Olympiades maths - Laroche - Free

3. a. 1sin OCH = sin 30° = donc2OH 1OC = 2soit 1OH = a 3 . De même2Enfin d’après le théorème de Pythagore dans le triangle HOA rectangle en H on a :2 22 22 2 2 2 2 ⎛ 3 ⎞ ⎛ a 3 ⎞ a 3a2( )OA = HA + HO = HC − CA + HO = ⎜ a − a ⎟ + = + = a2 ⎜ 2 ⎟.⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 4 4Ainsi OA = OC et donc le triangle AOC est isocèle.HC3cos 30OC = ° = 2donc HC = 3 3a 3 = a .2 2b. L’angle dont a tourné le dispositif est la mesure de l’angle MOM ' . En degré elle vaut 180 − XOM avec X comme surle dessin. Or les angles XOP et OPM sont alternes-internes et le triangle MOP est isocèle ; on en déduit donc que MOX = 2 × 30 = 60°: l’angle géométrique MOM ' a pour mesure 180–60= 120°.La portion de plan essuyée est cellequi est limitée par les segments[MN] et [M’N’] et les arcs MM ' et NN ' .Soient T et T’ les intersections ducercle de centre O passant par M etles segments [ON] et [ON’].Le cercle étant invariant par larotation et le segment [ON] ayantpour image [ON’], T a donc pourimage T’ ; les points M, T, N ontrespectivement pour images M’, T’ etN’ et la conservation des aires parrotation montre que la portion deplan limitée par [MN], [NT] et l’arc MT a la même aire que celle limitéepar [M’N’], [N’T’] et l’arc M ' T ' .On peut dire aussi que le système étant rigide, les triangles OMP et OM’P’ sont isométriques.Ainsi la portion essuyée a la même aire que celle qui est limitée par les segments [NT] et [N’T’] et les arcs de cercleNN ' et TT ' .1L’aire de cette portion de plan est donc ( 2 2 π= π. ON − π.OT ) = ( OB 2 − OA2)A ; or3 3théorème de Pythagore dans le triangle rectangle OBH,2 22 2 2 2 2 ⎛ a 3 ⎞ ⎛ 3a⎞ ⎛ 3 121 ⎞ 2 2( )OB = OH + HB = OH + HC + CB = ⎜+ + 4a = + a = 31a2 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ 2 ⎠ ⎝ 4 4 ⎠πL’aire cherchée est donc A ( )2. Amienshttp://pedagogie.ac-amiens.fr/maths/culture/olympiades/2-a : La carte au trésor (non S)2 2 π31 30 2 1022= a − a = × a = π a , soit A = 10πa .3 3OA2 2= a et d’après leUne carte indique qu’un trésor est situé dans un terrain rectangulaire à 1260 m d’un coin, à 320 m du coin opposé et à1120 m d’un troisième coin.À quelle distance du quatrième coin se trouve-t-il ?Première S 9 mars 2011Olympiades académiques de mathématiqueshttp://laroche.lycee.free.fr