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On appelle dans cet exercice 4-Domino (ou 4-D) une pièce de bois carrée séparée en quatre parties égales contenantchacune un nombre égal à 0 ou à 1. On peut multiplier ou additionner les 4-D en utilisant les règles suivantes :R1 :R2 :x yx’ y’xx’+yz’ xy’+yt’×=z t z’ t’ zx’+tz’ zy’+tt’x yx’ y’x+x’’ y+y’+=z t z’ t’ z+z’ t+t’R3 : Un nombre pair est remplacé par 0 et un nombre impair par 1.Premiers calculsOn considère les 4-D nommés E=1 0x’ y’et F=0 1 z’ t’1. Montrer que : F 2 =0 11 12. Montrer que E = F 3 2, que E × F = F× E=F et que E + F = F .3. En déduire que F 2 + F 3 = F 4 et que F 4 + F 5 = F 3 .Une application au jeu du solitaireOn considère la configuration ci-contre du jeu dusolitaire, où chaque disque représente une bille (iln’y a pas de bille en ( 3 ; 3 ) ).L’objectif du jeu est de « manger » les billes les une après les autres en utilisant uniquement des déplacementshorizontaux ou verticaux: on présente sur la figure ci-dessous un déplacement horizontal (où on dira que la billecentrale grisée a été « mangée »).Première S 33 mars 2011Olympiades académiques de mathématiqueshttp://laroche.lycee.free.fr