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On appelle tableau auto-référent d'ordre n un tableau auto-référent qui contient sur la première ligne tous les entiers de 0à n. Le tableau précédent est donc d'ordre 3.1. Proposer un deuxième tableau auto-référent d'ordre 3.Nombre 0 1 2 3Apparitions du nombre sur cette ligneExiste-t-il un troisième tableau auto-référent d'ordre 3 ?2. Quelle est nécessairement la somme des nombres de la dernière ligne pour un tableau auto-référent d'ordre 3 ?Et pour un tableau auto-référent d'ordre n ?3. Proposer un tableau auto-référent d'ordre 4.Nombre 0 1 2 3 4Apparitions du nombre sur cette ligneExiste-t-il un autre tableau auto-référent d'ordre 4 ?4. Montrer qu'on ne peut pas construire un tableau auto-référent d'ordre 5.5. Proposer un tableau auto-référent d'ordre 6.Nombre 0 1 2 3 4 5 6Apparitions du nombre sur cette ligne6. Sur le modèle du tableau précédent, montrer qu'on peut construire un tableau auto-référent d'ordre n pour toutentier n supérieur ou égal à 6.15-c : Les nombres belges (non S)On choisit un nombre à deux chiffres.On construit alors une suite de nombres en partant de zéro et en ajoutant tour à tour le chiffre des dizaines puis lechiffre des unités du nombre choisi.Exemples :On choisit 25 : on construit alors la suite 0 ; 2 ; 7 ; 9 ; 14 ; 16 ; 21 ; 23 ; 28 ; …, etc.On choisit 13 : on construit alors la suite 0 ; 1 ; 4 ; 5 ; 8 ; 9 ; 12 ; 13 ; 16 ; 17 ; …, etc.Définition : on dit qu'un nombre est un nombre belge s'il figure dans la suite qu'il permet de construire.Ainsi 13 est un nombre belge, alors que 25 ne l'est pas.1. 27 est-il un nombre belge ?2. Quel est le plus petit nombre à deux chiffres qui n'est pas belge ?Soit M = ‘ab’ un nombre à deux chiffres où a désigne le chiffre des dizaines et b celui des unités.3. Montrer que si M est multiple de a + b alors M est belge.4. Montrer que si M – a est multiple de a + b alors M est belge.5. Est-il possible de trouver un nombre belge à deux chiffres qui ne vérifie pas l'une des deux conditions précédentes ?Si oui, donner le plus petit et si non, expliquer pourquoi.6. Établir la liste des 10 premiers nombres belges à 2 chiffres.Nombres à trois chiffres : on reprend la même définition mais on construit la suite associée en ajoutant cette fois tourà tour le chiffre des centaines puis celui des dizaines et enfin celui des unités du nombre choisi.7. Montrer que 112 est belge.Trouver le plus petit nombre belge supérieur ou égal à 113.À quelle(s) condition(s) un nombre à trois chiffres M = 'abc' est-il un nombre belge ?16. Lyonhttp://www2.ac-lyon.fr/enseigne/math/spip.php?article25816-a : Carrés et cubes (tous)Un, deux, trois ou quatre côtés d'un carré de côté n (n entier naturel supérieur ou égal à 2) sont peints en rouge.Première S 31 mars 2011Olympiades académiques de mathématiqueshttp://laroche.lycee.free.fr