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31. Versailleshttp://euler.ac-versailles.fr/webMathematica/clubs_compet/olympiades.htm31-a : Fabrique de triplets (S-STI) +Préliminaires1. Soient x et y deux nombres réels strictement inférieurs à 1. On note S leur somme et P leur produit.Montrer que S < P + 1.2. Quel est le sens de variation de la fonction f définie sur ] 0 ; + ∞ [ par ( )Recherche de tripletsOn s’intéresse aux triplets ( a, b,c ) tels que 0 < a ≤ b ≤ c , abc > 1 et3. Montrer que, pour un tel triplet, a < 1.4. Se peut-il que b < 1 ? On pourra utiliser les préliminaires.5. Se peut-il que b = 1 ?6. Alice affirme : « Si a < 1 < b et bA-t-elle raison ?Première S 56 mars 2011Olympiades académiques de mathématiques1a1f x = x − ?x1 1 1a + b + c < + + .a b c≤ , alors on peut trouver un réel c tel que le triplet ( , , )7. Bob ajoute : « Ces conditions ne sont pas nécessaires ». A-t-il raison ?31-b : Billard dans un angle (S-STI)Pour faciliter la lecture des copies, la mesure d’angle utilisée dans cet exercice est le degré.On considère deux demi-droites [Ox) et [Oy) et un point A de la demi-droite [Ox) tel que OA = 1.On note θ une mesure de l’angle xOy .a b c soit solution ».Étant donné un point B sur la demi-droite [Oy), on construit, si possible, le point C du segment [OA] tel queCA = CB.1. On note α une mesure de l’angle OAB . Pour quelles valeurs de α peut-on construire le point C ?2. On suppose qu’on a pu construire le point C. On construit alors, si possible, un point D du segment [OB] tel queDB = DC. Pour quelles valeurs de α peut-on construire le point D ?3. On continue le processus précédent, construisant ainsi tant qu’il est possible et alternativement des points sur [OA]ou [OB].Si M et M’ sont deux points construits (dans cet ordre) et si on construit le point suivant M’’, point du segment [OM]tel que M’’M = M’’M’, on note a et a’ les mesures des angles OMM' et OM'M'' .Pour quelle valeur de a a-t-on a’ = a ?4. On suppose dorénavant qu’on peut construire autant de points que l’on veut. Pour quelles valeurs de α cela est-ilpossible ?5. Quelle relation existe-t-il alors entre la longueur de la ligne formée par les segments joignant A à B, B à C, C à D, …,M à M’, M’ à M’’, etc. et le périmètre du triangle ABC ?Si le périmètre du triangle ABC vaut 1 + 2 , combien vaut θ ?31-c : Loto (non S-STI)On dispose de 101 jetons, numérotés de 1 à 101. On les répartit en deux tas, A et B.Le jeton numéro 40 se trouve dans le tas A. On le prend et on le met dans le tas B. De ce fait, la moyenne des numérosdes jetons du tas A augmente de 0,25 et la moyenne des jetons du tas B augmente elle aussi de 0,25.Combien y avait-il de jetons dans le tas A ?31-d : Somme et produit se ressemblent (non S-STI)+Au tableau sont écrits 16 nombres entiers positifs consécutifs. On note respectivement S et P la somme et le produit deces nombres.1. a. Justifier que P est un multiple de 16.b. Justifier que P est un multiple de 125.c. Quels sont les trois derniers chiffres de P ?http://laroche.lycee.free.fr