Olympiades maths - Laroche - Free

- f(1)=1- pour tous les entiers naturels m et n, f ( m + n) = f ( n) × f ( m) + f ( n) + f( m)1. On suppose qu’une telle fonction f existe.a. Calculer f(0). (On pourra poser n = 0 et m = 1)b. Calculer f(2), f(3), f(6).2. Montrer que, pour tout entier naturel n, f(n+1) = 2f(n)+13. On pose pour tout entier naturel n, g(n)=f(n)+1.Montrer que, pour tous les entiers naturels m et n : g( n + m) = g( n) × g( m).4. Donner une fonction f qui réponde au problème.20-c : Les bassins (non S)On rappelle que dans tout triangle les trois bissectricesdes angles sont concourantes en un point.Ce point est le centre du cercle inscrit au triangle.1. a. Soit ABC un triangle et I le centre de son cercleinscrit. Soit r le rayon du cercle inscrit. Soient H, L et Kles points des segments [CB], [AB] et [CA] tels que r =IH = IL = IK.Calculer l’aire du triangle IAB en fonction de AB et de r.b. Soit S l’aire du triangle ABC.Démontrer l’égalité : (AB + BC + AC) × r = 2S.2. Dans un jardin rectangulaire deux bassins circulaires sonttangents à deux côtés, à une diagonale du rectangle ainsi qu’ausegment joignant les milieux de deux côtés comme l’indique la figureci-contre.Sachant que le rayon de chacun des bassins mesure 2 mètres, calculerla longueur et la largeur du jardin.21. Nanteshttp://www.pedagogie.ac-nantes.fr/49496062/0/fiche___pagelibre/&RH=116008023567121-a : Terminaison (S)Dans tout l’exercice N et n désignent deux entiers naturels avec n non nul.On appelle terminaison à n chiffres d'un nombre entier N (ayant au moins n chiffres) le nombre formé par les nderniers chiffres de N.Exemple : 52 est la terminaison à 2 chiffres de 35 752.L'objectif de l'exercice est d'étudier quelques cas où les nombres N et1. Quels sont les nombres entiers naturels égaux à leur propre carré ?2. Terminaison à un chiffre.On suppose dans cette question que N etpour ce chiffre ?3. Terminaison à deux chiffres (N a au moins deux chiffres).2N ont la même terminaison.2N ont la même terminaison à un chiffre. Quelles sont les valeurs possiblesa. Montrer que tout produit de deux nombres admettant 25 pour terminaison admet également 25 pour terminaison.b. On suppose dans cette question que N etpossibles pour cette terminaison.4. Terminaison à trois chiffres (N a au moins trois chiffres).2N ont la même terminaison à deux chiffres. Trouver toutes les valeursPremière S 37 mars 2011Olympiades académiques de mathématiqueshttp://laroche.lycee.free.fr