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19-c : L’argent de poche (autres que S)Au cours d’un repas, Camille revendique une augmentation de son argent de poche auprès de ses parents. Son père, unpeu excédé et amusé à la fois, lui répond : « Tu auras une augmentation de ton argent de poche si tu gagnes deuxparties de tennis consécutives sur les trois que tu joueras contre ta mère et moi en changeant d’adversaire à chaquepartie. »Camille sait que son père joue mieux que sa mère. De plus, l’étude des résultats des matchs précédents lui permetd’affirmer que la probabilité de vaincre son père est 0,3 et que celle de vaincre sa mère est 0,5.Quelle doit être la stratégie de Camille : jouer d’abord contre son père ou contre sa mère ?19-d : Les cartes (autres que S)Partie AUne magicienne vous présente les cinq cartes représentées ci-dessous et que l’on a, par commodité, appelées A, B, C, Det E :A1 3 5 79 11 13 157 19 21 2325 27 29 31B2 3 6 710 11 14 1518 19 22 2326 27 30 31C4 5 6 712 13 14 1520 21 22 2328 29 30 31D8 9 10 1112 13 14 1524 25 26 2728 29 30 31E16 17 18 1920 21 22 2324 25 26 2728 29 30 31Elle vous demande de choisir un nombre parmi ceux notés sur l’une de ses cartes sans le lui révéler. Elle vous demandeensuite de lui montrer toutes les cartes sur lesquelles ce nombre est écrit. Elle vous donne alors la valeur de votrenombre secret ! Comment fait-elle ?Partie BPourriez-vous fabriquer le même jeu avec six cartes et des nombres entiers compris entre 1 et 63 ?20. Nancy-Metzhttp://www.ac-nancy-metz.fr/enseign/maths/m2002/institut/ipr/olympiad.htm20-a : Petites boîtes (tous)1. a. On a décomposé un rectangle de longueur 40 cm et de largeur 24 cm en carrés tous identiques dont le côté est leplus grand entier possible, sans perte.Combien mesure le côté des carrés ?b. On a disposé plusieurs rectangles du type précédent (40 cm x 24 cm), assemblés bord à bord, tous disposés dans lemême sens, pour former un carré le plus petit possible.Combien mesure le côté de ce carré ?2. Soit B 1 une boîte en forme de pavé droit. Sa base est un carré de côté a = 120 cm et sa hauteur est un nombre h decm. Soit B 2 une boîte en forme de pavé droit de dimensions 24 cm, 40 cm et 12 cm. On veut remplir entièrement (sansespaces vides) la boîte B 1 avec des boîtes identiques B 2 .a. Montrer que si h est un multiple de 12, alors le remplissage de B 1 par des boîtes B 2 est possible.b. On prend h = 100. Montrer que le remplissage est encore possible.3. Dans cette question, on prend h = 96. On veut remplir entièrement la boîte B 1 avec des boîtes cubiques B 3 , toutesidentiques.Soit x la longueur de l’arête de B 3 . Sachant que chaque boîte B 3 doit contenir au moins 25 et au plus 30 boîtes cubiquesB 4 , toutes identiques, d’arête y, quelles sont les valeurs entières possibles de x et de y ?20-b : Fonctions (S)L’objectif de l’exercice est de déterminer une fonction f : N → N qui vérifie les deux conditions (N désigne l’ensembledes nombres entiers naturels) :Première S 36 mars 2011Olympiades académiques de mathématiqueshttp://laroche.lycee.free.fr