Olympiades maths - Laroche - Free

. Examiner le cas où le rectangle ABCD a pour dimensions AB = 10 cm et AD = 8 cm.24. Parishttp://mathematiques.ac-paris.fr/24-a : Des bâtons et des pavés (tous)En une dimension : soit N un entier naturel non nul.On appelle bâton tout intervalle inclus dans [0, N], non réduit à un point, dont les bornes sont des nombres entiers.Question n°1 : Combien existe-t-il de tels bâtons ?En trois dimensions : on dispose de cubes de même taille portant tous des numéros distincts.On appelle boîte tout assemblage de ces cubes formant un pavé (parallélépipède rectangle) plein. Deux boîtescontenant des cubes différents sont considérées distinctes. Une boîte B comporte 385 cubes.Question n°2 : Quelles sont les dimensions de B sachant qu’elles sont toutes strictement supérieures à un ?Question n°3 : Combien de boîtes distinctes la boîte B contient-elle ?On enlève 7 des 8 cubes situés au sommet de B pour former le solide S.Question n°4 : Combien de boîtes distinctes le solide S contient-il ?24-b : À la baguette (tous)Une baguette est cassée en trois morceaux ; les points de fracture sont situés au hasard.Déterminer la probabilité que l’on puisse construire un triangle non aplati avec ces trois morceaux.25. Poitiershttp://ww2.ac-poitiers.fr/math/spip.php?rubrique2625-a : Racines (tous)Bob : « Salut Alice ! Tiens, c’est un trinôme du second degré que tu as écrit dans la marge de ta feuille. Quelles en sontles racines ? »Alice : « Ce sont deux entiers positifs. L’une des racines est mon âge, et l’autre est l’âge de mon petit frère Clément. »Bob : « C’est amusant ! Voyons, si je peux deviner quel âge vous avez, Clément et toi.Cela ne devrait pas être trop difficile, puisque les coefficients sont entiers.Je crois deviner ton âge, il me suffit de vérifier en remplaçant x par ce nombre… Zut ! Cela donne -55 au lieu de 0. »Alice : « C'est que je n'ai pas cet âge là !… »Bob : « Sans doute. À propos si je remplace x par 1 j’obtiens la somme des coefficients. »Alice : « Effectivement ! Il faut aussi que tu saches que cette somme est égale à mon âge moins un. »David qui a tout entendu, donne alors l'âge de Clément et celui d'Alice.a. Prouver que Clément est âgé de 2 ans.b. Déterminer l’âge d’Alice, sachant qu'elle a entre 10 et 50 ans.25-b : Isocoupes (tous)Pour jouer au jeu de l'isocoupe, il faut deux participants, une feuille de papier de forme polygonale et une paire deciseaux.Pour réaliser une isocoupe, il faut couper la feuille en deux morceaux en partant de l’un des sommets. Cette découpedoit suivre une ligne droite et l’un des deux morceaux obtenus doit être un triangle isocèle.Le premier joueur réalise une isocoupe à partir de la feuille de départ, il jette le triangle isocèle obtenu et passe l'autremorceau au second joueur qui doit à son tour réaliser une isocoupe, et ainsi de suite…Un joueur a gagné s'il réussit, après son isocoupe, à former une figure ayant exactement la même forme, mais bien sûr,en plus petit, que le morceau qu'il a reçu.Le jeu s’arrête lorsqu’un des deux joueurs a gagné.A et B jouent ensemble. Ce sont deux joueurs confirmés, ils réalisent toujours l’isocoupe la plus astucieuse.A coupe le premier.1. A prend une feuille carrée. Qui va gagner ?2. A prend une feuille rectangulaire, deux fois plus longue que large. Qui va gagner ?3. A prend une feuille rectangulaire, n fois plus longue que large (n entier). Qui va gagner ?Première S 46 mars 2011Olympiades académiques de mathématiqueshttp://laroche.lycee.free.fr