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a. Déterminer tous les chiffres k, tels que les nombres 100 k + 25 etchiffres.b. Donner un exemple d’un nombre N à quatre chiffres tel que N etc. On suppose que N et2N ont la même terminaison à trois chiffres.Trouver toutes les terminaisons à trois chiffres de N.5. Et plus... (N a au moins cinq chiffres).Trouver une terminaison à cinq chiffres (autre que 00000 et 00001) telle que N etcinq chiffres.6. Au cube (N a au moins trois chiffres).2(100 k + 25) aient la même terminaison à trois2N aient la même terminaison à trois chiffres.2N aient la même terminaison àTrouver toutes les terminaisons à trois chiffres telles que le nombre N et son cube N 3 aient la même terminaison à troischiffres.21-b : Paradoxe de Bertrand (S)+Dans tout l’exercice ABC est un triangle équilatéral dont le cercle circonscrit Γ 1 de centre O est de rayon 1.On appelle corde de Γ 1 tout segment dont les extrémités sont deux points de Γ 1 .Le but de l'exercice est de comparer différentes façons de calculer, lorsqu’on trace au hasard une corde deΓ , la probabilité que sa longueur soit supérieure ou égale à BC.11. Déterminer la longueurBC.2. a. Montrer que pourtout point M, distinct deO, situé à l'intérieur ducercle Γ 1 , il existe uneunique corde de Γ 1 ayantM pour milieu.b. Soit Γ 2 le cercle inscritdans le triangle ABC. M 1 ,M 2 et M 3 sont trois pointsà l’intérieur de Γ 1 telsque : M 1 est un point situésur Γ 2 , M 2 et M 3 sontrespectivement àl'intérieur et à l'extérieurde Γ 2 .Sur la figure ci-contre,construire les cordes de Γ 1ayant pour milieuxrespectifs M 1 , M 2 et M 3 .Comparer la longueur dechacune de ces trois cordesavec la longueur BC.c. On choisit au hasard un point M distinct de O et à l'intérieur du cercle Γ 1 . Quelle est la probabilité quela corde de milieu M ait une longueur supérieure ou égale à la longueur BC ?3. Cordes et un premier algorithmeOn considère l'algorithme (1) ci-dessous : soit D le symétrique de A par rapport au centre O de Γ 1 .Première S 38 mars 2011Olympiades académiques de mathématiqueshttp://laroche.lycee.free.fr