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18-b : Jeu de billesUn jeu oppose deux joueurs A et B.Partie AOn dispose d’un tas de billes contenant n billes rouges et p billes bleues.Chaque joueur choisit à tour de rôle une couleur et retire du tas un certain nombre de billes de cette couleur (aumoins une). Le joueur qui retire la dernière bille du jeu a perdu.L'état des effectifs des billes dans le tas est représenté par un couple (n ; p) appelé configuration : le premier nombreindiquant le nombre de billes rouges, et le deuxième le nombre de billes bleues.Par exemple, si le tas compte 3 billes rouges et 5 billes bleues, on note cette configuration (3 ; 5).Une configuration est dite gagnante si le joueur devant jouer à partir d’elle est sûr de gagner quelles que soient lesdéfenses de son adversaire. Elle est dite perdante si le joueur devant jouer à partir d'elle est sûr de perdre quels quesoient ses choix si son adversaire agit au mieux.1. Donner une configuration simple toujours gagnante ayant au moins une bille de chaque couleur.2. La configuration (2 ; 2) est-elle gagnante ?3. Que peut-on dire de la configuration (n ; n) pour n ≥ 3 ?Partie BOn dispose d’un tas de billes contenant n billes rouges, p billes bleues et q billes jaunes. On garde la même règle du jeu.L’état des effectifs des billes dans le tas est représenté par un triplet (n ; p ; q) appelé configuration : le premier nombreindique le nombre de billes rouges, le deuxième le nombre de billes bleues et le troisième le nombre de billes jaunes.1. Donner une configuration simple toujours gagnante et une autre toujours perdante, ayant au moins une bille dechaque couleur.2. Que peut-on dire des configurations (1 ; 2 ; 3) et (2 ; 4 ; 5) ? Justifiez vos réponses.19. Montpellierhttp://webpeda.ac-montpellier.fr/mathematiques/spip.php?article3719-a : L’argent de poche (S)+Au cours d’un repas, Camille revendique une augmentation de son argent de poche auprès de ses parents.Son père, un peu excédé et amusé à la fois, lui répond : « Tu auras une augmentation de ton argent de poche si tugagnes deux parties de tennis consécutives sur les trois que tu joueras contre ta mère et moi en changeant d’adversaireà chaque partie. »Camille sait que son père joue mieux que sa mère. De plus, l’étude des résultats des matchs précédents lui permetd’affirmer que la probabilité de vaincre son père est un nombre a et que celle de vaincre sa mère est b.Quelle doit être la stratégie de Camille : jouer d’abord contre son père ou contre sa mère ?19-b : La parabole et le triangle rectangle (S)+Le nombre a est un réel strictement positif etPremière S 35 mars 2011Olympiades académiques de mathématiques2Cadésigne la parabole d’équation y a( x 1 )et B ( 1 ; 0 ) sont les points d’intersection de la parabole C a et de l’axe des abscisses.= − − . Les points A ( − 1 ; 0 )1. On cherche à déterminer l’existence de points M de la parabole C a tels que le triangle MAB soit rectangle en M.a. Montrer que si a = 2 , il existe deux points M de la parabole C a répondant à la question. Faire une figure etdéterminer, en la justifiant, une mesure des angles aigus des triangles rectangles obtenus.b. Pour quelles valeurs du réel a existent-ils deux points M de la parabole C a tels que le triangle MAB soit rectangle enM ?2. Comment choisir le réel a pour qu’il existe au moins un point M de la parabole C a tel que le triangle MAB soitrectangle en M et qu’un des angles aigus du triangle MAB ait pour mesure 6π radians.⎤ π ⎤3. Soit α un nombre réel de l’intervalle⎥0 ;⎦ 4 ⎥⎦ .Déterminer en fonction de α le réel a pour qu’il existe au moins un point M de la parabole C a tel que le triangle MABsoit rectangle en M et qu’un des angles aigus du triangle MAB ait pour mesure α radians. Que peut-on dire lorsque αtend vers 0 ?http://laroche.lycee.free.fr