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Appelons configuration la donnée d’un ensemble de cases qui sont occupées par une bille. Cet ensemble est donc; x ; y .constitué d’un certain nombre de points de coordonnées respectives ( x y ) , …, ( )On associe alors à chaque configuration le 4-D : G F x 1+ y 1 ... F x n+= + + y n.À chaque étape t du jeu nous pouvons donc considérer l’ensemble des cases occupées et calculer le 4-D noté G t .L’étape initiale ( t = 0 ) correspond à la figure donnée ci-dessus où toutes les cases (sauf la case centrale ( )occupées.1 1nn3 ; 3 sontOn dira que la partie est gagnée quand le joueur arrive, étape après étape, à manger toutes les billes et termine avecune seule bille sur le plateau.4. Quand le joueur passe de l’étape t à l’étape t+1, combien de cases modifie-t-il exactement ?5. On suppose que le joueur a déjà effectué t étapes avec succès et que la (t+1)-ième étape consistera à manger la billeplacée dans la case ( x ; y ) .a. On étudie tout d’abord le cas où ( x ; y ) = ( 2 ; 2 ) .i) On suppose que le coup réalisé se fait horizontalement. Montrer que Gt+ 1 = Gt.ii) On suppose que le coup réalisé se fait verticalement. Montrer que Gt+ 1 = Gt.b. i) Examiner les différentes situations correspondant à x ≤ 3 et y ≤ x . On admettra que toute configuration peut seramener à un de ces cas.ii) Que peut-on en déduire sur l’évolution du 4-D G t pendant la durée du jeu ?6. Peut-on gagner ? (On pourra utiliser le fait que la somme de trois puissances consécutives de F s’annule)17-c : L’algorithme de Prabekhar (autres que S) +1. À partir d’un nombre donné, on construit une suite de nombres de la façon suivante : chaque nombre est la sommedes carrés des chiffres du nombre précédent.Ainsi, si le premier nombre est 2 332 011, le deuxième nombre estnombre est2 22 + 8 et ainsi de suite...Calculer le 2011 ème nombre de cette suite.2. Calculer le 2011 ème nombre de la suite obtenue en partant du nombre 1248.18. Martiniquehttp://cms.ac-martinique.fr/discipline/mathematiques/2 2 2 2 2 2 22 + 3 + 3 + 2 + 0 + 1 + 1 = 28 , le troisième18-a : Jeux de cubesOn construit un grand cube au moyen de 64 petits cubes de 1cm de côté.1. Quelle est la longueur du côté du grand cube ?2. On peint le grand cube obtenu précédemment, puis on le démonte. On observe alors le nombre de faces peintes sur lespetits cubes.a. Y a-t-il des petits cubes ayant 3 faces peintes ? Si oui, combien ?b. Indiquer toutes les possibilités, et pour chacune d’elles, donner le nombre de petits cubes concernés.3. On reconstruit le grand cube et on note O son centre.Combien de petits cubes sont entièrement contenus à l’intérieur de la sphère de centre O et de rayon 2 cm ?4. On rajoute à ce grand cube des petits cubes de 1 cm de côté de façon à obtenir un nouveau grand cube de 6 cm decôté.a. Combien de petits cubes doit-on rajouter ?b. Combien de petits cubes sont entièrement contenus dans la sphère centrée au centre du nouveau grand cube etde diamètre 6 cm ?Première S 34 mars 2011Olympiades académiques de mathématiqueshttp://laroche.lycee.free.fr