translation (voir ci-dessous).6.3 Double exposition d'une plaque photoUne surface sensible à la lumière (plaque photo, capteur, CCD), placée dans un champ de speckleest impressionnée deux fois pendant des temps égaux ; entre les deux poses, la surface diusante a subiune petite translation (∆x,∆y). Dans le plan (x, y) de la surface sensible, la distribution des intensitéslumineuses est décrite par la fonction I(x, y)et I(x + ∆x, y + ∆y) après la translation.La double exposition revient à additionner les intensités avant et après la translation. Après développementde la plaque, la fonction de transmission de l'image ainsi réalisée s'écrit :t(x, y) = a − b[I(x, y) + I(x + ∆x, y + ∆y)] a et b sont des constantes.

Il apparait que la fonction t(x, y) est une constante modulée par la somme des éclairements de laplaque au cours des deux poses.La plaque ainsi crée, superposition de deux gures de speckle, est équilalente à un ensemble decouples de sources élémentaires telles que S 1 et S 2 . Le segment qui porte un tel couple de source dénitune direction ( c'est la direction de la translation eectuée) qui est la même pour tous les couples quide plus sont tous écartés de la même distance d. L'image est éclairée en lumière cohérente parallèle etagit comme un écran diractant ; l'amplitude complexe E des vibrations transmises dans la direction(v x , v y ) est la transformée de Fourier de la fonction de transmission t(x, y) à une constante près.E(v x , v y ) = F[E 0 t(x, y)] = E 0 F[a − b[I(x, y) + I(x + ∆x, y + ∆y)]]où E 0 est l'amplitude maximale de l'onde incidente sur l'objet diractant.E(v x , v y ) = E 0 aδ(v x , v y ) − E 0 bF[I(x, y) + I(x + ∆x, y + ∆y)]Le théoreme de translation de la transformée de Fourier permet d'écrire :F[I(x + ∆x, y + ∆y)] = exp2iπ(v x ∆x + v y ∆y))Les détecteurs ne sont sensibles qu'à l'intensité lumineuse qui, en dehors de la direction (0, 0) etpour une translation dans une seule direction Ox est telle que :I(v x , v y ) = 1 2 EE∗ = E2 0 b22I(v x , v y ) = 2E 2 0 b2 |F[I]| 2 cos 2 (πv x ∆x)|F[I(x, y)](1 + exp2iπ(v x ∆x))| 2La transformée de Fourier d'un speckle est un autre speckle. On observe encore une gure de specklemodulée par la fonction cos 2 (πv x ∆x) : c'est à dire une gure d'interférence. La mesure de l'interfrangepermet de remonter à ∆x.La double exposition de la plaque consiste à additionner I(x, y) et I(x+∆x, y +∆y)puis l'illuminationde l'image développée par une lumière laser réalise la transformée de Fourier. Ces deux opérationspeuvent être réalisées numériquement à l'aide d'une caméra CCD et d'une transformée de Fourier discrètecalculée sur la somme des deux images numériques. La gure 2 est un exemple de l'addition dedeux speckles et de la transformée de Fourier discrète calculée sur cette somme. Les franges sont perpendiculairesà la direction de la translation et les directions v x dans lesquelles on trouve les maximade lumière (franges brillantes) par exemple sont telles que cos 2 (πv x ∆x) = 1 soit v x =m ∆x avec mentier relatif.L'écartement entre les maxima est inversement proportionnel à l'amplitude de la translation. Cetteamplitude est déduite de la mesure de l'interfrange : c'est le principe de la méthode.6.4 Expositions multiples d'une plaque photoOn superpose N images correspondant à N − 1 translations dans la même direction et de mêmeamplitude ∆x. L'intensité enregistrée sur le recepteur est la somme des N + 1 gures de speckle individuelles.Après dévelopement, la fonction de transmission de l'image s'écrit :t(x, y) = a − b[I(x) + I(x + ∆x) + I(x + 2∆x) + .... + I(x + N∆x)]et l'amplitude de l'onde transmise dans la direction (v x , v y ) devient :

E(v x , v y ) = F[E 0 t(x, y)] = E 0 F[a − b[I(x) + I(x + ∆x) + I(x + 2∆x) + ... + I(x + N∆x)].En appliquant N fois le théorème de translation on obtient :E(v x , v y ) = E 0 aδ(v x , v y ) − E 0 bF[I(x)]((1 + exp2iπ(v x ∆x) + exp2iπ(v x 2∆x) + ... + exp2iπ(v x N∆x)La somme de fonctions exponentielles est une progression géométrisue de raison exp2iπ(v x ∆x) dontla somme S vaut :S = 1 − exp2iπ(v xN∆x)1 − exp2iπ(v x ∆x)L'intensité diractée se calcule comme précédemment, c'est une gure de speckle modulée par lafonction d'interférence due à plusieurs fentes .I(v x , v y ) = 1 2 EE∗ = E2 0 b22|F[I(x, y)]| 2 sin 2 (Nπv x ∆x)sin 2 (πv x ∆x)La fonction d'interférence présente deux types de maxima : principaux et secondaires. Les maximaprincipaux de lumière apparaissent dans les directions v x pour lesquelles la fonction d'interférence estégale à N 2 , c'est-à-dire telles que πv x ∆x = mπ avec m entier relatif : v x = m ∆xIls sont donc d'autant plus écartés que le déplacement ∆x est petit.Les directions des maxima secondaires sont obtenues en annulant la dérivée de l'intensité I.Les directions v x des minima nuls sont telles que Nπv x ∆x = pπ avec p entier relatif non nul :v x =p Il y a donc N − 1 minima nuls entre deux maxima principaux. Deux minima nulsN∆xsuccessifs encadrent un maximum secondaire, il y a donc N −2 maxima secondaires entre deux maximaprincipaux consécutifs. La gure 3 est un exemple de l'addition de quatre speckles, donc de troistranslations. On distingue parfaitement sur la transformée de Fourier les trois minima nuls entre deuxmaxima principaux et les deux maxima secondaires prévus.6.5 Ecrans complémentairesEn diraction, on entend par écrans complémentaires des écrans tels que les ouvertures de l'uncorrespondent exactement avec les parties opaques de l'autre : ils conduisent à la même répartition del'intensité lumineuse sur un écran (sauf au voisinage immédiat de l'image géométrique de la source) ;ainsi dans deux gures de speckle dont l'une est le négatif de l'autre, la superposition de deux grainscomplémentaires conduira à un grain d'opacité totale (transmission nulle).On pourra aisément vérier par la technique de la double exposition d'une plaque photo (ou d'uncapteur CCD) décrite en 6.1.2 que la gure d'interférence obtenue en additionnant deux images despeckle obtenues par translation d'un dépoli est identique à celle observable en additionnant le négatifde ces images.Par contre les gures d'interférence deviennent elles mêmes complémentaires lorsque l'on superposeune image et le négatif de l'autre qui correspondant à une translation ∆x du dépoli. Ecrivons que dansle négatif la répartition de l'intensité lumineuse I n (x) devient (en se limitant à une dimension) : I n (x) =I M − I(x) où I(x) est la distribution de l'intensité dans l'original et I M une constante représentant unéclairement maximum et uniforme.Ainsi si l'on superpose sur une même plaque une image I(x) et le négatif d'une autre obtenue aprèstranslation I n (x+∆x), la fonction de transmission t s'écrira : t(x) = a−b[I(x)+I n (x+∆x)] où encorepuisque I M est une constante t(x) = a − b[I(x) + I(x + ∆x)] En eectuant un calcul similaire à celuidéveloppé en 641.2 on montre que l'amplitude diractée devient :E(v x ) = E 0 aδ(v x ) − E 0 bF[I(x)]((1 − exp2iπ(v x ∆x))

et l'intensité deviendra :I(v x ) = 1 2 EE∗ = 2E2 0 b2 |F[I(x, y)](1 − exp2iπ(v x ∆x))| 2I(v x ) = 2E 2 0 b2 |F[I]| 2 sin 2 (πv x ∆x)On observera une intensité nulle dans les directions des maxima de lumière dans la gure 4 d'interférencesobtenue avec deux images de même natude. La photo supérieure est obtenue par l'additiondes images de même nature tandis que celle du dessous correspond à la superposition d'une gure despeckle et du négatif d'une autre après translation de ∆x du dépoli.Remarque : Extensions possibles L'acquisition d'images à une fréquence connue permet la déterminationde vitesses de déplacements de translation ou de fréquences de vibrations. Dédoublementdu speckle par réfraction dans un cristal anisotrope.